Theorem dfpre2 39410

Description: Alternate definition of the successor-predecessor. (Contributed by Peter Mazsa, 12-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
dfpre2	⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → pre 𝑁 = (℩𝑚𝑚 SucMap 𝑁))

Distinct variable groups:   𝑚,𝑁   𝑚,𝑉

Proof of Theorem dfpre2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfpre 39409	. 2 ⊢ pre 𝑁 = (℩𝑚𝑚 ∈ Pred( SucMap , V, 𝑁))
2		elpredg 6318	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑚 ∈ V) → (𝑚 ∈ Pred( SucMap , V, 𝑁) ↔ 𝑚 SucMap 𝑁))
3	2	elvd 3456	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑚 ∈ Pred( SucMap , V, 𝑁) ↔ 𝑚 SucMap 𝑁))
4	3	iotabidv 6522	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (℩𝑚𝑚 ∈ Pred( SucMap , V, 𝑁)) = (℩𝑚𝑚 SucMap 𝑁))
5	1, 4	eqtrid 2807	1 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → pre 𝑁 = (℩𝑚𝑚 SucMap 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   class class class wbr 5102  Predcpred 6303  ℩cio 6492   SucMap csucmap 39111   pre cpre 39113

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-xp 5656  df-cnv 5658  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-suc 6368  df-iota 6494  df-sucmap 39395  df-pre 39408

This theorem is used by:  dfpre3  39411  presucmap  39428