Theorem dfpre 39376

Description: Alternate definition of the successor-predecessor. (Contributed by Peter Mazsa, 27-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
dfpre	⊢ pre 𝑁 = (℩𝑚𝑚 ∈ Pred( SucMap , V, 𝑁))

Distinct variable group:   𝑚,𝑁

Proof of Theorem dfpre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pre 39375	. 2 ⊢ pre 𝑁 = (℩𝑚𝑚 ∈ Pred( SucMap , dom SucMap , 𝑁))
2		dmsucmap 39368	. . . . 5 ⊢ dom SucMap = V
3		predeq2 6300	. . . . 5 ⊢ (dom SucMap = V → Pred( SucMap , dom SucMap , 𝑁) = Pred( SucMap , V, 𝑁))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Pred( SucMap , dom SucMap , 𝑁) = Pred( SucMap , V, 𝑁)
5	4	eleq2i 2853	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ Pred( SucMap , dom SucMap , 𝑁) ↔ 𝑚 ∈ Pred( SucMap , V, 𝑁))
6	5	iotabii 6516	. 2 ⊢ (℩𝑚𝑚 ∈ Pred( SucMap , dom SucMap , 𝑁)) = (℩𝑚𝑚 ∈ Pred( SucMap , V, 𝑁))
7	1, 6	eqtri 2784	1 ⊢ pre 𝑁 = (℩𝑚𝑚 ∈ Pred( SucMap , V, 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451  dom cdm 5651  Predcpred 6296  ℩cio 6485   SucMap csucmap 39078   pre cpre 39080

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-pr 5391  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ral 3078  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-xp 5657  df-cnv 5659  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-suc 6361  df-iota 6487  df-sucmap 39362  df-pre 39375

This theorem is used by:  dfpre2  39377