Theorem dfrel2 6142

Description: Alternate definition of relation. Exercise 2 of [TakeutiZaring] p. 25. (Contributed by NM, 29-Dec-1996.)

Assertion

Ref	Expression
dfrel2	⊢ (Rel 𝑅 ↔ ◡◡𝑅 = 𝑅)

Proof of Theorem dfrel2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 6059	. . 3 ⊢ Rel ◡◡𝑅
2		vex 3442	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
3		vex 3442	. . . . . 6 ⊢ 𝑦 ∈ V
4	2, 3	opelcnv 5828	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ◡◡𝑅 ↔ ⟨𝑦, 𝑥⟩ ∈ ◡𝑅)
5	3, 2	opelcnv 5828	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑦, 𝑥⟩ ∈ ◡𝑅 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑅)
6	4, 5	bitri 275	. . . 4 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ◡◡𝑅 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑅)
7	6	eqrelriv 5736	. . 3 ⊢ ((Rel ◡◡𝑅 ∧ Rel 𝑅) → ◡◡𝑅 = 𝑅)
8	1, 7	mpan 690	. 2 ⊢ (Rel 𝑅 → ◡◡𝑅 = 𝑅)
9		releq 5724	. . 3 ⊢ (◡◡𝑅 = 𝑅 → (Rel ◡◡𝑅 ↔ Rel 𝑅))
10	1, 9	mpbii 233	. 2 ⊢ (◡◡𝑅 = 𝑅 → Rel 𝑅)
11	8, 10	impbii 209	1 ⊢ (Rel 𝑅 ↔ ◡◡𝑅 = 𝑅)

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ⟨cop 4585  ^◡ccnv 5622  Rel wrel 5628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-rab 3397  df-v 3440  df-dif 3908  df-un 3910  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-br 5096  df-opab 5158  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631

This theorem is referenced by:  dfrel4v  6143  cnvcnv  6145  cnveqb  6149  dfrel3  6151  cnvcnvres  6158  cnvsng  6176  cores2  6212  co01  6214  coi2  6216  relcnvtrg  6219  funcnvres2  6566  f1cnvcnv  6733  f1ocnv  6780  f1ocnvb  6781  f1ococnv1  6797  fimacnvinrn  7009  isores1  7275  relcnvexb  7866  cnvf1o  8051  fnwelem  8071  tposf12  8191  ssenen  9075  f1oenfirn  9104  f1domfi  9105  cantnffval2  9610  fsumcnv  15698  fprodcnv  15908  structcnvcnv  17082  imasless  17462  oppcinv  17705  cnvps  18502  cnvpsb  18503  cnvtsr  18512  gimcnv  19164  rngimcnv  20359  lmimcnv  20989  hmeocnv  23665  hmeocnvb  23677  cmphaushmeo  23703  ustexsym  24119  pi1xfrcnv  24973  dvlog  26576  efopnlem2  26582  gtiso  32657  cycpmconjvlem  33096  cycpmconjs  33111  f1ocan2fv  37706  relcnveq3  38294  relcnveq2  38296  brcnvrabga  38309  dfrel5  38313  elrelscnveq3  38467  elrelscnveq2  38469  ltrncnvnid  40106  rimcnv  42490  relintab  43556  cnvssb  43559  relnonrel  43560  cononrel1  43567  cononrel2  43568  clrellem  43595  clcnvlem  43596  relexpaddss  43691  3f1oss1  47060  3f1oss2  47061  tposideq  48873