Theorem coexg 7880

Description: The composition of two sets is a set. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
coexg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∘ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem coexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cossxp 6236	. 2 ⊢ (𝐴 ∘ 𝐵) ⊆ (dom 𝐵 × ran 𝐴)
2		dmexg 7852	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → dom 𝐵 ∈ V)
3		rnexg 7853	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ran 𝐴 ∈ V)
4		xpexg 7704	. . 3 ⊢ ((dom 𝐵 ∈ V ∧ ran 𝐴 ∈ V) → (dom 𝐵 × ran 𝐴) ∈ V)
5	2, 3, 4	syl2anr 598	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (dom 𝐵 × ran 𝐴) ∈ V)
6		ssexg 5264	. 2 ⊢ (((𝐴 ∘ 𝐵) ⊆ (dom 𝐵 × ran 𝐴) ∧ (dom 𝐵 × ran 𝐴) ∈ V) → (𝐴 ∘ 𝐵) ∈ V)
7	1, 5, 6	sylancr 588	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∘ 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429   ⊆ wss 3889   × cxp 5629  dom cdm 5631  ran crn 5632   ∘ ccom 5635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642

This theorem is referenced by:  coex  7881  coexd  7882  suppco  8156  fsuppco2  9316  fsuppcor  9317  mapfienlem2  9319  wemapwe  9618  cofsmo  10191  relexpsucnnr  14987  supcvg  15821  imasle  17487  setcco  18050  estrcco  18096  pwsco1mhm  18800  pwsco2mhm  18801  efmndov  18849  efmndcl  18850  symgov  19359  symgcl  19360  gsumval3lem2  19881  gsumzf1o  19887  f1lindf  21802  evls1sca  22288  tngds  24613  climcncf  24867  motplusg  28610  tocycfv  33170  smatfval  33939  eulerpartlemmf  34519  hgt750lemg  34798  cossex  38830  tgrpov  41194  erngmul  41252  erngmul-rN  41260  dvamulr  41458  dvavadd  41461  dvhmulr  41532  mendmulr  43612  relexp0a  44143  choicefi  45629  climexp  46035  dvsinax  46341  stoweidlem27  46455  stoweidlem31  46459  stoweidlem59  46487  grimco  48365  uspgrbisymrelALT  48631  rngccoALTV  48747  ringccoALTV  48781  itcoval1  49139  itcoval2  49140  itcoval3  49141  itcovalsucov  49144