Theorem psrdir 21933

Description: Distributive law for the ring of power series (right-distributivity). (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrring.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrring.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
psrring.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
psrass.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrass.t	⊢ × = (.r‘𝑆)
psrass.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrass.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
psrass.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
psrass.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
psrdi.a	⊢ + = (+g‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
psrdir	⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) × 𝑍) = ((𝑋 × 𝑍) + (𝑌 × 𝑍)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐼   𝑅,𝑓   𝑓,𝑋   𝑓,𝑍   𝑓,𝑌

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   + (𝑓)   𝑆(𝑓)   × (𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrdir

Dummy variables 𝑥 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrring.s	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		psrass.b	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
3		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4		psrdi.a	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ + = (+g‘𝑆)
5		psrass.x	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		psrass.y	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	psradd 21905	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑋 ∘f (+g‘𝑅)𝑌))
8	7	fveq1d 6844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌)‘𝑥) = ((𝑋 ∘f (+g‘𝑅)𝑌)‘𝑥))
9	8	ad2antrr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → ((𝑋 + 𝑌)‘𝑥) = ((𝑋 ∘f (+g‘𝑅)𝑌)‘𝑥))
10		ssrab2 4034	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ⊆ 𝐷
11		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘})
12	10, 11	sselid 3933	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑥 ∈ 𝐷)
13		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
14		psrass.d	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
15	1, 13, 14, 2, 5	psrelbas 21902	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
16	15	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
17	16	ffnd 6671	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑋 Fn 𝐷)
18	1, 13, 14, 2, 6	psrelbas 21902	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
19	18	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
20	19	ffnd 6671	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑌 Fn 𝐷)
21		ovex 7401	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
22	14, 21	rabex2 5288	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐷 ∈ V
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝐷 ∈ V)
24		inidm 4181	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐷 ∩ 𝐷) = 𝐷
25		eqidd 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑋‘𝑥) = (𝑋‘𝑥))
26		eqidd 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑌‘𝑥) = (𝑌‘𝑥))
27	17, 20, 23, 23, 24, 25, 26	ofval 7643	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝑋 ∘f (+g‘𝑅)𝑌)‘𝑥) = ((𝑋‘𝑥)(+g‘𝑅)(𝑌‘𝑥)))
28	12, 27	mpdan 688	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → ((𝑋 ∘f (+g‘𝑅)𝑌)‘𝑥) = ((𝑋‘𝑥)(+g‘𝑅)(𝑌‘𝑥)))
29	9, 28	eqtrd 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → ((𝑋 + 𝑌)‘𝑥) = ((𝑋‘𝑥)(+g‘𝑅)(𝑌‘𝑥)))
30	29	oveq1d 7383	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (((𝑋 + 𝑌)‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥))) = (((𝑋‘𝑥)(+g‘𝑅)(𝑌‘𝑥))(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))
31		psrring.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
32	31	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑅 ∈ Ring)
33	16, 12	ffvelcdmd 7039	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑋‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
34	19, 12	ffvelcdmd 7039	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑌‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
35		psrass.z	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
36	1, 13, 14, 2, 35	psrelbas 21902	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑍:𝐷⟶(Base‘𝑅))
37	36	ad2antrr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑍:𝐷⟶(Base‘𝑅))
38		simplr 769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑘 ∈ 𝐷)
39		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}
40	14, 39	psrbagconcl 21895	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐷 ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑘 ∘f − 𝑥) ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘})
41	38, 11, 40	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑘 ∘f − 𝑥) ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘})
42	10, 41	sselid 3933	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑘 ∘f − 𝑥) ∈ 𝐷)
43	37, 42	ffvelcdmd 7039	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)) ∈ (Base‘𝑅))
44		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
45	13, 3, 44	ringdir 20209	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑋‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑌‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)) ∈ (Base‘𝑅))) → (((𝑋‘𝑥)(+g‘𝑅)(𝑌‘𝑥))(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥))) = (((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))(+g‘𝑅)((𝑌‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))
46	32, 33, 34, 43, 45	syl13anc 1375	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (((𝑋‘𝑥)(+g‘𝑅)(𝑌‘𝑥))(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥))) = (((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))(+g‘𝑅)((𝑌‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))
47	30, 46	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (((𝑋 + 𝑌)‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥))) = (((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))(+g‘𝑅)((𝑌‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))
48	47	mpteq2dva 5193	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ (((𝑋 + 𝑌)‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ (((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))(+g‘𝑅)((𝑌‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))))
49	14	psrbaglefi 21894	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐷 → {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ∈ Fin)
