Theorem dfse3 6294

Description: Alternate definition of set-like relationships. (Contributed by Scott Fenton, 19-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
dfse3	⊢ (𝑅 Se 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) ∈ V)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑅

Proof of Theorem dfse3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfse2 6059	. 2 ⊢ (𝑅 Se 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐴 ∩ (◡𝑅 “ {𝑥})) ∈ V)
2		df-pred 6259	. . . 4 ⊢ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) = (𝐴 ∩ (◡𝑅 “ {𝑥}))
3	2	eleq1i 2828	. . 3 ⊢ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) ∈ V ↔ (𝐴 ∩ (◡𝑅 “ {𝑥})) ∈ V)
4	3	ralbii 3084	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) ∈ V ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐴 ∩ (◡𝑅 “ {𝑥})) ∈ V)
5	1, 4	bitr4i 278	1 ⊢ (𝑅 Se 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) ∈ V)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  Vcvv 3430   ∩ cin 3889  {csn 4568   Se wse 5575  ^◡ccnv 5623   “ cima 5627  Predcpred 6258

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-br 5087  df-opab 5149  df-se 5578  df-xp 5630  df-cnv 5632  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259

This theorem is referenced by:  sexp2  8089  sexp3  8096  ttrclselem2  9638  ttrclse  9639