Theorem eupre2 39242

Description: Unique predecessor exists on the range of the successor map. (Contributed by Peter Mazsa, 12-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
eupre2	⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑁 ∈ ran SucMap ↔ ∃!𝑚 𝑚 SucMap 𝑁))

Distinct variable groups:   𝑚,𝑁   𝑚,𝑉

Proof of Theorem eupre2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrng 5875	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑁 ∈ ran SucMap ↔ ∃𝑚 𝑚 SucMap 𝑁))
2		exeupre 39240	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (∃𝑚 𝑚 SucMap 𝑁 ↔ ∃!𝑚 𝑚 SucMap 𝑁))
3	1, 2	bitrd 282	1 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑁 ∈ ran SucMap ↔ ∃!𝑚 𝑚 SucMap 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145  ∃!weu 2593   class class class wbr 5103  ran crn 5656   SucMap csucmap 38927

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-reg 9565

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-eprel 5555  df-fr 5608  df-cnv 5663  df-dm 5665  df-rn 5666  df-suc 6363  df-sucmap 39211

This theorem is used by:  eupre  39243  presucmap  39244