Theorem gdlopcfvlem 35970

Description: Lemma for gdlopcfv2 35972 through gdlopcfv8 35978. (Contributed by BTernaryTau, 19-Oct-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
gdlopcfvlem.1	⊢ 𝐴 ∈ On
gdlopcfvlem.2	⊢ 𝐵 ∈ On
gdlopcfvlem.3	⊢ 𝐴 ∈ 𝐵

Assertion

Ref	Expression
gdlopcfvlem	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐶) → if(𝐶 = 𝐴, 𝐷, 𝐸) = 𝐸)

Proof of Theorem gdlopcfvlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gdlopcfvlem.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ 𝐵
2		gdlopcfvlem.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ On
3		gdlopcfvlem.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ On
4		onelpss 6418	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)))
5	2, 3, 4	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵))
6	1, 5	mpbi 233	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)
7	6	simpri 491	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ≠ 𝐵
8		neeq2 3022	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ 𝐴 ≠ 𝐶))
9	7, 8	mpbii 236	. . . 4 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → 𝐴 ≠ 𝐶)
10		nesym 3015	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐶 ↔ ¬ 𝐶 = 𝐴)
11	9, 10	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → ¬ 𝐶 = 𝐴)
12	11	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐶) → ¬ 𝐶 = 𝐴)
13	12	iffalsed 4496	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐶) → if(𝐶 = 𝐴, 𝐷, 𝐸) = 𝐸)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   ⊆ wss 3900  ifcif 4485  Oncon0 6377

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-pr 5395

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-tr 5216  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-ord 6380  df-on 6381

This theorem is used by:  gdlopcfv2  35972  gdlopcfv3  35973  gdlopcfv4  35974  gdlopcfv5  35975  gdlopcfv6  35976  gdlopcfv7  35977  gdlopcfv8  35978