Theorem coexg 7969

Description: The composition of two sets is a set. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
coexg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∘ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem coexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cossxp 6303	. 2 ⊢ (𝐴 ∘ 𝐵) ⊆ (dom 𝐵 × ran 𝐴)
2		dmexg 7941	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → dom 𝐵 ∈ V)
3		rnexg 7942	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ran 𝐴 ∈ V)
4		xpexg 7785	. . 3 ⊢ ((dom 𝐵 ∈ V ∧ ran 𝐴 ∈ V) → (dom 𝐵 × ran 𝐴) ∈ V)
5	2, 3, 4	syl2anr 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (dom 𝐵 × ran 𝐴) ∈ V)
6		ssexg 5341	. 2 ⊢ (((𝐴 ∘ 𝐵) ⊆ (dom 𝐵 × ran 𝐴) ∧ (dom 𝐵 × ran 𝐴) ∈ V) → (𝐴 ∘ 𝐵) ∈ V)
7	1, 5, 6	sylancr 586	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∘ 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   ⊆ wss 3976   × cxp 5698  dom cdm 5700  ran crn 5701   ∘ ccom 5704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711

This theorem is referenced by:  coex  7970  coexd  7971  suppco  8247  fsuppco2  9472  fsuppcor  9473  mapfienlem2  9475  wemapwe  9766  cofsmo  10338  relexpsucnnr  15074  supcvg  15904  imasle  17583  setcco  18150  estrcco  18198  pwsco1mhm  18867  pwsco2mhm  18868  efmndov  18916  efmndcl  18917  symgov  19425  symgcl  19426  gsumval3lem2  19948  gsumzf1o  19954  f1lindf  21865  evls1sca  22348  tngds  24689  tngdsOLD  24690  climcncf  24945  motplusg  28568  tocycfv  33102  smatfval  33741  eulerpartlemmf  34340  hgt750lemg  34631  cossex  38375  tgrpov  40705  erngmul  40763  erngmul-rN  40771  dvamulr  40969  dvavadd  40972  dvhmulr  41043  mendmulr  43145  relexp0a  43678  choicefi  45107  climexp  45526  dvsinax  45834  stoweidlem27  45948  stoweidlem31  45952  stoweidlem59  45980  grimco  47764  uspgrbisymrelALT  47878  rngccoALTV  47994  ringccoALTV  48028  itcoval1  48397  itcoval2  48398  itcoval3  48399  itcovalsucov  48402