Theorem eldisjs4 38713

Description: Elementhood in the class of disjoints. (Contributed by Peter Mazsa, 5-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
eldisjs4	⊢ (𝑅 ∈ Disjs ↔ (∀𝑥∃*𝑢 𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑅 ∈ Rels ))

Distinct variable group:   𝑢,𝑅,𝑥

Proof of Theorem eldisjs4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldisjs2 38711	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Disjs ↔ ( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ∧ 𝑅 ∈ Rels ))
2		cosscnvssid4 38464	. . 3 ⊢ ( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ↔ ∀𝑥∃*𝑢 𝑢𝑅𝑥)
3	2	anbi1i 624	. 2 ⊢ (( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ∧ 𝑅 ∈ Rels ) ↔ (∀𝑥∃*𝑢 𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑅 ∈ Rels ))
4	1, 3	bitri 275	1 ⊢ (𝑅 ∈ Disjs ↔ (∀𝑥∃*𝑢 𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑅 ∈ Rels ))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1538   ∈ wcel 2109  ∃*wmo 2531   ⊆ wss 3903   class class class wbr 5092   I cid 5513  ^◡ccnv 5618   ≀ ccoss 38165   Rels crels 38167   Disjs cdisjs 38198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-coss 38398  df-rels 38472  df-ssr 38485  df-cnvrefs 38512  df-cnvrefrels 38513  df-disjss 38691  df-disjs 38692

This theorem is referenced by: (None)