Theorem elima2 6064

Description: Membership in an image. Theorem 34 of [Suppes] p. 65. (Contributed by NM, 11-Aug-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
elima.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
elima2	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 “ 𝐶) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥𝐵𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶

Proof of Theorem elima2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elima.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
2	1	elima 6063	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 “ 𝐶) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐶 𝑥𝐵𝐴)
3		df-rex 3060	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐶 𝑥𝐵𝐴 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥𝐵𝐴))
4	2, 3	bitri 275	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 “ 𝐶) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥𝐵𝐴))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∃wex 1778   ∈ wcel 2107  ∃wrex 3059  Vcvv 3463   class class class wbr 5123   “ cima 5668

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pr 5412

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-sb 2064  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3420  df-v 3465  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-br 5124  df-opab 5186  df-xp 5671  df-cnv 5673  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678

This theorem is referenced by:  elima3  6065  dminss  6153  imainss  6154  imadif  6630  metcld2  25277  isch2  31170  dfdm5  35732  dfrn5  35733  brimg  35897  coxp  48702