Theorem epnsym 9367

Description: The membership (epsilon) relation is not symmetric. (Contributed by AV, 18-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
epnsym	⊢ ◡ E ≠ E

Proof of Theorem epnsym

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvepnep 9366	. 2 ⊢ (◡ E ∩ E ) = ∅
2		disjeq0 4389	. 2 ⊢ ((◡ E ∩ E ) = ∅ → (◡ E = E ↔ (◡ E = ∅ ∧ E = ∅)))
3		epn0 5500	. . . . . 6 ⊢ E ≠ ∅
4		eqneqall 2954	. . . . . 6 ⊢ ( E = ∅ → ( E ≠ ∅ → ◡ E ≠ E ))
5	3, 4	mpi 20	. . . . 5 ⊢ ( E = ∅ → ◡ E ≠ E )
6	5	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((◡ E = ∅ ∧ E = ∅) → ◡ E ≠ E )
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (◡ E = E → ((◡ E = ∅ ∧ E = ∅) → ◡ E ≠ E ))
8		neqne 2951	. . . 4 ⊢ (¬ ◡ E = E → ◡ E ≠ E )
9	8	a1d 25	. . 3 ⊢ (¬ ◡ E = E → (¬ (◡ E = ∅ ∧ E = ∅) → ◡ E ≠ E ))
10	7, 9	bija 382	. 2 ⊢ ((◡ E = E ↔ (◡ E = ∅ ∧ E = ∅)) → ◡ E ≠ E )
11	1, 2, 10	mp2b 10	1 ⊢ ◡ E ≠ E

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ≠ wne 2943   ∩ cin 3886  ∅c0 4256   E cep 5494  ^◡ccnv 5588

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352  ax-reg 9351

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-br 5075  df-opab 5137  df-eprel 5495  df-fr 5544  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597

This theorem is referenced by:  epnsymrel  36676