Theorem coexg 7876

Description: The composition of two sets is a set. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
coexg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∘ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem coexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cossxp 6230	. 2 ⊢ (𝐴 ∘ 𝐵) ⊆ (dom 𝐵 × ran 𝐴)
2		dmexg 7848	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → dom 𝐵 ∈ V)
3		rnexg 7849	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ran 𝐴 ∈ V)
4		xpexg 7700	. . 3 ⊢ ((dom 𝐵 ∈ V ∧ ran 𝐴 ∈ V) → (dom 𝐵 × ran 𝐴) ∈ V)
5	2, 3, 4	syl2anr 603	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (dom 𝐵 × ran 𝐴) ∈ V)
6		ssexg 5258	. 2 ⊢ (((𝐴 ∘ 𝐵) ⊆ (dom 𝐵 × ran 𝐴) ∧ (dom 𝐵 × ran 𝐴) ∈ V) → (𝐴 ∘ 𝐵) ∈ V)
7	1, 5, 6	sylancr 593	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∘ 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2119  Vcvv 3432   ⊆ wss 3890   × cxp 5623  dom cdm 5625  ran crn 5626   ∘ ccom 5629

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636

This theorem is referenced by:  coex  7877  coexd  7878  suppco  8153  fsuppco2  9313  fsuppcor  9314  mapfienlem2  9316  wemapwe  9616  cofsmo  10189  relexpsucnnr  14985  supcvg  15819  imasle  17485  setcco  18048  estrcco  18094  pwsco1mhm  18798  pwsco2mhm  18799  efmndov  18847  efmndcl  18848  symgov  19357  symgcl  19358  gsumval3lem2  19879  gsumzf1o  19885  f1lindf  21804  evls1sca  22316  tngds  24638  climcncf  24892  motplusg  28635  tocycfv  33197  smatfval  33986  eulerpartlemmf  34566  hgt750lemg  34845  cossex  38883  tgrpov  41247  erngmul  41305  erngmul-rN  41313  dvamulr  41511  dvavadd  41514  dvhmulr  41585  mendmulr  43636  relexp0a  44167  choicefi  45653  climexp  46057  dvsinax  46363  stoweidlem27  46477  stoweidlem31  46481  stoweidlem59  46509  grimco  48387  uspgrbisymrelALT  48653  rngccoALTV  48769  ringccoALTV  48803  itcoval1  49161  itcoval2  49162  itcoval3  49163  itcovalsucov  49166