MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metcld2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem metcld2 24823
Description: A subset of a metric space is closed iff every convergent sequence on it converges to a point in the subset. Theorem 1.4-6(b) of [Kreyszig] p. 30. (Contributed by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
metcld.2 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
metcld2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ (𝑆 ∈ (Clsdβ€˜π½) ↔ ((β‡π‘‘β€˜π½) β€œ (𝑆 ↑m β„•)) βŠ† 𝑆))
Proof of Theorem metcld2
Dummy variables π‘₯ 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metcld.2 . . 3 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
21metcld 24822 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ (𝑆 ∈ (Clsdβ€˜π½) ↔ βˆ€π‘₯βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘† ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)))
3 19.23v 1945 . . . . 5 (βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘† ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆) ↔ (βˆƒπ‘“(𝑓:β„•βŸΆπ‘† ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆))
4 vex 3478 . . . . . . . 8 π‘₯ ∈ V
54elima2 6065 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ((β‡π‘‘β€˜π½) β€œ (𝑆 ↑m β„•)) ↔ βˆƒπ‘“(𝑓 ∈ (𝑆 ↑m β„•) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯))
6 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 βŠ† 𝑋 β†’ 𝑆 βŠ† 𝑋)
7 elfvdm 6928 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ dom ∞Met)
8 ssexg 5323 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ dom ∞Met) β†’ 𝑆 ∈ V)
96, 7, 8syl2anr 597 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ 𝑆 ∈ V)
10 nnex 12217 . . . . . . . . . 10 β„• ∈ V
11 elmapg 8832 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ V ∧ β„• ∈ V) β†’ (𝑓 ∈ (𝑆 ↑m β„•) ↔ 𝑓:β„•βŸΆπ‘†))
129, 10, 11sylancl 586 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ (𝑓 ∈ (𝑆 ↑m β„•) ↔ 𝑓:β„•βŸΆπ‘†))
1312anbi1d 630 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ ((𝑓 ∈ (𝑆 ↑m β„•) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ↔ (𝑓:β„•βŸΆπ‘† ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯)))
1413exbidv 1924 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ (βˆƒπ‘“(𝑓 ∈ (𝑆 ↑m β„•) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ↔ βˆƒπ‘“(𝑓:β„•βŸΆπ‘† ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯)))
155, 14bitr2id 283 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ (βˆƒπ‘“(𝑓:β„•βŸΆπ‘† ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ↔ π‘₯ ∈ ((β‡π‘‘β€˜π½) β€œ (𝑆 ↑m β„•))))
1615imbi1d 341 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ ((βˆƒπ‘“(𝑓:β„•βŸΆπ‘† ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆) ↔ (π‘₯ ∈ ((β‡π‘‘β€˜π½) β€œ (𝑆 ↑m β„•)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)))
173, 16bitrid 282 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ (βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘† ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆) ↔ (π‘₯ ∈ ((β‡π‘‘β€˜π½) β€œ (𝑆 ↑m β„•)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)))
1817albidv 1923 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ (βˆ€π‘₯βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘† ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆) ↔ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ ((β‡π‘‘β€˜π½) β€œ (𝑆 ↑m β„•)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)))
19 dfss2 3968 . . 3 (((β‡π‘‘β€˜π½) β€œ (𝑆 ↑m β„•)) βŠ† 𝑆 ↔ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ ((β‡π‘‘β€˜π½) β€œ (𝑆 ↑m β„•)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆))
2018, 19bitr4di 288 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ (βˆ€π‘₯βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘† ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆) ↔ ((β‡π‘‘β€˜π½) β€œ (𝑆 ↑m β„•)) βŠ† 𝑆))
212, 20bitrd 278 1 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ (𝑆 ∈ (Clsdβ€˜π½) ↔ ((β‡π‘‘β€˜π½) β€œ (𝑆 ↑m β„•)) βŠ† 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396  βˆ€wal 1539   = wceq 1541  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148  dom cdm 5676   β€œ cima 5679  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   ↑m cmap 8819  β„•cn 12211  βˆžMetcxmet 20928  MetOpencmopn 20933  Clsdccld 22519  β‡π‘‘clm 22729
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cc 10429  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-card 9933  df-acn 9936  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-fz 13484  df-topgen 17388  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-top 22395  df-topon 22412  df-bases 22448  df-cld 22522  df-ntr 22523  df-cls 22524  df-lm 22732  df-1stc 22942
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator