MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrdi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrdi 21857
Description: Distributive law for the ring of power series (left-distributivity). (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psrring.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrring.i (𝜑𝐼𝑉)
psrring.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
psrass.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrass.t × = (.r𝑆)
psrass.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrass.x (𝜑𝑋𝐵)
psrass.y (𝜑𝑌𝐵)
psrass.z (𝜑𝑍𝐵)
psrdi.a + = (+g𝑆)
Assertion
Ref Expression
psrdi (𝜑 → (𝑋 × (𝑌 + 𝑍)) = ((𝑋 × 𝑌) + (𝑋 × 𝑍)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐼   𝑅,𝑓   𝑓,𝑋   𝑓,𝑍   𝑓,𝑌
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   + (𝑓)   𝑆(𝑓)   × (𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrdi
Dummy variables 𝑥 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrring.s . . . . . . . . . . . . 13 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 psrass.b . . . . . . . . . . . . 13 𝐵 = (Base‘𝑆)
3 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . 13 (+g𝑅) = (+g𝑅)
4 psrdi.a . . . . . . . . . . . . 13 + = (+g𝑆)
5 psrass.y . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑌𝐵)
6 psrass.z . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑍𝐵)
71, 2, 3, 4, 5, 6psradd 21831 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) = (𝑌f (+g𝑅)𝑍))
87fveq1d 6884 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑌 + 𝑍)‘(𝑘f𝑥)) = ((𝑌f (+g𝑅)𝑍)‘(𝑘f𝑥)))
98ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → ((𝑌 + 𝑍)‘(𝑘f𝑥)) = ((𝑌f (+g𝑅)𝑍)‘(𝑘f𝑥)))
10 ssrab2 4070 . . . . . . . . . . . 12 {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ⊆ 𝐷
11 simplr 766 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝑘𝐷)
12 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘})
13 psrass.d . . . . . . . . . . . . . 14 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
14 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑦𝐷𝑦r𝑘} = {𝑦𝐷𝑦r𝑘}
1513, 14psrbagconcl 21817 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘𝐷𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → (𝑘f𝑥) ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘})
1611, 12, 15syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → (𝑘f𝑥) ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘})
1710, 16sselid 3973 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → (𝑘f𝑥) ∈ 𝐷)
18 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
191, 18, 13, 2, 5psrelbas 21828 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
2019ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
2120ffnd 6709 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝑌 Fn 𝐷)
221, 18, 13, 2, 6psrelbas 21828 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑍:𝐷⟶(Base‘𝑅))
2322ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝑍:𝐷⟶(Base‘𝑅))
2423ffnd 6709 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝑍 Fn 𝐷)
25 ovex 7435 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℕ0m 𝐼) ∈ V
2613, 25rabex2 5325 . . . . . . . . . . . . 13 𝐷 ∈ V
2726a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝐷 ∈ V)
28 inidm 4211 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷𝐷) = 𝐷
29 eqidd 2725 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) ∧ (𝑘f𝑥) ∈ 𝐷) → (𝑌‘(𝑘f𝑥)) = (𝑌‘(𝑘f𝑥)))
30 eqidd 2725 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) ∧ (𝑘f𝑥) ∈ 𝐷) → (𝑍‘(𝑘f𝑥)) = (𝑍‘(𝑘f𝑥)))
3121, 24, 27, 27, 28, 29, 30ofval 7675 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) ∧ (𝑘f𝑥) ∈ 𝐷) → ((𝑌f (+g𝑅)𝑍)‘(𝑘f𝑥)) = ((𝑌‘(𝑘f𝑥))(+g𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥))))
3217, 31mpdan 684 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → ((𝑌f (+g𝑅)𝑍)‘(𝑘f𝑥)) = ((𝑌‘(𝑘f𝑥))(+g𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥))))
339, 32eqtrd 2764 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → ((𝑌 + 𝑍)‘(𝑘f𝑥)) = ((𝑌‘(𝑘f𝑥))(+g𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥))))
3433oveq2d 7418 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → ((𝑋𝑥)(.r𝑅)((𝑌 + 𝑍)‘(𝑘f𝑥))) = ((𝑋𝑥)(.r𝑅)((𝑌‘(𝑘f𝑥))(+g𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥)))))
35 psrring.r . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
3635ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝑅 ∈ Ring)
37 psrass.x . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋𝐵)
381, 18, 13, 2, 37psrelbas 21828 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
3938ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
4010, 12sselid 3973 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝑥𝐷)
4139, 40ffvelcdmd 7078 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → (𝑋𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
4220, 17ffvelcdmd 7078 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → (𝑌‘(𝑘f𝑥)) ∈ (Base‘𝑅))
4323, 17ffvelcdmd 7078 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → (𝑍‘(𝑘f𝑥)) ∈ (Base‘𝑅))
44 eqid 2724 . . . . . . . . . 10 (.r𝑅) = (.r𝑅)
4518, 3, 44ringdi 20159 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑋𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑌‘(𝑘f𝑥)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑍‘(𝑘f𝑥)) ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑋𝑥)(.r𝑅)((𝑌‘(𝑘f𝑥))(+g𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥)))) = (((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))(+g𝑅)((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥)))))
4636, 41, 42, 43, 45syl13anc 1369 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → ((𝑋𝑥)(.r𝑅)((𝑌‘(𝑘f𝑥))(+g𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥)))) = (((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))(+g𝑅)((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥)))))
