Theorem epnsym 9603

Description: The membership (epsilon) relation is not symmetric. (Contributed by AV, 18-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
epnsym	⊢ ◡ E ≠ E

Proof of Theorem epnsym

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvepnep 9602	. 2 ⊢ (◡ E ∩ E ) = ∅
2		disjeq0 4455	. 2 ⊢ ((◡ E ∩ E ) = ∅ → (◡ E = E ↔ (◡ E = ∅ ∧ E = ∅)))
3		epn0 5585	. . . . . 6 ⊢ E ≠ ∅
4		eqneqall 2951	. . . . . 6 ⊢ ( E = ∅ → ( E ≠ ∅ → ◡ E ≠ E ))
5	3, 4	mpi 20	. . . . 5 ⊢ ( E = ∅ → ◡ E ≠ E )
6	5	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((◡ E = ∅ ∧ E = ∅) → ◡ E ≠ E )
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (◡ E = E → ((◡ E = ∅ ∧ E = ∅) → ◡ E ≠ E ))
8		neqne 2948	. . . 4 ⊢ (¬ ◡ E = E → ◡ E ≠ E )
9	8	a1d 25	. . 3 ⊢ (¬ ◡ E = E → (¬ (◡ E = ∅ ∧ E = ∅) → ◡ E ≠ E ))
10	7, 9	bija 381	. 2 ⊢ ((◡ E = E ↔ (◡ E = ∅ ∧ E = ∅)) → ◡ E ≠ E )
11	1, 2, 10	mp2b 10	1 ⊢ ◡ E ≠ E

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ≠ wne 2940   ∩ cin 3947  ∅c0 4322   E cep 5579  ^◡ccnv 5675

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-reg 9586

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-br 5149  df-opab 5211  df-eprel 5580  df-fr 5631  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684

This theorem is referenced by:  epnsymrel  37427