Theorem dfse3 6334

Description: Alternate definition of set-like relationships. (Contributed by Scott Fenton, 19-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
dfse3	⊢ (𝑅 Se 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) ∈ V)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑅

Proof of Theorem dfse3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfse2 6096	. 2 ⊢ (𝑅 Se 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐴 ∩ (◡𝑅 “ {𝑥})) ∈ V)
2		df-pred 6299	. . . 4 ⊢ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) = (𝐴 ∩ (◡𝑅 “ {𝑥}))
3	2	eleq1i 2851	. . 3 ⊢ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) ∈ V ↔ (𝐴 ∩ (◡𝑅 “ {𝑥})) ∈ V)
4	3	ralbii 3108	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) ∈ V ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐴 ∩ (◡𝑅 “ {𝑥})) ∈ V)
5	1, 4	bitr4i 281	1 ⊢ (𝑅 Se 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  Vcvv 3450   ∩ cin 3898  {csn 4584   Se wse 5606  ^◡ccnv 5654   “ cima 5658  Predcpred 6298

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5104  df-opab 5168  df-se 5609  df-xp 5661  df-cnv 5663  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299

This theorem is used by:  sexp2  8144  sexp3  8151  ttrclselem2  9705  ttrclse  9706