Theorem psrdir 21986

Description: Distributive law for the ring of power series (right-distributivity). (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrring.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrring.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
psrring.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
psrass.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrass.t	⊢ × = (.r‘𝑆)
psrass.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrass.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
psrass.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
psrass.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
psrdi.a	⊢ + = (+g‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
psrdir	⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) × 𝑍) = ((𝑋 × 𝑍) + (𝑌 × 𝑍)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐼   𝑅,𝑓   𝑓,𝑋   𝑓,𝑍   𝑓,𝑌

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   + (𝑓)   𝑆(𝑓)   × (𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrdir

Dummy variables 𝑥 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrring.s	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		psrass.b	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
3		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4		psrdi.a	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ + = (+g‘𝑆)
5		psrass.x	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		psrass.y	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	psradd 21957	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑋 ∘f (+g‘𝑅)𝑌))
8	7	fveq1d 6908	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌)‘𝑥) = ((𝑋 ∘f (+g‘𝑅)𝑌)‘𝑥))
9	8	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → ((𝑋 + 𝑌)‘𝑥) = ((𝑋 ∘f (+g‘𝑅)𝑌)‘𝑥))
10		ssrab2 4080	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ⊆ 𝐷
11		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘})
12	10, 11	sselid 3981	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑥 ∈ 𝐷)
13		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
14		psrass.d	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
15	1, 13, 14, 2, 5	psrelbas 21954	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
16	15	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
17	16	ffnd 6737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑋 Fn 𝐷)
18	1, 13, 14, 2, 6	psrelbas 21954	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
19	18	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
20	19	ffnd 6737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑌 Fn 𝐷)
21		ovex 7464	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
22	14, 21	rabex2 5341	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐷 ∈ V
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝐷 ∈ V)
24		inidm 4227	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐷 ∩ 𝐷) = 𝐷
25		eqidd 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑋‘𝑥) = (𝑋‘𝑥))
26		eqidd 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑌‘𝑥) = (𝑌‘𝑥))
27	17, 20, 23, 23, 24, 25, 26	ofval 7708	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝑋 ∘f (+g‘𝑅)𝑌)‘𝑥) = ((𝑋‘𝑥)(+g‘𝑅)(𝑌‘𝑥)))
28	12, 27	mpdan 687	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → ((𝑋 ∘f (+g‘𝑅)𝑌)‘𝑥) = ((𝑋‘𝑥)(+g‘𝑅)(𝑌‘𝑥)))
29	9, 28	eqtrd 2777	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → ((𝑋 + 𝑌)‘𝑥) = ((𝑋‘𝑥)(+g‘𝑅)(𝑌‘𝑥)))
30	29	oveq1d 7446	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (((𝑋 + 𝑌)‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥))) = (((𝑋‘𝑥)(+g‘𝑅)(𝑌‘𝑥))(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))
31		psrring.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
32	31	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑅 ∈ Ring)
33	16, 12	ffvelcdmd 7105	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑋‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
34	19, 12	ffvelcdmd 7105	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑌‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
35		psrass.z	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
36	1, 13, 14, 2, 35	psrelbas 21954	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑍:𝐷⟶(Base‘𝑅))
37	36	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑍:𝐷⟶(Base‘𝑅))
38		simplr 769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑘 ∈ 𝐷)
39		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}
40	14, 39	psrbagconcl 21947	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐷 ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑘 ∘f − 𝑥) ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘})
41	38, 11, 40	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑘 ∘f − 𝑥) ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘})
42	10, 41	sselid 3981	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑘 ∘f − 𝑥) ∈ 𝐷)
43	37, 42	ffvelcdmd 7105	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)) ∈ (Base‘𝑅))
44		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
45	13, 3, 44	ringdir 20259	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑋‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑌‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)) ∈ (Base‘𝑅))) → (((𝑋‘𝑥)(+g‘𝑅)(𝑌‘𝑥))(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥))) = (((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))(+g‘𝑅)((𝑌‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))
46	32, 33, 34, 43, 45	syl13anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (((𝑋‘𝑥)(+g‘𝑅)(𝑌‘𝑥))(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥))) = (((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))(+g‘𝑅)((𝑌‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))
47	30, 46	eqtrd 2777	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (((𝑋 + 𝑌)‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥))) = (((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))(+g‘𝑅)((𝑌‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))
48	47	mpteq2dva 5242	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ (((𝑋 + 𝑌)‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ (((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))(+g‘𝑅)((𝑌‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))))
