Theorem rhmmpl 22450

Description: Provide a ring homomorphism between two polynomial algebras over their respective base rings given a ring homomorphism between the two base rings. Compare pwsco2rhm 20562. (Contributed by SN, 8-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmmpl.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
rhmmpl.q	⊢ 𝑄 = (𝐼 mPoly 𝑆)
rhmmpl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
rhmmpl.f	⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝐵 ↦ (𝐻 ∘ 𝑝))
rhmmpl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
rhmmpl.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))

Assertion

Ref	Expression
rhmmpl	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 RingHom 𝑄))

Distinct variable groups:   𝑃,𝑝   𝐻,𝑝   𝑄,𝑝   𝐵,𝑝   𝜑,𝑝

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑝)   𝑆(𝑝)   𝐹(𝑝)   𝐼(𝑝)   𝑉(𝑝)

Proof of Theorem rhmmpl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑑 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmmpl.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
2		eqid 2763	. 2 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
3		eqid 2763	. 2 ⊢ (1r‘𝑄) = (1r‘𝑄)
4		eqid 2763	. 2 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
5		eqid 2763	. 2 ⊢ (.r‘𝑄) = (.r‘𝑄)
6		rhmmpl.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
7		rhmmpl.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
8		rhmmpl.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
9		rhmrcl1 20535	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
11	6, 7, 10	mplringd 22081	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
12		rhmmpl.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝐼 mPoly 𝑆)
13		rhmrcl2 20536	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑆 ∈ Ring)
14	8, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
15	12, 7, 14	mplringd 22081	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Ring)
16		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
17		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
18		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
19	6, 16, 17, 18, 2, 7, 10	mpl1 22070	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑃) = (𝑑 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
20	19	coeq2d 5835	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ (1r‘𝑃)) = (𝐻 ∘ (𝑑 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))))
21		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
22		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
23	21, 22	rhmf 20543	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐻:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆))
24	8, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆))
25	21, 18	ringidcl 20325	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
26	10, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
27	21, 17	ring0cl 20327	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
28	10, 27	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
29	26, 28	ifcld 4528	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
30	29	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
31	24, 30	cofmpt 7114	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ (𝑑 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))) = (𝑑 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝐻‘if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))))
32		fvif 6883	. . . . . 6 ⊢ (𝐻‘if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) = if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (𝐻‘(1r‘𝑅)), (𝐻‘(0g‘𝑅)))
33		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
34	18, 33	rhm1 20548	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐻‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑆))
35	8, 34	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑆))
36		rhmghm 20542	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐻 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
37		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
38	17, 37	ghmid 19272	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → (𝐻‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑆))
39	8, 36, 38	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑆))
40	35, 39	ifeq12d 4503	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (𝐻‘(1r‘𝑅)), (𝐻‘(0g‘𝑅))) = if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑆), (0g‘𝑆)))
41	32, 40	eqtrid 2810	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) = if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑆), (0g‘𝑆)))
42	41	mpteq2dv 5195	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑑 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝐻‘if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))) = (𝑑 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑆), (0g‘𝑆))))
43	20, 31, 42	3eqtrd 2802	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ (1r‘𝑃)) = (𝑑 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑆), (0g‘𝑆))))
44		rhmmpl.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝐵 ↦ (𝐻 ∘ 𝑝))
45		coeq2 5831	. . . 4 ⊢ (𝑝 = (1r‘𝑃) → (𝐻 ∘ 𝑝) = (𝐻 ∘ (1r‘𝑃)))
46	1, 2	ringidcl 20325	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (1r‘𝑃) ∈ 𝐵)
47	11, 46	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑃) ∈ 𝐵)
48	8, 47	coexd 7912	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ (1r‘𝑃)) ∈ V)
49	44, 45, 47, 48	fvmptd3 6999	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(1r‘𝑃)) = (𝐻 ∘ (1r‘𝑃)))
50	12, 16, 37, 33, 3, 7, 14	mpl1 22070	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑄) = (𝑑 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑆), (0g‘𝑆))))
51	43, 49, 50	3eqtr4d 2808	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(1r‘𝑃)) = (1r‘𝑄))
52		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
53	8	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
54		simprl 780	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
55		simprr 782	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
56	6, 12, 1, 52, 4, 5, 53, 54, 55	rhmcomulmpl 22184	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐻 ∘ (𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) = ((𝐻 ∘ 𝑥)(.r‘𝑄)(𝐻 ∘ 𝑦)))
57		coeq2 5831	. . . 4 ⊢ (𝑝 = (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) → (𝐻 ∘ 𝑝) = (𝐻 ∘ (𝑥(.r‘𝑃)𝑦)))
58	11	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑃 ∈ Ring)
59	1, 4, 58, 54, 55	ringcld 20320	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ 𝐵)
60		ovexd 7431	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ V)
61	53, 60	coexd 7912	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐻 ∘ (𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) ∈ V)
62	44, 57, 59, 61	fvmptd3 6999	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) = (𝐻 ∘ (𝑥(.r‘𝑃)𝑦)))
63		coeq2 5831	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑥 → (𝐻 ∘ 𝑝) = (𝐻 ∘ 𝑥))
64	53, 54	coexd 7912	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐻 ∘ 𝑥) ∈ V)
65	44, 63, 54, 64	fvmptd3 6999	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑥) = (𝐻 ∘ 𝑥))
66		coeq2 5831	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑦 → (𝐻 ∘ 𝑝) = (𝐻 ∘ 𝑦))
67	53, 55	coexd 7912	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐻 ∘ 𝑦) ∈ V)
68	44, 66, 55, 67	fvmptd3 6999	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑦) = (𝐻 ∘ 𝑦))
69	65, 68	oveq12d 7414	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑥)(.r‘𝑄)(𝐹‘𝑦)) = ((𝐻 ∘ 𝑥)(.r‘𝑄)(𝐻 ∘ 𝑦)))
70	56, 62, 69	3eqtr4d 2808	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(.r‘𝑄)(𝐹‘𝑦)))
71		eqid 2763	. 2 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
72		eqid 2763	. 2 ⊢ (+g‘𝑄) = (+g‘𝑄)
73		ghmmhm 19276	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → 𝐻 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
74	8, 36, 73	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
75	74	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐻 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
76		simpr 488	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑝 ∈ 𝐵)
77	6, 12, 1, 52, 75, 76	mhmcompl 22181	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝐻 ∘ 𝑝) ∈ (Base‘𝑄))
78	77, 44	fmptd 7095	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑄))
79	53, 36, 73	3syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝐻 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
80	6, 12, 1, 52, 71, 72, 79, 54, 55	mhmcoaddmpl 22183	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐻 ∘ (𝑥(+g‘𝑃)𝑦)) = ((𝐻 ∘ 𝑥)(+g‘𝑄)(𝐻 ∘ 𝑦)))
81		coeq2 5831	. . . 4 ⊢ (𝑝 = (𝑥(+g‘𝑃)𝑦) → (𝐻 ∘ 𝑝) = (𝐻 ∘ (𝑥(+g‘𝑃)𝑦)))
82	11	ringgrpd 20302	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
83	82	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑃 ∈ Grp)
84	1, 71, 83, 54, 55	grpcld 18999	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝑃)𝑦) ∈ 𝐵)
85		ovexd 7431	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝑃)𝑦) ∈ V)
86	53, 85	coexd 7912	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐻 ∘ (𝑥(+g‘𝑃)𝑦)) ∈ V)
87	44, 81, 84, 86	fvmptd3 6999	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑃)𝑦)) = (𝐻 ∘ (𝑥(+g‘𝑃)𝑦)))
88	65, 68	oveq12d 7414	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑄)(𝐹‘𝑦)) = ((𝐻 ∘ 𝑥)(+g‘𝑄)(𝐻 ∘ 𝑦)))
89	80, 87, 88	3eqtr4d 2808	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑃)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑄)(𝐹‘𝑦)))
90	1, 2, 3, 4, 5, 11, 15, 51, 70, 52, 71, 72, 78, 89	isrhmd 20547	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 RingHom 𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  {crab 3415  Vcvv 3455  ifcif 4481  {csn 4583   ↦ cmpt 5182   × cxp 5646  ^◡ccnv 5647   “ cima 5651   ∘ ccom 5652  ⟶wf 6517  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396   ↑_m cmap 8808  Fincfn 8927  0cc0 11084  ℕcn 12220  ℕ₀cn0 12491  Basecbs 17255  +_gcplusg 17296  ._rcmulr 17297  0_gc0g 17478   MndHom cmhm 18825  Grpcgrp 18985   GrpHom cghm 19263  1_rcur 20241  Ringcrg 20293   RingHom crh 20528   mPoly cmpl 21965

