Theorem elsuppfn 8152

Description: An element of the support of a function with a given domain. (Contributed by AV, 27-May-2019.)

Assertion

Ref	Expression
elsuppfn	⊢ ((𝐹 Fn 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑆 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑆 ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑆) ≠ 𝑍)))

Proof of Theorem elsuppfn

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suppvalfn 8150	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝐹 supp 𝑍) = {𝑖 ∈ 𝑋 ∣ (𝐹‘𝑖) ≠ 𝑍})
2	1	eleq2d 2815	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑆 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ 𝑆 ∈ {𝑖 ∈ 𝑋 ∣ (𝐹‘𝑖) ≠ 𝑍}))
3		fveq2 6861	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝑆 → (𝐹‘𝑖) = (𝐹‘𝑆))
4	3	neeq1d 2985	. . 3 ⊢ (𝑖 = 𝑆 → ((𝐹‘𝑖) ≠ 𝑍 ↔ (𝐹‘𝑆) ≠ 𝑍))
5	4	elrab 3662	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ {𝑖 ∈ 𝑋 ∣ (𝐹‘𝑖) ≠ 𝑍} ↔ (𝑆 ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑆) ≠ 𝑍))
6	2, 5	bitrdi 287	1 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑆 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑆 ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑆) ≠ 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  {crab 3408   Fn wfn 6509  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   supp csupp 8142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-supp 8143

This theorem is referenced by:  fvdifsupp  8153  fvn0elsupp  8162  fvn0elsuppb  8163  rexsupp  8164  suppssr  8177  suppofssd  8185  suppcoss  8189  finnzfsuppd  9331  wemapso2lem  9512  cantnfle  9631  cantnfp1lem2  9639  cantnfp1lem3  9640  cantnfp1  9641  cantnflem1a  9645  cantnflem3  9651  cnfcomlem  9659  cnfcom3  9664  suppssfz  13966  elsuppfnd  32612  fdifsupp  32615  ressupprn  32620  fsuppcurry1  32655  fsuppcurry2  32656  fsuppind  42585  mnringmulrcld  44224  fdivmptf  48534  refdivmptf  48535