Theorem dfpre2 38798

Description: Alternate definition of the successor-predecessor. (Contributed by Peter Mazsa, 12-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
dfpre2	⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → pre 𝑁 = (℩𝑚𝑚 SucMap 𝑁))

Distinct variable groups:   𝑚,𝑁   𝑚,𝑉

Proof of Theorem dfpre2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfpre 38797	. 2 ⊢ pre 𝑁 = (℩𝑚𝑚 ∈ Pred( SucMap , V, 𝑁))
2		elpredg 6279	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑚 ∈ V) → (𝑚 ∈ Pred( SucMap , V, 𝑁) ↔ 𝑚 SucMap 𝑁))
3	2	elvd 3435	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑚 ∈ Pred( SucMap , V, 𝑁) ↔ 𝑚 SucMap 𝑁))
4	3	iotabidv 6482	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (℩𝑚𝑚 ∈ Pred( SucMap , V, 𝑁)) = (℩𝑚𝑚 SucMap 𝑁))
5	1, 4	eqtrid 2783	1 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → pre 𝑁 = (℩𝑚𝑚 SucMap 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429   class class class wbr 5085  Predcpred 6264  ℩cio 6452   SucMap csucmap 38499   pre cpre 38501

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-xp 5637  df-cnv 5639  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-suc 6329  df-iota 6454  df-sucmap 38783  df-pre 38796

This theorem is referenced by:  dfpre3  38799  presucmap  38816