50	49	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ∈ Fin)
51	13, 44	ringcl 20197	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))
52	32, 33, 43, 51	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))
53	13, 44	ringcl 20197	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑌‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))
54	32, 34, 43, 53	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → ((𝑌‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))
55		eqidd 2738	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))
56		eqidd 2738	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑌‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑌‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))
57	50, 52, 54, 55, 56	offval2 7652	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → ((𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) ∘f (+g‘𝑅)(𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑌‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ (((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))(+g‘𝑅)((𝑌‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))))
58	48, 57	eqtr4d 2775	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ (((𝑋 + 𝑌)‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) = ((𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) ∘f (+g‘𝑅)(𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑌‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))))
59	58	oveq2d 7384	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ (((𝑋 + 𝑌)‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))) = (𝑅 Σg ((𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) ∘f (+g‘𝑅)(𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑌‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))
60	31	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → 𝑅 ∈ Ring)
61		ringcmn 20229	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
62	60, 61	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → 𝑅 ∈ CMnd)
63		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))
64		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑌‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑌‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))
65	13, 3, 62, 50, 52, 54, 63, 64	gsummptfidmadd2 19867	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg ((𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) ∘f (+g‘𝑅)(𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑌‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))) = ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))(+g‘𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑌‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))
66	59, 65	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ (((𝑋 + 𝑌)‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))) = ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))(+g‘𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑌‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))
67	66	mpteq2dva 5193	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ (((𝑋 + 𝑌)‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))(+g‘𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑌‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))))))
68		psrass.t	. . 3 ⊢ × = (.r‘𝑆)
69	31	ringgrpd 20189	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
70	69	grpmgmd 18903	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mgm)
71	1, 2, 4, 70, 5, 6	psraddcl 21906	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
72	1, 2, 44, 68, 14, 71, 35	psrmulfval 21911	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) × 𝑍) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ (((𝑋 + 𝑌)‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))
73	1, 2, 68, 31, 5, 35	psrmulcl 21914	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑍) ∈ 𝐵)
74	1, 2, 68, 31, 6, 35	psrmulcl 21914	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 × 𝑍) ∈ 𝐵)
75	1, 2, 3, 4, 73, 74	psradd 21905	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 × 𝑍) + (𝑌 × 𝑍)) = ((𝑋 × 𝑍) ∘f (+g‘𝑅)(𝑌 × 𝑍)))
76	22	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
77		ovexd 7403	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))) ∈ V)
78		ovexd 7403	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑌‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))) ∈ V)
79	1, 2, 44, 68, 14, 5, 35	psrmulfval 21911	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑍) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))
80	1, 2, 44, 68, 14, 6, 35	psrmulfval 21911	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 × 𝑍) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑌‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))
81	76, 77, 78, 79, 80	offval2 7652	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 × 𝑍) ∘f (+g‘𝑅)(𝑌 × 𝑍)) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))(+g‘𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑌‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))))))
82	75, 81	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 × 𝑍) + (𝑌 × 𝑍)) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))(+g‘𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑌‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))))))
83	67, 72, 82	3eqtr4d 2782	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) × 𝑍) = ((𝑋 × 𝑍) + (𝑌 × 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3401  Vcvv 3442   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  ^◡ccnv 5631   “ cima 5635  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ∘_f cof 7630   ∘_r cofr 7631   ↑_m cmap 8775  Fincfn 8895   ≤ cle 11179   − cmin 11376  ℕcn 12157  ℕ₀cn0 12413  Basecbs 17148  +_gcplusg 17189  ._rcmulr 17190   Σ_g cgsu 17372  CMndccmn 19721  Ringcrg 20180   mPwSer cmps 21872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-ofr 7633  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937  df-hash 14266  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-tset 17208  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-submnd 18721  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-cntz 19258  df-cmn 19723  df-abl 19724  df-mgp 20088  df-ur 20129  df-ring 20182  df-psr 21877

This theorem is referenced by:  psrring  21937