MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplsubglem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mplsubglem 20681
Description: If 𝐴 is an ideal of sets (a nonempty collection closed under subset and binary union) of the set 𝐷 of finite bags (the primary applications being 𝐴 = Fin and 𝐴 = 𝒫 𝐵 for some 𝐵), then the set of all power series whose coefficient functions are supported on an element of 𝐴 is a subgroup of the set of all power series. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2015.) (Revised by AV, 16-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mplsubglem.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mplsubglem.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
mplsubglem.z 0 = (0g𝑅)
mplsubglem.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
mplsubglem.i (𝜑𝐼𝑊)
mplsubglem.0 (𝜑 → ∅ ∈ 𝐴)
mplsubglem.a ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → (𝑥𝑦) ∈ 𝐴)
mplsubglem.y ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝑥)) → 𝑦𝐴)
mplsubglem.u (𝜑𝑈 = {𝑔𝐵 ∣ (𝑔 supp 0 ) ∈ 𝐴})
mplsubglem.r (𝜑𝑅 ∈ Grp)
Assertion
Ref Expression
mplsubglem (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑥,𝑦, 0   𝐴,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦   𝐵,𝑓,𝑔   𝐷,𝑔   𝑓,𝐼   𝜑,𝑥,𝑦   𝑆,𝑓,𝑔,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑔)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑓)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑓,𝑔)   𝑆(𝑥)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑓,𝑔)   𝐼(𝑥,𝑦,𝑔)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑓,𝑔)

Proof of Theorem mplsubglem
Dummy variables 𝑘 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mplsubglem.u . . 3 (𝜑𝑈 = {𝑔𝐵 ∣ (𝑔 supp 0 ) ∈ 𝐴})
2 ssrab2 4042 . . 3 {𝑔𝐵 ∣ (𝑔 supp 0 ) ∈ 𝐴} ⊆ 𝐵
31, 2eqsstrdi 4007 . 2 (𝜑𝑈𝐵)
4 mplsubglem.s . . . . 5 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
5 mplsubglem.i . . . . 5 (𝜑𝐼𝑊)
6 mplsubglem.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
7 mplsubglem.d . . . . 5 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
8 mplsubglem.z . . . . 5 0 = (0g𝑅)
9 mplsubglem.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑆)
104, 5, 6, 7, 8, 9psr0cl 20641 . . . 4 (𝜑 → (𝐷 × { 0 }) ∈ 𝐵)
11 eqid 2824 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
1211, 8grpidcl 18133 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝑅))
13 fconst6g 6560 . . . . . . . 8 ( 0 ∈ (Base‘𝑅) → (𝐷 × { 0 }):𝐷⟶(Base‘𝑅))
146, 12, 133syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷 × { 0 }):𝐷⟶(Base‘𝑅))
15 eldifi 4089 . . . . . . . . 9 (𝑢 ∈ (𝐷 ∖ ∅) → 𝑢𝐷)
168fvexi 6677 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
1716fvconst2 6959 . . . . . . . . 9 (𝑢𝐷 → ((𝐷 × { 0 })‘𝑢) = 0 )
1815, 17syl 17 . . . . . . . 8 (𝑢 ∈ (𝐷 ∖ ∅) → ((𝐷 × { 0 })‘𝑢) = 0 )
1918adantl 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑢 ∈ (𝐷 ∖ ∅)) → ((𝐷 × { 0 })‘𝑢) = 0 )
2014, 19suppss 7858 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐷 × { 0 }) supp 0 ) ⊆ ∅)
21 ss0 4335 . . . . . 6 (((𝐷 × { 0 }) supp 0 ) ⊆ ∅ → ((𝐷 × { 0 }) supp 0 ) = ∅)
2220, 21syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐷 × { 0 }) supp 0 ) = ∅)
23 mplsubglem.0 . . . . 5 (𝜑 → ∅ ∈ 𝐴)
2422, 23eqeltrd 2916 . . . 4 (𝜑 → ((𝐷 × { 0 }) supp 0 ) ∈ 𝐴)
251eleq2d 2901 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐷 × { 0 }) ∈ 𝑈 ↔ (𝐷 × { 0 }) ∈ {𝑔𝐵 ∣ (𝑔 supp 0 ) ∈ 𝐴}))
26 oveq1 7158 . . . . . . 7 (𝑔 = (𝐷 × { 0 }) → (𝑔 supp 0 ) = ((𝐷 × { 0 }) supp 0 ))
2726eleq1d 2900 . . . . . 6 (𝑔 = (𝐷 × { 0 }) → ((𝑔 supp 0 ) ∈ 𝐴 ↔ ((𝐷 × { 0 }) supp 0 ) ∈ 𝐴))
