Theorem eqvrelcoss2 39070

Description: Two ways to express equivalent cosets. (Contributed by Peter Mazsa, 3-May-2019.)

Assertion

Ref	Expression
eqvrelcoss2	⊢ ( EqvRel ≀ 𝑅 ↔ ≀ ≀ 𝑅 ⊆ ≀ 𝑅)

Proof of Theorem eqvrelcoss2

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqvrelcoss3 39069	. 2 ⊢ ( EqvRel ≀ 𝑅 ↔ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧) → 𝑥 ≀ 𝑅𝑧))
2		cocossss 38893	. 2 ⊢ ( ≀ ≀ 𝑅 ⊆ ≀ 𝑅 ↔ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧) → 𝑥 ≀ 𝑅𝑧))
3	1, 2	bitr4i 279	1 ⊢ ( EqvRel ≀ 𝑅 ↔ ≀ ≀ 𝑅 ⊆ ≀ 𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396  ∀wal 1545   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5072   ≀ ccoss 38550   EqvRel weqvrel 38567

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-11 2168  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-pr 5362

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-br 5073  df-opab 5135  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-coss 38868  df-refrel 38959  df-symrel 38991  df-trrel 39025  df-eqvrel 39036

This theorem is referenced by: (None)