Theorem cosscnvssid4 38879

Description: Equivalent expressions for the class of cosets by the converse of 𝑅 to be a subset of the identity class. (Contributed by Peter Mazsa, 31-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
cosscnvssid4	⊢ ( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ↔ ∀𝑥∃*𝑢 𝑢𝑅𝑥)

Distinct variable group:   𝑢,𝑅,𝑥

Proof of Theorem cosscnvssid4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cossssid4 38872	. 2 ⊢ ( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ↔ ∀𝑥∃*𝑢 𝑥◡𝑅𝑢)
2		brcnvg 5826	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑢 ∈ V) → (𝑥◡𝑅𝑢 ↔ 𝑢𝑅𝑥))
3	2	el2v 3437	. . . 4 ⊢ (𝑥◡𝑅𝑢 ↔ 𝑢𝑅𝑥)
4	3	mobii 2549	. . 3 ⊢ (∃*𝑢 𝑥◡𝑅𝑢 ↔ ∃*𝑢 𝑢𝑅𝑥)
5	4	albii 1821	. 2 ⊢ (∀𝑥∃*𝑢 𝑥◡𝑅𝑢 ↔ ∀𝑥∃*𝑢 𝑢𝑅𝑥)
6	1, 5	bitri 275	1 ⊢ ( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ↔ ∀𝑥∃*𝑢 𝑢𝑅𝑥)

Syntax hints:   ↔ wb 206  ∀wal 1540  ∃*wmo 2538  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086   I cid 5516  ^◡ccnv 5621   ≀ ccoss 38495

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-pr 5368

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ral 3053  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-br 5087  df-opab 5149  df-id 5517  df-cnv 5630  df-coss 38813

This theorem is referenced by:  cosscnvssid5  38880  dfdisjs4  39108  dfdisjALTV4  39113  eldisjs4  39134