MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ttrclse Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ttrclse 9721
Description: If 𝑅 is set-like over 𝐴, then the transitive closure of the restriction of 𝑅 to 𝐴 is set-like over 𝐴.

This theorem requires the axioms of infinity and replacement for its proof. (Contributed by Scott Fenton, 31-Oct-2024.)

Assertion
Ref Expression
ttrclse (𝑅 Se 𝐴 → t++(𝑅𝐴) Se 𝐴)

Proof of Theorem ttrclse
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑓 𝑛 𝑤 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brttrcl2 9708 . . . . . . 7 (𝑦t++(𝑅𝐴)𝑥 ↔ ∃𝑛 ∈ ω ∃𝑓(𝑓 Fn suc suc 𝑛 ∧ ((𝑓‘∅) = 𝑦 ∧ (𝑓‘suc 𝑛) = 𝑥) ∧ ∀𝑎 ∈ suc 𝑛(𝑓𝑎)(𝑅𝐴)(𝑓‘suc 𝑎)))
2 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 rec((𝑏 ∈ V ↦ 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥)) = rec((𝑏 ∈ V ↦ 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥))
32ttrclselem2 9720 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑅 Se 𝐴𝑥𝐴) → (∃𝑓(𝑓 Fn suc suc 𝑛 ∧ ((𝑓‘∅) = 𝑦 ∧ (𝑓‘suc 𝑛) = 𝑥) ∧ ∀𝑎 ∈ suc 𝑛(𝑓𝑎)(𝑅𝐴)(𝑓‘suc 𝑎)) ↔ 𝑦 ∈ (rec((𝑏 ∈ V ↦ 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥))‘𝑛)))
433expb 1120 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ω ∧ (𝑅 Se 𝐴𝑥𝐴)) → (∃𝑓(𝑓 Fn suc suc 𝑛 ∧ ((𝑓‘∅) = 𝑦 ∧ (𝑓‘suc 𝑛) = 𝑥) ∧ ∀𝑎 ∈ suc 𝑛(𝑓𝑎)(𝑅𝐴)(𝑓‘suc 𝑎)) ↔ 𝑦 ∈ (rec((𝑏 ∈ V ↦ 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥))‘𝑛)))
54ancoms 459 . . . . . . . 8 (((𝑅 Se 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ω) → (∃𝑓(𝑓 Fn suc suc 𝑛 ∧ ((𝑓‘∅) = 𝑦 ∧ (𝑓‘suc 𝑛) = 𝑥) ∧ ∀𝑎 ∈ suc 𝑛(𝑓𝑎)(𝑅𝐴)(𝑓‘suc 𝑎)) ↔ 𝑦 ∈ (rec((𝑏 ∈ V ↦ 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥))‘𝑛)))
65rexbidva 3176 . . . . . . 7 ((𝑅 Se 𝐴𝑥𝐴) → (∃𝑛 ∈ ω ∃𝑓(𝑓 Fn suc suc 𝑛 ∧ ((𝑓‘∅) = 𝑦 ∧ (𝑓‘suc 𝑛) = 𝑥) ∧ ∀𝑎 ∈ suc 𝑛(𝑓𝑎)(𝑅𝐴)(𝑓‘suc 𝑎)) ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝑦 ∈ (rec((𝑏 ∈ V ↦ 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥))‘𝑛)))
71, 6bitrid 282 . . . . . 6 ((𝑅 Se 𝐴𝑥𝐴) → (𝑦t++(𝑅𝐴)𝑥 ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝑦 ∈ (rec((𝑏 ∈ V ↦ 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥))‘𝑛)))
8 vex 3478 . . . . . . . . 9 𝑦 ∈ V
98elpred 6317 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ V → (𝑦 ∈ Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑥) ↔ (𝑦𝐴𝑦t++(𝑅𝐴)𝑥)))
109elv 3480 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑥) ↔ (𝑦𝐴𝑦t++(𝑅𝐴)𝑥))
11 resdmss 6234 . . . . . . . . 9 dom (𝑅𝐴) ⊆ 𝐴
12 vex 3478 . . . . . . . . . . 11 𝑥 ∈ V
138, 12breldm 5908 . . . . . . . . . 10 (𝑦t++(𝑅𝐴)𝑥𝑦 ∈ dom t++(𝑅𝐴))
14 dmttrcl 9715 . . . . . . . . . 10 dom t++(𝑅𝐴) = dom (𝑅𝐴)