4734, 46eqtrd 2764 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → ((𝑋𝑥)(.r𝑅)((𝑌 + 𝑍)‘(𝑘f𝑥))) = (((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))(+g𝑅)((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥)))))
4847mpteq2dva 5239 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)((𝑌 + 𝑍)‘(𝑘f𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ (((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))(+g𝑅)((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥))))))
4913psrbaglefi 21815 . . . . . . . 8 (𝑘𝐷 → {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ∈ Fin)
5049adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐷) → {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ∈ Fin)
5118, 44ringcl 20151 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑌‘(𝑘f𝑥)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))
5236, 41, 42, 51syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))
5318, 44ringcl 20151 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑍‘(𝑘f𝑥)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))
5436, 41, 43, 53syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))
55 eqidd 2725 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))))
56 eqidd 2725 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥)))))
5750, 52, 54, 55, 56offval2 7684 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐷) → ((𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))) ∘f (+g𝑅)(𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥))))) = (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ (((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))(+g𝑅)((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥))))))
5848, 57eqtr4d 2767 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)((𝑌 + 𝑍)‘(𝑘f𝑥)))) = ((𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))) ∘f (+g𝑅)(𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥))))))
5958oveq2d 7418 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)((𝑌 + 𝑍)‘(𝑘f𝑥))))) = (𝑅 Σg ((𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))) ∘f (+g𝑅)(𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥)))))))
6035adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐷) → 𝑅 ∈ Ring)
61 ringcmn 20177 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
6260, 61syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐷) → 𝑅 ∈ CMnd)
63 eqid 2724 . . . . 5 (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥))))
64 eqid 2724 . . . . 5 (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥))))
6518, 3, 62, 50, 52, 54, 63, 64gsummptfidmadd2 19842 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑅 Σg ((𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))) ∘f (+g𝑅)(𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥)))))) = ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))))(+g𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥)))))))
6659, 65eqtrd 2764 . . 3 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)((𝑌 + 𝑍)‘(𝑘f𝑥))))) = ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))))(+g𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥)))))))
6766mpteq2dva 5239 . 2 (𝜑 → (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)((𝑌 + 𝑍)‘(𝑘f𝑥)))))) = (𝑘𝐷 ↦ ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))))(+g𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥))))))))
68 psrass.t . . 3 × = (.r𝑆)
6935ringgrpd 20143 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
7069grpmgmd 18887 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Mgm)
711, 2, 4, 70, 5, 6psraddcl 21832 . . 3 (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝐵)
721, 2, 44, 68, 13, 37, 71psrmulfval 21835 . 2 (𝜑 → (𝑋 × (𝑌 + 𝑍)) = (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)((𝑌 + 𝑍)‘(𝑘f𝑥)))))))
731, 2, 68, 35, 37, 5psrmulcl 21838 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) ∈ 𝐵)
741, 2, 68, 35, 37, 6psrmulcl 21838 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 × 𝑍) ∈ 𝐵)
751, 2, 3, 4, 73, 74psradd 21831 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 × 𝑌) + (𝑋 × 𝑍)) = ((𝑋 × 𝑌) ∘f (+g𝑅)(𝑋 × 𝑍)))
7626a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ V)
77 ovexd 7437 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥))))) ∈ V)
78 ovexd 7437 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥))))) ∈ V)
791, 2, 44, 68, 13, 37, 5psrmulfval 21835 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))))))
801, 2, 44, 68, 13, 37, 6psrmulfval 21835 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 × 𝑍) = (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥)))))))
8176, 77, 78, 79, 80offval2 7684 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 × 𝑌) ∘f (+g𝑅)(𝑋 × 𝑍)) = (𝑘𝐷 ↦ ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))))(+g𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥))))))))
8275, 81eqtrd 2764 . 2 (𝜑 → ((𝑋 × 𝑌) + (𝑋 × 𝑍)) = (𝑘𝐷 ↦ ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))))(+g𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥))))))))
8367, 72, 823eqtr4d 2774 1 (𝜑 → (𝑋 × (𝑌 + 𝑍)) = ((𝑋 × 𝑌) + (𝑋 × 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  {crab 3424  Vcvv 3466   class class class wbr 5139  cmpt 5222  ccnv 5666  cima 5670  wf 6530  cfv 6534  (class class class)co 7402  f cof 7662  r cofr 7663  m cmap 8817  Fincfn 8936  cle 11248  cmin 11443  cn 12211  0cn0 12471  Basecbs 17149  +gcplusg 17202  .rcmulr 17203   Σg cgsu 17391  CMndccmn 19696  Ringcrg 20134   mPwSer cmps 21787
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-ofr 7665  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-seq 13968  df-hash 14292  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-tset 17221  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-submnd 18710  df-grp 18862  df-minusg 18863  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-ur 20083  df-ring 20136  df-psr 21792
This theorem is referenced by:  psrring  21862
  Copyright terms: Public domain W3C validator