Theorem onelpss 6414

Description: Relationship between membership and proper subset of an ordinal number. (Contributed by NM, 15-Sep-1995.)

Assertion

Ref	Expression
onelpss	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)))

Proof of Theorem onelpss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 6384	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
2		eloni 6384	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
3		ordelssne 6401	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)))
4	1, 2, 3	syl2an 594	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2937   ⊆ wss 3949  Ord word 6373  Oncon0 6374

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5433

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-sb 2060  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-tr 5270  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-ord 6377  df-on 6378

This theorem is referenced by:  tfindsg  7871  findsg  7911  oancom  9682  cardsdom2  10019  alephord  10106  scutbdaylt  27771  omabs2  42792  naddwordnexlem4  42862  omssrncard  43001