Theorem metcld2 25628

Description: A subset of a metric space is closed iff every convergent sequence on it converges to a point in the subset. Theorem 1.4-6(b) of [Kreyszig] p. 30. (Contributed by Mario Carneiro, 1-May-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
metcld.2	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
metcld2	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ ((⇝𝑡‘𝐽) “ (𝑆 ↑m ℕ)) ⊆ 𝑆))

Proof of Theorem metcld2

Dummy variables 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metcld.2	. . 3 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
2	1	metcld 25627	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ ∀𝑥∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑆 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑆)))
3		19.23v 1975	. . . . 5 ⊢ (∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑆 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑆) ↔ (∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑆 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑆))
4		vex 3455	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
5	4	elima2 6062	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ((⇝𝑡‘𝐽) “ (𝑆 ↑m ℕ)) ↔ ∃𝑓(𝑓 ∈ (𝑆 ↑m ℕ) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥))
6		id 23	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝑋 → 𝑆 ⊆ 𝑋)
7		elfvdm 6919	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
8		ssexg 5281	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ dom ∞Met) → 𝑆 ∈ V)
9	6, 7, 8	syl2anr 609	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → 𝑆 ∈ V)
10		nnex 12341	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ ∈ V
11		elmapg 8859	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ ℕ ∈ V) → (𝑓 ∈ (𝑆 ↑m ℕ) ↔ 𝑓:ℕ⟶𝑆))
12	9, 10, 11	sylancl 598	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑓 ∈ (𝑆 ↑m ℕ) ↔ 𝑓:ℕ⟶𝑆))
13	12	anbi1d 643	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((𝑓 ∈ (𝑆 ↑m ℕ) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ↔ (𝑓:ℕ⟶𝑆 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥)))
14	13	exbidv 1954	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (∃𝑓(𝑓 ∈ (𝑆 ↑m ℕ) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ↔ ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑆 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥)))
15	5, 14	bitr2id 287	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑆 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ↔ 𝑥 ∈ ((⇝𝑡‘𝐽) “ (𝑆 ↑m ℕ))))
16	15	imbi1d 344	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑆 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑆) ↔ (𝑥 ∈ ((⇝𝑡‘𝐽) “ (𝑆 ↑m ℕ)) → 𝑥 ∈ 𝑆)))
17	3, 16	bitrid 286	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑆 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑆) ↔ (𝑥 ∈ ((⇝𝑡‘𝐽) “ (𝑆 ↑m ℕ)) → 𝑥 ∈ 𝑆)))
18	17	albidv 1953	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (∀𝑥∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑆 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑆) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ ((⇝𝑡‘𝐽) “ (𝑆 ↑m ℕ)) → 𝑥 ∈ 𝑆)))
19		df-ss 3916	. . 3 ⊢ (((⇝𝑡‘𝐽) “ (𝑆 ↑m ℕ)) ⊆ 𝑆 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ ((⇝𝑡‘𝐽) “ (𝑆 ↑m ℕ)) → 𝑥 ∈ 𝑆))
20	18, 19	bitr4di 292	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (∀𝑥∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑆 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑆) ↔ ((⇝𝑡‘𝐽) “ (𝑆 ↑m ℕ)) ⊆ 𝑆))
21	2, 20	bitrd 282	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ ((⇝𝑡‘𝐽) “ (𝑆 ↑m ℕ)) ⊆ 𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401  ∀wal 1568   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103  dom cdm 5651   “ cima 5654  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ↑_m cmap 8847  ℕcn 12335  ∞Metcxmet 21663  MetOpencmopn 21668  Clsdccld 23334  ⇝_𝑡clm 23544

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cc 10513  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-inf 9435  df-card 10020  df-acn 10023  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-fz 13640  df-topgen 17614  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-bl 21673  df-mopn 21674  df-top 23212  df-topon 23229  df-bases 23264  df-cld 23337  df-ntr 23338  df-cls 23339  df-lm 23547  df-1stc 23757

This theorem is used by: (None)