Theorem cocossss 38392

Description: Two ways of saying that cosets by cosets by 𝑅 is a subclass. (Contributed by Peter Mazsa, 17-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
cocossss	⊢ ( ≀ ≀ 𝑅 ⊆ 𝑆 ↔ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧) → 𝑥𝑆𝑧))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧

Proof of Theorem cocossss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcoss 38379	. . 3 ⊢ Rel ≀ ≀ 𝑅
2		ssrel3 5810	. . 3 ⊢ (Rel ≀ ≀ 𝑅 → ( ≀ ≀ 𝑅 ⊆ 𝑆 ↔ ∀𝑥∀𝑧(𝑥 ≀ ≀ 𝑅𝑧 → 𝑥𝑆𝑧)))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ( ≀ ≀ 𝑅 ⊆ 𝑆 ↔ ∀𝑥∀𝑧(𝑥 ≀ ≀ 𝑅𝑧 → 𝑥𝑆𝑧))
4		brcoss 38387	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ V) → (𝑥 ≀ ≀ 𝑅𝑧 ↔ ∃𝑦(𝑦 ≀ 𝑅𝑥 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧)))
5	4	el2v 3495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ≀ ≀ 𝑅𝑧 ↔ ∃𝑦(𝑦 ≀ 𝑅𝑥 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧))
6		brcosscnvcoss 38390	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V) → (𝑦 ≀ 𝑅𝑥 ↔ 𝑥 ≀ 𝑅𝑦))
7	6	el2v 3495	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ≀ 𝑅𝑥 ↔ 𝑥 ≀ 𝑅𝑦)
8	7	anbi1i 623	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ≀ 𝑅𝑥 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧) ↔ (𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧))
9	8	exbii 1846	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑦(𝑦 ≀ 𝑅𝑥 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧) ↔ ∃𝑦(𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧))
10	5, 9	bitri 275	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ≀ ≀ 𝑅𝑧 ↔ ∃𝑦(𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧))
11	10	imbi1i 349	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ≀ ≀ 𝑅𝑧 → 𝑥𝑆𝑧) ↔ (∃𝑦(𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧) → 𝑥𝑆𝑧))
12		19.23v 1941	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦((𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧) → 𝑥𝑆𝑧) ↔ (∃𝑦(𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧) → 𝑥𝑆𝑧))
13	11, 12	bitr4i 278	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ≀ ≀ 𝑅𝑧 → 𝑥𝑆𝑧) ↔ ∀𝑦((𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧) → 𝑥𝑆𝑧))
14	13	albii 1817	. . . 4 ⊢ (∀𝑧(𝑥 ≀ ≀ 𝑅𝑧 → 𝑥𝑆𝑧) ↔ ∀𝑧∀𝑦((𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧) → 𝑥𝑆𝑧))
15		alcom 2160	. . . 4 ⊢ (∀𝑧∀𝑦((𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧) → 𝑥𝑆𝑧) ↔ ∀𝑦∀𝑧((𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧) → 𝑥𝑆𝑧))
16	14, 15	bitri 275	. . 3 ⊢ (∀𝑧(𝑥 ≀ ≀ 𝑅𝑧 → 𝑥𝑆𝑧) ↔ ∀𝑦∀𝑧((𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧) → 𝑥𝑆𝑧))
17	16	albii 1817	. 2 ⊢ (∀𝑥∀𝑧(𝑥 ≀ ≀ 𝑅𝑧 → 𝑥𝑆𝑧) ↔ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧) → 𝑥𝑆𝑧))
18	3, 17	bitri 275	1 ⊢ ( ≀ ≀ 𝑅 ⊆ 𝑆 ↔ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧) → 𝑥𝑆𝑧))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1535  ∃wex 1777  Vcvv 3488   ⊆ wss 3976   class class class wbr 5166  Rel wrel 5705   ≀ ccoss 38135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-11 2158  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-sb 2065  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-br 5167  df-opab 5229  df-xp 5706  df-rel 5707  df-coss 38367

This theorem is referenced by:  eqvrelcoss2  38575