Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrdi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrdi 20107
 Description: Distributive law for the ring of power series (left-distributivity). (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psrring.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrring.i (𝜑𝐼𝑉)
psrring.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
psrass.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrass.t × = (.r𝑆)
psrass.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrass.x (𝜑𝑋𝐵)
psrass.y (𝜑𝑌𝐵)
psrass.z (𝜑𝑍𝐵)
psrdi.a + = (+g𝑆)
Assertion
Ref Expression
psrdi (𝜑 → (𝑋 × (𝑌 + 𝑍)) = ((𝑋 × 𝑌) + (𝑋 × 𝑍)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐼   𝑅,𝑓   𝑓,𝑋   𝑓,𝑍   𝑓,𝑌
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   + (𝑓)   𝑆(𝑓)   × (𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrdi
Dummy variables 𝑥 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrring.s . . . . . . . . . . . . 13 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 psrass.b . . . . . . . . . . . . 13 𝐵 = (Base‘𝑆)
3 eqid 2825 . . . . . . . . . . . . 13 (+g𝑅) = (+g𝑅)
4 psrdi.a . . . . . . . . . . . . 13 + = (+g𝑆)
5 psrass.y . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑌𝐵)
6 psrass.z . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑍𝐵)
71, 2, 3, 4, 5, 6psradd 20083 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) = (𝑌f (+g𝑅)𝑍))
87fveq1d 6668 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑌 + 𝑍)‘(𝑘f𝑥)) = ((𝑌f (+g𝑅)𝑍)‘(𝑘f𝑥)))
98ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → ((𝑌 + 𝑍)‘(𝑘f𝑥)) = ((𝑌f (+g𝑅)𝑍)‘(𝑘f𝑥)))
10 ssrab2 4059 . . . . . . . . . . . 12 {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ⊆ 𝐷
11 psrring.i . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐼𝑉)
1211ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝐼𝑉)
13 simplr 765 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝑘𝐷)
14 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘})
15 psrass.d . . . . . . . . . . . . . 14 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
16 eqid 2825 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑦𝐷𝑦r𝑘} = {𝑦𝐷𝑦r𝑘}
1715, 16psrbagconcl 20074 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼𝑉𝑘𝐷𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → (𝑘f𝑥) ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘})
1812, 13, 14, 17syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → (𝑘f𝑥) ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘})
1910, 18sseldi 3968 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → (𝑘f𝑥) ∈ 𝐷)
20 eqid 2825 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
211, 20, 15, 2, 5psrelbas 20080 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
2221ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
2322ffnd 6511 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝑌 Fn 𝐷)
241, 20, 15, 2, 6psrelbas 20080 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑍:𝐷⟶(Base‘𝑅))
2524ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝑍:𝐷⟶(Base‘𝑅))
2625ffnd 6511 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝑍 Fn 𝐷)
27 ovex 7184 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℕ0m 𝐼) ∈ V
2815, 27rabex2 5233 . . . . . . . . . . . . 13 𝐷 ∈ V
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝐷 ∈ V)
30 inidm 4198 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷𝐷) = 𝐷
31 eqidd 2826 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) ∧ (𝑘f𝑥) ∈ 𝐷) → (𝑌‘(𝑘f𝑥)) = (𝑌‘(𝑘f𝑥)))
32 eqidd 2826 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) ∧ (𝑘f𝑥) ∈ 𝐷) → (𝑍‘(𝑘f𝑥)) = (𝑍‘(𝑘f𝑥)))
3323, 26, 29, 29, 30, 31, 32ofval 7411 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) ∧ (𝑘f𝑥) ∈ 𝐷) → ((𝑌f (+g𝑅)𝑍)‘(𝑘f𝑥)) = ((𝑌‘(𝑘f𝑥))(+g𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥))))
3419, 33mpdan 683 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → ((𝑌f (+g𝑅)𝑍)‘(𝑘f𝑥)) = ((𝑌‘(𝑘f𝑥))(+g𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥))))
359, 34eqtrd 2860 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → ((𝑌 + 𝑍)‘(𝑘f𝑥)) = ((𝑌‘(𝑘f𝑥))(+g𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥))))
3635oveq2d 7167 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → ((𝑋𝑥)(.r𝑅)((𝑌 + 𝑍)‘(𝑘f𝑥))) = ((𝑋𝑥)(.r𝑅)((𝑌‘(𝑘f𝑥))(+g𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥)))))
37 psrring.r . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
3837ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝑅 ∈ Ring)
39 psrass.x . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋𝐵)
401, 20, 15, 2, 39psrelbas 20080 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
4140ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
4210, 14sseldi 3968 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝑥𝐷)
4341, 42ffvelrnd 6847 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → (𝑋𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
4422, 19ffvelrnd 6847 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → (𝑌‘(𝑘f𝑥)) ∈ (Base‘𝑅))
4525, 19ffvelrnd 6847 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → (𝑍‘(𝑘f𝑥)) ∈ (Base‘𝑅))
46 eqid 2825 . . . . . . . . . 10 (.r𝑅) = (.r𝑅)
4720, 3, 46ringdi 19238 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑋𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑌‘(𝑘f𝑥)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑍‘(𝑘f𝑥)) ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑋𝑥)(.r𝑅)((𝑌‘(𝑘f𝑥))(+g𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥)))) = (((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))(+g𝑅)((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥)))))
4838, 43, 44, 45, 47syl13anc 1366 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → ((𝑋𝑥)(.r𝑅)((𝑌‘(𝑘f𝑥))(+g𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥)))) = (((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))(+g𝑅)((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥)))))
4936, 48eqtrd 2860 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → ((𝑋𝑥)(.r𝑅)((𝑌 + 𝑍)‘(𝑘f𝑥))) = (((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))(+g𝑅)((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥)))))
