Theorem funsng 6587

Description: A singleton of an ordered pair is a function. Theorem 10.5 of [Quine] p. 65. (Contributed by NM, 28-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
funsng	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → Fun {⟨𝐴, 𝐵⟩})

Proof of Theorem funsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcnvsn 6586	. 2 ⊢ Fun ◡{⟨𝐵, 𝐴⟩}
2		cnvsng 6212	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ◡{⟨𝐵, 𝐴⟩} = {⟨𝐴, 𝐵⟩})
3	2	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ◡{⟨𝐵, 𝐴⟩} = {⟨𝐴, 𝐵⟩})
4	3	funeqd 6558	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (Fun ◡{⟨𝐵, 𝐴⟩} ↔ Fun {⟨𝐴, 𝐵⟩}))
5	1, 4	mpbii 233	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → Fun {⟨𝐴, 𝐵⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {csn 4601  ⟨cop 4607  ^◡ccnv 5653  Fun wfun 6525

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-mo 2539  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-dif 3929  df-un 3931  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-br 5120  df-opab 5182  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-fun 6533

This theorem is referenced by:  fnsng  6588  funsn  6589  funprg  6590  funtpg  6591  fvsng  7172  tfrlem10  8401  snopfsupp  9403  funsnfsupp  9404  strle1  17177  setsfun  17190  setsfun0  17191  noextend  27630  p1evtxdeqlem  29492  trlsegvdeglem3  30203  bnj519  34767  bnj150  34907