Theorem dfrel2 6013

Description: Alternate definition of relation. Exercise 2 of [TakeutiZaring] p. 25. (Contributed by NM, 29-Dec-1996.)

Assertion

Ref	Expression
dfrel2	⊢ (Rel 𝑅 ↔ ◡◡𝑅 = 𝑅)

Proof of Theorem dfrel2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 5934	. . 3 ⊢ Rel ◡◡𝑅
2		vex 3444	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
3		vex 3444	. . . . . 6 ⊢ 𝑦 ∈ V
4	2, 3	opelcnv 5716	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ◡◡𝑅 ↔ ⟨𝑦, 𝑥⟩ ∈ ◡𝑅)
5	3, 2	opelcnv 5716	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑦, 𝑥⟩ ∈ ◡𝑅 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑅)
6	4, 5	bitri 278	. . . 4 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ◡◡𝑅 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑅)
7	6	eqrelriv 5626	. . 3 ⊢ ((Rel ◡◡𝑅 ∧ Rel 𝑅) → ◡◡𝑅 = 𝑅)
8	1, 7	mpan 689	. 2 ⊢ (Rel 𝑅 → ◡◡𝑅 = 𝑅)
9		releq 5615	. . 3 ⊢ (◡◡𝑅 = 𝑅 → (Rel ◡◡𝑅 ↔ Rel 𝑅))
10	1, 9	mpbii 236	. 2 ⊢ (◡◡𝑅 = 𝑅 → Rel 𝑅)
11	8, 10	impbii 212	1 ⊢ (Rel 𝑅 ↔ ◡◡𝑅 = 𝑅)

Syntax hints:   ↔ wb 209   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ⟨cop 4531  ^◡ccnv 5518  Rel wrel 5524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5295

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-v 3443  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-br 5031  df-opab 5093  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527

This theorem is referenced by:  dfrel4v  6014  cnvcnv  6016  cnveqb  6020  dfrel3  6022  cnvcnvres  6029  cnvsng  6047  cores2  6079  co01  6081  coi2  6083  relcnvtrg  6086  funcnvres2  6404  f1cnvcnv  6559  f1ocnv  6602  f1ocnvb  6603  f1ococnv1  6618  fimacnvinrn  6817  isores1  7066  relcnvexb  7613  cnvf1o  7789  fnwelem  7808  tposf12  7900  ssenen  8675  cantnffval2  9142  fsumcnv  15120  fprodcnv  15329  structcnvcnv  16489  imasless  16805  oppcinv  17042  cnvps  17814  cnvpsb  17815  cnvtsr  17824  gimcnv  18399  lmimcnv  19832  hmeocnv  22367  hmeocnvb  22379  cmphaushmeo  22405  ustexsym  22821  pi1xfrcnv  23662  dvlog  25242  efopnlem2  25248  gtiso  30460  cycpmconjvlem  30833  cycpmconjs  30848  f1ocan2fv  35165  relcnveq3  35738  relcnveq2  35740  brcnvrabga  35759  dfrel5  35763  elrelscnveq3  35891  elrelscnveq2  35893  ltrncnvnid  37423  relintab  40283  cnvssb  40286  relnonrel  40287  cononrel1  40294  cononrel2  40295  clrellem  40322  clcnvlem  40323  relexpaddss  40419