Theorem eupre2 38831

Description: Unique predecessor exists on the range of the successor map. (Contributed by Peter Mazsa, 12-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
eupre2	⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑁 ∈ ran SucMap ↔ ∃!𝑚 𝑚 SucMap 𝑁))

Distinct variable groups:   𝑚,𝑁   𝑚,𝑉

Proof of Theorem eupre2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrng 5841	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑁 ∈ ran SucMap ↔ ∃𝑚 𝑚 SucMap 𝑁))
2		exeupre 38829	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (∃𝑚 𝑚 SucMap 𝑁 ↔ ∃!𝑚 𝑚 SucMap 𝑁))
3	1, 2	bitrd 279	1 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑁 ∈ ran SucMap ↔ ∃!𝑚 𝑚 SucMap 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  ∃!weu 2569   class class class wbr 5086  ran crn 5626   SucMap csucmap 38516

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-reg 9501

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-eprel 5525  df-fr 5578  df-cnv 5633  df-dm 5635  df-rn 5636  df-suc 6324  df-sucmap 38800

This theorem is referenced by:  eupre  38832  presucmap  38833