Theorem psrdi 22003

Description: Distributive law for the ring of power series (left-distributivity). (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrring.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrring.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
psrring.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
psrass.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrass.t	⊢ × = (.r‘𝑆)
psrass.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrass.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
psrass.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
psrass.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
psrdi.a	⊢ + = (+g‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
psrdi	⊢ (𝜑 → (𝑋 × (𝑌 + 𝑍)) = ((𝑋 × 𝑌) + (𝑋 × 𝑍)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐼   𝑅,𝑓   𝑓,𝑋   𝑓,𝑍   𝑓,𝑌

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   + (𝑓)   𝑆(𝑓)   × (𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrdi

Dummy variables 𝑥 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrring.s	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		psrass.b	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
3		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4		psrdi.a	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ + = (+g‘𝑆)
5		psrass.y	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		psrass.z	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	psradd 21975	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) = (𝑌 ∘f (+g‘𝑅)𝑍))
8	7	fveq1d 6909	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 + 𝑍)‘(𝑘 ∘f − 𝑥)) = ((𝑌 ∘f (+g‘𝑅)𝑍)‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))
9	8	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → ((𝑌 + 𝑍)‘(𝑘 ∘f − 𝑥)) = ((𝑌 ∘f (+g‘𝑅)𝑍)‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))
10		ssrab2 4090	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ⊆ 𝐷
11		psrass.d	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
12		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}
13	11, 12	psrbagconcl 21965	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐷 ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑘 ∘f − 𝑥) ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘})
14	13	adantll 714	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑘 ∘f − 𝑥) ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘})
15	10, 14	sselid 3993	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑘 ∘f − 𝑥) ∈ 𝐷)
16		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
17	1, 16, 11, 2, 5	psrelbas 21972	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
18	17	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
19	18	ffnd 6738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑌 Fn 𝐷)
20	1, 16, 11, 2, 6	psrelbas 21972	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑍:𝐷⟶(Base‘𝑅))
21	20	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑍:𝐷⟶(Base‘𝑅))
22	21	ffnd 6738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑍 Fn 𝐷)
23		ovex 7464	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
24	11, 23	rabex2 5347	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐷 ∈ V
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝐷 ∈ V)
26		inidm 4235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐷 ∩ 𝐷) = 𝐷
27		eqidd 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) ∧ (𝑘 ∘f − 𝑥) ∈ 𝐷) → (𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)) = (𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))
28		eqidd 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) ∧ (𝑘 ∘f − 𝑥) ∈ 𝐷) → (𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)) = (𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))
29	19, 22, 25, 25, 26, 27, 28	ofval 7708	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) ∧ (𝑘 ∘f − 𝑥) ∈ 𝐷) → ((𝑌 ∘f (+g‘𝑅)𝑍)‘(𝑘 ∘f − 𝑥)) = ((𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))(+g‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))
30	15, 29	mpdan 687	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → ((𝑌 ∘f (+g‘𝑅)𝑍)‘(𝑘 ∘f − 𝑥)) = ((𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))(+g‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))
31	9, 30	eqtrd 2775	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → ((𝑌 + 𝑍)‘(𝑘 ∘f − 𝑥)) = ((𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))(+g‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))
32	31	oveq2d 7447	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)((𝑌 + 𝑍)‘(𝑘 ∘f − 𝑥))) = ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)((𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))(+g‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))
33		psrring.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
34	33	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑅 ∈ Ring)
35		psrass.x	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
36	1, 16, 11, 2, 35	psrelbas 21972	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
37	36	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
38		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘})
39	10, 38	sselid 3993	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑥 ∈ 𝐷)
40	37, 39	ffvelcdmd 7105	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑋‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
41	18, 15	ffvelcdmd 7105	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)) ∈ (Base‘𝑅))
42	21, 15	ffvelcdmd 7105	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)) ∈ (Base‘𝑅))
43		eqid 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
44	16, 3, 43	ringdi 20278	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑋‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)) ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)((𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))(+g‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) = (((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))(+g‘𝑅)((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))
