MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ttrclse Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ttrclse 9722
Description: If 𝑅 is set-like over 𝐴, then the transitive closure of the restriction of 𝑅 to 𝐴 is set-like over 𝐴.

This theorem requires the axioms of infinity and replacement for its proof. (Contributed by Scott Fenton, 31-Oct-2024.)

Assertion
Ref Expression
ttrclse (𝑅 Se 𝐴 → t++(𝑅𝐴) Se 𝐴)

Proof of Theorem ttrclse
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑓 𝑛 𝑤 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brttrcl2 9709 . . . . . . 7 (𝑦t++(𝑅𝐴)𝑥 ↔ ∃𝑛 ∈ ω ∃𝑓(𝑓 Fn suc suc 𝑛 ∧ ((𝑓‘∅) = 𝑦 ∧ (𝑓‘suc 𝑛) = 𝑥) ∧ ∀𝑎 ∈ suc 𝑛(𝑓𝑎)(𝑅𝐴)(𝑓‘suc 𝑎)))
2 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 rec((𝑏 ∈ V ↦ 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥)) = rec((𝑏 ∈ V ↦ 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥))
32ttrclselem2 9721 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑅 Se 𝐴𝑥𝐴) → (∃𝑓(𝑓 Fn suc suc 𝑛 ∧ ((𝑓‘∅) = 𝑦 ∧ (𝑓‘suc 𝑛) = 𝑥) ∧ ∀𝑎 ∈ suc 𝑛(𝑓𝑎)(𝑅𝐴)(𝑓‘suc 𝑎)) ↔ 𝑦 ∈ (rec((𝑏 ∈ V ↦ 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥))‘𝑛)))
433expb 1121 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ω ∧ (𝑅 Se 𝐴𝑥𝐴)) → (∃𝑓(𝑓 Fn suc suc 𝑛 ∧ ((𝑓‘∅) = 𝑦 ∧ (𝑓‘suc 𝑛) = 𝑥) ∧ ∀𝑎 ∈ suc 𝑛(𝑓𝑎)(𝑅𝐴)(𝑓‘suc 𝑎)) ↔ 𝑦 ∈ (rec((𝑏 ∈ V ↦ 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥))‘𝑛)))
54ancoms 460 . . . . . . . 8 (((𝑅 Se 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ω) → (∃𝑓(𝑓 Fn suc suc 𝑛 ∧ ((𝑓‘∅) = 𝑦 ∧ (𝑓‘suc 𝑛) = 𝑥) ∧ ∀𝑎 ∈ suc 𝑛(𝑓𝑎)(𝑅𝐴)(𝑓‘suc 𝑎)) ↔ 𝑦 ∈ (rec((𝑏 ∈ V ↦ 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥))‘𝑛)))
65rexbidva 3177 . . . . . . 7 ((𝑅 Se 𝐴𝑥𝐴) → (∃𝑛 ∈ ω ∃𝑓(𝑓 Fn suc suc 𝑛 ∧ ((𝑓‘∅) = 𝑦 ∧ (𝑓‘suc 𝑛) = 𝑥) ∧ ∀𝑎 ∈ suc 𝑛(𝑓𝑎)(𝑅𝐴)(𝑓‘suc 𝑎)) ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝑦 ∈ (rec((𝑏 ∈ V ↦ 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥))‘𝑛)))
71, 6bitrid 283 . . . . . 6 ((𝑅 Se 𝐴𝑥𝐴) → (𝑦t++(𝑅𝐴)𝑥 ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝑦 ∈ (rec((𝑏 ∈ V ↦ 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥))‘𝑛)))
8 vex 3479 . . . . . . . . 9 𝑦 ∈ V
98elpred 6318 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ V → (𝑦 ∈ Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑥) ↔ (𝑦𝐴𝑦t++(𝑅𝐴)𝑥)))
109elv 3481 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑥) ↔ (𝑦𝐴𝑦t++(𝑅𝐴)𝑥))
11 resdmss 6235 . . . . . . . . 9 dom (𝑅𝐴) ⊆ 𝐴
12 vex 3479 . . . . . . . . . . 11 𝑥 ∈ V
138, 12breldm 5909 . . . . . . . . . 10 (𝑦t++(𝑅𝐴)𝑥𝑦 ∈ dom t++(𝑅𝐴))
14 dmttrcl 9716 . . . . . . . . . 10 dom t++(𝑅𝐴) = dom (𝑅𝐴)