1513, 14eleqtrdi 2843 . . . . . . . . 9 (𝑦t++(𝑅𝐴)𝑥𝑦 ∈ dom (𝑅𝐴))
1611, 15sselid 3980 . . . . . . . 8 (𝑦t++(𝑅𝐴)𝑥𝑦𝐴)
1716pm4.71ri 561 . . . . . . 7 (𝑦t++(𝑅𝐴)𝑥 ↔ (𝑦𝐴𝑦t++(𝑅𝐴)𝑥))
1810, 17bitr4i 277 . . . . . 6 (𝑦 ∈ Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑥) ↔ 𝑦t++(𝑅𝐴)𝑥)
19 rdgfun 8415 . . . . . . 7 Fun rec((𝑏 ∈ V ↦ 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥))
20 eluniima 7248 . . . . . . 7 (Fun rec((𝑏 ∈ V ↦ 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥)) → (𝑦 (rec((𝑏 ∈ V ↦ 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥)) “ ω) ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝑦 ∈ (rec((𝑏 ∈ V ↦ 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥))‘𝑛)))
2119, 20ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑦 (rec((𝑏 ∈ V ↦ 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥)) “ ω) ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝑦 ∈ (rec((𝑏 ∈ V ↦ 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥))‘𝑛))
227, 18, 213bitr4g 313 . . . . 5 ((𝑅 Se 𝐴𝑥𝐴) → (𝑦 ∈ Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑥) ↔ 𝑦 (rec((𝑏 ∈ V ↦ 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥)) “ ω)))
2322eqrdv 2730 . . . 4 ((𝑅 Se 𝐴𝑥𝐴) → Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑥) = (rec((𝑏 ∈ V ↦ 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥)) “ ω))
24 omex 9637 . . . . . . 7 ω ∈ V
2524funimaex 6636 . . . . . 6 (Fun rec((𝑏 ∈ V ↦ 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥)) → (rec((𝑏 ∈ V ↦ 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥)) “ ω) ∈ V)
2619, 25ax-mp 5 . . . . 5 (rec((𝑏 ∈ V ↦ 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥)) “ ω) ∈ V
2726uniex 7730 . . . 4 (rec((𝑏 ∈ V ↦ 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥)) “ ω) ∈ V
2823, 27eqeltrdi 2841 . . 3 ((𝑅 Se 𝐴𝑥𝐴) → Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑥) ∈ V)
2928ralrimiva 3146 . 2 (𝑅 Se 𝐴 → ∀𝑥𝐴 Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑥) ∈ V)
30 dfse3 6337 . 2 (t++(𝑅𝐴) Se 𝐴 ↔ ∀𝑥𝐴 Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑥) ∈ V)
3129, 30sylibr 233 1 (𝑅 Se 𝐴 → t++(𝑅𝐴) Se 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3474  c0 4322   cuni 4908   ciun 4997   class class class wbr 5148  cmpt 5231   Se wse 5629  dom cdm 5676  cres 5678  cima 5679  Predcpred 6299  suc csuc 6366  Fun wfun 6537   Fn wfn 6538  cfv 6543  ωcom 7854  reccrdg 8408  t++cttrcl 9701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-oadd 8469  df-ttrcl 9702
This theorem is referenced by:  frmin  9743  frr1  9753
  Copyright terms: Public domain W3C validator