Theorem coexd 7930

Description: The composition of two sets is a set. (Contributed by SN, 7-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
coexd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
coexd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
coexd	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∘ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem coexd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coexd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		coexd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
3		coexg 7928	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∘ 𝐵) ∈ V)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∘ 𝐵) ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457   ∘ ccom 5667

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674

This theorem is used by:  wemapwe  9669  rhmmpl  22570  rhmply1vr1  22574  rhmply1vsca  22575  1arithidom  33867  esplyfval  33993  aks5lem2  42987  rhmpsr  43348  fuco112  50140  fuco111  50141  fuco112x  50143  prcof21a  50202