Theorem dfdisjs4 38676

Description: Alternate definition of the class of disjoints. (Contributed by Peter Mazsa, 5-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dfdisjs4	⊢ Disjs = {𝑟 ∈ Rels ∣ ∀𝑥∃*𝑢 𝑢𝑟𝑥}

Distinct variable group:   𝑢,𝑟,𝑥

Proof of Theorem dfdisjs4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdisjs2 38674	. 2 ⊢ Disjs = {𝑟 ∈ Rels ∣ ≀ ◡𝑟 ⊆ I }
2		cosscnvssid4 38441	. 2 ⊢ ( ≀ ◡𝑟 ⊆ I ↔ ∀𝑥∃*𝑢 𝑢𝑟𝑥)
3	1, 2	rabbieq 3411	1 ⊢ Disjs = {𝑟 ∈ Rels ∣ ∀𝑥∃*𝑢 𝑢𝑟𝑥}

Syntax hints:  ∀wal 1538   = wceq 1540  ∃*wmo 2531  {crab 3402   ⊆ wss 3911   class class class wbr 5102   I cid 5525  ^◡ccnv 5630   ≀ ccoss 38142   Rels crels 38144   Disjs cdisjs 38175

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-coss 38375  df-rels 38449  df-ssr 38462  df-cnvrefs 38489  df-cnvrefrels 38490  df-disjss 38668  df-disjs 38669

This theorem is referenced by: (None)