Theorem grpmgmd 19018

Description: A group is a magma, deduction form. (Contributed by SN, 14-Apr-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
grpmgmd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)

Assertion

Ref	Expression
grpmgmd	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mgm)

Proof of Theorem grpmgmd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmgmd.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
2	1	grpmndd 19003	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
3		mndmgm 18789	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 𝐺 ∈ Mgm)
4	2, 3	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mgm)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2145  Mgmcmgm 18686  Mndcmnd 18782  Grpcgrp 18990

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2737  ax-nul 5261

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-sb 2094  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-dif 3910  df-un 3912  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-iota 6481  df-fv 6533  df-ov 7403  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-grp 18993

This theorem is referenced by:  rng1zr  20251  ofldchr  21686  psrlmod  22069  psrdi  22074  psrdir  22075  mplsubglem  22108  psdmul  22289  psd1  22290  psdpw  22293