Theorem dfpre 38785

Description: Alternate definition of the successor-predecessor. (Contributed by Peter Mazsa, 27-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
dfpre	⊢ pre 𝑁 = (℩𝑚𝑚 ∈ Pred( SucMap , V, 𝑁))

Distinct variable group:   𝑚,𝑁

Proof of Theorem dfpre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pre 38784	. 2 ⊢ pre 𝑁 = (℩𝑚𝑚 ∈ Pred( SucMap , dom SucMap , 𝑁))
2		dmsucmap 38777	. . . . 5 ⊢ dom SucMap = V
3		predeq2 6257	. . . . 5 ⊢ (dom SucMap = V → Pred( SucMap , dom SucMap , 𝑁) = Pred( SucMap , V, 𝑁))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Pred( SucMap , dom SucMap , 𝑁) = Pred( SucMap , V, 𝑁)
5	4	eleq2i 2827	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ Pred( SucMap , dom SucMap , 𝑁) ↔ 𝑚 ∈ Pred( SucMap , V, 𝑁))
6	5	iotabii 6472	. 2 ⊢ (℩𝑚𝑚 ∈ Pred( SucMap , dom SucMap , 𝑁)) = (℩𝑚𝑚 ∈ Pred( SucMap , V, 𝑁))
7	1, 6	eqtri 2758	1 ⊢ pre 𝑁 = (℩𝑚𝑚 ∈ Pred( SucMap , V, 𝑁))

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3427  dom cdm 5620  Predcpred 6253  ℩cio 6441   SucMap csucmap 38487   pre cpre 38489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2707  ax-sep 5220  ax-pr 5364  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-ral 3050  df-rab 3388  df-v 3429  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4264  df-if 4457  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-br 5075  df-opab 5137  df-xp 5626  df-cnv 5628  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-suc 6318  df-iota 6443  df-sucmap 38771  df-pre 38784

This theorem is referenced by:  dfpre2  38786