Theorem ecelqsdm 8777

Description: Membership of an equivalence class in a quotient set. (Contributed by NM, 30-Jul-1995.)

Assertion

Ref	Expression
ecelqsdm	⊢ ((dom 𝑅 = 𝐴 ∧ [𝐵]𝑅 ∈ (𝐴 / 𝑅)) → 𝐵 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem ecelqsdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elqsn0 8776	. . 3 ⊢ ((dom 𝑅 = 𝐴 ∧ [𝐵]𝑅 ∈ (𝐴 / 𝑅)) → [𝐵]𝑅 ≠ ∅)
2		ecdmn0 8746	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ dom 𝑅 ↔ [𝐵]𝑅 ≠ ∅)
3	1, 2	sylibr 233	. 2 ⊢ ((dom 𝑅 = 𝐴 ∧ [𝐵]𝑅 ∈ (𝐴 / 𝑅)) → 𝐵 ∈ dom 𝑅)
4		simpl 483	. 2 ⊢ ((dom 𝑅 = 𝐴 ∧ [𝐵]𝑅 ∈ (𝐴 / 𝑅)) → dom 𝑅 = 𝐴)
5	3, 4	eleqtrd 2835	1 ⊢ ((dom 𝑅 = 𝐴 ∧ [𝐵]𝑅 ∈ (𝐴 / 𝑅)) → 𝐵 ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∅c0 4321  dom cdm 5675  [cec 8697   / cqs 8698

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-br 5148  df-opab 5210  df-xp 5681  df-cnv 5683  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ec 8701  df-qs 8705

This theorem is referenced by:  brecop2  8801  prsrlem1  11063