Theorem elima2 6062

Description: Membership in an image. Theorem 34 of [Suppes] p. 65. (Contributed by NM, 11-Aug-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
elima.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
elima2	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 “ 𝐶) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥𝐵𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶

Proof of Theorem elima2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elima.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
2	1	elima 6061	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 “ 𝐶) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐶 𝑥𝐵𝐴)
3		df-rex 3088	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐶 𝑥𝐵𝐴 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥𝐵𝐴))
4	2, 3	bitri 278	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 “ 𝐶) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥𝐵𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3087  Vcvv 3451   class class class wbr 5103   “ cima 5654

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5104  df-opab 5168  df-xp 5657  df-cnv 5659  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664

This theorem is used by:  elima3  6063  dminss  6143  imainss  6144  imadif  6624  metcld2  25628  isch2  31825  dfdm5  36537  dfrn5  36538  brimg  36699  coxp  49942