Theorem isch2 31252

Description: Closed subspace 𝐻 of a Hilbert space. Definition of [Beran] p. 107. (Contributed by NM, 17-Aug-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
isch2	⊢ (𝐻 ∈ Cℋ ↔ (𝐻 ∈ Sℋ ∧ ∀𝑓∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑓,𝐻

Proof of Theorem isch2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isch 31251	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ ↔ (𝐻 ∈ Sℋ ∧ ( ⇝𝑣 “ (𝐻 ↑m ℕ)) ⊆ 𝐻))
2		alcom 2157	. . . . 5 ⊢ (∀𝑓∀𝑥((𝑓 ∈ (𝐻 ↑m ℕ) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) ↔ ∀𝑥∀𝑓((𝑓 ∈ (𝐻 ↑m ℕ) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻))
3		19.23v 1940	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑓((𝑓 ∈ (𝐻 ↑m ℕ) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) ↔ (∃𝑓(𝑓 ∈ (𝐻 ↑m ℕ) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻))
4		vex 3482	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑥 ∈ V
5	4	elima2 6086	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ( ⇝𝑣 “ (𝐻 ↑m ℕ)) ↔ ∃𝑓(𝑓 ∈ (𝐻 ↑m ℕ) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥))
6	5	imbi1i 349	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ( ⇝𝑣 “ (𝐻 ↑m ℕ)) → 𝑥 ∈ 𝐻) ↔ (∃𝑓(𝑓 ∈ (𝐻 ↑m ℕ) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻))
7	3, 6	bitr4i 278	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑓((𝑓 ∈ (𝐻 ↑m ℕ) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) ↔ (𝑥 ∈ ( ⇝𝑣 “ (𝐻 ↑m ℕ)) → 𝑥 ∈ 𝐻))
8	7	albii 1816	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥∀𝑓((𝑓 ∈ (𝐻 ↑m ℕ) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ ( ⇝𝑣 “ (𝐻 ↑m ℕ)) → 𝑥 ∈ 𝐻))
9		df-ss 3980	. . . . . 6 ⊢ (( ⇝𝑣 “ (𝐻 ↑m ℕ)) ⊆ 𝐻 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ ( ⇝𝑣 “ (𝐻 ↑m ℕ)) → 𝑥 ∈ 𝐻))
10	8, 9	bitr4i 278	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥∀𝑓((𝑓 ∈ (𝐻 ↑m ℕ) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) ↔ ( ⇝𝑣 “ (𝐻 ↑m ℕ)) ⊆ 𝐻)
11	2, 10	bitri 275	. . . 4 ⊢ (∀𝑓∀𝑥((𝑓 ∈ (𝐻 ↑m ℕ) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) ↔ ( ⇝𝑣 “ (𝐻 ↑m ℕ)) ⊆ 𝐻)
12		nnex 12270	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ∈ V
13		elmapg 8878	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ ℕ ∈ V) → (𝑓 ∈ (𝐻 ↑m ℕ) ↔ 𝑓:ℕ⟶𝐻))
14	12, 13	mpan2 691	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (𝑓 ∈ (𝐻 ↑m ℕ) ↔ 𝑓:ℕ⟶𝐻))
15	14	anbi1d 631	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → ((𝑓 ∈ (𝐻 ↑m ℕ) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) ↔ (𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)))
16	15	imbi1d 341	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (((𝑓 ∈ (𝐻 ↑m ℕ) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) ↔ ((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻)))
17	16	2albidv 1921	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (∀𝑓∀𝑥((𝑓 ∈ (𝐻 ↑m ℕ) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) ↔ ∀𝑓∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻)))
18	11, 17	bitr3id 285	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (( ⇝𝑣 “ (𝐻 ↑m ℕ)) ⊆ 𝐻 ↔ ∀𝑓∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻)))
19	18	pm5.32i 574	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ ( ⇝𝑣 “ (𝐻 ↑m ℕ)) ⊆ 𝐻) ↔ (𝐻 ∈ Sℋ ∧ ∀𝑓∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻)))
20	1, 19	bitri 275	1 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ ↔ (𝐻 ∈ Sℋ ∧ ∀𝑓∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1535  ∃wex 1776   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478   ⊆ wss 3963   class class class wbr 5148   “ cima 5692  ⟶wf 6559  (class class class)co 7431   ↑_m cmap 8865  ℕcn 12264   ⇝_𝑣 chli 30956   S_ℋ csh 30957   C_ℋ cch 30958

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-1cn 11211  ax-addcl 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-map 8867  df-nn 12265  df-ch 31250

This theorem is referenced by:  chlimi  31263  isch3  31270  helch  31272  hsn0elch  31277  chintcli  31360  chscl  31670  nlelchi  32090  hmopidmchi  32180