MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elsuppfn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elsuppfn 7540
Description: An element of the support of a function with a given domain. (Contributed by AV, 27-May-2019.)
Assertion
Ref Expression
elsuppfn ((𝐹 Fn 𝑋𝑋𝑉𝑍𝑊) → (𝑆 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑆𝑋 ∧ (𝐹𝑆) ≠ 𝑍)))

Proof of Theorem elsuppfn
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 suppvalfn 7539 . . 3 ((𝐹 Fn 𝑋𝑋𝑉𝑍𝑊) → (𝐹 supp 𝑍) = {𝑖𝑋 ∣ (𝐹𝑖) ≠ 𝑍})
21eleq2d 2864 . 2 ((𝐹 Fn 𝑋𝑋𝑉𝑍𝑊) → (𝑆 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ 𝑆 ∈ {𝑖𝑋 ∣ (𝐹𝑖) ≠ 𝑍}))
3 fveq2 6411 . . . 4 (𝑖 = 𝑆 → (𝐹𝑖) = (𝐹𝑆))
43neeq1d 3030 . . 3 (𝑖 = 𝑆 → ((𝐹𝑖) ≠ 𝑍 ↔ (𝐹𝑆) ≠ 𝑍))
54elrab 3556 . 2 (𝑆 ∈ {𝑖𝑋 ∣ (𝐹𝑖) ≠ 𝑍} ↔ (𝑆𝑋 ∧ (𝐹𝑆) ≠ 𝑍))
62, 5syl6bb 279 1 ((𝐹 Fn 𝑋𝑋𝑉𝑍𝑊) → (𝑆 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑆𝑋 ∧ (𝐹𝑆) ≠ 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  wne 2971  {crab 3093   Fn wfn 6096  cfv 6101  (class class class)co 6878   supp csupp 7532
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pr 5097  ax-un 7183
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-supp 7533
This theorem is referenced by:  fvn0elsupp  7548  fvn0elsuppb  7549  rexsupp  7550  suppss  7563  suppssr  7564  wemapso2lem  8699  cantnfle  8818  cantnfp1lem2  8826  cantnfp1lem3  8827  cantnfp1  8828  cantnflem1a  8832  cantnflem3  8838  cnfcomlem  8846  cnfcom3  8851  suppssfz  13048  ciclcl  16776  cicrcl  16777  mdegleb  24165  fdivmptf  43134  refdivmptf  43135
  Copyright terms: Public domain W3C validator