Theorem ecelqsdmb 8789

Description: 𝑅-coset of 𝐵 in a quotient set, biconditional version. (Contributed by Peter Mazsa, 17-Apr-2019.) (Revised by Peter Mazsa, 22-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ecelqsdmb	⊢ (((𝑅 ↾ 𝐴) ∈ 𝑉 ∧ dom 𝑅 = 𝐴) → ([𝐵]𝑅 ∈ (𝐴 / 𝑅) ↔ 𝐵 ∈ 𝐴))

Proof of Theorem ecelqsdmb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ecelqsdm 8788	. . . 4 ⊢ ((dom 𝑅 = 𝐴 ∧ [𝐵]𝑅 ∈ (𝐴 / 𝑅)) → 𝐵 ∈ 𝐴)
2	1	ex 418	. . 3 ⊢ (dom 𝑅 = 𝐴 → ([𝐵]𝑅 ∈ (𝐴 / 𝑅) → 𝐵 ∈ 𝐴))
3	2	adantl 487	. 2 ⊢ (((𝑅 ↾ 𝐴) ∈ 𝑉 ∧ dom 𝑅 = 𝐴) → ([𝐵]𝑅 ∈ (𝐴 / 𝑅) → 𝐵 ∈ 𝐴))
4		ecelqs 8770	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ↾ 𝐴) ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → [𝐵]𝑅 ∈ (𝐴 / 𝑅))
5	4	ex 418	. . 3 ⊢ ((𝑅 ↾ 𝐴) ∈ 𝑉 → (𝐵 ∈ 𝐴 → [𝐵]𝑅 ∈ (𝐴 / 𝑅)))
6	5	adantr 486	. 2 ⊢ (((𝑅 ↾ 𝐴) ∈ 𝑉 ∧ dom 𝑅 = 𝐴) → (𝐵 ∈ 𝐴 → [𝐵]𝑅 ∈ (𝐴 / 𝑅)))
7	3, 6	impbid 215	1 ⊢ (((𝑅 ↾ 𝐴) ∈ 𝑉 ∧ dom 𝑅 = 𝐴) → ([𝐵]𝑅 ∈ (𝐴 / 𝑅) ↔ 𝐵 ∈ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  dom cdm 5659   ↾ cres 5661  [cec 8697   / cqs 8698

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-pr 5402  ax-un 7739

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-ec 8701  df-qs 8705

This theorem is used by:  eceldmqs  8790