Theorem coexg 7750

Description: The composition of two sets is a set. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
coexg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∘ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem coexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cossxp 6164	. 2 ⊢ (𝐴 ∘ 𝐵) ⊆ (dom 𝐵 × ran 𝐴)
2		dmexg 7724	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → dom 𝐵 ∈ V)
3		rnexg 7725	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ran 𝐴 ∈ V)
4		xpexg 7578	. . 3 ⊢ ((dom 𝐵 ∈ V ∧ ran 𝐴 ∈ V) → (dom 𝐵 × ran 𝐴) ∈ V)
5	2, 3, 4	syl2anr 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (dom 𝐵 × ran 𝐴) ∈ V)
6		ssexg 5242	. 2 ⊢ (((𝐴 ∘ 𝐵) ⊆ (dom 𝐵 × ran 𝐴) ∧ (dom 𝐵 × ran 𝐴) ∈ V) → (𝐴 ∘ 𝐵) ∈ V)
7	1, 5, 6	sylancr 586	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∘ 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883   × cxp 5578  dom cdm 5580  ran crn 5581   ∘ ccom 5584

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591

This theorem is referenced by:  coex  7751  suppco  7993  fsuppco2  9092  fsuppcor  9093  mapfienlem2  9095  wemapwe  9385  cofsmo  9956  relexpsucnnr  14664  supcvg  15496  imasle  17151  setcco  17714  estrcco  17762  pwsco1mhm  18385  pwsco2mhm  18386  efmndov  18435  efmndcl  18436  symgov  18906  symgcl  18907  gsumval3lem2  19422  gsumzf1o  19428  f1lindf  20939  evls1sca  21399  tngds  23717  tngdsOLD  23718  climcncf  23969  motplusg  26807  tocycfv  31278  smatfval  31647  eulerpartlemmf  32242  hgt750lemg  32534  cossex  36469  tgrpov  38689  erngmul  38747  erngmul-rN  38755  dvamulr  38953  dvavadd  38956  dvhmulr  39027  mendmulr  40929  relexp0a  41213  choicefi  42629  climexp  43036  dvsinax  43344  stoweidlem27  43458  stoweidlem31  43462  stoweidlem59  43490  uspgrbisymrelALT  45205  rngccoALTV  45434  ringccoALTV  45497  itcoval1  45897  itcoval2  45898  itcoval3  45899  itcovalsucov  45902