45	34, 40, 41, 42, 44	syl13anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)((𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))(+g‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) = (((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))(+g‘𝑅)((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))
46	32, 45	eqtrd 2775	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)((𝑌 + 𝑍)‘(𝑘 ∘f − 𝑥))) = (((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))(+g‘𝑅)((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))
47	46	mpteq2dva 5248	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)((𝑌 + 𝑍)‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ (((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))(+g‘𝑅)((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))))
48	11	psrbaglefi 21964	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐷 → {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ∈ Fin)
49	48	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ∈ Fin)
50	16, 43, 34, 40, 41	ringcld 20277	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))
51	16, 43, 34, 40, 42	ringcld 20277	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))
52		eqidd 2736	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))
53		eqidd 2736	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))
54	49, 50, 51, 52, 53	offval2 7717	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → ((𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) ∘f (+g‘𝑅)(𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ (((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))(+g‘𝑅)((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))))
55	47, 54	eqtr4d 2778	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)((𝑌 + 𝑍)‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) = ((𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) ∘f (+g‘𝑅)(𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))))
56	55	oveq2d 7447	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)((𝑌 + 𝑍)‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))) = (𝑅 Σg ((𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) ∘f (+g‘𝑅)(𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))
57	33	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → 𝑅 ∈ Ring)
58	57	ringcmnd 20298	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → 𝑅 ∈ CMnd)
59		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))
60		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))
61	16, 3, 58, 49, 50, 51, 59, 60	gsummptfidmadd2 19959	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg ((𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) ∘f (+g‘𝑅)(𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))) = ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))(+g‘𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))
62	56, 61	eqtrd 2775	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)((𝑌 + 𝑍)‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))) = ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))(+g‘𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))
63	62	mpteq2dva 5248	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)((𝑌 + 𝑍)‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))(+g‘𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))))))
64		psrass.t	. . 3 ⊢ × = (.r‘𝑆)
65	33	ringgrpd 20260	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
66	65	grpmgmd 18992	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mgm)
67	1, 2, 4, 66, 5, 6	psraddcl 21976	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝐵)
68	1, 2, 43, 64, 11, 35, 67	psrmulfval 21981	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × (𝑌 + 𝑍)) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)((𝑌 + 𝑍)‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))
69	1, 2, 64, 33, 35, 5	psrmulcl 21984	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) ∈ 𝐵)
70	1, 2, 64, 33, 35, 6	psrmulcl 21984	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑍) ∈ 𝐵)
71	1, 2, 3, 4, 69, 70	psradd 21975	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 × 𝑌) + (𝑋 × 𝑍)) = ((𝑋 × 𝑌) ∘f (+g‘𝑅)(𝑋 × 𝑍)))
72	24	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
73		ovexd 7466	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))) ∈ V)
74		ovexd 7466	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))) ∈ V)
75	1, 2, 43, 64, 11, 35, 5	psrmulfval 21981	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))
76	1, 2, 43, 64, 11, 35, 6	psrmulfval 21981	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑍) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))
77	72, 73, 74, 75, 76	offval2 7717	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 × 𝑌) ∘f (+g‘𝑅)(𝑋 × 𝑍)) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))(+g‘𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))))))
78	71, 77	eqtrd 2775	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 × 𝑌) + (𝑋 × 𝑍)) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))(+g‘𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))))))
79	63, 68, 78	3eqtr4d 2785	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × (𝑌 + 𝑍)) = ((𝑋 × 𝑌) + (𝑋 × 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  {crab 3433  Vcvv 3478   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ^◡ccnv 5688   “ cima 5692  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   ∘_f cof 7695   ∘_r cofr 7696   ↑_m cmap 8865  Fincfn 8984   ≤ cle 11294   − cmin 11490  ℕcn 12264  ℕ₀cn0 12524  Basecbs 17245  +_gcplusg 17298  ._rcmulr 17299   Σ_g cgsu 17487  Ringcrg 20251   mPwSer cmps 21942

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-tset 17317  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-ur 20200  df-ring 20253  df-psr 21947

This theorem is referenced by:  psrring  22008