Theorem metcld2 25234

Description: A subset of a metric space is closed iff every convergent sequence on it converges to a point in the subset. Theorem 1.4-6(b) of [Kreyszig] p. 30. (Contributed by Mario Carneiro, 1-May-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
metcld.2	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
metcld2	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ ((⇝𝑡‘𝐽) “ (𝑆 ↑m ℕ)) ⊆ 𝑆))

Proof of Theorem metcld2

Dummy variables 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metcld.2	. . 3 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
2	1	metcld 25233	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ ∀𝑥∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑆 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑆)))
3		19.23v 1943	. . . . 5 ⊢ (∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑆 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑆) ↔ (∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑆 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑆))
4		vex 3440	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
5	4	elima2 6014	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ((⇝𝑡‘𝐽) “ (𝑆 ↑m ℕ)) ↔ ∃𝑓(𝑓 ∈ (𝑆 ↑m ℕ) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥))
6		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝑋 → 𝑆 ⊆ 𝑋)
7		elfvdm 6856	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
8		ssexg 5259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ dom ∞Met) → 𝑆 ∈ V)
9	6, 7, 8	syl2anr 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → 𝑆 ∈ V)
10		nnex 12131	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ ∈ V
11		elmapg 8763	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ ℕ ∈ V) → (𝑓 ∈ (𝑆 ↑m ℕ) ↔ 𝑓:ℕ⟶𝑆))
12	9, 10, 11	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑓 ∈ (𝑆 ↑m ℕ) ↔ 𝑓:ℕ⟶𝑆))
13	12	anbi1d 631	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((𝑓 ∈ (𝑆 ↑m ℕ) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ↔ (𝑓:ℕ⟶𝑆 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥)))
14	13	exbidv 1922	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (∃𝑓(𝑓 ∈ (𝑆 ↑m ℕ) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ↔ ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑆 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥)))
15	5, 14	bitr2id 284	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑆 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ↔ 𝑥 ∈ ((⇝𝑡‘𝐽) “ (𝑆 ↑m ℕ))))
16	15	imbi1d 341	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑆 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑆) ↔ (𝑥 ∈ ((⇝𝑡‘𝐽) “ (𝑆 ↑m ℕ)) → 𝑥 ∈ 𝑆)))
17	3, 16	bitrid 283	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑆 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑆) ↔ (𝑥 ∈ ((⇝𝑡‘𝐽) “ (𝑆 ↑m ℕ)) → 𝑥 ∈ 𝑆)))
18	17	albidv 1921	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (∀𝑥∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑆 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑆) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ ((⇝𝑡‘𝐽) “ (𝑆 ↑m ℕ)) → 𝑥 ∈ 𝑆)))
19		df-ss 3914	. . 3 ⊢ (((⇝𝑡‘𝐽) “ (𝑆 ↑m ℕ)) ⊆ 𝑆 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ ((⇝𝑡‘𝐽) “ (𝑆 ↑m ℕ)) → 𝑥 ∈ 𝑆))
20	18, 19	bitr4di 289	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (∀𝑥∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑆 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑆) ↔ ((⇝𝑡‘𝐽) “ (𝑆 ↑m ℕ)) ⊆ 𝑆))
21	2, 20	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ ((⇝𝑡‘𝐽) “ (𝑆 ↑m ℕ)) ⊆ 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1539   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ⊆ wss 3897   class class class wbr 5089  dom cdm 5614   “ cima 5617  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ↑_m cmap 8750  ℕcn 12125  ∞Metcxmet 21276  MetOpencmopn 21281  Clsdccld 22931  ⇝_𝑡clm 23141

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cc 10326  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-inf 9327  df-card 9832  df-acn 9835  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-q 12847  df-rp 12891  df-xneg 13011  df-xadd 13012  df-xmul 13013  df-fz 13408  df-topgen 17347  df-psmet 21283  df-xmet 21284  df-bl 21286  df-mopn 21287  df-top 22809  df-topon 22826  df-bases 22861  df-cld 22934  df-ntr 22935  df-cls 22936  df-lm 23144  df-1stc 23354

This theorem is referenced by: (None)