Theorem coexg 7920

Description: The composition of two sets is a set. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
coexg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∘ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem coexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cossxp 6272	. 2 ⊢ (𝐴 ∘ 𝐵) ⊆ (dom 𝐵 × ran 𝐴)
2		dmexg 7894	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → dom 𝐵 ∈ V)
3		rnexg 7895	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ran 𝐴 ∈ V)
4		xpexg 7737	. . 3 ⊢ ((dom 𝐵 ∈ V ∧ ran 𝐴 ∈ V) → (dom 𝐵 × ran 𝐴) ∈ V)
5	2, 3, 4	syl2anr 598	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (dom 𝐵 × ran 𝐴) ∈ V)
6		ssexg 5324	. 2 ⊢ (((𝐴 ∘ 𝐵) ⊆ (dom 𝐵 × ran 𝐴) ∧ (dom 𝐵 × ran 𝐴) ∈ V) → (𝐴 ∘ 𝐵) ∈ V)
7	1, 5, 6	sylancr 588	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∘ 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   ⊆ wss 3949   × cxp 5675  dom cdm 5677  ran crn 5678   ∘ ccom 5681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688

This theorem is referenced by:  coex  7921  suppco  8191  fsuppco2  9398  fsuppcor  9399  mapfienlem2  9401  wemapwe  9692  cofsmo  10264  relexpsucnnr  14972  supcvg  15802  imasle  17469  setcco  18033  estrcco  18081  pwsco1mhm  18713  pwsco2mhm  18714  efmndov  18762  efmndcl  18763  symgov  19251  symgcl  19252  gsumval3lem2  19774  gsumzf1o  19780  f1lindf  21377  evls1sca  21842  tngds  24164  tngdsOLD  24165  climcncf  24416  motplusg  27793  tocycfv  32268  smatfval  32775  eulerpartlemmf  33374  hgt750lemg  33666  cossex  37289  tgrpov  39619  erngmul  39677  erngmul-rN  39685  dvamulr  39883  dvavadd  39886  dvhmulr  39957  coexd  41048  mendmulr  41930  relexp0a  42467  choicefi  43899  climexp  44321  dvsinax  44629  stoweidlem27  44743  stoweidlem31  44747  stoweidlem59  44775  uspgrbisymrelALT  46533  rngccoALTV  46886  ringccoALTV  46949  itcoval1  47349  itcoval2  47350  itcoval3  47351  itcovalsucov  47354