Theorem elsuppfn 8156

Description: An element of the support of a function with a given domain. (Contributed by AV, 27-May-2019.)

Assertion

Ref	Expression
elsuppfn	⊢ ((𝐹 Fn 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑆 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑆 ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑆) ≠ 𝑍)))

Proof of Theorem elsuppfn

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suppvalfn 8154	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝐹 supp 𝑍) = {𝑖 ∈ 𝑋 ∣ (𝐹‘𝑖) ≠ 𝑍})
2	1	eleq2d 2820	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑆 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ 𝑆 ∈ {𝑖 ∈ 𝑋 ∣ (𝐹‘𝑖) ≠ 𝑍}))
3		fveq2 6892	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝑆 → (𝐹‘𝑖) = (𝐹‘𝑆))
4	3	neeq1d 3001	. . 3 ⊢ (𝑖 = 𝑆 → ((𝐹‘𝑖) ≠ 𝑍 ↔ (𝐹‘𝑆) ≠ 𝑍))
5	4	elrab 3684	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ {𝑖 ∈ 𝑋 ∣ (𝐹‘𝑖) ≠ 𝑍} ↔ (𝑆 ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑆) ≠ 𝑍))
6	2, 5	bitrdi 287	1 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑆 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑆 ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑆) ≠ 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  {crab 3433   Fn wfn 6539  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409   supp csupp 8146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-supp 8147

This theorem is referenced by:  fvn0elsupp  8165  fvn0elsuppb  8166  rexsupp  8167  suppssOLD  8180  suppssr  8181  suppofssd  8188  suppcoss  8192  wemapso2lem  9547  cantnfle  9666  cantnfp1lem2  9674  cantnfp1lem3  9675  cantnfp1  9676  cantnflem1a  9680  cantnflem3  9686  cnfcomlem  9694  cnfcom3  9699  suppssfz  13959  fvdifsupp  31907  ressupprn  31912  fsuppcurry1  31950  fsuppcurry2  31951  fsuppind  41162  finnzfsuppd  42961  mnringmulrcld  42987  fdivmptf  47227  refdivmptf  47228