Theorem cosscnvssid4 38433

Description: Equivalent expressions for the class of cosets by the converse of 𝑅 to be a subset of the identity class. (Contributed by Peter Mazsa, 31-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
cosscnvssid4	⊢ ( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ↔ ∀𝑥∃*𝑢 𝑢𝑅𝑥)

Distinct variable group:   𝑢,𝑅,𝑥

Proof of Theorem cosscnvssid4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cossssid4 38426	. 2 ⊢ ( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ↔ ∀𝑥∃*𝑢 𝑥◡𝑅𝑢)
2		brcnvg 5904	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑢 ∈ V) → (𝑥◡𝑅𝑢 ↔ 𝑢𝑅𝑥))
3	2	el2v 3495	. . . 4 ⊢ (𝑥◡𝑅𝑢 ↔ 𝑢𝑅𝑥)
4	3	mobii 2551	. . 3 ⊢ (∃*𝑢 𝑥◡𝑅𝑢 ↔ ∃*𝑢 𝑢𝑅𝑥)
5	4	albii 1817	. 2 ⊢ (∀𝑥∃*𝑢 𝑥◡𝑅𝑢 ↔ ∀𝑥∃*𝑢 𝑢𝑅𝑥)
6	1, 5	bitri 275	1 ⊢ ( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ↔ ∀𝑥∃*𝑢 𝑢𝑅𝑥)

Syntax hints:   ↔ wb 206  ∀wal 1535  ∃*wmo 2541  Vcvv 3488   ⊆ wss 3976   class class class wbr 5166   I cid 5592  ^◡ccnv 5699   ≀ ccoss 38135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ral 3068  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-br 5167  df-opab 5229  df-id 5593  df-cnv 5708  df-coss 38367

This theorem is referenced by:  cosscnvssid5  38434  dfdisjs4  38667  dfdisjALTV4  38672  eldisjs4  38681