HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  isch2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isch2 28927
Description: Closed subspace 𝐻 of a Hilbert space. Definition of [Beran] p. 107. (Contributed by NM, 17-Aug-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
isch2 (𝐻C ↔ (𝐻S ∧ ∀𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑓,𝐻

Proof of Theorem isch2
StepHypRef Expression
1 isch 28926 . 2 (𝐻C ↔ (𝐻S ∧ ( ⇝𝑣 “ (𝐻m ℕ)) ⊆ 𝐻))
2 alcom 2153 . . . . 5 (∀𝑓𝑥((𝑓 ∈ (𝐻m ℕ) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ↔ ∀𝑥𝑓((𝑓 ∈ (𝐻m ℕ) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻))
3 19.23v 1934 . . . . . . . 8 (∀𝑓((𝑓 ∈ (𝐻m ℕ) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ↔ (∃𝑓(𝑓 ∈ (𝐻m ℕ) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻))
4 vex 3495 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ V
54elima2 5928 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ( ⇝𝑣 “ (𝐻m ℕ)) ↔ ∃𝑓(𝑓 ∈ (𝐻m ℕ) ∧ 𝑓𝑣 𝑥))
65imbi1i 351 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ( ⇝𝑣 “ (𝐻m ℕ)) → 𝑥𝐻) ↔ (∃𝑓(𝑓 ∈ (𝐻m ℕ) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻))
73, 6bitr4i 279 . . . . . . 7 (∀𝑓((𝑓 ∈ (𝐻m ℕ) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ↔ (𝑥 ∈ ( ⇝𝑣 “ (𝐻m ℕ)) → 𝑥𝐻))
87albii 1811 . . . . . 6 (∀𝑥𝑓((𝑓 ∈ (𝐻m ℕ) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ ( ⇝𝑣 “ (𝐻m ℕ)) → 𝑥𝐻))
9 dfss2 3952 . . . . . 6 (( ⇝𝑣 “ (𝐻m ℕ)) ⊆ 𝐻 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ ( ⇝𝑣 “ (𝐻m ℕ)) → 𝑥𝐻))
108, 9bitr4i 279 . . . . 5 (∀𝑥𝑓((𝑓 ∈ (𝐻m ℕ) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ↔ ( ⇝𝑣 “ (𝐻m ℕ)) ⊆ 𝐻)
112, 10bitri 276 . . . 4 (∀𝑓𝑥((𝑓 ∈ (𝐻m ℕ) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ↔ ( ⇝𝑣 “ (𝐻m ℕ)) ⊆ 𝐻)
12 nnex 11632 . . . . . . . 8 ℕ ∈ V
13 elmapg 8408 . . . . . . . 8 ((𝐻S ∧ ℕ ∈ V) → (𝑓 ∈ (𝐻m ℕ) ↔ 𝑓:ℕ⟶𝐻))
1412, 13mpan2 687 . . . . . . 7 (𝐻S → (𝑓 ∈ (𝐻m ℕ) ↔ 𝑓:ℕ⟶𝐻))
1514anbi1d 629 . . . . . 6 (𝐻S → ((𝑓 ∈ (𝐻m ℕ) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) ↔ (𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥)))
1615imbi1d 343 . . . . 5 (𝐻S → (((𝑓 ∈ (𝐻m ℕ) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ↔ ((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻)))
17162albidv 1915 . . . 4 (𝐻S → (∀𝑓𝑥((𝑓 ∈ (𝐻m ℕ) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ↔ ∀𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻)))
1811, 17syl5bbr 286 . . 3 (𝐻S → (( ⇝𝑣 “ (𝐻m ℕ)) ⊆ 𝐻 ↔ ∀𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻)))
1918pm5.32i 575 . 2 ((𝐻S ∧ ( ⇝𝑣 “ (𝐻m ℕ)) ⊆ 𝐻) ↔ (𝐻S ∧ ∀𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻)))
201, 19bitri 276 1 (𝐻C ↔ (𝐻S ∧ ∀𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  wal 1526  wex 1771  wcel 2105  Vcvv 3492  wss 3933   class class class wbr 5057  cima 5551  wf 6344  (class class class)co 7145  m cmap 8395  cn 11626  𝑣 chli 28631   S csh 28632   C cch 28633
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-1cn 10583  ax-addcl 10585
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-map 8397  df-nn 11627  df-ch 28925
This theorem is referenced by:  chlimi  28938  isch3  28945  helch  28947  hsn0elch  28952  chintcli  29035  chscl  29345  nlelchi  29765  hmopidmchi  29855
  Copyright terms: Public domain W3C validator