Theorem elrefsymrelsrel 38569

Description: For sets, being an element of the class of reflexive and symmetric relations is equivalent to satisfying the reflexive and symmetric relation predicates. (Contributed by Peter Mazsa, 23-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
elrefsymrelsrel	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅 ∈ ( RefRels ∩ SymRels ) ↔ ( RefRel 𝑅 ∧ SymRel 𝑅)))

Proof of Theorem elrefsymrelsrel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3933	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ ( RefRels ∩ SymRels ) ↔ (𝑅 ∈ RefRels ∧ 𝑅 ∈ SymRels ))
2		elrefrelsrel 38518	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅 ∈ RefRels ↔ RefRel 𝑅))
3		elsymrelsrel 38555	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅 ∈ SymRels ↔ SymRel 𝑅))
4	2, 3	anbi12d 632	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((𝑅 ∈ RefRels ∧ 𝑅 ∈ SymRels ) ↔ ( RefRel 𝑅 ∧ SymRel 𝑅)))
5	1, 4	bitrid 283	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅 ∈ ( RefRels ∩ SymRels ) ↔ ( RefRel 𝑅 ∧ SymRel 𝑅)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ∩ cin 3916   RefRels crefrels 38181   RefRel wrefrel 38182   SymRels csymrels 38187   SymRel wsymrel 38188

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-br 5111  df-opab 5173  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-rels 38483  df-ssr 38496  df-refs 38508  df-refrels 38509  df-refrel 38510  df-syms 38540  df-symrels 38541  df-symrel 38542

This theorem is referenced by: (None)