Theorem xppss12 42347

Description: Proper subset theorem for Cartesian product. (Contributed by Steven Nguyen, 17-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
xppss12	⊢ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐷) → (𝐴 × 𝐶) ⊊ (𝐵 × 𝐷))

Proof of Theorem xppss12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pssss 4047	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊊ 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2		pssss 4047	. . 3 ⊢ (𝐶 ⊊ 𝐷 → 𝐶 ⊆ 𝐷)
3		xpss12 5634	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐷) → (𝐴 × 𝐶) ⊆ (𝐵 × 𝐷))
4	1, 2, 3	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐷) → (𝐴 × 𝐶) ⊆ (𝐵 × 𝐷))
5		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐷) → 𝐴 ⊊ 𝐵)
6		pssne 4048	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊊ 𝐵 → 𝐴 ≠ 𝐵)
7	6	necomd 2984	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊊ 𝐵 → 𝐵 ≠ 𝐴)
8		neneq 2935	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐴 → ¬ 𝐵 = 𝐴)
9	8	intnanrd 489	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐴 → ¬ (𝐵 = 𝐴 ∧ 𝐷 = 𝐶))
10	5, 7, 9	3syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐷) → ¬ (𝐵 = 𝐴 ∧ 𝐷 = 𝐶))
11		pssn0 42345	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊊ 𝐵 → 𝐵 ≠ ∅)
12		pssn0 42345	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ⊊ 𝐷 → 𝐷 ≠ ∅)
13		xp11 6127	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ≠ ∅) → ((𝐵 × 𝐷) = (𝐴 × 𝐶) ↔ (𝐵 = 𝐴 ∧ 𝐷 = 𝐶)))
14	11, 12, 13	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐷) → ((𝐵 × 𝐷) = (𝐴 × 𝐶) ↔ (𝐵 = 𝐴 ∧ 𝐷 = 𝐶)))
15	10, 14	mtbird 325	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐷) → ¬ (𝐵 × 𝐷) = (𝐴 × 𝐶))
16		neqne 2937	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐵 × 𝐷) = (𝐴 × 𝐶) → (𝐵 × 𝐷) ≠ (𝐴 × 𝐶))
17	16	necomd 2984	. . 3 ⊢ (¬ (𝐵 × 𝐷) = (𝐴 × 𝐶) → (𝐴 × 𝐶) ≠ (𝐵 × 𝐷))
18	15, 17	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐷) → (𝐴 × 𝐶) ≠ (𝐵 × 𝐷))
19		df-pss 3918	. 2 ⊢ ((𝐴 × 𝐶) ⊊ (𝐵 × 𝐷) ↔ ((𝐴 × 𝐶) ⊆ (𝐵 × 𝐷) ∧ (𝐴 × 𝐶) ≠ (𝐵 × 𝐷)))
20	4, 18, 19	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐷) → (𝐴 × 𝐶) ⊊ (𝐵 × 𝐷))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ≠ wne 2929   ⊆ wss 3898   ⊊ wpss 3899  ∅c0 4282   × cxp 5617

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-11 2162  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pr 5372

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-dif 3901  df-un 3903  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-br 5094  df-opab 5156  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-dm 5629  df-rn 5630

This theorem is referenced by: (None)