Theorem onelpss 6396

Description: Relationship between membership and proper subset of an ordinal number. (Contributed by NM, 15-Sep-1995.)

Assertion

Ref	Expression
onelpss	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)))

Proof of Theorem onelpss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 6365	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
2		eloni 6365	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
3		ordelssne 6382	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)))
4	1, 2, 3	syl2an 608	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956   ⊆ wss 3899  Ord word 6354  Oncon0 6355

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-tr 5213  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-ord 6358  df-on 6359

This theorem is used by:  tfindsg  7861  findsg  7898  oancom  9636  cardsdom2  10050  alephord  10135  cutbdaylt  28166  nelscottrankgt  35727  omabs2  44292  naddwordnexlem4  44361  omssrncard  44499