Theorem ereldm 8697

Description: Equality of equivalence classes implies equivalence of domain membership. (Contributed by NM, 28-Jan-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ereldm.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 Er 𝑋)
ereldm.2	⊢ (𝜑 → [𝐴]𝑅 = [𝐵]𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ereldm	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑋 ↔ 𝐵 ∈ 𝑋))

Proof of Theorem ereldm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ereldm.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → [𝐴]𝑅 = [𝐵]𝑅)
2	1	neeq1d 2991	. . 3 ⊢ (𝜑 → ([𝐴]𝑅 ≠ ∅ ↔ [𝐵]𝑅 ≠ ∅))
3		ecdmn0 8696	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅 ↔ [𝐴]𝑅 ≠ ∅)
4		ecdmn0 8696	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ dom 𝑅 ↔ [𝐵]𝑅 ≠ ∅)
5	2, 3, 4	3bitr4g 314	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ dom 𝑅 ↔ 𝐵 ∈ dom 𝑅))
6		ereldm.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Er 𝑋)
7		erdm 8654	. . . 4 ⊢ (𝑅 Er 𝑋 → dom 𝑅 = 𝑋)
8	6, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝑅 = 𝑋)
9	8	eleq2d 2822	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ dom 𝑅 ↔ 𝐴 ∈ 𝑋))
10	8	eleq2d 2822	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ dom 𝑅 ↔ 𝐵 ∈ 𝑋))
11	5, 9, 10	3bitr3d 309	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑋 ↔ 𝐵 ∈ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∅c0 4273  dom cdm 5631   Er wer 8640  [cec 8641

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-br 5086  df-opab 5148  df-xp 5637  df-cnv 5639  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-er 8643  df-ec 8645

This theorem is referenced by:  erth  8698  brecop  8757  eceqoveq  8769