Theorem isch2 31243

Description: Closed subspace 𝐻 of a Hilbert space. Definition of [Beran] p. 107. (Contributed by NM, 17-Aug-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
isch2	⊢ (𝐻 ∈ Cℋ ↔ (𝐻 ∈ Sℋ ∧ ∀𝑓∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑓,𝐻

Proof of Theorem isch2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isch 31242	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ ↔ (𝐻 ∈ Sℋ ∧ ( ⇝𝑣 “ (𝐻 ↑m ℕ)) ⊆ 𝐻))
2		alcom 2158	. . . . 5 ⊢ (∀𝑓∀𝑥((𝑓 ∈ (𝐻 ↑m ℕ) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) ↔ ∀𝑥∀𝑓((𝑓 ∈ (𝐻 ↑m ℕ) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻))
3		19.23v 1941	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑓((𝑓 ∈ (𝐻 ↑m ℕ) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) ↔ (∃𝑓(𝑓 ∈ (𝐻 ↑m ℕ) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻))
4		vex 3483	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑥 ∈ V
5	4	elima2 6083	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ( ⇝𝑣 “ (𝐻 ↑m ℕ)) ↔ ∃𝑓(𝑓 ∈ (𝐻 ↑m ℕ) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥))
6	5	imbi1i 349	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ( ⇝𝑣 “ (𝐻 ↑m ℕ)) → 𝑥 ∈ 𝐻) ↔ (∃𝑓(𝑓 ∈ (𝐻 ↑m ℕ) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻))
7	3, 6	bitr4i 278	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑓((𝑓 ∈ (𝐻 ↑m ℕ) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) ↔ (𝑥 ∈ ( ⇝𝑣 “ (𝐻 ↑m ℕ)) → 𝑥 ∈ 𝐻))
8	7	albii 1818	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥∀𝑓((𝑓 ∈ (𝐻 ↑m ℕ) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ ( ⇝𝑣 “ (𝐻 ↑m ℕ)) → 𝑥 ∈ 𝐻))
9		df-ss 3967	. . . . . 6 ⊢ (( ⇝𝑣 “ (𝐻 ↑m ℕ)) ⊆ 𝐻 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ ( ⇝𝑣 “ (𝐻 ↑m ℕ)) → 𝑥 ∈ 𝐻))
10	8, 9	bitr4i 278	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥∀𝑓((𝑓 ∈ (𝐻 ↑m ℕ) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) ↔ ( ⇝𝑣 “ (𝐻 ↑m ℕ)) ⊆ 𝐻)
11	2, 10	bitri 275	. . . 4 ⊢ (∀𝑓∀𝑥((𝑓 ∈ (𝐻 ↑m ℕ) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) ↔ ( ⇝𝑣 “ (𝐻 ↑m ℕ)) ⊆ 𝐻)
12		nnex 12273	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ∈ V
13		elmapg 8880	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ ℕ ∈ V) → (𝑓 ∈ (𝐻 ↑m ℕ) ↔ 𝑓:ℕ⟶𝐻))
14	12, 13	mpan2 691	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (𝑓 ∈ (𝐻 ↑m ℕ) ↔ 𝑓:ℕ⟶𝐻))
15	14	anbi1d 631	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → ((𝑓 ∈ (𝐻 ↑m ℕ) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) ↔ (𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)))
16	15	imbi1d 341	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (((𝑓 ∈ (𝐻 ↑m ℕ) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) ↔ ((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻)))
17	16	2albidv 1922	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (∀𝑓∀𝑥((𝑓 ∈ (𝐻 ↑m ℕ) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) ↔ ∀𝑓∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻)))
18	11, 17	bitr3id 285	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (( ⇝𝑣 “ (𝐻 ↑m ℕ)) ⊆ 𝐻 ↔ ∀𝑓∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻)))
19	18	pm5.32i 574	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ ( ⇝𝑣 “ (𝐻 ↑m ℕ)) ⊆ 𝐻) ↔ (𝐻 ∈ Sℋ ∧ ∀𝑓∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻)))
20	1, 19	bitri 275	1 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ ↔ (𝐻 ∈ Sℋ ∧ ∀𝑓∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1537  ∃wex 1778   ∈ wcel 2107  Vcvv 3479   ⊆ wss 3950   class class class wbr 5142   “ cima 5687  ⟶wf 6556  (class class class)co 7432   ↑_m cmap 8867  ℕcn 12267   ⇝_𝑣 chli 30947   S_ℋ csh 30948   C_ℋ cch 30949

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-1cn 11214  ax-addcl 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-map 8869  df-nn 12268  df-ch 31241

This theorem is referenced by:  chlimi  31254  isch3  31261  helch  31263  hsn0elch  31268  chintcli  31351  chscl  31661  nlelchi  32081  hmopidmchi  32171