Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rhmmpl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rhmmpl 41428
Description: Provide a ring homomorphism between two polynomial algebras over their respective base rings given a ring homomorphism between the two base rings. Compare pwsco2rhm 20395. TODO: Currently mhmvlin 22120 would have to be moved up. Investigate the usefulness of surrounding theorems like mndvcl 22114 and the difference between mhmvlin 22120, ofco 7697, and ofco2 22174. (Contributed by SN, 8-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
rhmmpl.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
rhmmpl.q 𝑄 = (𝐼 mPoly 𝑆)
rhmmpl.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
rhmmpl.f 𝐹 = (𝑝𝐵 ↦ (𝐻𝑝))
rhmmpl.i (𝜑𝐼𝑉)
rhmmpl.h (𝜑𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
Assertion
Ref Expression
rhmmpl (𝜑𝐹 ∈ (𝑃 RingHom 𝑄))
Distinct variable groups:   𝑃,𝑝   𝐻,𝑝   𝑄,𝑝   𝐵,𝑝   𝜑,𝑝
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑝)   𝑆(𝑝)   𝐹(𝑝)   𝐼(𝑝)   𝑉(𝑝)

Proof of Theorem rhmmpl
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑑 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rhmmpl.b . 2 𝐵 = (Base‘𝑃)
2 eqid 2731 . 2 (1r𝑃) = (1r𝑃)
3 eqid 2731 . 2 (1r𝑄) = (1r𝑄)
4 eqid 2731 . 2 (.r𝑃) = (.r𝑃)
5 eqid 2731 . 2 (.r𝑄) = (.r𝑄)
6 rhmmpl.p . . 3 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
7 rhmmpl.i . . 3 (𝜑𝐼𝑉)
8 rhmmpl.h . . . 4 (𝜑𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
9 rhmrcl1 20368 . . . 4 (𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
108, 9syl 17 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
116, 7, 10mplringd 41420 . 2 (𝜑𝑃 ∈ Ring)
12 rhmmpl.q . . 3 𝑄 = (𝐼 mPoly 𝑆)
13 rhmrcl2 20369 . . . 4 (𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑆 ∈ Ring)
148, 13syl 17 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ Ring)
1512, 7, 14mplringd 41420 . 2 (𝜑𝑄 ∈ Ring)
16 eqid 2731 . . . . . 6 {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
17 eqid 2731 . . . . . 6 (0g𝑅) = (0g𝑅)
18 eqid 2731 . . . . . 6 (1r𝑅) = (1r𝑅)
196, 16, 17, 18, 2, 7, 10mpl1 21791 . . . . 5 (𝜑 → (1r𝑃) = (𝑑 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅))))
2019coeq2d 5862 . . . 4 (𝜑 → (𝐻 ∘ (1r𝑃)) = (𝐻 ∘ (𝑑 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅)))))
21 eqid 2731 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
22 eqid 2731 . . . . . . 7 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
2321, 22rhmf 20377 . . . . . 6 (𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐻:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆))
248, 23syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐻:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆))
2521, 18ringidcl 20155 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
2610, 25syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
2721, 17ring0cl 20156 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
2810, 27syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
2926, 28ifcld 4574 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
3029adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑑 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
3124, 30cofmpt 7132 . . . 4 (𝜑 → (𝐻 ∘ (𝑑 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅)))) = (𝑑 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝐻‘if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅)))))
32 fvif 6907 . . . . . 6 (𝐻‘if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅))) = if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (𝐻‘(1r𝑅)), (𝐻‘(0g𝑅)))
33 eqid 2731 . . . . . . . . 9 (1r𝑆) = (1r𝑆)
3418, 33rhm1 20381 . . . . . . . 8 (𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐻‘(1r𝑅)) = (1r𝑆))
358, 34syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐻‘(1r𝑅)) = (1r𝑆))
36 rhmghm 20376 . . . . . . . 8 (𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐻 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
37 eqid 2731 . . . . . . . . 9 (0g𝑆) = (0g𝑆)
3817, 37ghmid 19137 . . . . . . . 8 (𝐻 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → (𝐻‘(0g𝑅)) = (0g𝑆))
398, 36, 383syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐻‘(0g𝑅)) = (0g𝑆))
4035, 39ifeq12d 4549 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (𝐻‘(1r𝑅)), (𝐻‘(0g𝑅))) = if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r𝑆), (0g𝑆)))
4132, 40eqtrid 2783 . . . . 5 (𝜑 → (𝐻‘if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅))) = if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r𝑆), (0g𝑆)))
4241mpteq2dv 5250 . . . 4 (𝜑 → (𝑑 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝐻‘if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅)))) = (𝑑 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r𝑆), (0g𝑆))))
4320, 31, 423eqtrd 2775 . . 3 (𝜑 → (𝐻 ∘ (1r𝑃)) = (𝑑 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r𝑆), (0g𝑆))))
44 rhmmpl.f . . . 4 𝐹 = (𝑝𝐵 ↦ (𝐻𝑝))
45 coeq2 5858 . . . 4 (𝑝 = (1r𝑃) → (𝐻𝑝) = (𝐻 ∘ (1r𝑃)))
461, 2ringidcl 20155 . . . . 5 (𝑃 ∈ Ring → (1r𝑃) ∈ 𝐵)
