MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ttrclse Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ttrclse 9671
Description: If 𝑅 is set-like over 𝐴, then the transitive closure of the restriction of 𝑅 to 𝐴 is set-like over 𝐴.

This theorem requires the axioms of infinity and replacement for its proof. (Contributed by Scott Fenton, 31-Oct-2024.)

Assertion
Ref Expression
ttrclse (𝑅 Se 𝐴 → t++(𝑅𝐴) Se 𝐴)

Proof of Theorem ttrclse
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑓 𝑛 𝑤 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brttrcl2 9658 . . . . . . 7 (𝑦t++(𝑅𝐴)𝑥 ↔ ∃𝑛 ∈ ω ∃𝑓(𝑓 Fn suc suc 𝑛 ∧ ((𝑓‘∅) = 𝑦 ∧ (𝑓‘suc 𝑛) = 𝑥) ∧ ∀𝑎 ∈ suc 𝑛(𝑓𝑎)(𝑅𝐴)(𝑓‘suc 𝑎)))
2 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 rec((𝑏 ∈ V ↦ 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥)) = rec((𝑏 ∈ V ↦ 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥))
32ttrclselem2 9670 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑅 Se 𝐴𝑥𝐴) → (∃𝑓(𝑓 Fn suc suc 𝑛 ∧ ((𝑓‘∅) = 𝑦 ∧ (𝑓‘suc 𝑛) = 𝑥) ∧ ∀𝑎 ∈ suc 𝑛(𝑓𝑎)(𝑅𝐴)(𝑓‘suc 𝑎)) ↔ 𝑦 ∈ (rec((𝑏 ∈ V ↦ 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥))‘𝑛)))
433expb 1121 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ω ∧ (𝑅 Se 𝐴𝑥𝐴)) → (∃𝑓(𝑓 Fn suc suc 𝑛 ∧ ((𝑓‘∅) = 𝑦 ∧ (𝑓‘suc 𝑛) = 𝑥) ∧ ∀𝑎 ∈ suc 𝑛(𝑓𝑎)(𝑅𝐴)(𝑓‘suc 𝑎)) ↔ 𝑦 ∈ (rec((𝑏 ∈ V ↦ 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥))‘𝑛)))
54ancoms 460 . . . . . . . 8 (((𝑅 Se 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ω) → (∃𝑓(𝑓 Fn suc suc 𝑛 ∧ ((𝑓‘∅) = 𝑦 ∧ (𝑓‘suc 𝑛) = 𝑥) ∧ ∀𝑎 ∈ suc 𝑛(𝑓𝑎)(𝑅𝐴)(𝑓‘suc 𝑎)) ↔ 𝑦 ∈ (rec((𝑏 ∈ V ↦ 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥))‘𝑛)))
65rexbidva 3170 . . . . . . 7 ((𝑅 Se 𝐴𝑥𝐴) → (∃𝑛 ∈ ω ∃𝑓(𝑓 Fn suc suc 𝑛 ∧ ((𝑓‘∅) = 𝑦 ∧ (𝑓‘suc 𝑛) = 𝑥) ∧ ∀𝑎 ∈ suc 𝑛(𝑓𝑎)(𝑅𝐴)(𝑓‘suc 𝑎)) ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝑦 ∈ (rec((𝑏 ∈ V ↦ 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥))‘𝑛)))
71, 6bitrid 283 . . . . . 6 ((𝑅 Se 𝐴𝑥𝐴) → (𝑦t++(𝑅𝐴)𝑥 ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝑦 ∈ (rec((𝑏 ∈ V ↦ 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥))‘𝑛)))
8 vex 3451 . . . . . . . . 9 𝑦 ∈ V
98elpred 6274 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ V → (𝑦 ∈ Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑥) ↔ (𝑦𝐴𝑦t++(𝑅𝐴)𝑥)))
109elv 3453 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑥) ↔ (𝑦𝐴𝑦t++(𝑅𝐴)𝑥))
11 resdmss 6191 . . . . . . . . 9 dom (𝑅𝐴) ⊆ 𝐴
12 vex 3451 . . . . . . . . . . 11 𝑥 ∈ V
138, 12breldm 5868 . . . . . . . . . 10 (𝑦t++(𝑅𝐴)𝑥𝑦 ∈ dom t++(𝑅𝐴))
14 dmttrcl 9665 . . . . . . . . . 10 dom t++(𝑅𝐴) = dom (𝑅𝐴)
