Theorem elima2 6037

Description: Membership in an image. Theorem 34 of [Suppes] p. 65. (Contributed by NM, 11-Aug-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
elima.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
elima2	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 “ 𝐶) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥𝐵𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶

Proof of Theorem elima2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elima.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
2	1	elima 6036	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 “ 𝐶) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐶 𝑥𝐵𝐴)
3		df-rex 3054	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐶 𝑥𝐵𝐴 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥𝐵𝐴))
4	2, 3	bitri 275	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 “ 𝐶) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥𝐵𝐴))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  Vcvv 3447   class class class wbr 5107   “ cima 5641

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-br 5108  df-opab 5170  df-xp 5644  df-cnv 5646  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651

This theorem is referenced by:  elima3  6038  dminss  6126  imainss  6127  imadif  6600  metcld2  25207  isch2  31152  dfdm5  35760  dfrn5  35761  brimg  35925  coxp  48821