Theorem xppss12 42595

Description: Proper subset theorem for Cartesian product. (Contributed by Steven Nguyen, 17-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
xppss12	⊢ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐷) → (𝐴 × 𝐶) ⊊ (𝐵 × 𝐷))

Proof of Theorem xppss12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pssss 4052	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊊ 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2		pssss 4052	. . 3 ⊢ (𝐶 ⊊ 𝐷 → 𝐶 ⊆ 𝐷)
3		xpss12 5647	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐷) → (𝐴 × 𝐶) ⊆ (𝐵 × 𝐷))
4	1, 2, 3	syl2an 597	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐷) → (𝐴 × 𝐶) ⊆ (𝐵 × 𝐷))
5		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐷) → 𝐴 ⊊ 𝐵)
6		pssne 4053	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊊ 𝐵 → 𝐴 ≠ 𝐵)
7	6	necomd 2988	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊊ 𝐵 → 𝐵 ≠ 𝐴)
8		neneq 2939	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐴 → ¬ 𝐵 = 𝐴)
9	8	intnanrd 489	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐴 → ¬ (𝐵 = 𝐴 ∧ 𝐷 = 𝐶))
10	5, 7, 9	3syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐷) → ¬ (𝐵 = 𝐴 ∧ 𝐷 = 𝐶))
11		pssn0 42593	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊊ 𝐵 → 𝐵 ≠ ∅)
12		pssn0 42593	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ⊊ 𝐷 → 𝐷 ≠ ∅)
13		xp11 6141	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ≠ ∅) → ((𝐵 × 𝐷) = (𝐴 × 𝐶) ↔ (𝐵 = 𝐴 ∧ 𝐷 = 𝐶)))
14	11, 12, 13	syl2an 597	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐷) → ((𝐵 × 𝐷) = (𝐴 × 𝐶) ↔ (𝐵 = 𝐴 ∧ 𝐷 = 𝐶)))
15	10, 14	mtbird 325	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐷) → ¬ (𝐵 × 𝐷) = (𝐴 × 𝐶))
16		neqne 2941	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐵 × 𝐷) = (𝐴 × 𝐶) → (𝐵 × 𝐷) ≠ (𝐴 × 𝐶))
17	16	necomd 2988	. . 3 ⊢ (¬ (𝐵 × 𝐷) = (𝐴 × 𝐶) → (𝐴 × 𝐶) ≠ (𝐵 × 𝐷))
18	15, 17	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐷) → (𝐴 × 𝐶) ≠ (𝐵 × 𝐷))
19		df-pss 3923	. 2 ⊢ ((𝐴 × 𝐶) ⊊ (𝐵 × 𝐷) ↔ ((𝐴 × 𝐶) ⊆ (𝐵 × 𝐷) ∧ (𝐴 × 𝐶) ≠ (𝐵 × 𝐷)))
20	4, 18, 19	sylanbrc 584	1 ⊢ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐷) → (𝐴 × 𝐶) ⊊ (𝐵 × 𝐷))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ≠ wne 2933   ⊆ wss 3903   ⊊ wpss 3904  ∅c0 4287   × cxp 5630

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-11 2163  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-br 5101  df-opab 5163  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-dm 5642  df-rn 5643

This theorem is referenced by: (None)