Theorem isch2 31281

Description: Closed subspace 𝐻 of a Hilbert space. Definition of [Beran] p. 107. (Contributed by NM, 17-Aug-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
isch2	⊢ (𝐻 ∈ Cℋ ↔ (𝐻 ∈ Sℋ ∧ ∀𝑓∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑓,𝐻

Proof of Theorem isch2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isch 31280	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ ↔ (𝐻 ∈ Sℋ ∧ ( ⇝𝑣 “ (𝐻 ↑m ℕ)) ⊆ 𝐻))
2		alcom 2165	. . . . 5 ⊢ (∀𝑓∀𝑥((𝑓 ∈ (𝐻 ↑m ℕ) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) ↔ ∀𝑥∀𝑓((𝑓 ∈ (𝐻 ↑m ℕ) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻))
3		19.23v 1944	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑓((𝑓 ∈ (𝐻 ↑m ℕ) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) ↔ (∃𝑓(𝑓 ∈ (𝐻 ↑m ℕ) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻))
4		vex 3445	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑥 ∈ V
5	4	elima2 6026	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ( ⇝𝑣 “ (𝐻 ↑m ℕ)) ↔ ∃𝑓(𝑓 ∈ (𝐻 ↑m ℕ) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥))
6	5	imbi1i 349	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ( ⇝𝑣 “ (𝐻 ↑m ℕ)) → 𝑥 ∈ 𝐻) ↔ (∃𝑓(𝑓 ∈ (𝐻 ↑m ℕ) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻))
7	3, 6	bitr4i 278	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑓((𝑓 ∈ (𝐻 ↑m ℕ) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) ↔ (𝑥 ∈ ( ⇝𝑣 “ (𝐻 ↑m ℕ)) → 𝑥 ∈ 𝐻))
8	7	albii 1821	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥∀𝑓((𝑓 ∈ (𝐻 ↑m ℕ) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ ( ⇝𝑣 “ (𝐻 ↑m ℕ)) → 𝑥 ∈ 𝐻))
9		df-ss 3919	. . . . . 6 ⊢ (( ⇝𝑣 “ (𝐻 ↑m ℕ)) ⊆ 𝐻 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ ( ⇝𝑣 “ (𝐻 ↑m ℕ)) → 𝑥 ∈ 𝐻))
10	8, 9	bitr4i 278	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥∀𝑓((𝑓 ∈ (𝐻 ↑m ℕ) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) ↔ ( ⇝𝑣 “ (𝐻 ↑m ℕ)) ⊆ 𝐻)
11	2, 10	bitri 275	. . . 4 ⊢ (∀𝑓∀𝑥((𝑓 ∈ (𝐻 ↑m ℕ) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) ↔ ( ⇝𝑣 “ (𝐻 ↑m ℕ)) ⊆ 𝐻)
12		nnex 12155	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ∈ V
13		elmapg 8780	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ ℕ ∈ V) → (𝑓 ∈ (𝐻 ↑m ℕ) ↔ 𝑓:ℕ⟶𝐻))
14	12, 13	mpan2 692	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (𝑓 ∈ (𝐻 ↑m ℕ) ↔ 𝑓:ℕ⟶𝐻))
15	14	anbi1d 632	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → ((𝑓 ∈ (𝐻 ↑m ℕ) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) ↔ (𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)))
16	15	imbi1d 341	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (((𝑓 ∈ (𝐻 ↑m ℕ) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) ↔ ((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻)))
17	16	2albidv 1925	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (∀𝑓∀𝑥((𝑓 ∈ (𝐻 ↑m ℕ) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) ↔ ∀𝑓∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻)))
18	11, 17	bitr3id 285	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (( ⇝𝑣 “ (𝐻 ↑m ℕ)) ⊆ 𝐻 ↔ ∀𝑓∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻)))
19	18	pm5.32i 574	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ ( ⇝𝑣 “ (𝐻 ↑m ℕ)) ⊆ 𝐻) ↔ (𝐻 ∈ Sℋ ∧ ∀𝑓∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻)))
20	1, 19	bitri 275	1 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ ↔ (𝐻 ∈ Sℋ ∧ ∀𝑓∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1540  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  Vcvv 3441   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5099   “ cima 5628  ⟶wf 6489  (class class class)co 7360   ↑_m cmap 8767  ℕcn 12149   ⇝_𝑣 chli 30985   S_ℋ csh 30986   C_ℋ cch 30987

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-1cn 11088  ax-addcl 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-map 8769  df-nn 12150  df-ch 31279

This theorem is referenced by:  chlimi  31292  isch3  31299  helch  31301  hsn0elch  31306  chintcli  31389  chscl  31699  nlelchi  32119  hmopidmchi  32209