MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ttrclse Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ttrclse 9663
Description: If 𝑅 is set-like over 𝐴, then the transitive closure of the restriction of 𝑅 to 𝐴 is set-like over 𝐴.

This theorem requires the axioms of infinity and replacement for its proof. (Contributed by Scott Fenton, 31-Oct-2024.)

Assertion
Ref Expression
ttrclse (𝑅 Se 𝐴 → t++(𝑅𝐴) Se 𝐴)

Proof of Theorem ttrclse
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑓 𝑛 𝑤 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brttrcl2 9650 . . . . . . 7 (𝑦t++(𝑅𝐴)𝑥 ↔ ∃𝑛 ∈ ω ∃𝑓(𝑓 Fn suc suc 𝑛 ∧ ((𝑓‘∅) = 𝑦 ∧ (𝑓‘suc 𝑛) = 𝑥) ∧ ∀𝑎 ∈ suc 𝑛(𝑓𝑎)(𝑅𝐴)(𝑓‘suc 𝑎)))
2 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 rec((𝑏 ∈ V ↦ 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥)) = rec((𝑏 ∈ V ↦ 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥))
32ttrclselem2 9662 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑅 Se 𝐴𝑥𝐴) → (∃𝑓(𝑓 Fn suc suc 𝑛 ∧ ((𝑓‘∅) = 𝑦 ∧ (𝑓‘suc 𝑛) = 𝑥) ∧ ∀𝑎 ∈ suc 𝑛(𝑓𝑎)(𝑅𝐴)(𝑓‘suc 𝑎)) ↔ 𝑦 ∈ (rec((𝑏 ∈ V ↦ 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥))‘𝑛)))
433expb 1120 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ω ∧ (𝑅 Se 𝐴𝑥𝐴)) → (∃𝑓(𝑓 Fn suc suc 𝑛 ∧ ((𝑓‘∅) = 𝑦 ∧ (𝑓‘suc 𝑛) = 𝑥) ∧ ∀𝑎 ∈ suc 𝑛(𝑓𝑎)(𝑅𝐴)(𝑓‘suc 𝑎)) ↔ 𝑦 ∈ (rec((𝑏 ∈ V ↦ 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥))‘𝑛)))
54ancoms 459 . . . . . . . 8 (((𝑅 Se 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ω) → (∃𝑓(𝑓 Fn suc suc 𝑛 ∧ ((𝑓‘∅) = 𝑦 ∧ (𝑓‘suc 𝑛) = 𝑥) ∧ ∀𝑎 ∈ suc 𝑛(𝑓𝑎)(𝑅𝐴)(𝑓‘suc 𝑎)) ↔ 𝑦 ∈ (rec((𝑏 ∈ V ↦ 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥))‘𝑛)))
65rexbidva 3173 . . . . . . 7 ((𝑅 Se 𝐴𝑥𝐴) → (∃𝑛 ∈ ω ∃𝑓(𝑓 Fn suc suc 𝑛 ∧ ((𝑓‘∅) = 𝑦 ∧ (𝑓‘suc 𝑛) = 𝑥) ∧ ∀𝑎 ∈ suc 𝑛(𝑓𝑎)(𝑅𝐴)(𝑓‘suc 𝑎)) ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝑦 ∈ (rec((𝑏 ∈ V ↦ 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥))‘𝑛)))
71, 6bitrid 282 . . . . . 6 ((𝑅 Se 𝐴𝑥𝐴) → (𝑦t++(𝑅𝐴)𝑥 ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝑦 ∈ (rec((𝑏 ∈ V ↦ 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥))‘𝑛)))
8 vex 3449 . . . . . . . . 9 𝑦 ∈ V
98elpred 6270 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ V → (𝑦 ∈ Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑥) ↔ (𝑦𝐴𝑦t++(𝑅𝐴)𝑥)))
109elv 3451 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑥) ↔ (𝑦𝐴𝑦t++(𝑅𝐴)𝑥))
11 resdmss 6187 . . . . . . . . 9 dom (𝑅𝐴) ⊆ 𝐴
12 vex 3449 . . . . . . . . . . 11 𝑥 ∈ V
138, 12breldm 5864 . . . . . . . . . 10 (𝑦t++(𝑅𝐴)𝑥𝑦 ∈ dom t++(𝑅𝐴))
14 dmttrcl 9657 . . . . . . . . . 10 dom t++(𝑅𝐴) = dom (𝑅𝐴)
