Theorem psrgrpOLD 21977

Description: Obsolete version of psrgrp 21976 as of 7-Feb-2025. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrgrp.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrgrp.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
psrgrp.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)

Assertion

Ref	Expression
psrgrpOLD	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)

Proof of Theorem psrgrpOLD

Dummy variables 𝑥 𝑠 𝑟 𝑡 𝑦 𝑧 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2738	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆))
2		eqidd 2738	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆))
3		psrgrp.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
4		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
5		eqid 2737	. . 3 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
6		psrgrp.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
7	6	grpmgmd 18979	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mgm)
8	7	3ad2ant1 1134	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑅 ∈ Mgm)
9		simp2 1138	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑆))
10		simp3 1139	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))
11	3, 4, 5, 8, 9, 10	psraddcl 21958	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑥(+g‘𝑆)𝑦) ∈ (Base‘𝑆))
12		ovex 7464	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
13	12	rabex 5339	. . . . . 6 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
15		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
16		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
17		simpr1 1195	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑆))
18	3, 15, 16, 4, 17	psrelbas 21954	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → 𝑥:{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
19		simpr2 1196	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))
20	3, 15, 16, 4, 19	psrelbas 21954	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → 𝑦:{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
21		simpr3 1197	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))
22	3, 15, 16, 4, 21	psrelbas 21954	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → 𝑧:{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
23	6	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → 𝑅 ∈ Grp)
24		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
25	15, 24	grpass 18960	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑟(+g‘𝑅)𝑠)(+g‘𝑅)𝑡) = (𝑟(+g‘𝑅)(𝑠(+g‘𝑅)𝑡)))
26	23, 25	sylan 580	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑟(+g‘𝑅)𝑠)(+g‘𝑅)𝑡) = (𝑟(+g‘𝑅)(𝑠(+g‘𝑅)𝑡)))
27	14, 18, 20, 22, 26	caofass 7737	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → ((𝑥 ∘f (+g‘𝑅)𝑦) ∘f (+g‘𝑅)𝑧) = (𝑥 ∘f (+g‘𝑅)(𝑦 ∘f (+g‘𝑅)𝑧)))
28	3, 4, 24, 5, 17, 19	psradd 21957	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝑥(+g‘𝑆)𝑦) = (𝑥 ∘f (+g‘𝑅)𝑦))
29	28	oveq1d 7446	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → ((𝑥(+g‘𝑆)𝑦) ∘f (+g‘𝑅)𝑧) = ((𝑥 ∘f (+g‘𝑅)𝑦) ∘f (+g‘𝑅)𝑧))
30	3, 4, 24, 5, 19, 21	psradd 21957	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝑦(+g‘𝑆)𝑧) = (𝑦 ∘f (+g‘𝑅)𝑧))
31	30	oveq2d 7447	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝑥 ∘f (+g‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑆)𝑧)) = (𝑥 ∘f (+g‘𝑅)(𝑦 ∘f (+g‘𝑅)𝑧)))
32	27, 29, 31	3eqtr4d 2787	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → ((𝑥(+g‘𝑆)𝑦) ∘f (+g‘𝑅)𝑧) = (𝑥 ∘f (+g‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑆)𝑧)))
33	11	3adant3r3 1185	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝑥(+g‘𝑆)𝑦) ∈ (Base‘𝑆))
34	3, 4, 24, 5, 33, 21	psradd 21957	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → ((𝑥(+g‘𝑆)𝑦)(+g‘𝑆)𝑧) = ((𝑥(+g‘𝑆)𝑦) ∘f (+g‘𝑅)𝑧))
35	7	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → 𝑅 ∈ Mgm)
36	3, 4, 5, 35, 19, 21	psraddcl 21958	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝑦(+g‘𝑆)𝑧) ∈ (Base‘𝑆))
37	3, 4, 24, 5, 17, 36	psradd 21957	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝑥(+g‘𝑆)(𝑦(+g‘𝑆)𝑧)) = (𝑥 ∘f (+g‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑆)𝑧)))
38	32, 34, 37	3eqtr4d 2787	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → ((𝑥(+g‘𝑆)𝑦)(+g‘𝑆)𝑧) = (𝑥(+g‘𝑆)(𝑦(+g‘𝑆)𝑧)))
39		psrgrp.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
40		eqid 2737	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
41	3, 39, 6, 16, 40, 4	psr0cl 21972	. 2 ⊢ (𝜑 → ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)}) ∈ (Base‘𝑆))
42	39	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝐼 ∈ 𝑉)
43	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑅 ∈ Grp)
44		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑆))
45	3, 42, 43, 16, 40, 4, 5, 44	psr0lid 21973	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) → (({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)})(+g‘𝑆)𝑥) = 𝑥)
46		eqid 2737	. . 3 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
47	3, 42, 43, 16, 46, 4, 44	psrnegcl 21974	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) → ((invg‘𝑅) ∘ 𝑥) ∈ (Base‘𝑆))
48	3, 42, 43, 16, 46, 4, 44, 40, 5	psrlinv 21975	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) → (((invg‘𝑅) ∘ 𝑥)(+g‘𝑆)𝑥) = ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)}))
49	1, 2, 11, 38, 41, 45, 47, 48	isgrpd 18976	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {crab 3436  Vcvv 3480  {csn 4626   × cxp 5683  ^◡ccnv 5684   “ cima 5688   ∘ ccom 5689  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ∘_f cof 7695   ↑_m cmap 8866  Fincfn 8985  ℕcn 12266  ℕ₀cn0 12526  Basecbs 17247  +_gcplusg 17297  0_gc0g 17484  Mgmcmgm 18651  Grpcgrp 18951  inv_gcminusg 18952   mPwSer cmps 21924

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-tset 17316  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-psr 21929

This theorem is referenced by: (None)