Theorem grpmgmd 19059

Description: A group is a magma, deduction form. (Contributed by SN, 14-Apr-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
grpmgmd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)

Assertion

Ref	Expression
grpmgmd	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mgm)

Proof of Theorem grpmgmd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmgmd.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
2	1	grpmndd 19044	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
3		mndmgm 18828	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 𝐺 ∈ Mgm)
4	2, 3	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mgm)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146  Mgmcmgm 18721  Mndcmnd 18821  Grpcgrp 19031

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2738  ax-nul 5274

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-dif 3911  df-un 3913  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-iota 6499  df-fv 6551  df-ov 7426  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-grp 19034

This theorem is used by:  rng1zr  20291  ofldchr  21763  psrlmod  22146  psrdi  22151  psrdir  22152  mplsubglem  22185  psdmul  22366  psd1  22367  psdpw  22370