Theorem coexd 7928

Description: The composition of two sets is a set. (Contributed by SN, 7-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
coexd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
coexd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
coexd	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∘ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem coexd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coexd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		coexd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
3		coexg 7926	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∘ 𝐵) ∈ V)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∘ 𝐵) ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   ∘ ccom 5659

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666

This theorem is used by:  wemapwe  9676  rhmmpl  22605  rhmply1vr1  22609  rhmply1vsca  22610  1arithidom  33947  esplyfval  34073  aks5lem2  43053  rhmpsr  43429  fuco112  50255  fuco111  50256  fuco112x  50258  prcof21a  50317