Theorem xppss12 43107

Description: Proper subset theorem for Cartesian product. (Contributed by Steven Nguyen, 17-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
xppss12	⊢ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐷) → (𝐴 × 𝐶) ⊊ (𝐵 × 𝐷))

Proof of Theorem xppss12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pssss 4049	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊊ 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2		pssss 4049	. . 3 ⊢ (𝐶 ⊊ 𝐷 → 𝐶 ⊆ 𝐷)
3		xpss12 5674	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐷) → (𝐴 × 𝐶) ⊆ (𝐵 × 𝐷))
4	1, 2, 3	syl2an 608	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐷) → (𝐴 × 𝐶) ⊆ (𝐵 × 𝐷))
5		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐷) → 𝐴 ⊊ 𝐵)
6		pssne 4050	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊊ 𝐵 → 𝐴 ≠ 𝐵)
7	6	necomd 3012	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊊ 𝐵 → 𝐵 ≠ 𝐴)
8		neneq 2963	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐴 → ¬ 𝐵 = 𝐴)
9	8	intnanrd 495	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐴 → ¬ (𝐵 = 𝐴 ∧ 𝐷 = 𝐶))
10	5, 7, 9	3syl 19	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐷) → ¬ (𝐵 = 𝐴 ∧ 𝐷 = 𝐶))
11		pssn0 43105	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊊ 𝐵 → 𝐵 ≠ ∅)
12		pssn0 43105	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ⊊ 𝐷 → 𝐷 ≠ ∅)
13		xp11 6172	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ≠ ∅) → ((𝐵 × 𝐷) = (𝐴 × 𝐶) ↔ (𝐵 = 𝐴 ∧ 𝐷 = 𝐶)))
14	11, 12, 13	syl2an 608	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐷) → ((𝐵 × 𝐷) = (𝐴 × 𝐶) ↔ (𝐵 = 𝐴 ∧ 𝐷 = 𝐶)))
15	10, 14	mtbird 328	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐷) → ¬ (𝐵 × 𝐷) = (𝐴 × 𝐶))
16		neqne 2965	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐵 × 𝐷) = (𝐴 × 𝐶) → (𝐵 × 𝐷) ≠ (𝐴 × 𝐶))
17	16	necomd 3012	. . 3 ⊢ (¬ (𝐵 × 𝐷) = (𝐴 × 𝐶) → (𝐴 × 𝐶) ≠ (𝐵 × 𝐷))
18	15, 17	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐷) → (𝐴 × 𝐶) ≠ (𝐵 × 𝐷))
19		df-pss 3922	. 2 ⊢ ((𝐴 × 𝐶) ⊊ (𝐵 × 𝐷) ↔ ((𝐴 × 𝐶) ⊆ (𝐵 × 𝐷) ∧ (𝐴 × 𝐶) ≠ (𝐵 × 𝐷)))
20	4, 18, 19	sylanbrc 595	1 ⊢ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐷) → (𝐴 × 𝐶) ⊊ (𝐵 × 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ≠ wne 2957   ⊆ wss 3902   ⊊ wpss 3903  ∅c0 4282   × cxp 5657

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-br 5108  df-opab 5172  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-dm 5669  df-rn 5670

This theorem is used by: (None)