Theorem coexg 7859

Description: The composition of two sets is a set. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
coexg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∘ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem coexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cossxp 6219	. 2 ⊢ (𝐴 ∘ 𝐵) ⊆ (dom 𝐵 × ran 𝐴)
2		dmexg 7831	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → dom 𝐵 ∈ V)
3		rnexg 7832	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ran 𝐴 ∈ V)
4		xpexg 7683	. . 3 ⊢ ((dom 𝐵 ∈ V ∧ ran 𝐴 ∈ V) → (dom 𝐵 × ran 𝐴) ∈ V)
5	2, 3, 4	syl2anr 597	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (dom 𝐵 × ran 𝐴) ∈ V)
6		ssexg 5261	. 2 ⊢ (((𝐴 ∘ 𝐵) ⊆ (dom 𝐵 × ran 𝐴) ∧ (dom 𝐵 × ran 𝐴) ∈ V) → (𝐴 ∘ 𝐵) ∈ V)
7	1, 5, 6	sylancr 587	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∘ 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ⊆ wss 3902   × cxp 5614  dom cdm 5616  ran crn 5617   ∘ ccom 5620

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627

This theorem is referenced by:  coex  7860  coexd  7861  suppco  8136  fsuppco2  9287  fsuppcor  9288  mapfienlem2  9290  wemapwe  9587  cofsmo  10160  relexpsucnnr  14932  supcvg  15763  imasle  17427  setcco  17990  estrcco  18036  pwsco1mhm  18740  pwsco2mhm  18741  efmndov  18789  efmndcl  18790  symgov  19297  symgcl  19298  gsumval3lem2  19819  gsumzf1o  19825  f1lindf  21760  evls1sca  22239  tngds  24564  climcncf  24821  motplusg  28521  tocycfv  33076  smatfval  33806  eulerpartlemmf  34386  hgt750lemg  34665  cossex  38462  tgrpov  40793  erngmul  40851  erngmul-rN  40859  dvamulr  41057  dvavadd  41060  dvhmulr  41131  mendmulr  43223  relexp0a  43755  choicefi  45243  climexp  45651  dvsinax  45957  stoweidlem27  46071  stoweidlem31  46075  stoweidlem59  46103  grimco  47926  uspgrbisymrelALT  48192  rngccoALTV  48308  ringccoALTV  48342  itcoval1  48701  itcoval2  48702  itcoval3  48703  itcovalsucov  48706