Theorem onelpss 6346

Description: Relationship between membership and proper subset of an ordinal number. (Contributed by NM, 15-Sep-1995.)

Assertion

Ref	Expression
onelpss	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)))

Proof of Theorem onelpss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 6316	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
2		eloni 6316	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
3		ordelssne 6333	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)))
4	1, 2, 3	syl2an 596	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   ⊆ wss 3902  Ord word 6305  Oncon0 6306

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-tr 5199  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-ord 6309  df-on 6310

This theorem is referenced by:  tfindsg  7791  findsg  7827  oancom  9541  cardsdom2  9881  alephord  9966  scutbdaylt  27760  omabs2  43371  naddwordnexlem4  43440  omssrncard  43579