Theorem funsng 6610

Description: A singleton of an ordered pair is a function. Theorem 10.5 of [Quine] p. 65. (Contributed by NM, 28-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
funsng	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → Fun {⟨𝐴, 𝐵⟩})

Proof of Theorem funsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcnvsn 6609	. 2 ⊢ Fun ◡{⟨𝐵, 𝐴⟩}
2		cnvsng 6234	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ◡{⟨𝐵, 𝐴⟩} = {⟨𝐴, 𝐵⟩})
3	2	ancoms 457	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ◡{⟨𝐵, 𝐴⟩} = {⟨𝐴, 𝐵⟩})
4	3	funeqd 6581	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (Fun ◡{⟨𝐵, 𝐴⟩} ↔ Fun {⟨𝐴, 𝐵⟩}))
5	1, 4	mpbii 232	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → Fun {⟨𝐴, 𝐵⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {csn 4633  ⟨cop 4639  ^◡ccnv 5681  Fun wfun 6548

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pr 5433

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-sb 2061  df-mo 2529  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3464  df-dif 3950  df-un 3952  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-br 5154  df-opab 5216  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-fun 6556

This theorem is referenced by:  fnsng  6611  funsn  6612  funprg  6613  funtpg  6614  fvsng  7194  tfrlem10  8417  snopfsupp  9434  funsnfsupp  9435  strle1  17160  setsfun  17173  setsfun0  17174  noextend  27696  p1evtxdeqlem  29449  trlsegvdeglem3  30155  bnj519  34581  bnj150  34721