MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elsuppfn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elsuppfn 8194
Description: An element of the support of a function with a given domain. (Contributed by AV, 27-May-2019.)
Assertion
Ref Expression
elsuppfn ((𝐹 Fn 𝑋𝑋𝑉𝑍𝑊) → (𝑆 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑆𝑋 ∧ (𝐹𝑆) ≠ 𝑍)))

Proof of Theorem elsuppfn
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 suppvalfn 8192 . . 3 ((𝐹 Fn 𝑋𝑋𝑉𝑍𝑊) → (𝐹 supp 𝑍) = {𝑖𝑋 ∣ (𝐹𝑖) ≠ 𝑍})
21eleq2d 2825 . 2 ((𝐹 Fn 𝑋𝑋𝑉𝑍𝑊) → (𝑆 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ 𝑆 ∈ {𝑖𝑋 ∣ (𝐹𝑖) ≠ 𝑍}))
3 fveq2 6907 . . . 4 (𝑖 = 𝑆 → (𝐹𝑖) = (𝐹𝑆))
43neeq1d 2998 . . 3 (𝑖 = 𝑆 → ((𝐹𝑖) ≠ 𝑍 ↔ (𝐹𝑆) ≠ 𝑍))
54elrab 3695 . 2 (𝑆 ∈ {𝑖𝑋 ∣ (𝐹𝑖) ≠ 𝑍} ↔ (𝑆𝑋 ∧ (𝐹𝑆) ≠ 𝑍))
62, 5bitrdi 287 1 ((𝐹 Fn 𝑋𝑋𝑉𝑍𝑊) → (𝑆 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑆𝑋 ∧ (𝐹𝑆) ≠ 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  {crab 3433   Fn wfn 6558  cfv 6563  (class class class)co 7431   supp csupp 8184
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-supp 8185
This theorem is referenced by:  fvdifsupp  8195  fvn0elsupp  8204  fvn0elsuppb  8205  rexsupp  8206  suppssr  8219  suppofssd  8227  suppcoss  8231  finnzfsuppd  9411  wemapso2lem  9590  cantnfle  9709  cantnfp1lem2  9717  cantnfp1lem3  9718  cantnfp1  9719  cantnflem1a  9723  cantnflem3  9729  cnfcomlem  9737  cnfcom3  9742  suppssfz  14032  elsuppfnd  32697  fdifsupp  32700  ressupprn  32705  fsuppcurry1  32743  fsuppcurry2  32744  fsuppind  42577  mnringmulrcld  44224  fdivmptf  48391  refdivmptf  48392
  Copyright terms: Public domain W3C validator