Theorem coexg 7871

Description: The composition of two sets is a set. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
coexg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∘ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem coexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cossxp 6230	. 2 ⊢ (𝐴 ∘ 𝐵) ⊆ (dom 𝐵 × ran 𝐴)
2		dmexg 7843	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → dom 𝐵 ∈ V)
3		rnexg 7844	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ran 𝐴 ∈ V)
4		xpexg 7695	. . 3 ⊢ ((dom 𝐵 ∈ V ∧ ran 𝐴 ∈ V) → (dom 𝐵 × ran 𝐴) ∈ V)
5	2, 3, 4	syl2anr 597	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (dom 𝐵 × ran 𝐴) ∈ V)
6		ssexg 5268	. 2 ⊢ (((𝐴 ∘ 𝐵) ⊆ (dom 𝐵 × ran 𝐴) ∧ (dom 𝐵 × ran 𝐴) ∈ V) → (𝐴 ∘ 𝐵) ∈ V)
7	1, 5, 6	sylancr 587	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∘ 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440   ⊆ wss 3901   × cxp 5622  dom cdm 5624  ran crn 5625   ∘ ccom 5628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635

This theorem is referenced by:  coex  7872  coexd  7873  suppco  8148  fsuppco2  9306  fsuppcor  9307  mapfienlem2  9309  wemapwe  9606  cofsmo  10179  relexpsucnnr  14948  supcvg  15779  imasle  17444  setcco  18007  estrcco  18053  pwsco1mhm  18757  pwsco2mhm  18758  efmndov  18806  efmndcl  18807  symgov  19313  symgcl  19314  gsumval3lem2  19835  gsumzf1o  19841  f1lindf  21777  evls1sca  22267  tngds  24592  climcncf  24849  motplusg  28614  tocycfv  33191  smatfval  33952  eulerpartlemmf  34532  hgt750lemg  34811  cossex  38682  tgrpov  41008  erngmul  41066  erngmul-rN  41074  dvamulr  41272  dvavadd  41275  dvhmulr  41346  mendmulr  43426  relexp0a  43957  choicefi  45444  climexp  45851  dvsinax  46157  stoweidlem27  46271  stoweidlem31  46275  stoweidlem59  46303  grimco  48135  uspgrbisymrelALT  48401  rngccoALTV  48517  ringccoALTV  48551  itcoval1  48909  itcoval2  48910  itcoval3  48911  itcovalsucov  48914