Theorem dfpre 39501

Description: Alternate definition of the successor-predecessor. (Contributed by Peter Mazsa, 27-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
dfpre	⊢ pre 𝑁 = (℩𝑚𝑚 ∈ Pred( SucMap , V, 𝑁))

Distinct variable group:   𝑚,𝑁

Proof of Theorem dfpre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pre 39500	. 2 ⊢ pre 𝑁 = (℩𝑚𝑚 ∈ Pred( SucMap , dom SucMap , 𝑁))
2		dmsucmap 39493	. . . . 5 ⊢ dom SucMap = V
3		predeq2 6307	. . . . 5 ⊢ (dom SucMap = V → Pred( SucMap , dom SucMap , 𝑁) = Pred( SucMap , V, 𝑁))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Pred( SucMap , dom SucMap , 𝑁) = Pred( SucMap , V, 𝑁)
5	4	eleq2i 2852	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ Pred( SucMap , dom SucMap , 𝑁) ↔ 𝑚 ∈ Pred( SucMap , V, 𝑁))
6	5	iotabii 6523	. 2 ⊢ (℩𝑚𝑚 ∈ Pred( SucMap , dom SucMap , 𝑁)) = (℩𝑚𝑚 ∈ Pred( SucMap , V, 𝑁))
7	1, 6	eqtri 2783	1 ⊢ pre 𝑁 = (℩𝑚𝑚 ∈ Pred( SucMap , V, 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450  dom cdm 5650  Predcpred 6303  ℩cio 6492   SucMap csucmap 39203   pre cpre 39205

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ral 3077  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-xp 5656  df-cnv 5658  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-suc 6368  df-iota 6494  df-sucmap 39487  df-pre 39500

This theorem is used by:  dfpre2  39502