Theorem eqvreleq 38603

Description: Equality theorem for equivalence relation. (Contributed by Peter Mazsa, 19-Apr-2020.) (Revised by Peter Mazsa, 23-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
eqvreleq	⊢ (𝑅 = 𝑆 → ( EqvRel 𝑅 ↔ EqvRel 𝑆))

Proof of Theorem eqvreleq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		refreleq 38522	. . 3 ⊢ (𝑅 = 𝑆 → ( RefRel 𝑅 ↔ RefRel 𝑆))
2		symreleq 38559	. . 3 ⊢ (𝑅 = 𝑆 → ( SymRel 𝑅 ↔ SymRel 𝑆))
3		trreleq 38583	. . 3 ⊢ (𝑅 = 𝑆 → ( TrRel 𝑅 ↔ TrRel 𝑆))
4	1, 2, 3	3anbi123d 1438	. 2 ⊢ (𝑅 = 𝑆 → (( RefRel 𝑅 ∧ SymRel 𝑅 ∧ TrRel 𝑅) ↔ ( RefRel 𝑆 ∧ SymRel 𝑆 ∧ TrRel 𝑆)))
5		df-eqvrel 38586	. 2 ⊢ ( EqvRel 𝑅 ↔ ( RefRel 𝑅 ∧ SymRel 𝑅 ∧ TrRel 𝑅))
6		df-eqvrel 38586	. 2 ⊢ ( EqvRel 𝑆 ↔ ( RefRel 𝑆 ∧ SymRel 𝑆 ∧ TrRel 𝑆))
7	4, 5, 6	3bitr4g 314	1 ⊢ (𝑅 = 𝑆 → ( EqvRel 𝑅 ↔ EqvRel 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   RefRel wrefrel 38188   SymRel wsymrel 38194   TrRel wtrrel 38197   EqvRel weqvrel 38199

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-br 5144  df-opab 5206  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-refrel 38513  df-symrel 38545  df-trrel 38575  df-eqvrel 38586

This theorem is referenced by:  eqvreleqi  38604  eqvreleqd  38605  erALTVeq1  38670