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718  ax-cnex 11140  ax-resscn 11141  ax-1cn 11142  ax-icn 11143  ax-addcl 11144  ax-addrcl 11145  ax-mulcl 11146  ax-mulrcl 11147  ax-mulcom 11148  ax-addass 11149  ax-mulass 11150  ax-distr 11151  ax-i2m1 11152  ax-1ne0 11153  ax-1rid 11154  ax-rnegex 11155  ax-rrecex 11156  ax-cnre 11157  ax-pre-lttri 11158  ax-pre-lttrn 11159  ax-pre-ltadd 11160  ax-pre-mulgt0 11161

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7660  df-ofr 7661  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8141  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8678  df-map 8810  df-pm 8811  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9306  df-sup 9386  df-oi 9456  df-card 9909  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11427  df-neg 11428  df-nn 12221  df-2 12290  df-3 12291  df-4 12292  df-5 12293  df-6 12294  df-7 12295  df-8 12296  df-9 12297  df-n0 12492  df-z 12579  df-dec 12699  df-uz 12850  df-fz 13523  df-fzo 13670  df-seq 14025  df-hash 14354  df-struct 17193  df-sets 17210  df-slot 17228  df-ndx 17240  df-base 17256  df-ress 17277  df-plusg 17309  df-mulr 17310  df-sca 17312  df-vsca 17313  df-ip 17314  df-tset 17315  df-ple 17316  df-ds 17318  df-hom 17320  df-cco 17321  df-0g 17480  df-gsum 17481  df-prds 17486  df-pws 17488  df-mre 17624  df-mrc 17625  df-acs 17627  df-mgm 18684  df-sgrp 18763  df-mnd 18779  df-mhm 18827  df-submnd 18828  df-grp 18988  df-minusg 18989  df-mulg 19120  df-subg 19175  df-ghm 19264  df-cntz 19367  df-cmn 19832  df-abl 19833  df-mgp 20197  df-rng 20209  df-ur 20242  df-ring 20295  df-rhm 20531  df-subrng 20606  df-subrg 20630  df-psr 21968  df-mpl 21970

This theorem is referenced by:  rhmply1  22453