MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coexg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coexg 7347
Description: The composition of two sets is a set. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.)
Assertion
Ref Expression
coexg ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem coexg
StepHypRef Expression
1 cossxp 5872 . 2 (𝐴𝐵) ⊆ (dom 𝐵 × ran 𝐴)
2 dmexg 7327 . . 3 (𝐵𝑊 → dom 𝐵 ∈ V)
3 rnexg 7328 . . 3 (𝐴𝑉 → ran 𝐴 ∈ V)
4 xpexg 7190 . . 3 ((dom 𝐵 ∈ V ∧ ran 𝐴 ∈ V) → (dom 𝐵 × ran 𝐴) ∈ V)
52, 3, 4syl2anr 586 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (dom 𝐵 × ran 𝐴) ∈ V)
6 ssexg 4999 . 2 (((𝐴𝐵) ⊆ (dom 𝐵 × ran 𝐴) ∧ (dom 𝐵 × ran 𝐴) ∈ V) → (𝐴𝐵) ∈ V)
71, 5, 6sylancr 577 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵) ∈ V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wcel 2156  Vcvv 3391  wss 3769   × cxp 5309  dom cdm 5311  ran crn 5312  ccom 5315
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7179
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ral 3101  df-rex 3102  df-rab 3105  df-v 3393  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-op 4377  df-uni 4631  df-br 4845  df-opab 4907  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322
This theorem is referenced by:  coex  7348  supp0cosupp0  7569  imacosupp  7570  fsuppco2  8547  fsuppcor  8548  mapfienlem2  8550  wemapwe  8841  cofsmo  9376  relexpsucnnr  13988  supcvg  14810  imasle  16388  setcco  16937  estrcco  16974  pwsco1mhm  17575  pwsco2mhm  17576  symgov  18011  symgcl  18012  gsumval3lem2  18508  gsumzf1o  18514  evls1sca  19896  f1lindf  20371  tngds  22665  climcncf  22916  motplusg  25651  smatfval  30186  eulerpartlemmf  30762  hgt750lemg  31057  cossex  34487  tgrpov  36529  erngmul  36587  erngmul-rN  36595  dvamulr  36793  dvavadd  36796  dvhmulr  36867  mendmulr  38259  relexp0a  38508  choicefi  39879  climexp  40317  dvsinax  40607  stoweidlem27  40723  stoweidlem31  40727  stoweidlem59  40755  uspgrbisymrelALT  42331  rngccoALTV  42556  ringccoALTV  42619
  Copyright terms: Public domain W3C validator