Theorem elrefsymrelsrel 38687

Description: For sets, being an element of the class of reflexive and symmetric relations is equivalent to satisfying the reflexive and symmetric relation predicates. (Contributed by Peter Mazsa, 23-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
elrefsymrelsrel	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅 ∈ ( RefRels ∩ SymRels ) ↔ ( RefRel 𝑅 ∧ SymRel 𝑅)))

Proof of Theorem elrefsymrelsrel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3914	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ ( RefRels ∩ SymRels ) ↔ (𝑅 ∈ RefRels ∧ 𝑅 ∈ SymRels ))
2		elrefrelsrel 38632	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅 ∈ RefRels ↔ RefRel 𝑅))
3		elsymrelsrel 38673	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅 ∈ SymRels ↔ SymRel 𝑅))
4	2, 3	anbi12d 632	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((𝑅 ∈ RefRels ∧ 𝑅 ∈ SymRels ) ↔ ( RefRel 𝑅 ∧ SymRel 𝑅)))
5	1, 4	bitrid 283	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅 ∈ ( RefRels ∩ SymRels ) ↔ ( RefRel 𝑅 ∧ SymRel 𝑅)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113   ∩ cin 3897   RefRels crefrels 38247   RefRel wrefrel 38248   SymRels csymrels 38253   SymRel wsymrel 38254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pr 5372

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-br 5094  df-opab 5156  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-rels 38484  df-ssr 38610  df-refs 38622  df-refrels 38623  df-refrel 38624  df-syms 38654  df-symrels 38655  df-symrel 38656

This theorem is referenced by: (None)