Theorem dfdisjs4 38675

Description: Alternate definition of the class of disjoints. (Contributed by Peter Mazsa, 5-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dfdisjs4	⊢ Disjs = {𝑟 ∈ Rels ∣ ∀𝑥∃*𝑢 𝑢𝑟𝑥}

Distinct variable group:   𝑢,𝑟,𝑥

Proof of Theorem dfdisjs4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdisjs2 38673	. 2 ⊢ Disjs = {𝑟 ∈ Rels ∣ ≀ ◡𝑟 ⊆ I }
2		cosscnvssid4 38441	. 2 ⊢ ( ≀ ◡𝑟 ⊆ I ↔ ∀𝑥∃*𝑢 𝑢𝑟𝑥)
3	1, 2	rabbieq 3424	1 ⊢ Disjs = {𝑟 ∈ Rels ∣ ∀𝑥∃*𝑢 𝑢𝑟𝑥}

Syntax hints:  ∀wal 1538   = wceq 1540  ∃*wmo 2537  {crab 3415   ⊆ wss 3926   class class class wbr 5119   I cid 5547  ^◡ccnv 5653   ≀ ccoss 38145   Rels crels 38147   Disjs cdisjs 38178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-coss 38375  df-rels 38449  df-ssr 38462  df-cnvrefs 38489  df-cnvrefrels 38490  df-disjss 38667  df-disjs 38668

This theorem is referenced by: (None)