Theorem elima3 6063

Description: Membership in an image. Theorem 34 of [Suppes] p. 65. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Hypothesis

Ref	Expression
elima.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
elima3	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 “ 𝐶) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐶 ∧ ⟨𝑥, 𝐴⟩ ∈ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶

Proof of Theorem elima3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elima.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
2	1	elima2 6062	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 “ 𝐶) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥𝐵𝐴))
3		df-br 5104	. . . 4 ⊢ (𝑥𝐵𝐴 ↔ ⟨𝑥, 𝐴⟩ ∈ 𝐵)
4	3	anbi2i 635	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥𝐵𝐴) ↔ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ ⟨𝑥, 𝐴⟩ ∈ 𝐵))
5	4	exbii 1881	. 2 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥𝐵𝐴) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐶 ∧ ⟨𝑥, 𝐴⟩ ∈ 𝐵))
6	2, 5	bitri 278	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 “ 𝐶) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐶 ∧ ⟨𝑥, 𝐴⟩ ∈ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450  ⟨cop 4590   class class class wbr 5103   “ cima 5658

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5104  df-opab 5168  df-xp 5661  df-cnv 5663  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668

This theorem is used by:  cnvresima  6226  imaiun  7243  1stpreimas  33179  elima4  36356  imaiun1  44492  snhesn  44627