Theorem grpmgmd 18891

Description: A group is a magma, deduction form. (Contributed by SN, 14-Apr-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
grpmgmd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)

Assertion

Ref	Expression
grpmgmd	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mgm)

Proof of Theorem grpmgmd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmgmd.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
2	1	grpmndd 18876	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
3		mndmgm 18666	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 𝐺 ∈ Mgm)
4	2, 3	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mgm)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  Mgmcmgm 18563  Mndcmnd 18659  Grpcgrp 18863

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2708  ax-nul 5251

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-dif 3904  df-un 3906  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-iota 6448  df-fv 6500  df-ov 7361  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18866

This theorem is referenced by:  ofldchr  21531  psrlmod  21915  psrdi  21920  psrdir  21921  mplsubglem  21954  psdmul  22109  psd1  22110  psdpw  22113