Theorem ecelqsdm 8814

Description: Membership of an equivalence class in a quotient set. (Contributed by NM, 30-Jul-1995.)

Assertion

Ref	Expression
ecelqsdm	⊢ ((dom 𝑅 = 𝐴 ∧ [𝐵]𝑅 ∈ (𝐴 / 𝑅)) → 𝐵 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem ecelqsdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elqsn0 8813	. . 3 ⊢ ((dom 𝑅 = 𝐴 ∧ [𝐵]𝑅 ∈ (𝐴 / 𝑅)) → [𝐵]𝑅 ≠ ∅)
2		ecdmn0 8778	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ dom 𝑅 ↔ [𝐵]𝑅 ≠ ∅)
3	1, 2	sylibr 237	. 2 ⊢ ((dom 𝑅 = 𝐴 ∧ [𝐵]𝑅 ∈ (𝐴 / 𝑅)) → 𝐵 ∈ dom 𝑅)
4		simpl 488	. 2 ⊢ ((dom 𝑅 = 𝐴 ∧ [𝐵]𝑅 ∈ (𝐴 / 𝑅)) → dom 𝑅 = 𝐴)
5	3, 4	eleqtrd 2862	1 ⊢ ((dom 𝑅 = 𝐴 ∧ [𝐵]𝑅 ∈ (𝐴 / 𝑅)) → 𝐵 ∈ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∅c0 4277  dom cdm 5651  [cec 8723   / cqs 8724

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-br 5103  df-opab 5167  df-xp 5657  df-cnv 5659  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ec 8727  df-qs 8731

This theorem is used by:  ecelqsdmb  8815  brecop2  8840  prsrlem1  11164