Theorem dfpre2 38728

Description: Alternate definition of the successor-predecessor. (Contributed by Peter Mazsa, 12-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
dfpre2	⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → pre 𝑁 = (℩𝑚𝑚 SucMap 𝑁))

Distinct variable groups:   𝑚,𝑁   𝑚,𝑉

Proof of Theorem dfpre2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfpre 38727	. 2 ⊢ pre 𝑁 = (℩𝑚𝑚 ∈ Pred( SucMap , V, 𝑁))
2		elpredg 6281	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑚 ∈ V) → (𝑚 ∈ Pred( SucMap , V, 𝑁) ↔ 𝑚 SucMap 𝑁))
3	2	elvd 3448	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑚 ∈ Pred( SucMap , V, 𝑁) ↔ 𝑚 SucMap 𝑁))
4	3	iotabidv 6484	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (℩𝑚𝑚 ∈ Pred( SucMap , V, 𝑁)) = (℩𝑚𝑚 SucMap 𝑁))
5	1, 4	eqtrid 2784	1 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → pre 𝑁 = (℩𝑚𝑚 SucMap 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442   class class class wbr 5100  Predcpred 6266  ℩cio 6454   SucMap csucmap 38429   pre cpre 38431

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-xp 5638  df-cnv 5640  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-suc 6331  df-iota 6456  df-sucmap 38713  df-pre 38726

This theorem is referenced by:  dfpre3  38729  presucmap  38746