HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  isch2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isch2 29304
Description: Closed subspace 𝐻 of a Hilbert space. Definition of [Beran] p. 107. (Contributed by NM, 17-Aug-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
isch2 (𝐻C ↔ (𝐻S ∧ ∀𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑓,𝐻

Proof of Theorem isch2
StepHypRef Expression
1 isch 29303 . 2 (𝐻C ↔ (𝐻S ∧ ( ⇝𝑣 “ (𝐻m ℕ)) ⊆ 𝐻))
2 alcom 2160 . . . . 5 (∀𝑓𝑥((𝑓 ∈ (𝐻m ℕ) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ↔ ∀𝑥𝑓((𝑓 ∈ (𝐻m ℕ) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻))
3 19.23v 1950 . . . . . . . 8 (∀𝑓((𝑓 ∈ (𝐻m ℕ) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ↔ (∃𝑓(𝑓 ∈ (𝐻m ℕ) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻))
4 vex 3412 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ V
54elima2 5935 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ( ⇝𝑣 “ (𝐻m ℕ)) ↔ ∃𝑓(𝑓 ∈ (𝐻m ℕ) ∧ 𝑓𝑣 𝑥))
65imbi1i 353 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ( ⇝𝑣 “ (𝐻m ℕ)) → 𝑥𝐻) ↔ (∃𝑓(𝑓 ∈ (𝐻m ℕ) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻))
73, 6bitr4i 281 . . . . . . 7 (∀𝑓((𝑓 ∈ (𝐻m ℕ) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ↔ (𝑥 ∈ ( ⇝𝑣 “ (𝐻m ℕ)) → 𝑥𝐻))
87albii 1827 . . . . . 6 (∀𝑥𝑓((𝑓 ∈ (𝐻m ℕ) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ ( ⇝𝑣 “ (𝐻m ℕ)) → 𝑥𝐻))
9 dfss2 3886 . . . . . 6 (( ⇝𝑣 “ (𝐻m ℕ)) ⊆ 𝐻 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ ( ⇝𝑣 “ (𝐻m ℕ)) → 𝑥𝐻))
108, 9bitr4i 281 . . . . 5 (∀𝑥𝑓((𝑓 ∈ (𝐻m ℕ) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ↔ ( ⇝𝑣 “ (𝐻m ℕ)) ⊆ 𝐻)
112, 10bitri 278 . . . 4 (∀𝑓𝑥((𝑓 ∈ (𝐻m ℕ) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ↔ ( ⇝𝑣 “ (𝐻m ℕ)) ⊆ 𝐻)
12 nnex 11836 . . . . . . . 8 ℕ ∈ V
13 elmapg 8521 . . . . . . . 8 ((𝐻S ∧ ℕ ∈ V) → (𝑓 ∈ (𝐻m ℕ) ↔ 𝑓:ℕ⟶𝐻))
1412, 13mpan2 691 . . . . . . 7 (𝐻S → (𝑓 ∈ (𝐻m ℕ) ↔ 𝑓:ℕ⟶𝐻))
1514anbi1d 633 . . . . . 6 (𝐻S → ((𝑓 ∈ (𝐻m ℕ) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) ↔ (𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥)))
1615imbi1d 345 . . . . 5 (𝐻S → (((𝑓 ∈ (𝐻m ℕ) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ↔ ((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻)))
17162albidv 1931 . . . 4 (𝐻S → (∀𝑓𝑥((𝑓 ∈ (𝐻m ℕ) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ↔ ∀𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻)))
1811, 17bitr3id 288 . . 3 (𝐻S → (( ⇝𝑣 “ (𝐻m ℕ)) ⊆ 𝐻 ↔ ∀𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻)))
1918pm5.32i 578 . 2 ((𝐻S ∧ ( ⇝𝑣 “ (𝐻m ℕ)) ⊆ 𝐻) ↔ (𝐻S ∧ ∀𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻)))
201, 19bitri 278 1 (𝐻C ↔ (𝐻S ∧ ∀𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  wal 1541  wex 1787  wcel 2110  Vcvv 3408  wss 3866   class class class wbr 5053  cima 5554  wf 6376  (class class class)co 7213  m cmap 8508  cn 11830  𝑣 chli 29008   S csh 29009   C cch 29010
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-1cn 10787  ax-addcl 10789
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-map 8510  df-nn 11831  df-ch 29302
This theorem is referenced by:  chlimi  29315  isch3  29322  helch  29324  hsn0elch  29329  chintcli  29412  chscl  29722  nlelchi  30142  hmopidmchi  30232
  Copyright terms: Public domain W3C validator