2827elrab 3666 . . . . 5 ((𝐷 × { 0 }) ∈ {𝑔𝐵 ∣ (𝑔 supp 0 ) ∈ 𝐴} ↔ ((𝐷 × { 0 }) ∈ 𝐵 ∧ ((𝐷 × { 0 }) supp 0 ) ∈ 𝐴))
2925, 28syl6bb 290 . . . 4 (𝜑 → ((𝐷 × { 0 }) ∈ 𝑈 ↔ ((𝐷 × { 0 }) ∈ 𝐵 ∧ ((𝐷 × { 0 }) supp 0 ) ∈ 𝐴)))
3010, 24, 29mpbir2and 712 . . 3 (𝜑 → (𝐷 × { 0 }) ∈ 𝑈)
3130ne0d 4284 . 2 (𝜑𝑈 ≠ ∅)
32 eqid 2824 . . . . . . 7 (+g𝑆) = (+g𝑆)
336ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → 𝑅 ∈ Grp)
341eleq2d 2901 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑢𝑈𝑢 ∈ {𝑔𝐵 ∣ (𝑔 supp 0 ) ∈ 𝐴}))
35 oveq1 7158 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = 𝑢 → (𝑔 supp 0 ) = (𝑢 supp 0 ))
3635eleq1d 2900 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = 𝑢 → ((𝑔 supp 0 ) ∈ 𝐴 ↔ (𝑢 supp 0 ) ∈ 𝐴))
3736elrab 3666 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 ∈ {𝑔𝐵 ∣ (𝑔 supp 0 ) ∈ 𝐴} ↔ (𝑢𝐵 ∧ (𝑢 supp 0 ) ∈ 𝐴))
3834, 37syl6bb 290 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑢𝑈 ↔ (𝑢𝐵 ∧ (𝑢 supp 0 ) ∈ 𝐴)))
3938biimpa 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑢𝑈) → (𝑢𝐵 ∧ (𝑢 supp 0 ) ∈ 𝐴))
4039simpld 498 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢𝑈) → 𝑢𝐵)
4140adantr 484 . . . . . . 7 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → 𝑢𝐵)
421adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑢𝑈) → 𝑈 = {𝑔𝐵 ∣ (𝑔 supp 0 ) ∈ 𝐴})
4342eleq2d 2901 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢𝑈) → (𝑣𝑈𝑣 ∈ {𝑔𝐵 ∣ (𝑔 supp 0 ) ∈ 𝐴}))
44 oveq1 7158 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = 𝑣 → (𝑔 supp 0 ) = (𝑣 supp 0 ))
4544eleq1d 2900 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = 𝑣 → ((𝑔 supp 0 ) ∈ 𝐴 ↔ (𝑣 supp 0 ) ∈ 𝐴))
4645elrab 3666 . . . . . . . . . 10 (𝑣 ∈ {𝑔𝐵 ∣ (𝑔 supp 0 ) ∈ 𝐴} ↔ (𝑣𝐵 ∧ (𝑣 supp 0 ) ∈ 𝐴))
4743, 46syl6bb 290 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑢𝑈) → (𝑣𝑈 ↔ (𝑣𝐵 ∧ (𝑣 supp 0 ) ∈ 𝐴)))
4847biimpa 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → (𝑣𝐵 ∧ (𝑣 supp 0 ) ∈ 𝐴))
4948simpld 498 . . . . . . 7 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → 𝑣𝐵)
504, 9, 32, 33, 41, 49psraddcl 20630 . . . . . 6 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → (𝑢(+g𝑆)𝑣) ∈ 𝐵)
51 ovexd 7186 . . . . . . 7 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → ((𝑢(+g𝑆)𝑣) supp 0 ) ∈ V)
52 sseq2 3979 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 )) → (𝑦𝑥𝑦 ⊆ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 ))))
5352imbi1d 345 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 )) → ((𝑦𝑥𝑦𝐴) ↔ (𝑦 ⊆ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 )) → 𝑦𝐴)))
5453albidv 1922 . . . . . . . 8 (𝑥 = ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 )) → (∀𝑦(𝑦𝑥𝑦𝐴) ↔ ∀𝑦(𝑦 ⊆ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 )) → 𝑦𝐴)))
55 mplsubglem.y . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝑥)) → 𝑦𝐴)
5655expr 460 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑦𝑥𝑦𝐴))
5756alrimiv 1929 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → ∀𝑦(𝑦𝑥𝑦𝐴))
5857ralrimiva 3177 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦(𝑦𝑥𝑦𝐴))
5958ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → ∀𝑥𝐴𝑦(𝑦𝑥𝑦𝐴))
6039simprd 499 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢𝑈) → (𝑢 supp 0 ) ∈ 𝐴)
6160adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → (𝑢 supp 0 ) ∈ 𝐴)
6248simprd 499 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → (𝑣 supp 0 ) ∈ 𝐴)
63 mplsubglem.a . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → (𝑥𝑦) ∈ 𝐴)
6463ralrimivva 3186 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦) ∈ 𝐴)
