Theorem coexg 7928

Description: The composition of two sets is a set. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
coexg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∘ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem coexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cossxp 6276	. 2 ⊢ (𝐴 ∘ 𝐵) ⊆ (dom 𝐵 × ran 𝐴)
2		dmexg 7900	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → dom 𝐵 ∈ V)
3		rnexg 7901	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ran 𝐴 ∈ V)
4		xpexg 7751	. . 3 ⊢ ((dom 𝐵 ∈ V ∧ ran 𝐴 ∈ V) → (dom 𝐵 × ran 𝐴) ∈ V)
5	2, 3, 4	syl2anr 609	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (dom 𝐵 × ran 𝐴) ∈ V)
6		ssexg 5292	. 2 ⊢ (((𝐴 ∘ 𝐵) ⊆ (dom 𝐵 × ran 𝐴) ∧ (dom 𝐵 × ran 𝐴) ∈ V) → (𝐴 ∘ 𝐵) ∈ V)
7	1, 5, 6	sylancr 599	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∘ 𝐵) ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457   ⊆ wss 3906   × cxp 5661  dom cdm 5663  ran crn 5664   ∘ ccom 5667

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674

This theorem is used by:  coex  7929  coexd  7930  suppco  8204  fsuppco2  9366  fsuppcor  9367  mapfienlem2  9369  wemapwe  9669  cofsmo  10264  relexpsucnnr  15081  supcvg  15928  imasle  17594  setcco  18157  estrcco  18203  pwsco1mhm  18914  pwsco2mhm  18915  efmndov  18963  efmndcl  18964  symgov  19477  symgcl  19478  gsumval3lem2  19999  gsumzf1o  20005  f1lindf  22001  evls1sca  22512  tngds  24834  climcncf  25088  motplusg  28840  tocycfv  33452  smatfval  34208  eulerpartlemmf  34789  hgt750lemg  35065  cossex  39191  tgrpov  41555  erngmul  41613  erngmul-rN  41621  dvamulr  41819  dvavadd  41822  dvhmulr  41893  mendmulr  43944  relexp0a  44475  choicefi  45950  climexp  46354  dvsinax  46660  stoweidlem27  46774  stoweidlem31  46778  stoweidlem59  46806  grimco  48687  uspgrbisymrelALT  48953  rngccoALTV  49069  ringccoALTV  49103  itcoval1  49476  itcoval2  49477  itcoval3  49478  itcovalsucov  49481