Theorem dfse3 6330

Description: Alternate definition of set-like relationships. (Contributed by Scott Fenton, 19-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
dfse3	⊢ (𝑅 Se 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) ∈ V)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑅

Proof of Theorem dfse3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfse2 6092	. 2 ⊢ (𝑅 Se 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐴 ∩ (◡𝑅 “ {𝑥})) ∈ V)
2		df-pred 6295	. . . 4 ⊢ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) = (𝐴 ∩ (◡𝑅 “ {𝑥}))
3	2	eleq1i 2826	. . 3 ⊢ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) ∈ V ↔ (𝐴 ∩ (◡𝑅 “ {𝑥})) ∈ V)
4	3	ralbii 3083	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) ∈ V ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐴 ∩ (◡𝑅 “ {𝑥})) ∈ V)
5	1, 4	bitr4i 278	1 ⊢ (𝑅 Se 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) ∈ V)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∈ wcel 2109  ∀wral 3052  Vcvv 3464   ∩ cin 3930  {csn 4606   Se wse 5609  ^◡ccnv 5658   “ cima 5662  Predcpred 6294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pr 5407

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-br 5125  df-opab 5187  df-se 5612  df-xp 5665  df-cnv 5667  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295

This theorem is referenced by:  sexp2  8150  sexp3  8157  ttrclselem2  9745  ttrclse  9746