Theorem ereldm 8747

Description: Equality of equivalence classes implies equivalence of domain membership. (Contributed by NM, 28-Jan-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ereldm.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 Er 𝑋)
ereldm.2	⊢ (𝜑 → [𝐴]𝑅 = [𝐵]𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ereldm	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑋 ↔ 𝐵 ∈ 𝑋))

Proof of Theorem ereldm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ereldm.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → [𝐴]𝑅 = [𝐵]𝑅)
2	1	neeq1d 3000	. . 3 ⊢ (𝜑 → ([𝐴]𝑅 ≠ ∅ ↔ [𝐵]𝑅 ≠ ∅))
3		ecdmn0 8746	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅 ↔ [𝐴]𝑅 ≠ ∅)
4		ecdmn0 8746	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ dom 𝑅 ↔ [𝐵]𝑅 ≠ ∅)
5	2, 3, 4	3bitr4g 313	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ dom 𝑅 ↔ 𝐵 ∈ dom 𝑅))
6		ereldm.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Er 𝑋)
7		erdm 8709	. . . 4 ⊢ (𝑅 Er 𝑋 → dom 𝑅 = 𝑋)
8	6, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝑅 = 𝑋)
9	8	eleq2d 2819	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ dom 𝑅 ↔ 𝐴 ∈ 𝑋))
10	8	eleq2d 2819	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ dom 𝑅 ↔ 𝐵 ∈ 𝑋))
11	5, 9, 10	3bitr3d 308	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑋 ↔ 𝐵 ∈ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∅c0 4321  dom cdm 5675   Er wer 8696  [cec 8697

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-br 5148  df-opab 5210  df-xp 5681  df-cnv 5683  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-er 8699  df-ec 8701

This theorem is referenced by:  erth  8748  brecop  8800  eceqoveq  8812