Theorem cnvsng 6174

Description: Converse of a singleton of an ordered pair. (Contributed by NM, 23-Jan-2015.) (Proof shortened by BJ, 12-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
cnvsng	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ◡{⟨𝐴, 𝐵⟩} = {⟨𝐵, 𝐴⟩})

Proof of Theorem cnvsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvcnvsn 6170	. 2 ⊢ ◡◡{⟨𝐵, 𝐴⟩} = ◡{⟨𝐴, 𝐵⟩}
2		relsnopg 5746	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → Rel {⟨𝐵, 𝐴⟩})
3	2	ancoms 459	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → Rel {⟨𝐵, 𝐴⟩})
4		dfrel2 6140	. . 3 ⊢ (Rel {⟨𝐵, 𝐴⟩} ↔ ◡◡{⟨𝐵, 𝐴⟩} = {⟨𝐵, 𝐴⟩})
5	3, 4	sylib 219	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ◡◡{⟨𝐵, 𝐴⟩} = {⟨𝐵, 𝐴⟩})
6	1, 5	eqtr3id 2788	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ◡{⟨𝐴, 𝐵⟩} = {⟨𝐵, 𝐴⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  {csn 4555  ⟨cop 4561  ^◡ccnv 5617  Rel wrel 5623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-pr 5362

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-br 5073  df-opab 5135  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626

This theorem is referenced by:  cnvsn  6177  opswap  6180  funsng  6536  f1oprswap  6812  cnvprop  32788