Theorem elrefsymrelsrel 39337

Description: For sets, being an element of the class of reflexive and symmetric relations is equivalent to satisfying the reflexive and symmetric relation predicates. (Contributed by Peter Mazsa, 23-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
elrefsymrelsrel	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅 ∈ ( RefRels ∩ SymRels ) ↔ ( RefRel 𝑅 ∧ SymRel 𝑅)))

Proof of Theorem elrefsymrelsrel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3922	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ ( RefRels ∩ SymRels ) ↔ (𝑅 ∈ RefRels ∧ 𝑅 ∈ SymRels ))
2		elrefrelsrel 39282	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅 ∈ RefRels ↔ RefRel 𝑅))
3		elsymrelsrel 39323	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅 ∈ SymRels ↔ SymRel 𝑅))
4	2, 3	anbi12d 644	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((𝑅 ∈ RefRels ∧ 𝑅 ∈ SymRels ) ↔ ( RefRel 𝑅 ∧ SymRel 𝑅)))
5	1, 4	bitrid 286	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅 ∈ ( RefRels ∩ SymRels ) ↔ ( RefRel 𝑅 ∧ SymRel 𝑅)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146   ∩ cin 3905   RefRels crefrels 38870   RefRel wrefrel 38871   SymRels csymrels 38876   SymRel wsymrel 38877

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-pr 5406

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-br 5112  df-opab 5176  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-rels 39122  df-ssr 39260  df-refs 39272  df-refrels 39273  df-refrel 39274  df-syms 39304  df-symrels 39305  df-symrel 39306

This theorem is used by: (None)