Theorem cocossss 39426

Description: Two ways of saying that cosets by cosets by 𝑅 is a subclass. (Contributed by Peter Mazsa, 17-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
cocossss	⊢ ( ≀ ≀ 𝑅 ⊆ 𝑆 ↔ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧) → 𝑥𝑆𝑧))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧

Proof of Theorem cocossss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcoss 39413	. . 3 ⊢ Rel ≀ ≀ 𝑅
2		ssrel3 5762	. . 3 ⊢ (Rel ≀ ≀ 𝑅 → ( ≀ ≀ 𝑅 ⊆ 𝑆 ↔ ∀𝑥∀𝑧(𝑥 ≀ ≀ 𝑅𝑧 → 𝑥𝑆𝑧)))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ( ≀ ≀ 𝑅 ⊆ 𝑆 ↔ ∀𝑥∀𝑧(𝑥 ≀ ≀ 𝑅𝑧 → 𝑥𝑆𝑧))
4		brcoss 39421	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ V) → (𝑥 ≀ ≀ 𝑅𝑧 ↔ ∃𝑦(𝑦 ≀ 𝑅𝑥 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧)))
5	4	el2v 3458	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ≀ ≀ 𝑅𝑧 ↔ ∃𝑦(𝑦 ≀ 𝑅𝑥 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧))
6		brcosscnvcoss 39424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V) → (𝑦 ≀ 𝑅𝑥 ↔ 𝑥 ≀ 𝑅𝑦))
7	6	el2v 3458	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ≀ 𝑅𝑥 ↔ 𝑥 ≀ 𝑅𝑦)
8	7	anbi1i 636	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ≀ 𝑅𝑥 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧) ↔ (𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧))
9	8	exbii 1881	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑦(𝑦 ≀ 𝑅𝑥 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧) ↔ ∃𝑦(𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧))
10	5, 9	bitri 278	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ≀ ≀ 𝑅𝑧 ↔ ∃𝑦(𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧))
11	10	imbi1i 352	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ≀ ≀ 𝑅𝑧 → 𝑥𝑆𝑧) ↔ (∃𝑦(𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧) → 𝑥𝑆𝑧))
12		19.23v 1975	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦((𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧) → 𝑥𝑆𝑧) ↔ (∃𝑦(𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧) → 𝑥𝑆𝑧))
13	11, 12	bitr4i 281	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ≀ ≀ 𝑅𝑧 → 𝑥𝑆𝑧) ↔ ∀𝑦((𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧) → 𝑥𝑆𝑧))
14	13	albii 1852	. . . 4 ⊢ (∀𝑧(𝑥 ≀ ≀ 𝑅𝑧 → 𝑥𝑆𝑧) ↔ ∀𝑧∀𝑦((𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧) → 𝑥𝑆𝑧))
15		alcom 2196	. . . 4 ⊢ (∀𝑧∀𝑦((𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧) → 𝑥𝑆𝑧) ↔ ∀𝑦∀𝑧((𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧) → 𝑥𝑆𝑧))
16	14, 15	bitri 278	. . 3 ⊢ (∀𝑧(𝑥 ≀ ≀ 𝑅𝑧 → 𝑥𝑆𝑧) ↔ ∀𝑦∀𝑧((𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧) → 𝑥𝑆𝑧))
17	16	albii 1852	. 2 ⊢ (∀𝑥∀𝑧(𝑥 ≀ ≀ 𝑅𝑧 → 𝑥𝑆𝑧) ↔ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧) → 𝑥𝑆𝑧))
18	3, 17	bitri 278	1 ⊢ ( ≀ ≀ 𝑅 ⊆ 𝑆 ↔ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧) → 𝑥𝑆𝑧))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401  ∀wal 1568  ∃wex 1812  Vcvv 3451   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103  Rel wrel 5656   ≀ ccoss 39083

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-11 2194  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5104  df-opab 5168  df-xp 5657  df-rel 5658  df-coss 39401

This theorem is used by:  eqvrelcoss2  39603