Theorem grpmgmd 19091

Description: A group is a magma, deduction form. (Contributed by SN, 14-Apr-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
grpmgmd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)

Assertion

Ref	Expression
grpmgmd	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mgm)

Proof of Theorem grpmgmd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmgmd.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
2	1	grpmndd 19076	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
3		mndmgm 18849	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 𝐺 ∈ Mgm)
4	2, 3	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mgm)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  Mgmcmgm 18734  Mndcmnd 18842  Grpcgrp 19063

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2734  ax-nul 5267

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-dif 3905  df-un 3907  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-iota 6493  df-fv 6545  df-ov 7420  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-grp 19066

This theorem is used by:  rng1zr  20323  ofldchr  21795  psrlmod  22180  psrdi  22185  psrdir  22186  mplsubglem  22219  psdmul  22400  psd1  22401  psdpw  22404