Theorem grpmgmd 19204

Description: A group is a magma, deduction form. (Contributed by SN, 14-Apr-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
grpmgmd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)

Assertion

Ref	Expression
grpmgmd	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mgm)

Proof of Theorem grpmgmd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmgmd.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
2	1	grpmndd 19189	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
3		mndmgm 18962	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 𝐺 ∈ Mgm)
4	2, 3	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mgm)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  Mgmcmgm 18846  Mndcmnd 18955  Grpcgrp 19176

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-nul 5264

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-dif 4050  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-iota 6515  df-fv 6569  df-ov 7449  df-sgrp 18940  df-mnd 18956  df-grp 19179

This theorem is used by:  rng1zr  20437  ofldchr  21915  psrlmod  22300  psrdi  22305  psrdir  22306  mplsubglem  22339  psdmul  22520  psd1  22521  psdpw  22524