Theorem epnsym 9530

Description: The membership (epsilon) relation is not symmetric. (Contributed by AV, 18-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
epnsym	⊢ ◡ E ≠ E

Proof of Theorem epnsym

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvepnep 9529	. 2 ⊢ (◡ E ∩ E ) = ∅
2		disjeq0 4410	. 2 ⊢ ((◡ E ∩ E ) = ∅ → (◡ E = E ↔ (◡ E = ∅ ∧ E = ∅)))
3		epn0 5537	. . . . . 6 ⊢ E ≠ ∅
4		eqneqall 2944	. . . . . 6 ⊢ ( E = ∅ → ( E ≠ ∅ → ◡ E ≠ E ))
5	3, 4	mpi 20	. . . . 5 ⊢ ( E = ∅ → ◡ E ≠ E )
6	5	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((◡ E = ∅ ∧ E = ∅) → ◡ E ≠ E )
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (◡ E = E → ((◡ E = ∅ ∧ E = ∅) → ◡ E ≠ E ))
8		neqne 2941	. . . 4 ⊢ (¬ ◡ E = E → ◡ E ≠ E )
9	8	a1d 25	. . 3 ⊢ (¬ ◡ E = E → (¬ (◡ E = ∅ ∧ E = ∅) → ◡ E ≠ E ))
10	7, 9	bija 380	. 2 ⊢ ((◡ E = E ↔ (◡ E = ∅ ∧ E = ∅)) → ◡ E ≠ E )
11	1, 2, 10	mp2b 10	1 ⊢ ◡ E ≠ E

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ≠ wne 2933   ∩ cin 3902  ∅c0 4287   E cep 5531  ^◡ccnv 5631

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379  ax-reg 9509

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-br 5101  df-opab 5163  df-eprel 5532  df-fr 5585  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640

This theorem is referenced by:  epnsymrel  38891