Theorem dfdisjALTV4 36930

Description: Alternate definition of the disjoint relation predicate, cf. dffunALTV4 36904. (Contributed by Peter Mazsa, 5-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dfdisjALTV4	⊢ ( Disj 𝑅 ↔ (∀𝑥∃*𝑢 𝑢𝑅𝑥 ∧ Rel 𝑅))

Distinct variable group:   𝑢,𝑅,𝑥

Proof of Theorem dfdisjALTV4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdisjALTV2 36928	. 2 ⊢ ( Disj 𝑅 ↔ ( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ∧ Rel 𝑅))
2		cosscnvssid4 36691	. . 3 ⊢ ( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ↔ ∀𝑥∃*𝑢 𝑢𝑅𝑥)
3	2	anbi1i 625	. 2 ⊢ (( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ∧ Rel 𝑅) ↔ (∀𝑥∃*𝑢 𝑢𝑅𝑥 ∧ Rel 𝑅))
4	1, 3	bitri 275	1 ⊢ ( Disj 𝑅 ↔ (∀𝑥∃*𝑢 𝑢𝑅𝑥 ∧ Rel 𝑅))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397  ∀wal 1537  ∃*wmo 2536   ⊆ wss 3892   class class class wbr 5081   I cid 5499  ^◡ccnv 5599  Rel wrel 5605   ≀ ccoss 36381   Disj wdisjALTV 36415

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pr 5361

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3306  df-v 3439  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-br 5082  df-opab 5144  df-id 5500  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-coss 36625  df-cnvrefrel 36741  df-disjALTV 36919

This theorem is referenced by:  dfeldisj4  36934  disjres  36958  disjALTV0  36968  disjim  36995