Theorem psrdi 22277

Description: Distributive law for the ring of power series (left-distributivity). (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrring.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrring.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
psrring.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
psrass.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrass.t	⊢ × = (.r‘𝑆)
psrass.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrass.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
psrass.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
psrass.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
psrdi.a	⊢ + = (+g‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
psrdi	⊢ (𝜑 → (𝑋 × (𝑌 + 𝑍)) = ((𝑋 × 𝑌) + (𝑋 × 𝑍)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐼   𝑅,𝑓   𝑓,𝑋   𝑓,𝑍   𝑓,𝑌

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   + (𝑓)   𝑆(𝑓)   × (𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrdi

Dummy variables 𝑥 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrring.s	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		psrass.b	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
3		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4		psrdi.a	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ + = (+g‘𝑆)
5		psrass.y	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		psrass.z	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	psradd 22251	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) = (𝑌 ∘f (+g‘𝑅)𝑍))
8	7	fveq1d 6887	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 + 𝑍)‘(𝑘 ∘f − 𝑥)) = ((𝑌 ∘f (+g‘𝑅)𝑍)‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))
9	8	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → ((𝑌 + 𝑍)‘(𝑘 ∘f − 𝑥)) = ((𝑌 ∘f (+g‘𝑅)𝑍)‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))
10		ssrab2 4005	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ⊆ 𝐷
11		psrass.d	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
12		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}
13	11, 12	psrbagconcl 22240	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐷 ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑘 ∘f − 𝑥) ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘})
14	13	adantll 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑘 ∘f − 𝑥) ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘})
15	10, 14	sselid 3906	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑘 ∘f − 𝑥) ∈ 𝐷)
16		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
17	1, 16, 11, 2, 5	psrelbas 22248	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
18	17	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
19	18	ffnd 6710	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑌 Fn 𝐷)
20	1, 16, 11, 2, 6	psrelbas 22248	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑍:𝐷⟶(Base‘𝑅))
21	20	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑍:𝐷⟶(Base‘𝑅))
22	21	ffnd 6710	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑍 Fn 𝐷)
23		ovex 7453	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
24	11, 23	rabex2 5301	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐷 ∈ V
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝐷 ∈ V)
26		inidm 4123	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐷 ∩ 𝐷) = 𝐷
27		eqidd 2761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) ∧ (𝑘 ∘f − 𝑥) ∈ 𝐷) → (𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)) = (𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))
28		eqidd 2761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) ∧ (𝑘 ∘f − 𝑥) ∈ 𝐷) → (𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)) = (𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))
29	19, 22, 25, 25, 26, 27, 28	ofval 7704	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) ∧ (𝑘 ∘f − 𝑥) ∈ 𝐷) → ((𝑌 ∘f (+g‘𝑅)𝑍)‘(𝑘 ∘f − 𝑥)) = ((𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))(+g‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))
30	15, 29	mpdan 700	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → ((𝑌 ∘f (+g‘𝑅)𝑍)‘(𝑘 ∘f − 𝑥)) = ((𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))(+g‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))
31	9, 30	eqtrd 2795	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → ((𝑌 + 𝑍)‘(𝑘 ∘f − 𝑥)) = ((𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))(+g‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))
32	31	oveq2d 7436	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)((𝑌 + 𝑍)‘(𝑘 ∘f − 𝑥))) = ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)((𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))(+g‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))
33		psrring.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
34	33	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑅 ∈ Ring)
35		psrass.x	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
36	1, 16, 11, 2, 35	psrelbas 22248	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
37	36	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
38		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘})
39	10, 38	sselid 3906	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑥 ∈ 𝐷)
40	37, 39	ffvelcdmd 7085	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑋‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
41	18, 15	ffvelcdmd 7085	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)) ∈ (Base‘𝑅))
42	21, 15	ffvelcdmd 7085	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)) ∈ (Base‘𝑅))
43		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
44	16, 3, 43	ringdi 20494	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑋‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)) ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)((𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))(+g‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) = (((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))(+g‘𝑅)((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))
45	34, 40, 41, 42, 44	syl13anc 1399	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)((𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))(+g‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) = (((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))(+g‘𝑅)((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))
