Theorem coexg 7927

Description: The composition of two sets is a set. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
coexg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∘ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem coexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cossxp 6275	. 2 ⊢ (𝐴 ∘ 𝐵) ⊆ (dom 𝐵 × ran 𝐴)
2		dmexg 7899	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → dom 𝐵 ∈ V)
3		rnexg 7900	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ran 𝐴 ∈ V)
4		xpexg 7750	. . 3 ⊢ ((dom 𝐵 ∈ V ∧ ran 𝐴 ∈ V) → (dom 𝐵 × ran 𝐴) ∈ V)
5	2, 3, 4	syl2anr 608	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (dom 𝐵 × ran 𝐴) ∈ V)
6		ssexg 5291	. 2 ⊢ (((𝐴 ∘ 𝐵) ⊆ (dom 𝐵 × ran 𝐴) ∧ (dom 𝐵 × ran 𝐴) ∈ V) → (𝐴 ∘ 𝐵) ∈ V)
7	1, 5, 6	sylancr 598	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∘ 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   ⊆ wss 3906   × cxp 5661  dom cdm 5663  ran crn 5664   ∘ ccom 5667

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-sb 2097  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674

This theorem is referenced by:  coex  7928  coexd  7929  suppco  8203  fsuppco2  9364  fsuppcor  9365  mapfienlem2  9367  wemapwe  9667  cofsmo  10254  relexpsucnnr  15064  supcvg  15912  imasle  17578  setcco  18141  estrcco  18187  pwsco1mhm  18892  pwsco2mhm  18893  efmndov  18941  efmndcl  18942  symgov  19455  symgcl  19456  gsumval3lem2  19977  gsumzf1o  19983  f1lindf  21953  evls1sca  22464  tngds  24786  climcncf  25040  motplusg  28792  tocycfv  33410  smatfval  34166  eulerpartlemmf  34746  hgt750lemg  35022  cossex  39139  tgrpov  41503  erngmul  41561  erngmul-rN  41569  dvamulr  41767  dvavadd  41770  dvhmulr  41841  mendmulr  43894  relexp0a  44425  choicefi  45900  climexp  46304  dvsinax  46610  stoweidlem27  46724  stoweidlem31  46728  stoweidlem59  46756  grimco  48637  uspgrbisymrelALT  48903  rngccoALTV  49019  ringccoALTV  49053  itcoval1  49426  itcoval2  49427  itcoval3  49428  itcovalsucov  49431