Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrdir Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrdir 20179
 Description: Distributive law for the ring of power series (right-distributivity). (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psrring.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrring.i (𝜑𝐼𝑉)
psrring.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
psrass.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrass.t × = (.r𝑆)
psrass.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrass.x (𝜑𝑋𝐵)
psrass.y (𝜑𝑌𝐵)
psrass.z (𝜑𝑍𝐵)
psrdi.a + = (+g𝑆)
Assertion
Ref Expression
psrdir (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) × 𝑍) = ((𝑋 × 𝑍) + (𝑌 × 𝑍)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐼   𝑅,𝑓   𝑓,𝑋   𝑓,𝑍   𝑓,𝑌
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   + (𝑓)   𝑆(𝑓)   × (𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrdir
Dummy variables 𝑥 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrring.s . . . . . . . . . . . . 13 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 psrass.b . . . . . . . . . . . . 13 𝐵 = (Base‘𝑆)
3 eqid 2819 . . . . . . . . . . . . 13 (+g𝑅) = (+g𝑅)
4 psrdi.a . . . . . . . . . . . . 13 + = (+g𝑆)
5 psrass.x . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑋𝐵)
6 psrass.y . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑌𝐵)
71, 2, 3, 4, 5, 6psradd 20154 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑋f (+g𝑅)𝑌))
87fveq1d 6665 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌)‘𝑥) = ((𝑋f (+g𝑅)𝑌)‘𝑥))
98ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → ((𝑋 + 𝑌)‘𝑥) = ((𝑋f (+g𝑅)𝑌)‘𝑥))
10 ssrab2 4054 . . . . . . . . . . . 12 {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ⊆ 𝐷
11 simpr 487 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘})
1210, 11sseldi 3963 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝑥𝐷)
13 eqid 2819 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
14 psrass.d . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
151, 13, 14, 2, 5psrelbas 20151 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
1615ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
1716ffnd 6508 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝑋 Fn 𝐷)
181, 13, 14, 2, 6psrelbas 20151 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
1918ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
2019ffnd 6508 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝑌 Fn 𝐷)
21 ovex 7181 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℕ0m 𝐼) ∈ V
2214, 21rabex2 5228 . . . . . . . . . . . . 13 𝐷 ∈ V
2322a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝐷 ∈ V)
24 inidm 4193 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷𝐷) = 𝐷
25 eqidd 2820 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) ∧ 𝑥𝐷) → (𝑋𝑥) = (𝑋𝑥))
26 eqidd 2820 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) ∧ 𝑥𝐷) → (𝑌𝑥) = (𝑌𝑥))
2717, 20, 23, 23, 24, 25, 26ofval 7410 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) ∧ 𝑥𝐷) → ((𝑋f (+g𝑅)𝑌)‘𝑥) = ((𝑋𝑥)(+g𝑅)(𝑌𝑥)))
2812, 27mpdan 685 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → ((𝑋f (+g𝑅)𝑌)‘𝑥) = ((𝑋𝑥)(+g𝑅)(𝑌𝑥)))
299, 28eqtrd 2854 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → ((𝑋 + 𝑌)‘𝑥) = ((𝑋𝑥)(+g𝑅)(𝑌𝑥)))
3029oveq1d 7163 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → (((𝑋 + 𝑌)‘𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥))) = (((𝑋𝑥)(+g𝑅)(𝑌𝑥))(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥))))
31 psrring.r . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
3231ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝑅 ∈ Ring)
3316, 12ffvelrnd 6845 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → (𝑋𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
3419, 12ffvelrnd 6845 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → (𝑌𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
35 psrass.z . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑍𝐵)
361, 13, 14, 2, 35psrelbas 20151 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑍:𝐷⟶(Base‘𝑅))
3736ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝑍:𝐷⟶(Base‘𝑅))
38 psrring.i . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐼𝑉)
3938ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝐼𝑉)
40 simplr 767 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝑘𝐷)
41 eqid 2819 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑦𝐷𝑦r𝑘} = {𝑦𝐷𝑦r𝑘}
4214, 41psrbagconcl 20145 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉𝑘𝐷𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → (𝑘f𝑥) ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘})
4339, 40, 11, 42syl3anc 1366 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → (𝑘f𝑥) ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘})
4410, 43sseldi 3963 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → (𝑘f𝑥) ∈ 𝐷)
4537, 44ffvelrnd 6845 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → (𝑍‘(𝑘f𝑥)) ∈ (Base‘𝑅))
46 eqid 2819 . . . . . . . . . 10 (.r𝑅) = (.r𝑅)
4713, 3, 46ringdir 19309 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑋𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑌𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑍‘(𝑘f𝑥)) ∈ (Base‘𝑅))) → (((𝑋𝑥)(+g𝑅)(𝑌𝑥))(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥))) = (((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥)))(+g𝑅)((𝑌𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥)))))
4832, 33, 34, 45, 47syl13anc 1367 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → (((𝑋𝑥)(+g𝑅)(𝑌𝑥))(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥))) = (((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥)))(+g𝑅)((𝑌𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥)))))
4930, 48eqtrd 2854 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → (((𝑋 + 𝑌)‘𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥))) = (((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥)))(+g𝑅)((𝑌𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥)))))
5049mpteq2dva 5152 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ (((𝑋 + 𝑌)‘𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ (((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥)))(+g𝑅)((𝑌𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥))))))
5114psrbaglefi 20144 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝑘𝐷) → {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ∈ Fin)
5238, 51sylan 582 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐷) → {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ∈ Fin)
5313, 46ringcl 19303 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑍‘(𝑘f𝑥)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))
