Theorem dfdisjs4 39395

Description: Alternate definition of the class of disjoints. (Contributed by Peter Mazsa, 5-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dfdisjs4	⊢ Disjs = {𝑟 ∈ Rels ∣ ∀𝑥∃*𝑢 𝑢𝑟𝑥}

Distinct variable group:   𝑢,𝑟,𝑥

Proof of Theorem dfdisjs4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdisjs2 39393	. 2 ⊢ Disjs = {𝑟 ∈ Rels ∣ ≀ ◡𝑟 ⊆ I }
2		cosscnvssid4 39166	. 2 ⊢ ( ≀ ◡𝑟 ⊆ I ↔ ∀𝑥∃*𝑢 𝑢𝑟𝑥)
3	1, 2	rabbieq 3431	1 ⊢ Disjs = {𝑟 ∈ Rels ∣ ∀𝑥∃*𝑢 𝑢𝑟𝑥}

Syntax hints:  ∀wal 1566   = wceq 1568  ∃*wmo 2572  {crab 3423   ⊆ wss 3913   class class class wbr 5114   I cid 5559  ^◡ccnv 5664   ≀ ccoss 38782   Rels crels 38784   Disjs cdisjs 38817

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-sep 5262  ax-pow 5340  ax-pr 5408  ax-un 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ral 3087  df-rex 3097  df-rab 3424  df-v 3464  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-id 5560  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-rels 39039  df-coss 39100  df-ssr 39177  df-cnvrefs 39204  df-cnvrefrels 39205  df-disjss 39387  df-disjs 39388

This theorem is referenced by: (None)