Theorem eupre2 39691

Description: Unique predecessor exists on the range of the successor map. (Contributed by Peter Mazsa, 12-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
eupre2	⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑁 ∈ ran SucMap ↔ ∃!𝑚 𝑚 SucMap 𝑁))

Distinct variable groups:   𝑚,𝑁   𝑚,𝑉

Proof of Theorem eupre2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrng 5885	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑁 ∈ ran SucMap ↔ ∃𝑚 𝑚 SucMap 𝑁))
2		exeupre 39689	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (∃𝑚 𝑚 SucMap 𝑁 ↔ ∃!𝑚 𝑚 SucMap 𝑁))
3	1, 2	bitrd 282	1 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑁 ∈ ran SucMap ↔ ∃!𝑚 𝑚 SucMap 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209  ∃wex 1812   ∈ wcel 2147  ∃!weu 2596   class class class wbr 5108  ran crn 5659   SucMap csucmap 39376

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-reg 9623

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-eprel 5558  df-fr 5611  df-cnv 5666  df-dm 5668  df-rn 5669  df-suc 6394  df-sucmap 39660

This theorem is used by:  eupre  39692  presucmap  39693