Theorem dfpre2 39409

Description: Alternate definition of the successor-predecessor. (Contributed by Peter Mazsa, 12-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
dfpre2	⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → pre 𝑁 = (℩𝑚𝑚 SucMap 𝑁))

Distinct variable groups:   𝑚,𝑁   𝑚,𝑉

Proof of Theorem dfpre2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfpre 39408	. 2 ⊢ pre 𝑁 = (℩𝑚𝑚 ∈ Pred( SucMap , V, 𝑁))
2		elpredg 6318	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑚 ∈ V) → (𝑚 ∈ Pred( SucMap , V, 𝑁) ↔ 𝑚 SucMap 𝑁))
3	2	elvd 3457	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑚 ∈ Pred( SucMap , V, 𝑁) ↔ 𝑚 SucMap 𝑁))
4	3	iotabidv 6522	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (℩𝑚𝑚 ∈ Pred( SucMap , V, 𝑁)) = (℩𝑚𝑚 SucMap 𝑁))
5	1, 4	eqtrid 2808	1 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → pre 𝑁 = (℩𝑚𝑚 SucMap 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   class class class wbr 5103  Predcpred 6303  ℩cio 6492   SucMap csucmap 39110   pre cpre 39112

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-pr 5391  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-xp 5657  df-cnv 5659  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-suc 6368  df-iota 6494  df-sucmap 39394  df-pre 39407

This theorem is used by:  dfpre3  39410  presucmap  39427