Theorem coexg 7920

Description: The composition of two sets is a set. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
coexg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∘ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem coexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cossxp 6272	. 2 ⊢ (𝐴 ∘ 𝐵) ⊆ (dom 𝐵 × ran 𝐴)
2		dmexg 7894	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → dom 𝐵 ∈ V)
3		rnexg 7895	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ran 𝐴 ∈ V)
4		xpexg 7737	. . 3 ⊢ ((dom 𝐵 ∈ V ∧ ran 𝐴 ∈ V) → (dom 𝐵 × ran 𝐴) ∈ V)
5	2, 3, 4	syl2anr 598	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (dom 𝐵 × ran 𝐴) ∈ V)
6		ssexg 5324	. 2 ⊢ (((𝐴 ∘ 𝐵) ⊆ (dom 𝐵 × ran 𝐴) ∧ (dom 𝐵 × ran 𝐴) ∈ V) → (𝐴 ∘ 𝐵) ∈ V)
7	1, 5, 6	sylancr 588	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∘ 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   ⊆ wss 3949   × cxp 5675  dom cdm 5677  ran crn 5678   ∘ ccom 5681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688

This theorem is referenced by:  coex  7921  suppco  8191  fsuppco2  9398  fsuppcor  9399  mapfienlem2  9401  wemapwe  9692  cofsmo  10264  relexpsucnnr  14972  supcvg  15802  imasle  17469  setcco  18033  estrcco  18081  pwsco1mhm  18713  pwsco2mhm  18714  efmndov  18762  efmndcl  18763  symgov  19251  symgcl  19252  gsumval3lem2  19774  gsumzf1o  19780  f1lindf  21377  evls1sca  21842  tngds  24164  tngdsOLD  24165  climcncf  24416  motplusg  27824  tocycfv  32299  smatfval  32806  eulerpartlemmf  33405  hgt750lemg  33697  cossex  37337  tgrpov  39667  erngmul  39725  erngmul-rN  39733  dvamulr  39931  dvavadd  39934  dvhmulr  40005  coexd  41096  mendmulr  41978  relexp0a  42515  choicefi  43947  climexp  44369  dvsinax  44677  stoweidlem27  44791  stoweidlem31  44795  stoweidlem59  44823  uspgrbisymrelALT  46581  rngccoALTV  46934  ringccoALTV  46997  itcoval1  47397  itcoval2  47398  itcoval3  47399  itcovalsucov  47402