Theorem cosscnvssid4 36332

Description: Equivalent expressions for the class of cosets by the converse of 𝑅 to be a subset of the identity class. (Contributed by Peter Mazsa, 31-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
cosscnvssid4	⊢ ( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ↔ ∀𝑥∃*𝑢 𝑢𝑅𝑥)

Distinct variable group:   𝑢,𝑅,𝑥

Proof of Theorem cosscnvssid4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cossssid4 36325	. 2 ⊢ ( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ↔ ∀𝑥∃*𝑢 𝑥◡𝑅𝑢)
2		brcnvg 5748	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑢 ∈ V) → (𝑥◡𝑅𝑢 ↔ 𝑢𝑅𝑥))
3	2	el2v 3416	. . . 4 ⊢ (𝑥◡𝑅𝑢 ↔ 𝑢𝑅𝑥)
4	3	mobii 2547	. . 3 ⊢ (∃*𝑢 𝑥◡𝑅𝑢 ↔ ∃*𝑢 𝑢𝑅𝑥)
5	4	albii 1827	. 2 ⊢ (∀𝑥∃*𝑢 𝑥◡𝑅𝑢 ↔ ∀𝑥∃*𝑢 𝑢𝑅𝑥)
6	1, 5	bitri 278	1 ⊢ ( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ↔ ∀𝑥∃*𝑢 𝑢𝑅𝑥)

Syntax hints:   ↔ wb 209  ∀wal 1541  ∃*wmo 2537  Vcvv 3408   ⊆ wss 3866   class class class wbr 5053   I cid 5454  ^◡ccnv 5550   ≀ ccoss 36070

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pr 5322

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ral 3066  df-rab 3070  df-v 3410  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-br 5054  df-opab 5116  df-id 5455  df-cnv 5559  df-coss 36274

This theorem is referenced by:  cosscnvssid5  36333  dfdisjs4  36559  dfdisjALTV4  36564  eldisjs4  36573