Theorem ereldm 8771

Description: Equality of equivalence classes implies equivalence of domain membership. (Contributed by NM, 28-Jan-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ereldm.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 Er 𝑋)
ereldm.2	⊢ (𝜑 → [𝐴]𝑅 = [𝐵]𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ereldm	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑋 ↔ 𝐵 ∈ 𝑋))

Proof of Theorem ereldm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ereldm.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → [𝐴]𝑅 = [𝐵]𝑅)
2	1	neeq1d 3015	. . 3 ⊢ (𝜑 → ([𝐴]𝑅 ≠ ∅ ↔ [𝐵]𝑅 ≠ ∅))
3		ecdmn0 8770	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅 ↔ [𝐴]𝑅 ≠ ∅)
4		ecdmn0 8770	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ dom 𝑅 ↔ [𝐵]𝑅 ≠ ∅)
5	2, 3, 4	3bitr4g 317	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ dom 𝑅 ↔ 𝐵 ∈ dom 𝑅))
6		ereldm.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Er 𝑋)
7		erdm 8728	. . . 4 ⊢ (𝑅 Er 𝑋 → dom 𝑅 = 𝑋)
8	6, 7	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝑅 = 𝑋)
9	8	eleq2d 2847	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ dom 𝑅 ↔ 𝐴 ∈ 𝑋))
10	8	eleq2d 2847	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ dom 𝑅 ↔ 𝐵 ∈ 𝑋))
11	5, 9, 10	3bitr3d 312	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑋 ↔ 𝐵 ∈ 𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∅c0 4279  dom cdm 5651   Er wer 8714  [cec 8715

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5104  df-opab 5168  df-xp 5657  df-cnv 5659  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-er 8717  df-ec 8719

This theorem is used by:  erth  8772  brecop  8831  eceqoveq  8843