Theorem dfrel2 6147

Description: Alternate definition of relation. Exercise 2 of [TakeutiZaring] p. 25. (Contributed by NM, 29-Dec-1996.)

Assertion

Ref	Expression
dfrel2	⊢ (Rel 𝑅 ↔ ◡◡𝑅 = 𝑅)

Proof of Theorem dfrel2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 6063	. . 3 ⊢ Rel ◡◡𝑅
2		vex 3436	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
3		vex 3436	. . . . . 6 ⊢ 𝑦 ∈ V
4	2, 3	opelcnv 5830	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ◡◡𝑅 ↔ ⟨𝑦, 𝑥⟩ ∈ ◡𝑅)
5	3, 2	opelcnv 5830	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑦, 𝑥⟩ ∈ ◡𝑅 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑅)
6	4, 5	bitri 276	. . . 4 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ◡◡𝑅 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑅)
7	6	eqrelriv 5739	. . 3 ⊢ ((Rel ◡◡𝑅 ∧ Rel 𝑅) → ◡◡𝑅 = 𝑅)
8	1, 7	mpan 696	. 2 ⊢ (Rel 𝑅 → ◡◡𝑅 = 𝑅)
9		releq 5727	. . 3 ⊢ (◡◡𝑅 = 𝑅 → (Rel ◡◡𝑅 ↔ Rel 𝑅))
10	1, 9	mpbii 234	. 2 ⊢ (◡◡𝑅 = 𝑅 → Rel 𝑅)
11	8, 10	impbii 210	1 ⊢ (Rel 𝑅 ↔ ◡◡𝑅 = 𝑅)

Syntax hints:   ↔ wb 207   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ⟨cop 4568  ^◡ccnv 5624  Rel wrel 5630

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-pr 5369

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-rab 3393  df-v 3434  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-br 5080  df-opab 5142  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633

This theorem is referenced by:  dfrel4v  6148  cnvcnv  6150  cnveqb  6154  dfrel3  6156  cnvcnvres  6163  cnvsng  6181  cores2  6218  co01  6220  coi2  6222  relcnvtrg  6225  funcnvres2  6572  f1cnvcnv  6739  f1ocnv  6786  f1ocnvb  6787  f1ococnv1  6803  fimacnvinrn  7019  isores1  7285  relcnvexb  7873  cnvf1o  8057  fnwelem  8078  tposf12  8198  ssenen  9086  f1oenfirn  9111  f1domfi  9112  cantnffval2  9614  fsumcnv  15733  fprodcnv  15946  structcnvcnv  17121  imasless  17502  oppcinv  17745  cnvps  18542  cnvpsb  18543  cnvtsr  18552  gimcnv  19240  rngimcnv  20434  rimcnv  20463  lmimcnv  21064  hmeocnv  23752  hmeocnvb  23764  cmphaushmeo  23790  ustexsym  24206  pi1xfrcnv  25049  dvlog  26640  efopnlem2  26646  gtiso  32800  cycpmconjvlem  33229  cycpmconjs  33244  f1ocan2fv  38101  relcnveq3  38701  relcnveq2  38703  brcnvrabga  38716  dfrel5  38720  elrelscnveq3  39001  elrelscnveq2  39003  ltrncnvnid  40626  relintab  44034  cnvssb  44037  relnonrel  44038  cononrel1  44045  cononrel2  44046  clrellem  44073  clcnvlem  44074  relexpaddss  44169  3f1oss1  47545  3f1oss2  47546  tposideq  49385