Theorem eqvrelcoss2 38875

Description: Two ways to express equivalent cosets. (Contributed by Peter Mazsa, 3-May-2019.)

Assertion

Ref	Expression
eqvrelcoss2	⊢ ( EqvRel ≀ 𝑅 ↔ ≀ ≀ 𝑅 ⊆ ≀ 𝑅)

Proof of Theorem eqvrelcoss2

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqvrelcoss3 38874	. 2 ⊢ ( EqvRel ≀ 𝑅 ↔ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧) → 𝑥 ≀ 𝑅𝑧))
2		cocossss 38698	. 2 ⊢ ( ≀ ≀ 𝑅 ⊆ ≀ 𝑅 ↔ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧) → 𝑥 ≀ 𝑅𝑧))
3	1, 2	bitr4i 278	1 ⊢ ( EqvRel ≀ 𝑅 ↔ ≀ ≀ 𝑅 ⊆ ≀ 𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1540   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5099   ≀ ccoss 38355   EqvRel weqvrel 38372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-11 2163  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pr 5378

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3401  df-v 3443  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-br 5100  df-opab 5162  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-coss 38673  df-refrel 38764  df-symrel 38796  df-trrel 38830  df-eqvrel 38841

This theorem is referenced by: (None)