HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  isch2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isch2 28916
Description: Closed subspace 𝐻 of a Hilbert space. Definition of [Beran] p. 107. (Contributed by NM, 17-Aug-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
isch2 (𝐻C ↔ (𝐻S ∧ ∀𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑓,𝐻

Proof of Theorem isch2
StepHypRef Expression
1 isch 28915 . 2 (𝐻C ↔ (𝐻S ∧ ( ⇝𝑣 “ (𝐻m ℕ)) ⊆ 𝐻))
2 alcom 2155 . . . . 5 (∀𝑓𝑥((𝑓 ∈ (𝐻m ℕ) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ↔ ∀𝑥𝑓((𝑓 ∈ (𝐻m ℕ) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻))
3 19.23v 1936 . . . . . . . 8 (∀𝑓((𝑓 ∈ (𝐻m ℕ) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ↔ (∃𝑓(𝑓 ∈ (𝐻m ℕ) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻))
4 vex 3502 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ V
54elima2 5932 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ( ⇝𝑣 “ (𝐻m ℕ)) ↔ ∃𝑓(𝑓 ∈ (𝐻m ℕ) ∧ 𝑓𝑣 𝑥))
65imbi1i 351 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ( ⇝𝑣 “ (𝐻m ℕ)) → 𝑥𝐻) ↔ (∃𝑓(𝑓 ∈ (𝐻m ℕ) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻))
73, 6bitr4i 279 . . . . . . 7 (∀𝑓((𝑓 ∈ (𝐻m ℕ) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ↔ (𝑥 ∈ ( ⇝𝑣 “ (𝐻m ℕ)) → 𝑥𝐻))
87albii 1813 . . . . . 6 (∀𝑥𝑓((𝑓 ∈ (𝐻m ℕ) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ ( ⇝𝑣 “ (𝐻m ℕ)) → 𝑥𝐻))
9 dfss2 3958 . . . . . 6 (( ⇝𝑣 “ (𝐻m ℕ)) ⊆ 𝐻 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ ( ⇝𝑣 “ (𝐻m ℕ)) → 𝑥𝐻))
108, 9bitr4i 279 . . . . 5 (∀𝑥𝑓((𝑓 ∈ (𝐻m ℕ) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ↔ ( ⇝𝑣 “ (𝐻m ℕ)) ⊆ 𝐻)
112, 10bitri 276 . . . 4 (∀𝑓𝑥((𝑓 ∈ (𝐻m ℕ) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ↔ ( ⇝𝑣 “ (𝐻m ℕ)) ⊆ 𝐻)
12 nnex 11636 . . . . . . . 8 ℕ ∈ V
13 elmapg 8412 . . . . . . . 8 ((𝐻S ∧ ℕ ∈ V) → (𝑓 ∈ (𝐻m ℕ) ↔ 𝑓:ℕ⟶𝐻))
1412, 13mpan2 687 . . . . . . 7 (𝐻S → (𝑓 ∈ (𝐻m ℕ) ↔ 𝑓:ℕ⟶𝐻))
1514anbi1d 629 . . . . . 6 (𝐻S → ((𝑓 ∈ (𝐻m ℕ) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) ↔ (𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥)))
1615imbi1d 343 . . . . 5 (𝐻S → (((𝑓 ∈ (𝐻m ℕ) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ↔ ((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻)))
17162albidv 1917 . . . 4 (𝐻S → (∀𝑓𝑥((𝑓 ∈ (𝐻m ℕ) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ↔ ∀𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻)))
1811, 17syl5bbr 286 . . 3 (𝐻S → (( ⇝𝑣 “ (𝐻m ℕ)) ⊆ 𝐻 ↔ ∀𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻)))
1918pm5.32i 575 . 2 ((𝐻S ∧ ( ⇝𝑣 “ (𝐻m ℕ)) ⊆ 𝐻) ↔ (𝐻S ∧ ∀𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻)))
201, 19bitri 276 1 (𝐻C ↔ (𝐻S ∧ ∀𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  wal 1528  wex 1773  wcel 2107  Vcvv 3499  wss 3939   class class class wbr 5062  cima 5556  wf 6347  (class class class)co 7151  m cmap 8399  cn 11630  𝑣 chli 28620   S csh 28621   C cch 28622
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-1cn 10587  ax-addcl 10589
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-map 8401  df-nn 11631  df-ch 28914
This theorem is referenced by:  chlimi  28927  isch3  28934  helch  28936  hsn0elch  28941  chintcli  29024  chscl  29334  nlelchi  29754  hmopidmchi  29844
  Copyright terms: Public domain W3C validator