Theorem epnsym 9056

Description: The membership (epsilon) relation is not symmetric. (Contributed by AV, 18-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
epnsym	⊢ ◡ E ≠ E

Proof of Theorem epnsym

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvepnep 9055	. 2 ⊢ (◡ E ∩ E ) = ∅
2		disjeq0 4363	. 2 ⊢ ((◡ E ∩ E ) = ∅ → (◡ E = E ↔ (◡ E = ∅ ∧ E = ∅)))
3		epn0 5435	. . . . . 6 ⊢ E ≠ ∅
4		eqneqall 2998	. . . . . 6 ⊢ ( E = ∅ → ( E ≠ ∅ → ◡ E ≠ E ))
5	3, 4	mpi 20	. . . . 5 ⊢ ( E = ∅ → ◡ E ≠ E )
6	5	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((◡ E = ∅ ∧ E = ∅) → ◡ E ≠ E )
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (◡ E = E → ((◡ E = ∅ ∧ E = ∅) → ◡ E ≠ E ))
8		neqne 2995	. . . 4 ⊢ (¬ ◡ E = E → ◡ E ≠ E )
9	8	a1d 25	. . 3 ⊢ (¬ ◡ E = E → (¬ (◡ E = ∅ ∧ E = ∅) → ◡ E ≠ E ))
10	7, 9	bija 385	. 2 ⊢ ((◡ E = E ↔ (◡ E = ∅ ∧ E = ∅)) → ◡ E ≠ E )
11	1, 2, 10	mp2b 10	1 ⊢ ◡ E ≠ E

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ≠ wne 2987   ∩ cin 3880  ∅c0 4243   E cep 5429  ^◡ccnv 5518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5295  ax-reg 9040

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-br 5031  df-opab 5093  df-eprel 5430  df-fr 5478  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527

This theorem is referenced by:  epnsymrel  35958