46	32, 45	eqtrd 2795	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)((𝑌 + 𝑍)‘(𝑘 ∘f − 𝑥))) = (((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))(+g‘𝑅)((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))
47	46	mpteq2dva 5197	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)((𝑌 + 𝑍)‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ (((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))(+g‘𝑅)((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))))
48	11	psrbaglefi 22239	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐷 → {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ∈ Fin)
49	48	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ∈ Fin)
50	16, 43, 34, 40, 41	ringcld 20489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))
51	16, 43, 34, 40, 42	ringcld 20489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))
52		eqidd 2761	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))
53		eqidd 2761	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))
54	49, 50, 51, 52, 53	offval2 7713	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → ((𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) ∘f (+g‘𝑅)(𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ (((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))(+g‘𝑅)((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))))
55	47, 54	eqtr4d 2798	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)((𝑌 + 𝑍)‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) = ((𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) ∘f (+g‘𝑅)(𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))))
56	55	oveq2d 7436	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)((𝑌 + 𝑍)‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))) = (𝑅 Σg ((𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) ∘f (+g‘𝑅)(𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))
57	33	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → 𝑅 ∈ Ring)
58	57	ringcmnd 20518	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → 𝑅 ∈ CMnd)
59		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))
60		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))
61	16, 3, 58, 49, 50, 51, 59, 60	gsummptfidmadd2 20145	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg ((𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) ∘f (+g‘𝑅)(𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))) = ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))(+g‘𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))
62	56, 61	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)((𝑌 + 𝑍)‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))) = ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))(+g‘𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))
63	62	mpteq2dva 5197	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)((𝑌 + 𝑍)‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))(+g‘𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))))))
64		psrass.t	. . 3 ⊢ × = (.r‘𝑆)
65	33	ringgrpd 20474	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
66	65	grpmgmd 19177	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mgm)
67	1, 2, 4, 66, 5, 6	psraddcl 22252	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝐵)
68	1, 2, 43, 64, 11, 35, 67	psrmulfval 22256	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × (𝑌 + 𝑍)) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)((𝑌 + 𝑍)‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))
69	1, 2, 64, 33, 35, 5	psrmulcl 22259	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) ∈ 𝐵)
70	1, 2, 64, 33, 35, 6	psrmulcl 22259	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑍) ∈ 𝐵)
71	1, 2, 3, 4, 69, 70	psradd 22251	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 × 𝑌) + (𝑋 × 𝑍)) = ((𝑋 × 𝑌) ∘f (+g‘𝑅)(𝑋 × 𝑍)))
72	24	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
73		ovexd 7455	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))) ∈ V)
74		ovexd 7455	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))) ∈ V)
75	1, 2, 43, 64, 11, 35, 5	psrmulfval 22256	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))
76	1, 2, 43, 64, 11, 35, 6	psrmulfval 22256	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑍) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))
77	72, 73, 74, 75, 76	offval2 7713	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 × 𝑌) ∘f (+g‘𝑅)(𝑋 × 𝑍)) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))(+g‘𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))))))
78	71, 77	eqtrd 2795	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 × 𝑌) + (𝑋 × 𝑍)) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))(+g‘𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))))))
79	63, 68, 78	3eqtr4d 2805	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × (𝑌 + 𝑍)) = ((𝑋 × 𝑌) + (𝑋 × 𝑍)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {crab 3412  Vcvv 3450   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  ^◡ccnv 5649   “ cima 5653  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∘_f cof 7691   ∘_r cofr 7692   ↑_m cmap 8850  Fincfn 8976   ≤ cle 11347   − cmin 11544  ℕcn 12338  ℕ₀cn0 12609  Basecbs 17392  +_gcplusg 17433  ._rcmulr 17434   Σ_g cgsu 17616  Ringcrg 20464   mPwSer cmps 22217

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-ofr 7694  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8180  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-er 8720  df-map 8852  df-pm 8853  df-ixp 8929  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-fsupp 9357  df-oi 9507  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-7 12413  df-8 12414  df-9 12415  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-seq 14148  df-hash 14478  df-struct 17330  df-sets 17347  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-ress 17414  df-plusg 17446  df-mulr 17447  df-sca 17449  df-vsca 17450  df-tset 17452  df-0g 17617  df-gsum 17618  df-mgm 18821  df-sgrp 18913  df-mnd 18929  df-submnd 18984  df-grp 19152  df-minusg 19153  df-cntz 19536  df-cmn 20001  df-abl 20002  df-mgp 20366  df-ur 20413  df-ring 20466  df-psr 22222

This theorem is used by:  psrring  22282