MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funsng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem funsng 6553
Description: A singleton of an ordered pair is a function. Theorem 10.5 of [Quine] p. 65. (Contributed by NM, 28-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
funsng ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → Fun {⟨𝐴, 𝐵⟩})

Proof of Theorem funsng
StepHypRef Expression
1 funcnvsn 6552 . 2 Fun {⟨𝐵, 𝐴⟩}
2 cnvsng 6176 . . . 4 ((𝐵𝑊𝐴𝑉) → {⟨𝐵, 𝐴⟩} = {⟨𝐴, 𝐵⟩})
32ancoms 460 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → {⟨𝐵, 𝐴⟩} = {⟨𝐴, 𝐵⟩})
43funeqd 6524 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (Fun {⟨𝐵, 𝐴⟩} ↔ Fun {⟨𝐴, 𝐵⟩}))
51, 4mpbii 232 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → Fun {⟨𝐴, 𝐵⟩})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  {csn 4587  cop 4593  ccnv 5633  Fun wfun 6491
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-mo 2535  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-br 5107  df-opab 5169  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-fun 6499
This theorem is referenced by:  fnsng  6554  funsn  6555  funprg  6556  funtpg  6557  fvsng  7127  tfrlem10  8334  snopfsupp  9333  funsnfsupp  9334  strle1  17035  setsfun  17048  setsfun0  17049  noextend  27030  p1evtxdeqlem  28502  trlsegvdeglem3  29208  bnj519  33405  bnj150  33545
  Copyright terms: Public domain W3C validator