5432, 33, 45, 53syl3anc 1366 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))
5513, 46ringcl 19303 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑍‘(𝑘f𝑥)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑌𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))
5632, 34, 45, 55syl3anc 1366 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → ((𝑌𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))
57 eqidd 2820 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥)))))
58 eqidd 2820 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑌𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑌𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥)))))
5952, 54, 56, 57, 58offval2 7418 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐷) → ((𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥)))) ∘f (+g𝑅)(𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑌𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥))))) = (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ (((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥)))(+g𝑅)((𝑌𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥))))))
6050, 59eqtr4d 2857 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ (((𝑋 + 𝑌)‘𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥)))) = ((𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥)))) ∘f (+g𝑅)(𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑌𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥))))))
6160oveq2d 7164 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ (((𝑋 + 𝑌)‘𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥))))) = (𝑅 Σg ((𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥)))) ∘f (+g𝑅)(𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑌𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥)))))))
6231adantr 483 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐷) → 𝑅 ∈ Ring)
63 ringcmn 19323 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
6462, 63syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐷) → 𝑅 ∈ CMnd)
65 eqid 2819 . . . . 5 (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥))))
66 eqid 2819 . . . . 5 (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑌𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑌𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥))))
6713, 3, 64, 52, 54, 56, 65, 66gsummptfidmadd2 19038 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑅 Σg ((𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥)))) ∘f (+g𝑅)(𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑌𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥)))))) = ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥)))))(+g𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑌𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥)))))))
6861, 67eqtrd 2854 . . 3 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ (((𝑋 + 𝑌)‘𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥))))) = ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥)))))(+g𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑌𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥)))))))
6968mpteq2dva 5152 . 2 (𝜑 → (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ (((𝑋 + 𝑌)‘𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥)))))) = (𝑘𝐷 ↦ ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥)))))(+g𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑌𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥))))))))
70 psrass.t . . 3 × = (.r𝑆)
71 ringgrp 19294 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
7231, 71syl 17 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
731, 2, 4, 72, 5, 6psraddcl 20155 . . 3 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
741, 2, 46, 70, 14, 73, 35psrmulfval 20157 . 2 (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) × 𝑍) = (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ (((𝑋 + 𝑌)‘𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥)))))))
751, 2, 70, 31, 5, 35psrmulcl 20160 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 × 𝑍) ∈ 𝐵)
761, 2, 70, 31, 6, 35psrmulcl 20160 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 × 𝑍) ∈ 𝐵)
771, 2, 3, 4, 75, 76psradd 20154 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 × 𝑍) + (𝑌 × 𝑍)) = ((𝑋 × 𝑍) ∘f (+g𝑅)(𝑌 × 𝑍)))
7822a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ V)
79 ovexd 7183 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥))))) ∈ V)
80 ovexd 7183 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑌𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥))))) ∈ V)
811, 2, 46, 70, 14, 5, 35psrmulfval 20157 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 × 𝑍) = (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥)))))))
821, 2, 46, 70, 14, 6, 35psrmulfval 20157 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 × 𝑍) = (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑌𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥)))))))
8378, 79, 80, 81, 82offval2 7418 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 × 𝑍) ∘f (+g𝑅)(𝑌 × 𝑍)) = (𝑘𝐷 ↦ ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥)))))(+g𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑌𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥))))))))
8477, 83eqtrd 2854 . 2 (𝜑 → ((𝑋 × 𝑍) + (𝑌 × 𝑍)) = (𝑘𝐷 ↦ ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥)))))(+g𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑌𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘f𝑥))))))))
8569, 74, 843eqtr4d 2864 1 (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) × 𝑍) = ((𝑋 × 𝑍) + (𝑌 × 𝑍)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1531   ∈ wcel 2108  {crab 3140  Vcvv 3493   class class class wbr 5057   ↦ cmpt 5137  ◡ccnv 5547   “ cima 5551  ⟶wf 6344  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148   ∘f cof 7399   ∘r cofr 7400   ↑m cmap 8398  Fincfn 8501   ≤ cle 10668   − cmin 10862  ℕcn 11630  ℕ0cn0 11889  Basecbs 16475  +gcplusg 16557  .rcmulr 16558   Σg cgsu 16706  Grpcgrp 18095  CMndccmn 18898  Ringcrg 19289   mPwSer cmps 20123 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7401  df-ofr 7402  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-supp 7823  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-2o 8095  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-pm 8401  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-seq 13362  df-hash 13683  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-tset 16576  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19232  df-ur 19244  df-ring 19291  df-psr 20128 This theorem is referenced by:  psrring  20183
 Copyright terms: Public domain W3C validator