Theorem ecelqsdmb 8736

Description: 𝑅-coset of 𝐵 in a quotient set, biconditional version. (Contributed by Peter Mazsa, 17-Apr-2019.) (Revised by Peter Mazsa, 22-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ecelqsdmb	⊢ (((𝑅 ↾ 𝐴) ∈ 𝑉 ∧ dom 𝑅 = 𝐴) → ([𝐵]𝑅 ∈ (𝐴 / 𝑅) ↔ 𝐵 ∈ 𝐴))

Proof of Theorem ecelqsdmb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ecelqsdm 8735	. . . 4 ⊢ ((dom 𝑅 = 𝐴 ∧ [𝐵]𝑅 ∈ (𝐴 / 𝑅)) → 𝐵 ∈ 𝐴)
2	1	ex 412	. . 3 ⊢ (dom 𝑅 = 𝐴 → ([𝐵]𝑅 ∈ (𝐴 / 𝑅) → 𝐵 ∈ 𝐴))
3	2	adantl 481	. 2 ⊢ (((𝑅 ↾ 𝐴) ∈ 𝑉 ∧ dom 𝑅 = 𝐴) → ([𝐵]𝑅 ∈ (𝐴 / 𝑅) → 𝐵 ∈ 𝐴))
4		ecelqs 8718	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ↾ 𝐴) ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → [𝐵]𝑅 ∈ (𝐴 / 𝑅))
5	4	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝑅 ↾ 𝐴) ∈ 𝑉 → (𝐵 ∈ 𝐴 → [𝐵]𝑅 ∈ (𝐴 / 𝑅)))
6	5	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝑅 ↾ 𝐴) ∈ 𝑉 ∧ dom 𝑅 = 𝐴) → (𝐵 ∈ 𝐴 → [𝐵]𝑅 ∈ (𝐴 / 𝑅)))
7	3, 6	impbid 212	1 ⊢ (((𝑅 ↾ 𝐴) ∈ 𝑉 ∧ dom 𝑅 = 𝐴) → ([𝐵]𝑅 ∈ (𝐴 / 𝑅) ↔ 𝐵 ∈ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  dom cdm 5631   ↾ cres 5633  [cec 8646   / cqs 8647

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ec 8650  df-qs 8654

This theorem is referenced by:  eceldmqs  8737