| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | ecxrn 38388 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → [𝐴](𝑅 ⋉ 𝑆) = {〈𝑦, 𝑧〉 ∣ (𝐴𝑅𝑦 ∧ 𝐴𝑆𝑧)}) |
| 2 | | ecxrn 38388 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → [𝐵](𝑅 ⋉ 𝑆) = {〈𝑦, 𝑧〉 ∣ (𝐵𝑅𝑦 ∧ 𝐵𝑆𝑧)}) |
| 3 | 1, 2 | ineqan12d 4222 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ([𝐴](𝑅 ⋉ 𝑆) ∩ [𝐵](𝑅 ⋉ 𝑆)) = ({〈𝑦, 𝑧〉 ∣ (𝐴𝑅𝑦 ∧ 𝐴𝑆𝑧)} ∩ {〈𝑦, 𝑧〉 ∣ (𝐵𝑅𝑦 ∧ 𝐵𝑆𝑧)})) |
| 4 | | inopab 5839 |
. . . . . . . . 9
⊢
({〈𝑦, 𝑧〉 ∣ (𝐴𝑅𝑦 ∧ 𝐴𝑆𝑧)} ∩ {〈𝑦, 𝑧〉 ∣ (𝐵𝑅𝑦 ∧ 𝐵𝑆𝑧)}) = {〈𝑦, 𝑧〉 ∣ ((𝐴𝑅𝑦 ∧ 𝐴𝑆𝑧) ∧ (𝐵𝑅𝑦 ∧ 𝐵𝑆𝑧))} |
| 5 | 3, 4 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ([𝐴](𝑅 ⋉ 𝑆) ∩ [𝐵](𝑅 ⋉ 𝑆)) = {〈𝑦, 𝑧〉 ∣ ((𝐴𝑅𝑦 ∧ 𝐴𝑆𝑧) ∧ (𝐵𝑅𝑦 ∧ 𝐵𝑆𝑧))}) |
| 6 | | an4 656 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴𝑅𝑦 ∧ 𝐴𝑆𝑧) ∧ (𝐵𝑅𝑦 ∧ 𝐵𝑆𝑧)) ↔ ((𝐴𝑅𝑦 ∧ 𝐵𝑅𝑦) ∧ (𝐴𝑆𝑧 ∧ 𝐵𝑆𝑧))) |
| 7 | 6 | opabbii 5210 |
. . . . . . . 8
⊢
{〈𝑦, 𝑧〉 ∣ ((𝐴𝑅𝑦 ∧ 𝐴𝑆𝑧) ∧ (𝐵𝑅𝑦 ∧ 𝐵𝑆𝑧))} = {〈𝑦, 𝑧〉 ∣ ((𝐴𝑅𝑦 ∧ 𝐵𝑅𝑦) ∧ (𝐴𝑆𝑧 ∧ 𝐵𝑆𝑧))} |
| 8 | 5, 7 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ([𝐴](𝑅 ⋉ 𝑆) ∩ [𝐵](𝑅 ⋉ 𝑆)) = {〈𝑦, 𝑧〉 ∣ ((𝐴𝑅𝑦 ∧ 𝐵𝑅𝑦) ∧ (𝐴𝑆𝑧 ∧ 𝐵𝑆𝑧))}) |
| 9 | 8 | neeq1d 3000 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (([𝐴](𝑅 ⋉ 𝑆) ∩ [𝐵](𝑅 ⋉ 𝑆)) ≠ ∅ ↔ {〈𝑦, 𝑧〉 ∣ ((𝐴𝑅𝑦 ∧ 𝐵𝑅𝑦) ∧ (𝐴𝑆𝑧 ∧ 𝐵𝑆𝑧))} ≠ ∅)) |
| 10 | | opabn0 5558 |
. . . . . 6
⊢
({〈𝑦, 𝑧〉 ∣ ((𝐴𝑅𝑦 ∧ 𝐵𝑅𝑦) ∧ (𝐴𝑆𝑧 ∧ 𝐵𝑆𝑧))} ≠ ∅ ↔ ∃𝑦∃𝑧((𝐴𝑅𝑦 ∧ 𝐵𝑅𝑦) ∧ (𝐴𝑆𝑧 ∧ 𝐵𝑆𝑧))) |
