Theorem coexg 7942

Description: The composition of two sets is a set. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
coexg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∘ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem coexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cossxp 6274	. 2 ⊢ (𝐴 ∘ 𝐵) ⊆ (dom 𝐵 × ran 𝐴)
2		dmexg 7914	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → dom 𝐵 ∈ V)
3		rnexg 7915	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ran 𝐴 ∈ V)
4		xpexg 7765	. . 3 ⊢ ((dom 𝐵 ∈ V ∧ ran 𝐴 ∈ V) → (dom 𝐵 × ran 𝐴) ∈ V)
5	2, 3, 4	syl2anr 609	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (dom 𝐵 × ran 𝐴) ∈ V)
6		ssexg 5280	. 2 ⊢ (((𝐴 ∘ 𝐵) ⊆ (dom 𝐵 × ran 𝐴) ∧ (dom 𝐵 × ran 𝐴) ∈ V) → (𝐴 ∘ 𝐵) ∈ V)
7	1, 5, 6	sylancr 599	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∘ 𝐵) ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895   × cxp 5648  dom cdm 5650  ran crn 5651   ∘ ccom 5654

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661

This theorem is used by:  coex  7943  coexd  7944  suppco  8227  fsuppco2  9399  fsuppcor  9400  mapfienlem2  9402  wemapwe  9702  cofsmo  10351  relexpsucnnr  15184  supcvg  16031  imasle  17701  setcco  18264  estrcco  18310  pwsco1mhm  19034  pwsco2mhm  19035  efmndov  19083  efmndcl  19084  symgov  19604  symgcl  19605  gsumval3lem2  20126  gsumzf1o  20132  f1lindf  22134  evls1sca  22647  tngds  24973  climcncf  25227  motplusg  29011  tocycfv  33717  smatfval  34474  eulerpartlemmf  35054  hgt750lemg  35330  cossex  39535  tgrpov  41899  erngmul  41957  erngmul-rN  41965  dvamulr  42163  dvavadd  42166  dvhmulr  42237  mendmulr  44280  relexp0a  44810  choicefi  46308  climexp  46711  dvsinax  47017  stoweidlem27  47131  stoweidlem31  47135  stoweidlem59  47163  grimco  49081  uspgrbisymrelALT  49347  rngccoALTV  49462  ringccoALTV  49496  itcoval1  49869  itcoval2  49870  itcoval3  49871  itcovalsucov  49874