4711, 46syl 17 . . . 4 (𝜑 → (1r𝑃) ∈ 𝐵)
488, 47coexd 41355 . . . 4 (𝜑 → (𝐻 ∘ (1r𝑃)) ∈ V)
4944, 45, 47, 48fvmptd3 7021 . . 3 (𝜑 → (𝐹‘(1r𝑃)) = (𝐻 ∘ (1r𝑃)))
5012, 16, 37, 33, 3, 7, 14mpl1 21791 . . 3 (𝜑 → (1r𝑄) = (𝑑 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r𝑆), (0g𝑆))))
5143, 49, 503eqtr4d 2781 . 2 (𝜑 → (𝐹‘(1r𝑃)) = (1r𝑄))
52 eqid 2731 . . . 4 (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
537adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝐼𝑉)
548adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
55 simprl 768 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑥𝐵)
56 simprr 770 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑦𝐵)
576, 12, 1, 52, 4, 5, 53, 54, 55, 56rhmcomulmpl 41427 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐻 ∘ (𝑥(.r𝑃)𝑦)) = ((𝐻𝑥)(.r𝑄)(𝐻𝑦)))
58 coeq2 5858 . . . 4 (𝑝 = (𝑥(.r𝑃)𝑦) → (𝐻𝑝) = (𝐻 ∘ (𝑥(.r𝑃)𝑦)))
5911adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑃 ∈ Ring)
601, 4, 59, 55, 56ringcld 20152 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝑃)𝑦) ∈ 𝐵)
61 ovexd 7447 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝑃)𝑦) ∈ V)
6254, 61coexd 41355 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐻 ∘ (𝑥(.r𝑃)𝑦)) ∈ V)
6344, 58, 60, 62fvmptd3 7021 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐹‘(𝑥(.r𝑃)𝑦)) = (𝐻 ∘ (𝑥(.r𝑃)𝑦)))
64 coeq2 5858 . . . . 5 (𝑝 = 𝑥 → (𝐻𝑝) = (𝐻𝑥))
6554, 55coexd 41355 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐻𝑥) ∈ V)
6644, 64, 55, 65fvmptd3 7021 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐹𝑥) = (𝐻𝑥))
67 coeq2 5858 . . . . 5 (𝑝 = 𝑦 → (𝐻𝑝) = (𝐻𝑦))
6854, 56coexd 41355 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐻𝑦) ∈ V)
6944, 67, 56, 68fvmptd3 7021 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐹𝑦) = (𝐻𝑦))
7066, 69oveq12d 7430 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝐹𝑥)(.r𝑄)(𝐹𝑦)) = ((𝐻𝑥)(.r𝑄)(𝐻𝑦)))
7157, 63, 703eqtr4d 2781 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐹‘(𝑥(.r𝑃)𝑦)) = ((𝐹𝑥)(.r𝑄)(𝐹𝑦)))
72 eqid 2731 . 2 (+g𝑃) = (+g𝑃)
73 eqid 2731 . 2 (+g𝑄) = (+g𝑄)
747adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑝𝐵) → 𝐼𝑉)
75 ghmmhm 19141 . . . . . 6 (𝐻 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → 𝐻 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
768, 36, 753syl 18 . . . . 5 (𝜑𝐻 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
7776adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑝𝐵) → 𝐻 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
78 simpr 484 . . . 4 ((𝜑𝑝𝐵) → 𝑝𝐵)
796, 12, 1, 52, 74, 77, 78mhmcompl 41423 . . 3 ((𝜑𝑝𝐵) → (𝐻𝑝) ∈ (Base‘𝑄))
8079, 44fmptd 7115 . 2 (𝜑𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑄))
8176adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝐻 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
826, 12, 1, 52, 72, 73, 53, 81, 55, 56mhmcoaddmpl 41426 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐻 ∘ (𝑥(+g𝑃)𝑦)) = ((𝐻𝑥)(+g𝑄)(𝐻𝑦)))
83 coeq2 5858 . . . 4 (𝑝 = (𝑥(+g𝑃)𝑦) → (𝐻𝑝) = (𝐻 ∘ (𝑥(+g𝑃)𝑦)))
8411ringgrpd 20137 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ Grp)
8584adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑃 ∈ Grp)
861, 72, 85, 55, 56grpcld 18870 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝑃)𝑦) ∈ 𝐵)
87 ovexd 7447 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝑃)𝑦) ∈ V)
8854, 87coexd 41355 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐻 ∘ (𝑥(+g𝑃)𝑦)) ∈ V)
8944, 83, 86, 88fvmptd3 7021 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐹‘(𝑥(+g𝑃)𝑦)) = (𝐻 ∘ (𝑥(+g𝑃)𝑦)))
9066, 69oveq12d 7430 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝐹𝑥)(+g𝑄)(𝐹𝑦)) = ((𝐻𝑥)(+g𝑄)(𝐻𝑦)))
9182, 89, 903eqtr4d 2781 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐹‘(𝑥(+g𝑃)𝑦)) = ((𝐹𝑥)(+g𝑄)(𝐹𝑦)))
921, 2, 3, 4, 5, 11, 15, 51, 71, 52, 72, 73, 80, 91isrhmd 20380 1 (𝜑𝐹 ∈ (𝑃 RingHom 𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  {crab 3431  Vcvv 3473  ifcif 4528  {csn 4628  cmpt 5231   × cxp 5674  ccnv 5675  cima 5679  ccom 5680  wf 6539  cfv 6543  (class class class)co 7412  m cmap 8824  Fincfn 8943  0cc0 11114  cn 12217  0cn0 12477  Basecbs 17149  +gcplusg 17202  .rcmulr 17203  0gc0g 17390   MndHom cmhm 18704  Grpcgrp 18856   GrpHom cghm 19128  1rcur 20076  Ringcrg 20128   RingHom crh 20361   mPoly cmpl 21679
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-ofr 7675  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-sup 9441  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-hash 14296  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-hom 17226  df-cco 17227  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-prds 17398  df-pws 17400  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-mhm 18706  df-submnd 18707  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-mulg 18988  df-subg 19040  df-ghm 19129  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-rhm 20364  df-subrng 20435  df-subrg 20460  df-psr 21682  df-mpl 21684
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator