Theorem eqvrelcoss2 38886

Description: Two ways to express equivalent cosets. (Contributed by Peter Mazsa, 3-May-2019.)

Assertion

Ref	Expression
eqvrelcoss2	⊢ ( EqvRel ≀ 𝑅 ↔ ≀ ≀ 𝑅 ⊆ ≀ 𝑅)

Proof of Theorem eqvrelcoss2

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqvrelcoss3 38885	. 2 ⊢ ( EqvRel ≀ 𝑅 ↔ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧) → 𝑥 ≀ 𝑅𝑧))
2		cocossss 38709	. 2 ⊢ ( ≀ ≀ 𝑅 ⊆ ≀ 𝑅 ↔ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧) → 𝑥 ≀ 𝑅𝑧))
3	1, 2	bitr4i 278	1 ⊢ ( EqvRel ≀ 𝑅 ↔ ≀ ≀ 𝑅 ⊆ ≀ 𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1539   ⊆ wss 3901   class class class wbr 5098   ≀ ccoss 38383   EqvRel weqvrel 38400

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-11 2162  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-br 5099  df-opab 5161  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-coss 38684  df-refrel 38775  df-symrel 38807  df-trrel 38841  df-eqvrel 38852

This theorem is referenced by: (None)