Theorem psrgrpOLD 21906

Description: Obsolete proof of psrgrp 21905 as of 7-Feb-2025. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrgrp.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrgrp.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
psrgrp.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)

Assertion

Ref	Expression
psrgrpOLD	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)

Proof of Theorem psrgrpOLD

Dummy variables 𝑥 𝑠 𝑟 𝑡 𝑦 𝑧 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2726	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆))
2		eqidd 2726	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆))
3		psrgrp.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
4		eqid 2725	. . 3 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
5		eqid 2725	. . 3 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
6		psrgrp.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
7	6	grpmgmd 18922	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mgm)
8	7	3ad2ant1 1130	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑅 ∈ Mgm)
9		simp2 1134	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑆))
10		simp3 1135	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))
11	3, 4, 5, 8, 9, 10	psraddcl 21887	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑥(+g‘𝑆)𝑦) ∈ (Base‘𝑆))
12		ovex 7449	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
13	12	rabex 5329	. . . . . 6 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
15		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
16		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
17		simpr1 1191	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑆))
18	3, 15, 16, 4, 17	psrelbas 21883	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → 𝑥:{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
19		simpr2 1192	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))
20	3, 15, 16, 4, 19	psrelbas 21883	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → 𝑦:{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
21		simpr3 1193	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))
22	3, 15, 16, 4, 21	psrelbas 21883	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → 𝑧:{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
23	6	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → 𝑅 ∈ Grp)
24		eqid 2725	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
25	15, 24	grpass 18903	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑟(+g‘𝑅)𝑠)(+g‘𝑅)𝑡) = (𝑟(+g‘𝑅)(𝑠(+g‘𝑅)𝑡)))
26	23, 25	sylan 578	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑟(+g‘𝑅)𝑠)(+g‘𝑅)𝑡) = (𝑟(+g‘𝑅)(𝑠(+g‘𝑅)𝑡)))
27	14, 18, 20, 22, 26	caofass 7720	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → ((𝑥 ∘f (+g‘𝑅)𝑦) ∘f (+g‘𝑅)𝑧) = (𝑥 ∘f (+g‘𝑅)(𝑦 ∘f (+g‘𝑅)𝑧)))
28	3, 4, 24, 5, 17, 19	psradd 21886	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝑥(+g‘𝑆)𝑦) = (𝑥 ∘f (+g‘𝑅)𝑦))
29	28	oveq1d 7431	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → ((𝑥(+g‘𝑆)𝑦) ∘f (+g‘𝑅)𝑧) = ((𝑥 ∘f (+g‘𝑅)𝑦) ∘f (+g‘𝑅)𝑧))
30	3, 4, 24, 5, 19, 21	psradd 21886	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝑦(+g‘𝑆)𝑧) = (𝑦 ∘f (+g‘𝑅)𝑧))
31	30	oveq2d 7432	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝑥 ∘f (+g‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑆)𝑧)) = (𝑥 ∘f (+g‘𝑅)(𝑦 ∘f (+g‘𝑅)𝑧)))
32	27, 29, 31	3eqtr4d 2775	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → ((𝑥(+g‘𝑆)𝑦) ∘f (+g‘𝑅)𝑧) = (𝑥 ∘f (+g‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑆)𝑧)))
33	11	3adant3r3 1181	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝑥(+g‘𝑆)𝑦) ∈ (Base‘𝑆))
34	3, 4, 24, 5, 33, 21	psradd 21886	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → ((𝑥(+g‘𝑆)𝑦)(+g‘𝑆)𝑧) = ((𝑥(+g‘𝑆)𝑦) ∘f (+g‘𝑅)𝑧))
35	7	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → 𝑅 ∈ Mgm)
36	3, 4, 5, 35, 19, 21	psraddcl 21887	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝑦(+g‘𝑆)𝑧) ∈ (Base‘𝑆))
37	3, 4, 24, 5, 17, 36	psradd 21886	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝑥(+g‘𝑆)(𝑦(+g‘𝑆)𝑧)) = (𝑥 ∘f (+g‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑆)𝑧)))
38	32, 34, 37	3eqtr4d 2775	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → ((𝑥(+g‘𝑆)𝑦)(+g‘𝑆)𝑧) = (𝑥(+g‘𝑆)(𝑦(+g‘𝑆)𝑧)))
39		psrgrp.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
40		eqid 2725	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
41	3, 39, 6, 16, 40, 4	psr0cl 21901	. 2 ⊢ (𝜑 → ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)}) ∈ (Base‘𝑆))
42	39	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝐼 ∈ 𝑉)
43	6	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑅 ∈ Grp)
44		simpr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑆))
45	3, 42, 43, 16, 40, 4, 5, 44	psr0lid 21902	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) → (({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)})(+g‘𝑆)𝑥) = 𝑥)
46		eqid 2725	. . 3 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
47	3, 42, 43, 16, 46, 4, 44	psrnegcl 21903	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) → ((invg‘𝑅) ∘ 𝑥) ∈ (Base‘𝑆))
48	3, 42, 43, 16, 46, 4, 44, 40, 5	psrlinv 21904	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) → (((invg‘𝑅) ∘ 𝑥)(+g‘𝑆)𝑥) = ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)}))
49	1, 2, 11, 38, 41, 45, 47, 48	isgrpd 18919	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3419  Vcvv 3463  {csn 4624   × cxp 5670  ^◡ccnv 5671   “ cima 5675   ∘ ccom 5676  ‘cfv 6543  (class class class)co 7416   ∘_f cof 7680   ↑_m cmap 8843  Fincfn 8962  ℕcn 12242  ℕ₀cn0 12502  Basecbs 17179  +_gcplusg 17232  0_gc0g 17420  Mgmcmgm 18597  Grpcgrp 18894  inv_gcminusg 18895   mPwSer cmps 21841

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-tset 17251  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-psr 21846

This theorem is referenced by: (None)