Theorem epnsym 9678

Description: The membership (epsilon) relation is not symmetric. (Contributed by AV, 18-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
epnsym	⊢ ◡ E ≠ E

Proof of Theorem epnsym

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvepnep 9677	. 2 ⊢ (◡ E ∩ E ) = ∅
2		disjeq0 4479	. 2 ⊢ ((◡ E ∩ E ) = ∅ → (◡ E = E ↔ (◡ E = ∅ ∧ E = ∅)))
3		epn0 5604	. . . . . 6 ⊢ E ≠ ∅
4		eqneqall 2957	. . . . . 6 ⊢ ( E = ∅ → ( E ≠ ∅ → ◡ E ≠ E ))
5	3, 4	mpi 20	. . . . 5 ⊢ ( E = ∅ → ◡ E ≠ E )
6	5	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((◡ E = ∅ ∧ E = ∅) → ◡ E ≠ E )
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (◡ E = E → ((◡ E = ∅ ∧ E = ∅) → ◡ E ≠ E ))
8		neqne 2954	. . . 4 ⊢ (¬ ◡ E = E → ◡ E ≠ E )
9	8	a1d 25	. . 3 ⊢ (¬ ◡ E = E → (¬ (◡ E = ∅ ∧ E = ∅) → ◡ E ≠ E ))
10	7, 9	bija 380	. 2 ⊢ ((◡ E = E ↔ (◡ E = ∅ ∧ E = ∅)) → ◡ E ≠ E )
11	1, 2, 10	mp2b 10	1 ⊢ ◡ E ≠ E

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ≠ wne 2946   ∩ cin 3975  ∅c0 4352   E cep 5598  ^◡ccnv 5699

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447  ax-reg 9661

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-br 5167  df-opab 5229  df-eprel 5599  df-fr 5652  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708

This theorem is referenced by:  epnsymrel  38518