5049mpteq2dva 5157 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)((𝑌 + 𝑍)‘(𝑘f𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ (((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))(+g𝑅)((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥))))))
5115psrbaglefi 20073 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝑘𝐷) → {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ∈ Fin)
5211, 51sylan 580 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐷) → {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ∈ Fin)
5320, 46ringcl 19233 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑌‘(𝑘f𝑥)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))
5438, 43, 44, 53syl3anc 1365 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))
5520, 46ringcl 19233 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑍‘(𝑘f𝑥)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))
5638, 43, 45, 55syl3anc 1365 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))
57 eqidd 2826 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))))
58 eqidd 2826 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥)))))
5952, 54, 56, 57, 58offval2 7419 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐷) → ((𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))) ∘f (+g𝑅)(𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥))))) = (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ (((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))(+g𝑅)((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥))))))
6050, 59eqtr4d 2863 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)((𝑌 + 𝑍)‘(𝑘f𝑥)))) = ((𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))) ∘f (+g𝑅)(𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥))))))
6160oveq2d 7167 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)((𝑌 + 𝑍)‘(𝑘f𝑥))))) = (𝑅 Σg ((𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))) ∘f (+g𝑅)(𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥)))))))
6237adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐷) → 𝑅 ∈ Ring)
63 ringcmn 19253 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
6462, 63syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐷) → 𝑅 ∈ CMnd)
65 eqid 2825 . . . . 5 (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥))))
66 eqid 2825 . . . . 5 (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥))))
6720, 3, 64, 52, 54, 56, 65, 66gsummptfidmadd2 18968 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑅 Σg ((𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))) ∘f (+g𝑅)(𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥)))))) = ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))))(+g𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥)))))))
6861, 67eqtrd 2860 . . 3 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)((𝑌 + 𝑍)‘(𝑘f𝑥))))) = ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))))(+g𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥)))))))
6968mpteq2dva 5157 . 2 (𝜑 → (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)((𝑌 + 𝑍)‘(𝑘f𝑥)))))) = (𝑘𝐷 ↦ ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))))(+g𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥))))))))
70 psrass.t . . 3 × = (.r𝑆)
71 ringgrp 19224 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
7237, 71syl 17 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
731, 2, 4, 72, 5, 6psraddcl 20084 . . 3 (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝐵)
741, 2, 46, 70, 15, 39, 73psrmulfval 20086 . 2 (𝜑 → (𝑋 × (𝑌 + 𝑍)) = (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)((𝑌 + 𝑍)‘(𝑘f𝑥)))))))
751, 2, 70, 37, 39, 5psrmulcl 20089 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) ∈ 𝐵)
761, 2, 70, 37, 39, 6psrmulcl 20089 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 × 𝑍) ∈ 𝐵)
771, 2, 3, 4, 75, 76psradd 20083 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 × 𝑌) + (𝑋 × 𝑍)) = ((𝑋 × 𝑌) ∘f (+g𝑅)(𝑋 × 𝑍)))
7828a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ V)
79 ovexd 7186 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥))))) ∈ V)
80 ovexd 7186 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥))))) ∈ V)
811, 2, 46, 70, 15, 39, 5psrmulfval 20086 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))))))
821, 2, 46, 70, 15, 39, 6psrmulfval 20086 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 × 𝑍) = (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥)))))))
8378, 79, 80, 81, 82offval2 7419 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 × 𝑌) ∘f (+g𝑅)(𝑋 × 𝑍)) = (𝑘𝐷 ↦ ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))))(+g𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥))))))))
8477, 83eqtrd 2860 . 2 (𝜑 → ((𝑋 × 𝑌) + (𝑋 × 𝑍)) = (𝑘𝐷 ↦ ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))))(+g𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥))))))))
8569, 74, 843eqtr4d 2870 1 (𝜑 → (𝑋 × (𝑌 + 𝑍)) = ((𝑋 × 𝑌) + (𝑋 × 𝑍)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1530   ∈ wcel 2107  {crab 3146  Vcvv 3499   class class class wbr 5062   ↦ cmpt 5142  ◡ccnv 5552   “ cima 5556  ⟶wf 6347  ‘cfv 6351  (class class class)co 7151   ∘f cof 7400   ∘r cofr 7401   ↑m cmap 8399  Fincfn 8501   ≤ cle 10668   − cmin 10862  ℕcn 11630  ℕ0cn0 11889  Basecbs 16475  +gcplusg 16557  .rcmulr 16558   Σg cgsu 16706  Grpcgrp 18035  CMndccmn 18828  Ringcrg 19219   mPwSer cmps 20052 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-se 5513  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-isom 6360  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7402  df-ofr 7403  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8282  df-map 8401  df-pm 8402  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12886  df-fzo 13027  df-seq 13363  df-hash 13684  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-tset 16576  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-mgm 17844  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-submnd 17947  df-grp 18038  df-minusg 18039  df-cntz 18379  df-cmn 18830  df-abl 18831  df-mgp 19162  df-ur 19174  df-ring 19221  df-psr 20057 This theorem is referenced by:  psrring  20112
 Copyright terms: Public domain W3C validator