Theorem dfpre 39166

Description: Alternate definition of the successor-predecessor. (Contributed by Peter Mazsa, 27-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
dfpre	⊢ pre 𝑁 = (℩𝑚𝑚 ∈ Pred( SucMap , V, 𝑁))

Distinct variable group:   𝑚,𝑁

Proof of Theorem dfpre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pre 39165	. 2 ⊢ pre 𝑁 = (℩𝑚𝑚 ∈ Pred( SucMap , dom SucMap , 𝑁))
2		dmsucmap 39158	. . . . 5 ⊢ dom SucMap = V
3		predeq2 6312	. . . . 5 ⊢ (dom SucMap = V → Pred( SucMap , dom SucMap , 𝑁) = Pred( SucMap , V, 𝑁))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Pred( SucMap , dom SucMap , 𝑁) = Pred( SucMap , V, 𝑁)
5	4	eleq2i 2858	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ Pred( SucMap , dom SucMap , 𝑁) ↔ 𝑚 ∈ Pred( SucMap , V, 𝑁))
6	5	iotabii 6528	. 2 ⊢ (℩𝑚𝑚 ∈ Pred( SucMap , dom SucMap , 𝑁)) = (℩𝑚𝑚 ∈ Pred( SucMap , V, 𝑁))
7	1, 6	eqtri 2789	1 ⊢ pre 𝑁 = (℩𝑚𝑚 ∈ Pred( SucMap , V, 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3458  dom cdm 5666  Predcpred 6308  ℩cio 6497   SucMap csucmap 38868   pre cpre 38870

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-pr 5409  ax-un 7745

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-ral 3083  df-rab 3420  df-v 3460  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-xp 5672  df-cnv 5674  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-suc 6373  df-iota 6499  df-sucmap 39152  df-pre 39165

This theorem is used by:  dfpre2  39167