Theorem ereldm 8686

Description: Equality of equivalence classes implies equivalence of domain membership. (Contributed by NM, 28-Jan-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ereldm.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 Er 𝑋)
ereldm.2	⊢ (𝜑 → [𝐴]𝑅 = [𝐵]𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ereldm	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑋 ↔ 𝐵 ∈ 𝑋))

Proof of Theorem ereldm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ereldm.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → [𝐴]𝑅 = [𝐵]𝑅)
2	1	neeq1d 2989	. . 3 ⊢ (𝜑 → ([𝐴]𝑅 ≠ ∅ ↔ [𝐵]𝑅 ≠ ∅))
3		ecdmn0 8685	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅 ↔ [𝐴]𝑅 ≠ ∅)
4		ecdmn0 8685	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ dom 𝑅 ↔ [𝐵]𝑅 ≠ ∅)
5	2, 3, 4	3bitr4g 314	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ dom 𝑅 ↔ 𝐵 ∈ dom 𝑅))
6		ereldm.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Er 𝑋)
7		erdm 8643	. . . 4 ⊢ (𝑅 Er 𝑋 → dom 𝑅 = 𝑋)
8	6, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝑅 = 𝑋)
9	8	eleq2d 2820	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ dom 𝑅 ↔ 𝐴 ∈ 𝑋))
10	8	eleq2d 2820	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ dom 𝑅 ↔ 𝐵 ∈ 𝑋))
11	5, 9, 10	3bitr3d 309	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑋 ↔ 𝐵 ∈ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  ∅c0 4283  dom cdm 5622   Er wer 8630  [cec 8631

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-br 5097  df-opab 5159  df-xp 5628  df-cnv 5630  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-er 8633  df-ec 8635

This theorem is referenced by:  erth  8687  brecop  8745  eceqoveq  8757