MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rhmmpl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rhmmpl 22403
Description: Provide a ring homomorphism between two polynomial algebras over their respective base rings given a ring homomorphism between the two base rings. Compare pwsco2rhm 20520. (Contributed by SN, 8-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
rhmmpl.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
rhmmpl.q 𝑄 = (𝐼 mPoly 𝑆)
rhmmpl.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
rhmmpl.f 𝐹 = (𝑝𝐵 ↦ (𝐻𝑝))
rhmmpl.i (𝜑𝐼𝑉)
rhmmpl.h (𝜑𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
Assertion
Ref Expression
rhmmpl (𝜑𝐹 ∈ (𝑃 RingHom 𝑄))
Distinct variable groups:   𝑃,𝑝   𝐻,𝑝   𝑄,𝑝   𝐵,𝑝   𝜑,𝑝
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑝)   𝑆(𝑝)   𝐹(𝑝)   𝐼(𝑝)   𝑉(𝑝)

Proof of Theorem rhmmpl
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑑 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rhmmpl.b . 2 𝐵 = (Base‘𝑃)
2 eqid 2735 . 2 (1r𝑃) = (1r𝑃)
3 eqid 2735 . 2 (1r𝑄) = (1r𝑄)
4 eqid 2735 . 2 (.r𝑃) = (.r𝑃)
5 eqid 2735 . 2 (.r𝑄) = (.r𝑄)
6 rhmmpl.p . . 3 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
7 rhmmpl.i . . 3 (𝜑𝐼𝑉)
8 rhmmpl.h . . . 4 (𝜑𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
9 rhmrcl1 20493 . . . 4 (𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
108, 9syl 17 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
116, 7, 10mplringd 22061 . 2 (𝜑𝑃 ∈ Ring)
12 rhmmpl.q . . 3 𝑄 = (𝐼 mPoly 𝑆)
13 rhmrcl2 20494 . . . 4 (𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑆 ∈ Ring)
148, 13syl 17 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ Ring)
1512, 7, 14mplringd 22061 . 2 (𝜑𝑄 ∈ Ring)
16 eqid 2735 . . . . . 6 {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
17 eqid 2735 . . . . . 6 (0g𝑅) = (0g𝑅)
18 eqid 2735 . . . . . 6 (1r𝑅) = (1r𝑅)
196, 16, 17, 18, 2, 7, 10mpl1 22050 . . . . 5 (𝜑 → (1r𝑃) = (𝑑 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅))))
2019coeq2d 5876 . . . 4 (𝜑 → (𝐻 ∘ (1r𝑃)) = (𝐻 ∘ (𝑑 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅)))))
21 eqid 2735 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
22 eqid 2735 . . . . . . 7 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
2321, 22rhmf 20502 . . . . . 6 (𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐻:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆))
248, 23syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐻:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆))
2521, 18ringidcl 20280 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
2610, 25syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
2721, 17ring0cl 20281 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
2810, 27syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
2926, 28ifcld 4577 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
3029adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑑 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
3124, 30cofmpt 7152 . . . 4 (𝜑 → (𝐻 ∘ (𝑑 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅)))) = (𝑑 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝐻‘if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅)))))
32 fvif 6923 . . . . . 6 (𝐻‘if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅))) = if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (𝐻‘(1r𝑅)), (𝐻‘(0g𝑅)))
33 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (1r𝑆) = (1r𝑆)
3418, 33rhm1 20506 . . . . . . . 8 (𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐻‘(1r𝑅)) = (1r𝑆))
358, 34syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐻‘(1r𝑅)) = (1r𝑆))
36 rhmghm 20501 . . . . . . . 8 (𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐻 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
37 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (0g𝑆) = (0g𝑆)
3817, 37ghmid 19253 . . . . . . . 8 (𝐻 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → (𝐻‘(0g𝑅)) = (0g𝑆))
398, 36, 383syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐻‘(0g𝑅)) = (0g𝑆))
4035, 39ifeq12d 4552 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (𝐻‘(1r𝑅)), (𝐻‘(0g𝑅))) = if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r𝑆), (0g𝑆)))
4132, 40eqtrid 2787 . . . . 5 (𝜑 → (𝐻‘if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅))) = if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r𝑆), (0g𝑆)))
4241mpteq2dv 5250 . . . 4 (𝜑 → (𝑑 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝐻‘if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅)))) = (𝑑 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r𝑆), (0g𝑆))))