49	14	psrbaglefi 21946	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐷 → {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ∈ Fin)
50	49	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ∈ Fin)
51	13, 44	ringcl 20247	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))
52	32, 33, 43, 51	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))
53	13, 44	ringcl 20247	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑌‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))
54	32, 34, 43, 53	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → ((𝑌‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))
55		eqidd 2738	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))
56		eqidd 2738	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑌‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑌‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))
57	50, 52, 54, 55, 56	offval2 7717	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → ((𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) ∘f (+g‘𝑅)(𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑌‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ (((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))(+g‘𝑅)((𝑌‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))))
58	48, 57	eqtr4d 2780	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ (((𝑋 + 𝑌)‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) = ((𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) ∘f (+g‘𝑅)(𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑌‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))))
59	58	oveq2d 7447	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ (((𝑋 + 𝑌)‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))) = (𝑅 Σg ((𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) ∘f (+g‘𝑅)(𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑌‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))
60	31	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → 𝑅 ∈ Ring)
61		ringcmn 20279	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
62	60, 61	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → 𝑅 ∈ CMnd)
63		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))
64		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑌‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑌‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))
65	13, 3, 62, 50, 52, 54, 63, 64	gsummptfidmadd2 19944	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg ((𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) ∘f (+g‘𝑅)(𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑌‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))) = ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))(+g‘𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑌‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))
66	59, 65	eqtrd 2777	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ (((𝑋 + 𝑌)‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))) = ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))(+g‘𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑌‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))
67	66	mpteq2dva 5242	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ (((𝑋 + 𝑌)‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))(+g‘𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑌‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))))))
68		psrass.t	. . 3 ⊢ × = (.r‘𝑆)
69	31	ringgrpd 20239	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
70	69	grpmgmd 18979	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mgm)
71	1, 2, 4, 70, 5, 6	psraddcl 21958	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
72	1, 2, 44, 68, 14, 71, 35	psrmulfval 21963	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) × 𝑍) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ (((𝑋 + 𝑌)‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))
73	1, 2, 68, 31, 5, 35	psrmulcl 21966	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑍) ∈ 𝐵)
74	1, 2, 68, 31, 6, 35	psrmulcl 21966	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 × 𝑍) ∈ 𝐵)
75	1, 2, 3, 4, 73, 74	psradd 21957	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 × 𝑍) + (𝑌 × 𝑍)) = ((𝑋 × 𝑍) ∘f (+g‘𝑅)(𝑌 × 𝑍)))
76	22	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
77		ovexd 7466	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))) ∈ V)
78		ovexd 7466	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑌‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))) ∈ V)
79	1, 2, 44, 68, 14, 5, 35	psrmulfval 21963	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑍) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))
80	1, 2, 44, 68, 14, 6, 35	psrmulfval 21963	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 × 𝑍) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑌‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))
81	76, 77, 78, 79, 80	offval2 7717	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 × 𝑍) ∘f (+g‘𝑅)(𝑌 × 𝑍)) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))(+g‘𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑌‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))))))
82	75, 81	eqtrd 2777	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 × 𝑍) + (𝑌 × 𝑍)) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))(+g‘𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑌‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))))))
83	67, 72, 82	3eqtr4d 2787	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) × 𝑍) = ((𝑋 × 𝑍) + (𝑌 × 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {crab 3436  Vcvv 3480   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225  ^◡ccnv 5684   “ cima 5688  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ∘_f cof 7695   ∘_r cofr 7696   ↑_m cmap 8866  Fincfn 8985   ≤ cle 11296   − cmin 11492  ℕcn 12266  ℕ₀cn0 12526  Basecbs 17247  +_gcplusg 17297  ._rcmulr 17298   Σ_g cgsu 17485  CMndccmn 19798  Ringcrg 20230   mPwSer cmps 21924

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-tset 17316  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-ur 20179  df-ring 20232  df-psr 21929

This theorem is referenced by:  psrring  21990