Theorem eqvreleq 38937

Description: Equality theorem for equivalence relation. (Contributed by Peter Mazsa, 19-Apr-2020.) (Revised by Peter Mazsa, 23-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
eqvreleq	⊢ (𝑅 = 𝑆 → ( EqvRel 𝑅 ↔ EqvRel 𝑆))

Proof of Theorem eqvreleq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		refreleq 38852	. . 3 ⊢ (𝑅 = 𝑆 → ( RefRel 𝑅 ↔ RefRel 𝑆))
2		symreleq 38893	. . 3 ⊢ (𝑅 = 𝑆 → ( SymRel 𝑅 ↔ SymRel 𝑆))
3		trreleq 38917	. . 3 ⊢ (𝑅 = 𝑆 → ( TrRel 𝑅 ↔ TrRel 𝑆))
4	1, 2, 3	3anbi123d 1439	. 2 ⊢ (𝑅 = 𝑆 → (( RefRel 𝑅 ∧ SymRel 𝑅 ∧ TrRel 𝑅) ↔ ( RefRel 𝑆 ∧ SymRel 𝑆 ∧ TrRel 𝑆)))
5		df-eqvrel 38920	. 2 ⊢ ( EqvRel 𝑅 ↔ ( RefRel 𝑅 ∧ SymRel 𝑅 ∧ TrRel 𝑅))
6		df-eqvrel 38920	. 2 ⊢ ( EqvRel 𝑆 ↔ ( RefRel 𝑆 ∧ SymRel 𝑆 ∧ TrRel 𝑆))
7	4, 5, 6	3bitr4g 314	1 ⊢ (𝑅 = 𝑆 → ( EqvRel 𝑅 ↔ EqvRel 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   RefRel wrefrel 38440   SymRel wsymrel 38446   TrRel wtrrel 38449   EqvRel weqvrel 38451

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-br 5101  df-opab 5163  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-refrel 38843  df-symrel 38875  df-trrel 38909  df-eqvrel 38920

This theorem is referenced by:  eqvreleqi  38938  eqvreleqd  38939  erALTVeq1  39005