Theorem dfrel2 6141

Description: Alternate definition of relation. Exercise 2 of [TakeutiZaring] p. 25. (Contributed by NM, 29-Dec-1996.)

Assertion

Ref	Expression
dfrel2	⊢ (Rel 𝑅 ↔ ◡◡𝑅 = 𝑅)

Proof of Theorem dfrel2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 6057	. . 3 ⊢ Rel ◡◡𝑅
2		vex 3441	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
3		vex 3441	. . . . . 6 ⊢ 𝑦 ∈ V
4	2, 3	opelcnv 5825	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ◡◡𝑅 ↔ ⟨𝑦, 𝑥⟩ ∈ ◡𝑅)
5	3, 2	opelcnv 5825	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑦, 𝑥⟩ ∈ ◡𝑅 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑅)
6	4, 5	bitri 275	. . . 4 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ◡◡𝑅 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑅)
7	6	eqrelriv 5733	. . 3 ⊢ ((Rel ◡◡𝑅 ∧ Rel 𝑅) → ◡◡𝑅 = 𝑅)
8	1, 7	mpan 690	. 2 ⊢ (Rel 𝑅 → ◡◡𝑅 = 𝑅)
9		releq 5721	. . 3 ⊢ (◡◡𝑅 = 𝑅 → (Rel ◡◡𝑅 ↔ Rel 𝑅))
10	1, 9	mpbii 233	. 2 ⊢ (◡◡𝑅 = 𝑅 → Rel 𝑅)
11	8, 10	impbii 209	1 ⊢ (Rel 𝑅 ↔ ◡◡𝑅 = 𝑅)

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ⟨cop 4581  ^◡ccnv 5618  Rel wrel 5624

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pr 5372

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-rab 3397  df-v 3439  df-dif 3901  df-un 3903  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-br 5094  df-opab 5156  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627

This theorem is referenced by:  dfrel4v  6142  cnvcnv  6144  cnveqb  6148  dfrel3  6150  cnvcnvres  6157  cnvsng  6175  cores2  6212  co01  6214  coi2  6216  relcnvtrg  6219  funcnvres2  6566  f1cnvcnv  6733  f1ocnv  6780  f1ocnvb  6781  f1ococnv1  6797  fimacnvinrn  7010  isores1  7274  relcnvexb  7862  cnvf1o  8047  fnwelem  8067  tposf12  8187  ssenen  9071  f1oenfirn  9096  f1domfi  9097  cantnffval2  9592  fsumcnv  15682  fprodcnv  15892  structcnvcnv  17066  imasless  17446  oppcinv  17689  cnvps  18486  cnvpsb  18487  cnvtsr  18496  gimcnv  19181  rngimcnv  20376  lmimcnv  21003  hmeocnv  23678  hmeocnvb  23690  cmphaushmeo  23716  ustexsym  24132  pi1xfrcnv  24985  dvlog  26588  efopnlem2  26594  gtiso  32686  cycpmconjvlem  33117  cycpmconjs  33132  f1ocan2fv  37788  relcnveq3  38380  relcnveq2  38382  brcnvrabga  38395  dfrel5  38399  elrelscnveq3  38660  elrelscnveq2  38662  ltrncnvnid  40247  rimcnv  42636  relintab  43701  cnvssb  43704  relnonrel  43705  cononrel1  43712  cononrel2  43713  clrellem  43740  clcnvlem  43741  relexpaddss  43836  3f1oss1  47200  3f1oss2  47201  tposideq  49013