Theorem dfse3 6275

Description: Alternate definition of set-like relationships. (Contributed by Scott Fenton, 19-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
dfse3	⊢ (𝑅 Se 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) ∈ V)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑅

Proof of Theorem dfse3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfse2 6038	. 2 ⊢ (𝑅 Se 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐴 ∩ (◡𝑅 “ {𝑥})) ∈ V)
2		df-pred 6238	. . . 4 ⊢ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) = (𝐴 ∩ (◡𝑅 “ {𝑥}))
3	2	eleq1i 2827	. . 3 ⊢ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) ∈ V ↔ (𝐴 ∩ (◡𝑅 “ {𝑥})) ∈ V)
4	3	ralbii 3092	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) ∈ V ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐴 ∩ (◡𝑅 “ {𝑥})) ∈ V)
5	1, 4	bitr4i 277	1 ⊢ (𝑅 Se 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) ∈ V)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∈ wcel 2105  ∀wral 3061  Vcvv 3441   ∩ cin 3897  {csn 4573   Se wse 5573  ^◡ccnv 5619   “ cima 5623  Predcpred 6237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-ext 2707  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pr 5372

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-sb 2067  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3404  df-v 3443  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4270  df-if 4474  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-br 5093  df-opab 5155  df-se 5576  df-xp 5626  df-cnv 5628  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238

This theorem is referenced by:  ttrclselem2  9583  ttrclse  9584  sexp2  34075  sexp3  34081