Theorem dfdisjs4 39076

Description: Alternate definition of the class of disjoints. (Contributed by Peter Mazsa, 5-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dfdisjs4	⊢ Disjs = {𝑟 ∈ Rels ∣ ∀𝑥∃*𝑢 𝑢𝑟𝑥}

Distinct variable group:   𝑢,𝑟,𝑥

Proof of Theorem dfdisjs4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdisjs2 39074	. 2 ⊢ Disjs = {𝑟 ∈ Rels ∣ ≀ ◡𝑟 ⊆ I }
2		cosscnvssid4 38847	. 2 ⊢ ( ≀ ◡𝑟 ⊆ I ↔ ∀𝑥∃*𝑢 𝑢𝑟𝑥)
3	1, 2	rabbieq 3409	1 ⊢ Disjs = {𝑟 ∈ Rels ∣ ∀𝑥∃*𝑢 𝑢𝑟𝑥}

Syntax hints:  ∀wal 1540   = wceq 1542  ∃*wmo 2538  {crab 3401   ⊆ wss 3903   class class class wbr 5100   I cid 5528  ^◡ccnv 5633   ≀ ccoss 38463   Rels crels 38465   Disjs cdisjs 38498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-id 5529  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-rels 38720  df-coss 38781  df-ssr 38858  df-cnvrefs 38885  df-cnvrefrels 38886  df-disjss 39068  df-disjs 39069

This theorem is referenced by: (None)