Theorem eqvreleq 38859

Description: Equality theorem for equivalence relation. (Contributed by Peter Mazsa, 19-Apr-2020.) (Revised by Peter Mazsa, 23-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
eqvreleq	⊢ (𝑅 = 𝑆 → ( EqvRel 𝑅 ↔ EqvRel 𝑆))

Proof of Theorem eqvreleq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		refreleq 38774	. . 3 ⊢ (𝑅 = 𝑆 → ( RefRel 𝑅 ↔ RefRel 𝑆))
2		symreleq 38815	. . 3 ⊢ (𝑅 = 𝑆 → ( SymRel 𝑅 ↔ SymRel 𝑆))
3		trreleq 38839	. . 3 ⊢ (𝑅 = 𝑆 → ( TrRel 𝑅 ↔ TrRel 𝑆))
4	1, 2, 3	3anbi123d 1438	. 2 ⊢ (𝑅 = 𝑆 → (( RefRel 𝑅 ∧ SymRel 𝑅 ∧ TrRel 𝑅) ↔ ( RefRel 𝑆 ∧ SymRel 𝑆 ∧ TrRel 𝑆)))
5		df-eqvrel 38842	. 2 ⊢ ( EqvRel 𝑅 ↔ ( RefRel 𝑅 ∧ SymRel 𝑅 ∧ TrRel 𝑅))
6		df-eqvrel 38842	. 2 ⊢ ( EqvRel 𝑆 ↔ ( RefRel 𝑆 ∧ SymRel 𝑆 ∧ TrRel 𝑆))
7	4, 5, 6	3bitr4g 314	1 ⊢ (𝑅 = 𝑆 → ( EqvRel 𝑅 ↔ EqvRel 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   RefRel wrefrel 38389   SymRel wsymrel 38395   TrRel wtrrel 38398   EqvRel weqvrel 38400

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-br 5099  df-opab 5161  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-refrel 38765  df-symrel 38797  df-trrel 38831  df-eqvrel 38842

This theorem is referenced by:  eqvreleqi  38860  eqvreleqd  38861  erALTVeq1  38928