| 11 | 9, 10 | bitrdi 287 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (([𝐴](𝑅 ⋉ 𝑆) ∩ [𝐵](𝑅 ⋉ 𝑆)) ≠ ∅ ↔ ∃𝑦∃𝑧((𝐴𝑅𝑦 ∧ 𝐵𝑅𝑦) ∧ (𝐴𝑆𝑧 ∧ 𝐵𝑆𝑧)))) |
| 12 | | exdistrv 1955 |
. . . . 5
⊢
(∃𝑦∃𝑧((𝐴𝑅𝑦 ∧ 𝐵𝑅𝑦) ∧ (𝐴𝑆𝑧 ∧ 𝐵𝑆𝑧)) ↔ (∃𝑦(𝐴𝑅𝑦 ∧ 𝐵𝑅𝑦) ∧ ∃𝑧(𝐴𝑆𝑧 ∧ 𝐵𝑆𝑧))) |
| 13 | 11, 12 | bitrdi 287 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (([𝐴](𝑅 ⋉ 𝑆) ∩ [𝐵](𝑅 ⋉ 𝑆)) ≠ ∅ ↔ (∃𝑦(𝐴𝑅𝑦 ∧ 𝐵𝑅𝑦) ∧ ∃𝑧(𝐴𝑆𝑧 ∧ 𝐵𝑆𝑧)))) |
| 14 | | ecinn0 38354 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (([𝐴]𝑅 ∩ [𝐵]𝑅) ≠ ∅ ↔ ∃𝑦(𝐴𝑅𝑦 ∧ 𝐵𝑅𝑦))) |
| 15 | | ecinn0 38354 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (([𝐴]𝑆 ∩ [𝐵]𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑧(𝐴𝑆𝑧 ∧ 𝐵𝑆𝑧))) |
| 16 | 14, 15 | anbi12d 632 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((([𝐴]𝑅 ∩ [𝐵]𝑅) ≠ ∅ ∧ ([𝐴]𝑆 ∩ [𝐵]𝑆) ≠ ∅) ↔ (∃𝑦(𝐴𝑅𝑦 ∧ 𝐵𝑅𝑦) ∧ ∃𝑧(𝐴𝑆𝑧 ∧ 𝐵𝑆𝑧)))) |
| 17 | 13, 16 | bitr4d 282 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (([𝐴](𝑅 ⋉ 𝑆) ∩ [𝐵](𝑅 ⋉ 𝑆)) ≠ ∅ ↔ (([𝐴]𝑅 ∩ [𝐵]𝑅) ≠ ∅ ∧ ([𝐴]𝑆 ∩ [𝐵]𝑆) ≠ ∅))) |
| 18 | | neanior 3035 |
. . 3
⊢ ((([𝐴]𝑅 ∩ [𝐵]𝑅) ≠ ∅ ∧ ([𝐴]𝑆 ∩ [𝐵]𝑆) ≠ ∅) ↔ ¬ (([𝐴]𝑅 ∩ [𝐵]𝑅) = ∅ ∨ ([𝐴]𝑆 ∩ [𝐵]𝑆) = ∅)) |
| 19 | 17, 18 | bitrdi 287 |
. 2
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (([𝐴](𝑅 ⋉ 𝑆) ∩ [𝐵](𝑅 ⋉ 𝑆)) ≠ ∅ ↔ ¬ (([𝐴]𝑅 ∩ [𝐵]𝑅) = ∅ ∨ ([𝐴]𝑆 ∩ [𝐵]𝑆) = ∅))) |
| 20 | 19 | necon4abid 2981 |
1
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (([𝐴](𝑅 ⋉ 𝑆) ∩ [𝐵](𝑅 ⋉ 𝑆)) = ∅ ↔ (([𝐴]𝑅 ∩ [𝐵]𝑅) = ∅ ∨ ([𝐴]𝑆 ∩ [𝐵]𝑆) = ∅))) |