Theorem funsng 6469

Description: A singleton of an ordered pair is a function. Theorem 10.5 of [Quine] p. 65. (Contributed by NM, 28-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
funsng	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → Fun {⟨𝐴, 𝐵⟩})

Proof of Theorem funsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcnvsn 6468	. 2 ⊢ Fun ◡{⟨𝐵, 𝐴⟩}
2		cnvsng 6115	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ◡{⟨𝐵, 𝐴⟩} = {⟨𝐴, 𝐵⟩})
3	2	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ◡{⟨𝐵, 𝐴⟩} = {⟨𝐴, 𝐵⟩})
4	3	funeqd 6440	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (Fun ◡{⟨𝐵, 𝐴⟩} ↔ Fun {⟨𝐴, 𝐵⟩}))
5	1, 4	mpbii 232	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → Fun {⟨𝐴, 𝐵⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  {csn 4558  ⟨cop 4564  ^◡ccnv 5579  Fun wfun 6412

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-br 5071  df-opab 5133  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-fun 6420

This theorem is referenced by:  fnsng  6470  funsn  6471  funprg  6472  funtpg  6473  fvsng  7034  tfrlem10  8189  snopfsupp  9081  funsnfsupp  9082  strle1  16787  setsfun  16800  setsfun0  16801  p1evtxdeqlem  27782  trlsegvdeglem3  28487  bnj519  32615  bnj150  32756  noextend  33796