Theorem dfrel2 6178

Description: Alternate definition of relation. Exercise 2 of [TakeutiZaring] p. 25. (Contributed by NM, 29-Dec-1996.)

Assertion

Ref	Expression
dfrel2	⊢ (Rel 𝑅 ↔ ◡◡𝑅 = 𝑅)

Proof of Theorem dfrel2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 6096	. . 3 ⊢ Rel ◡◡𝑅
2		vex 3461	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
3		vex 3461	. . . . . 6 ⊢ 𝑦 ∈ V
4	2, 3	opelcnv 5857	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ◡◡𝑅 ↔ ⟨𝑦, 𝑥⟩ ∈ ◡𝑅)
5	3, 2	opelcnv 5857	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑦, 𝑥⟩ ∈ ◡𝑅 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑅)
6	4, 5	bitri 278	. . . 4 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ◡◡𝑅 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑅)
7	6	eqrelriv 5765	. . 3 ⊢ ((Rel ◡◡𝑅 ∧ Rel 𝑅) → ◡◡𝑅 = 𝑅)
8	1, 7	mpan 702	. 2 ⊢ (Rel 𝑅 → ◡◡𝑅 = 𝑅)
9		releq 5753	. . 3 ⊢ (◡◡𝑅 = 𝑅 → (Rel ◡◡𝑅 ↔ Rel 𝑅))
10	1, 9	mpbii 236	. 2 ⊢ (◡◡𝑅 = 𝑅 → Rel 𝑅)
11	8, 10	impbii 212	1 ⊢ (Rel 𝑅 ↔ ◡◡𝑅 = 𝑅)

Syntax hints:   ↔ wb 209   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ⟨cop 4591  ^◡ccnv 5650  Rel wrel 5656

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-pr 5394

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-sb 2094  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-rab 3418  df-v 3459  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-br 5105  df-opab 5167  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659

This theorem is referenced by:  dfrel4v  6179  cnvcnv  6181  cnveqb  6186  dfrel3  6188  cnvcnvres  6195  cnvsng  6213  cores2  6250  co01  6252  coi2  6254  relcnvtrg  6257  funcnvres2  6605  f1cnvcnv  6775  f1ocnv  6823  f1ocnvb  6824  f1ococnv1  6840  fimacnvinrn  7056  isores1  7322  relcnvexb  7911  cnvf1o  8094  fnwelem  8115  tposf12  8235  ssenen  9127  f1oenfirn  9152  f1domfi  9153  cantnffval2  9652  fsumcnv  15812  fprodcnv  16025  structcnvcnv  17201  imasless  17582  oppcinv  17825  cnvps  18622  cnvpsb  18623  cnvtsr  18632  gimcnv  19325  rngimcnv  20526  rimcnv  20555  lmimcnv  21154  hmeocnv  23876  hmeocnvb  23888  cmphaushmeo  23914  ustexsym  24330  pi1xfrcnv  25173  dvlog  26770  efopnlem2  26776  gtiso  32954  cycpmconjvlem  33369  cycpmconjs  33384  f1ocan2fv  38233  relcnveq3  38833  relcnveq2  38835  brcnvrabga  38848  dfrel5  38852  elrelscnveq3  39133  elrelscnveq2  39135  ltrncnvnid  40758  relintab  44166  cnvssb  44169  relnonrel  44170  cononrel1  44177  cononrel2  44178  clrellem  44205  clcnvlem  44206  relexpaddss  44301  3f1oss1  47668  3f1oss2  47669  tposideq  49518