1513, 14eleqtrdi 2844 . . . . . . . . 9 (𝑦t++(𝑅𝐴)𝑥𝑦 ∈ dom (𝑅𝐴))
1611, 15sselid 3981 . . . . . . . 8 (𝑦t++(𝑅𝐴)𝑥𝑦𝐴)
1716pm4.71ri 562 . . . . . . 7 (𝑦t++(𝑅𝐴)𝑥 ↔ (𝑦𝐴𝑦t++(𝑅𝐴)𝑥))
1810, 17bitr4i 278 . . . . . 6 (𝑦 ∈ Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑥) ↔ 𝑦t++(𝑅𝐴)𝑥)
19 rdgfun 8416 . . . . . . 7 Fun rec((𝑏 ∈ V ↦ 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥))
20 eluniima 7249 . . . . . . 7 (Fun rec((𝑏 ∈ V ↦ 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥)) → (𝑦 (rec((𝑏 ∈ V ↦ 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥)) “ ω) ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝑦 ∈ (rec((𝑏 ∈ V ↦ 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥))‘𝑛)))
2119, 20ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑦 (rec((𝑏 ∈ V ↦ 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥)) “ ω) ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝑦 ∈ (rec((𝑏 ∈ V ↦ 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥))‘𝑛))
227, 18, 213bitr4g 314 . . . . 5 ((𝑅 Se 𝐴𝑥𝐴) → (𝑦 ∈ Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑥) ↔ 𝑦 (rec((𝑏 ∈ V ↦ 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥)) “ ω)))
2322eqrdv 2731 . . . 4 ((𝑅 Se 𝐴𝑥𝐴) → Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑥) = (rec((𝑏 ∈ V ↦ 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥)) “ ω))
24 omex 9638 . . . . . . 7 ω ∈ V
2524funimaex 6637 . . . . . 6 (Fun rec((𝑏 ∈ V ↦ 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥)) → (rec((𝑏 ∈ V ↦ 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥)) “ ω) ∈ V)
2619, 25ax-mp 5 . . . . 5 (rec((𝑏 ∈ V ↦ 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥)) “ ω) ∈ V
2726uniex 7731 . . . 4 (rec((𝑏 ∈ V ↦ 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥)) “ ω) ∈ V
2823, 27eqeltrdi 2842 . . 3 ((𝑅 Se 𝐴𝑥𝐴) → Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑥) ∈ V)
2928ralrimiva 3147 . 2 (𝑅 Se 𝐴 → ∀𝑥𝐴 Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑥) ∈ V)
30 dfse3 6338 . 2 (t++(𝑅𝐴) Se 𝐴 ↔ ∀𝑥𝐴 Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑥) ∈ V)
3129, 30sylibr 233 1 (𝑅 Se 𝐴 → t++(𝑅𝐴) Se 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  wral 3062  wrex 3071  Vcvv 3475  c0 4323   cuni 4909   ciun 4998   class class class wbr 5149  cmpt 5232   Se wse 5630  dom cdm 5677  cres 5679  cima 5680  Predcpred 6300  suc csuc 6367  Fun wfun 6538   Fn wfn 6539  cfv 6544  ωcom 7855  reccrdg 8409  t++cttrcl 9702
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-oadd 8470  df-ttrcl 9703
This theorem is referenced by:  frmin  9744  frr1  9754
  Copyright terms: Public domain W3C validator