Theorem ecelqsdmb 8737

Description: 𝑅-coset of 𝐵 in a quotient set, biconditional version. (Contributed by Peter Mazsa, 17-Apr-2019.) (Revised by Peter Mazsa, 22-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ecelqsdmb	⊢ (((𝑅 ↾ 𝐴) ∈ 𝑉 ∧ dom 𝑅 = 𝐴) → ([𝐵]𝑅 ∈ (𝐴 / 𝑅) ↔ 𝐵 ∈ 𝐴))

Proof of Theorem ecelqsdmb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ecelqsdm 8736	. . . 4 ⊢ ((dom 𝑅 = 𝐴 ∧ [𝐵]𝑅 ∈ (𝐴 / 𝑅)) → 𝐵 ∈ 𝐴)
2	1	ex 412	. . 3 ⊢ (dom 𝑅 = 𝐴 → ([𝐵]𝑅 ∈ (𝐴 / 𝑅) → 𝐵 ∈ 𝐴))
3	2	adantl 481	. 2 ⊢ (((𝑅 ↾ 𝐴) ∈ 𝑉 ∧ dom 𝑅 = 𝐴) → ([𝐵]𝑅 ∈ (𝐴 / 𝑅) → 𝐵 ∈ 𝐴))
4		ecelqs 8718	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ↾ 𝐴) ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → [𝐵]𝑅 ∈ (𝐴 / 𝑅))
5	4	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝑅 ↾ 𝐴) ∈ 𝑉 → (𝐵 ∈ 𝐴 → [𝐵]𝑅 ∈ (𝐴 / 𝑅)))
6	5	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝑅 ↾ 𝐴) ∈ 𝑉 ∧ dom 𝑅 = 𝐴) → (𝐵 ∈ 𝐴 → [𝐵]𝑅 ∈ (𝐴 / 𝑅)))
7	3, 6	impbid 212	1 ⊢ (((𝑅 ↾ 𝐴) ∈ 𝑉 ∧ dom 𝑅 = 𝐴) → ([𝐵]𝑅 ∈ (𝐴 / 𝑅) ↔ 𝐵 ∈ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  dom cdm 5634   ↾ cres 5636  [cec 8645   / cqs 8646

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-pr 5381  ax-un 7692

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-ec 8649  df-qs 8653

This theorem is referenced by:  eceldmqs  8738