1513, 14eleqtrdi 2848 . . . . . . . . 9 (𝑦t++(𝑅𝐴)𝑥𝑦 ∈ dom (𝑅𝐴))
1611, 15sselid 3942 . . . . . . . 8 (𝑦t++(𝑅𝐴)𝑥𝑦𝐴)
1716pm4.71ri 561 . . . . . . 7 (𝑦t++(𝑅𝐴)𝑥 ↔ (𝑦𝐴𝑦t++(𝑅𝐴)𝑥))
1810, 17bitr4i 277 . . . . . 6 (𝑦 ∈ Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑥) ↔ 𝑦t++(𝑅𝐴)𝑥)
19 rdgfun 8362 . . . . . . 7 Fun rec((𝑏 ∈ V ↦ 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥))
20 eluniima 7197 . . . . . . 7 (Fun rec((𝑏 ∈ V ↦ 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥)) → (𝑦 (rec((𝑏 ∈ V ↦ 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥)) “ ω) ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝑦 ∈ (rec((𝑏 ∈ V ↦ 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥))‘𝑛)))
2119, 20ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑦 (rec((𝑏 ∈ V ↦ 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥)) “ ω) ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝑦 ∈ (rec((𝑏 ∈ V ↦ 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥))‘𝑛))
227, 18, 213bitr4g 313 . . . . 5 ((𝑅 Se 𝐴𝑥𝐴) → (𝑦 ∈ Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑥) ↔ 𝑦 (rec((𝑏 ∈ V ↦ 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥)) “ ω)))
2322eqrdv 2734 . . . 4 ((𝑅 Se 𝐴𝑥𝐴) → Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑥) = (rec((𝑏 ∈ V ↦ 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥)) “ ω))
24 omex 9579 . . . . . . 7 ω ∈ V
2524funimaex 6589 . . . . . 6 (Fun rec((𝑏 ∈ V ↦ 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥)) → (rec((𝑏 ∈ V ↦ 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥)) “ ω) ∈ V)
2619, 25ax-mp 5 . . . . 5 (rec((𝑏 ∈ V ↦ 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥)) “ ω) ∈ V
2726uniex 7678 . . . 4 (rec((𝑏 ∈ V ↦ 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥)) “ ω) ∈ V
2823, 27eqeltrdi 2846 . . 3 ((𝑅 Se 𝐴𝑥𝐴) → Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑥) ∈ V)
2928ralrimiva 3143 . 2 (𝑅 Se 𝐴 → ∀𝑥𝐴 Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑥) ∈ V)
30 dfse3 6290 . 2 (t++(𝑅𝐴) Se 𝐴 ↔ ∀𝑥𝐴 Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑥) ∈ V)
3129, 30sylibr 233 1 (𝑅 Se 𝐴 → t++(𝑅𝐴) Se 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  wral 3064  wrex 3073  Vcvv 3445  c0 4282   cuni 4865   ciun 4954   class class class wbr 5105  cmpt 5188   Se wse 5586  dom cdm 5633  cres 5635  cima 5636  Predcpred 6252  suc csuc 6319  Fun wfun 6490   Fn wfn 6491  cfv 6496  ωcom 7802  reccrdg 8355  t++cttrcl 9643
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-oadd 8416  df-ttrcl 9644
This theorem is referenced by:  frmin  9685  frr1  9695
  Copyright terms: Public domain W3C validator