Users' Mathboxes Mathbox for Peter Mazsa < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dfdisjALTV4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfdisjALTV4 38243
Description: Alternate definition of the disjoint relation predicate, cf. dffunALTV4 38217. (Contributed by Peter Mazsa, 5-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
dfdisjALTV4 ( Disj 𝑅 ↔ (∀𝑥∃*𝑢 𝑢𝑅𝑥 ∧ Rel 𝑅))
Distinct variable group:   𝑢,𝑅,𝑥

Proof of Theorem dfdisjALTV4
StepHypRef Expression
1 dfdisjALTV2 38241 . 2 ( Disj 𝑅 ↔ ( ≀ 𝑅 ⊆ I ∧ Rel 𝑅))
2 cosscnvssid4 38004 . . 3 ( ≀ 𝑅 ⊆ I ↔ ∀𝑥∃*𝑢 𝑢𝑅𝑥)
32anbi1i 622 . 2 (( ≀ 𝑅 ⊆ I ∧ Rel 𝑅) ↔ (∀𝑥∃*𝑢 𝑢𝑅𝑥 ∧ Rel 𝑅))
41, 3bitri 274 1 ( Disj 𝑅 ↔ (∀𝑥∃*𝑢 𝑢𝑅𝑥 ∧ Rel 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 394  wal 1531  ∃*wmo 2526  wss 3940   class class class wbr 5143   I cid 5569  ccnv 5671  Rel wrel 5677  ccoss 37704   Disj wdisjALTV 37738
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pr 5423
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3465  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4319  df-if 4525  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-br 5144  df-opab 5206  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-coss 37938  df-cnvrefrel 38054  df-disjALTV 38232
This theorem is referenced by:  dfeldisj4  38247  disjres  38271  disjALTV0  38281  disjim  38308
  Copyright terms: Public domain W3C validator