1513, 14eleqtrdi 2844 . . . . . . . . 9 (𝑦t++(𝑅𝐴)𝑥𝑦 ∈ dom (𝑅𝐴))
1611, 15sselid 3946 . . . . . . . 8 (𝑦t++(𝑅𝐴)𝑥𝑦𝐴)
1716pm4.71ri 562 . . . . . . 7 (𝑦t++(𝑅𝐴)𝑥 ↔ (𝑦𝐴𝑦t++(𝑅𝐴)𝑥))
1810, 17bitr4i 278 . . . . . 6 (𝑦 ∈ Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑥) ↔ 𝑦t++(𝑅𝐴)𝑥)
19 rdgfun 8366 . . . . . . 7 Fun rec((𝑏 ∈ V ↦ 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥))
20 eluniima 7201 . . . . . . 7 (Fun rec((𝑏 ∈ V ↦ 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥)) → (𝑦 (rec((𝑏 ∈ V ↦ 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥)) “ ω) ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝑦 ∈ (rec((𝑏 ∈ V ↦ 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥))‘𝑛)))
2119, 20ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑦 (rec((𝑏 ∈ V ↦ 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥)) “ ω) ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝑦 ∈ (rec((𝑏 ∈ V ↦ 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥))‘𝑛))
227, 18, 213bitr4g 314 . . . . 5 ((𝑅 Se 𝐴𝑥𝐴) → (𝑦 ∈ Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑥) ↔ 𝑦 (rec((𝑏 ∈ V ↦ 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥)) “ ω)))
2322eqrdv 2731 . . . 4 ((𝑅 Se 𝐴𝑥𝐴) → Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑥) = (rec((𝑏 ∈ V ↦ 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥)) “ ω))
24 omex 9587 . . . . . . 7 ω ∈ V
2524funimaex 6593 . . . . . 6 (Fun rec((𝑏 ∈ V ↦ 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥)) → (rec((𝑏 ∈ V ↦ 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥)) “ ω) ∈ V)
2619, 25ax-mp 5 . . . . 5 (rec((𝑏 ∈ V ↦ 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥)) “ ω) ∈ V
2726uniex 7682 . . . 4 (rec((𝑏 ∈ V ↦ 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥)) “ ω) ∈ V
2823, 27eqeltrdi 2842 . . 3 ((𝑅 Se 𝐴𝑥𝐴) → Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑥) ∈ V)
2928ralrimiva 3140 . 2 (𝑅 Se 𝐴 → ∀𝑥𝐴 Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑥) ∈ V)
30 dfse3 6294 . 2 (t++(𝑅𝐴) Se 𝐴 ↔ ∀𝑥𝐴 Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑥) ∈ V)
3129, 30sylibr 233 1 (𝑅 Se 𝐴 → t++(𝑅𝐴) Se 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3447  c0 4286   cuni 4869   ciun 4958   class class class wbr 5109  cmpt 5192   Se wse 5590  dom cdm 5637  cres 5639  cima 5640  Predcpred 6256  suc csuc 6323  Fun wfun 6494   Fn wfn 6495  cfv 6500  ωcom 7806  reccrdg 8359  t++cttrcl 9651
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-oadd 8420  df-ttrcl 9652
This theorem is referenced by:  frmin  9693  frr1  9703
  Copyright terms: Public domain W3C validator