HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  isch2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isch2 29994
Description: Closed subspace 𝐻 of a Hilbert space. Definition of [Beran] p. 107. (Contributed by NM, 17-Aug-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
isch2 (𝐻C ↔ (𝐻S ∧ ∀𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑓,𝐻

Proof of Theorem isch2
StepHypRef Expression
1 isch 29993 . 2 (𝐻C ↔ (𝐻S ∧ ( ⇝𝑣 “ (𝐻m ℕ)) ⊆ 𝐻))
2 alcom 2157 . . . . 5 (∀𝑓𝑥((𝑓 ∈ (𝐻m ℕ) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ↔ ∀𝑥𝑓((𝑓 ∈ (𝐻m ℕ) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻))
3 19.23v 1946 . . . . . . . 8 (∀𝑓((𝑓 ∈ (𝐻m ℕ) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ↔ (∃𝑓(𝑓 ∈ (𝐻m ℕ) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻))
4 vex 3448 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ V
54elima2 6018 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ( ⇝𝑣 “ (𝐻m ℕ)) ↔ ∃𝑓(𝑓 ∈ (𝐻m ℕ) ∧ 𝑓𝑣 𝑥))
65imbi1i 350 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ( ⇝𝑣 “ (𝐻m ℕ)) → 𝑥𝐻) ↔ (∃𝑓(𝑓 ∈ (𝐻m ℕ) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻))
73, 6bitr4i 278 . . . . . . 7 (∀𝑓((𝑓 ∈ (𝐻m ℕ) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ↔ (𝑥 ∈ ( ⇝𝑣 “ (𝐻m ℕ)) → 𝑥𝐻))
87albii 1822 . . . . . 6 (∀𝑥𝑓((𝑓 ∈ (𝐻m ℕ) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ ( ⇝𝑣 “ (𝐻m ℕ)) → 𝑥𝐻))
9 dfss2 3929 . . . . . 6 (( ⇝𝑣 “ (𝐻m ℕ)) ⊆ 𝐻 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ ( ⇝𝑣 “ (𝐻m ℕ)) → 𝑥𝐻))
108, 9bitr4i 278 . . . . 5 (∀𝑥𝑓((𝑓 ∈ (𝐻m ℕ) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ↔ ( ⇝𝑣 “ (𝐻m ℕ)) ⊆ 𝐻)
112, 10bitri 275 . . . 4 (∀𝑓𝑥((𝑓 ∈ (𝐻m ℕ) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ↔ ( ⇝𝑣 “ (𝐻m ℕ)) ⊆ 𝐻)
12 nnex 12118 . . . . . . . 8 ℕ ∈ V
13 elmapg 8737 . . . . . . . 8 ((𝐻S ∧ ℕ ∈ V) → (𝑓 ∈ (𝐻m ℕ) ↔ 𝑓:ℕ⟶𝐻))
1412, 13mpan2 690 . . . . . . 7 (𝐻S → (𝑓 ∈ (𝐻m ℕ) ↔ 𝑓:ℕ⟶𝐻))
1514anbi1d 631 . . . . . 6 (𝐻S → ((𝑓 ∈ (𝐻m ℕ) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) ↔ (𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥)))
1615imbi1d 342 . . . . 5 (𝐻S → (((𝑓 ∈ (𝐻m ℕ) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ↔ ((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻)))
17162albidv 1927 . . . 4 (𝐻S → (∀𝑓𝑥((𝑓 ∈ (𝐻m ℕ) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ↔ ∀𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻)))
1811, 17bitr3id 285 . . 3 (𝐻S → (( ⇝𝑣 “ (𝐻m ℕ)) ⊆ 𝐻 ↔ ∀𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻)))
1918pm5.32i 576 . 2 ((𝐻S ∧ ( ⇝𝑣 “ (𝐻m ℕ)) ⊆ 𝐻) ↔ (𝐻S ∧ ∀𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻)))
201, 19bitri 275 1 (𝐻C ↔ (𝐻S ∧ ∀𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  wal 1540  wex 1782  wcel 2107  Vcvv 3444  wss 3909   class class class wbr 5104  cima 5635  wf 6490  (class class class)co 7352  m cmap 8724  cn 12112  𝑣 chli 29698   S csh 29699   C cch 29700
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7665  ax-cnex 11066  ax-1cn 11068  ax-addcl 11070
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7796  df-2nd 7915  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8310  df-rdg 8349  df-map 8726  df-nn 12113  df-ch 29992
This theorem is referenced by:  chlimi  30005  isch3  30012  helch  30014  hsn0elch  30019  chintcli  30102  chscl  30412  nlelchi  30832  hmopidmchi  30922
  Copyright terms: Public domain W3C validator