4320, 31, 423eqtrd 2779 . . 3 (𝜑 → (𝐻 ∘ (1r𝑃)) = (𝑑 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r𝑆), (0g𝑆))))
44 rhmmpl.f . . . 4 𝐹 = (𝑝𝐵 ↦ (𝐻𝑝))
45 coeq2 5872 . . . 4 (𝑝 = (1r𝑃) → (𝐻𝑝) = (𝐻 ∘ (1r𝑃)))
461, 2ringidcl 20280 . . . . 5 (𝑃 ∈ Ring → (1r𝑃) ∈ 𝐵)
4711, 46syl 17 . . . 4 (𝜑 → (1r𝑃) ∈ 𝐵)
488, 47coexd 7954 . . . 4 (𝜑 → (𝐻 ∘ (1r𝑃)) ∈ V)
4944, 45, 47, 48fvmptd3 7039 . . 3 (𝜑 → (𝐹‘(1r𝑃)) = (𝐻 ∘ (1r𝑃)))
5012, 16, 37, 33, 3, 7, 14mpl1 22050 . . 3 (𝜑 → (1r𝑄) = (𝑑 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r𝑆), (0g𝑆))))
5143, 49, 503eqtr4d 2785 . 2 (𝜑 → (𝐹‘(1r𝑃)) = (1r𝑄))
52 eqid 2735 . . . 4 (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
538adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
54 simprl 771 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑥𝐵)
55 simprr 773 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑦𝐵)
566, 12, 1, 52, 4, 5, 53, 54, 55rhmcomulmpl 22402 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐻 ∘ (𝑥(.r𝑃)𝑦)) = ((𝐻𝑥)(.r𝑄)(𝐻𝑦)))
57 coeq2 5872 . . . 4 (𝑝 = (𝑥(.r𝑃)𝑦) → (𝐻𝑝) = (𝐻 ∘ (𝑥(.r𝑃)𝑦)))
5811adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑃 ∈ Ring)
591, 4, 58, 54, 55ringcld 20277 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝑃)𝑦) ∈ 𝐵)
60 ovexd 7466 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝑃)𝑦) ∈ V)
6153, 60coexd 7954 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐻 ∘ (𝑥(.r𝑃)𝑦)) ∈ V)
6244, 57, 59, 61fvmptd3 7039 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐹‘(𝑥(.r𝑃)𝑦)) = (𝐻 ∘ (𝑥(.r𝑃)𝑦)))
63 coeq2 5872 . . . . 5 (𝑝 = 𝑥 → (𝐻𝑝) = (𝐻𝑥))
6453, 54coexd 7954 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐻𝑥) ∈ V)
6544, 63, 54, 64fvmptd3 7039 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐹𝑥) = (𝐻𝑥))
66 coeq2 5872 . . . . 5 (𝑝 = 𝑦 → (𝐻𝑝) = (𝐻𝑦))
6753, 55coexd 7954 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐻𝑦) ∈ V)
6844, 66, 55, 67fvmptd3 7039 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐹𝑦) = (𝐻𝑦))
6965, 68oveq12d 7449 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝐹𝑥)(.r𝑄)(𝐹𝑦)) = ((𝐻𝑥)(.r𝑄)(𝐻𝑦)))
7056, 62, 693eqtr4d 2785 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐹‘(𝑥(.r𝑃)𝑦)) = ((𝐹𝑥)(.r𝑄)(𝐹𝑦)))
71 eqid 2735 . 2 (+g𝑃) = (+g𝑃)
72 eqid 2735 . 2 (+g𝑄) = (+g𝑄)
73 ghmmhm 19257 . . . . . 6 (𝐻 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → 𝐻 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
748, 36, 733syl 18 . . . . 5 (𝜑𝐻 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
7574adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑝𝐵) → 𝐻 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
76 simpr 484 . . . 4 ((𝜑𝑝𝐵) → 𝑝𝐵)
776, 12, 1, 52, 75, 76mhmcompl 22400 . . 3 ((𝜑𝑝𝐵) → (𝐻𝑝) ∈ (Base‘𝑄))
7877, 44fmptd 7134 . 2 (𝜑𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑄))
7953, 36, 733syl 18 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝐻 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
806, 12, 1, 52, 71, 72, 79, 54, 55mhmcoaddmpl 22401 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐻 ∘ (𝑥(+g𝑃)𝑦)) = ((𝐻𝑥)(+g𝑄)(𝐻𝑦)))
81 coeq2 5872 . . . 4 (𝑝 = (𝑥(+g𝑃)𝑦) → (𝐻𝑝) = (𝐻 ∘ (𝑥(+g𝑃)𝑦)))
8211ringgrpd 20260 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ Grp)
8382adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑃 ∈ Grp)
841, 71, 83, 54, 55grpcld 18978 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝑃)𝑦) ∈ 𝐵)
85 ovexd 7466 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝑃)𝑦) ∈ V)
8653, 85coexd 7954 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐻 ∘ (𝑥(+g𝑃)𝑦)) ∈ V)
8744, 81, 84, 86fvmptd3 7039 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐹‘(𝑥(+g𝑃)𝑦)) = (𝐻 ∘ (𝑥(+g𝑃)𝑦)))
8865, 68oveq12d 7449 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝐹𝑥)(+g𝑄)(𝐹𝑦)) = ((𝐻𝑥)(+g𝑄)(𝐻𝑦)))
8980, 87, 883eqtr4d 2785 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐹‘(𝑥(+g𝑃)𝑦)) = ((𝐹𝑥)(+g𝑄)(𝐹𝑦)))
901, 2, 3, 4, 5, 11, 15, 51, 70, 52, 71, 72, 78, 89isrhmd 20505 1 (𝜑𝐹 ∈ (𝑃 RingHom 𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  {crab 3433  Vcvv 3478  ifcif 4531  {csn 4631  cmpt 5231   × cxp 5687  ccnv 5688  cima 5692  ccom 5693  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  m cmap 8865  Fincfn 8984  0cc0 11153  cn 12264  0cn0 12524  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  .rcmulr 17299  0gc0g 17486   MndHom cmhm 18807  Grpcgrp 18964   GrpHom cghm 19243  1rcur 20199  Ringcrg 20251   RingHom crh 20486   mPoly cmpl 21944
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-rhm 20489  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-psr 21947  df-mpl 21949
This theorem is referenced by:  rhmply1  22406
  Copyright terms: Public domain W3C validator