6564ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦) ∈ 𝐴)
66 uneq1 4118 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑢 supp 0 ) → (𝑥𝑦) = ((𝑢 supp 0 ) ∪ 𝑦))
6766eleq1d 2900 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑢 supp 0 ) → ((𝑥𝑦) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑢 supp 0 ) ∪ 𝑦) ∈ 𝐴))
68 uneq2 4119 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑣 supp 0 ) → ((𝑢 supp 0 ) ∪ 𝑦) = ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 )))
6968eleq1d 2900 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝑣 supp 0 ) → (((𝑢 supp 0 ) ∪ 𝑦) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 )) ∈ 𝐴))
7067, 69rspc2va 3620 . . . . . . . . 9 ((((𝑢 supp 0 ) ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 supp 0 ) ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦) ∈ 𝐴) → ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 )) ∈ 𝐴)
7161, 62, 65, 70syl21anc 836 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 )) ∈ 𝐴)
7254, 59, 71rspcdva 3611 . . . . . . 7 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → ∀𝑦(𝑦 ⊆ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 )) → 𝑦𝐴))
734, 11, 7, 9, 50psrelbas 20626 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → (𝑢(+g𝑆)𝑣):𝐷⟶(Base‘𝑅))
74 eqid 2824 . . . . . . . . . . . 12 (+g𝑅) = (+g𝑅)
754, 9, 74, 32, 41, 49psradd 20629 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → (𝑢(+g𝑆)𝑣) = (𝑢f (+g𝑅)𝑣))
7675fveq1d 6665 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → ((𝑢(+g𝑆)𝑣)‘𝑘) = ((𝑢f (+g𝑅)𝑣)‘𝑘))
7776adantr 484 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 )))) → ((𝑢(+g𝑆)𝑣)‘𝑘) = ((𝑢f (+g𝑅)𝑣)‘𝑘))
78 eldifi 4089 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (𝐷 ∖ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 ))) → 𝑘𝐷)
794, 11, 7, 9, 40psrelbas 20626 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢𝑈) → 𝑢:𝐷⟶(Base‘𝑅))
8079adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → 𝑢:𝐷⟶(Base‘𝑅))
8180ffnd 6506 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → 𝑢 Fn 𝐷)
824, 11, 7, 9, 49psrelbas 20626 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → 𝑣:𝐷⟶(Base‘𝑅))
8382ffnd 6506 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → 𝑣 Fn 𝐷)
84 ovex 7184 . . . . . . . . . . . . 13 (ℕ0m 𝐼) ∈ V
857, 84rabex2 5224 . . . . . . . . . . . 12 𝐷 ∈ V
8685a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → 𝐷 ∈ V)
87 inidm 4180 . . . . . . . . . . 11 (𝐷𝐷) = 𝐷
88 eqidd 2825 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) ∧ 𝑘𝐷) → (𝑢𝑘) = (𝑢𝑘))
89 eqidd 2825 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) ∧ 𝑘𝐷) → (𝑣𝑘) = (𝑣𝑘))
9081, 83, 86, 86, 87, 88, 89ofval 7414 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) ∧ 𝑘𝐷) → ((𝑢f (+g𝑅)𝑣)‘𝑘) = ((𝑢𝑘)(+g𝑅)(𝑣𝑘)))
9178, 90sylan2 595 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 )))) → ((𝑢f (+g𝑅)𝑣)‘𝑘) = ((𝑢𝑘)(+g𝑅)(𝑣𝑘)))
92 ssun1 4134 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 supp 0 ) ⊆ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 ))
93 sscon 4101 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢 supp 0 ) ⊆ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 )) → (𝐷 ∖ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 ))) ⊆ (𝐷 ∖ (𝑢 supp 0 )))
9492, 93ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ∖ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 ))) ⊆ (𝐷 ∖ (𝑢 supp 0 ))
9594sseli 3949 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (𝐷 ∖ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 ))) → 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ (𝑢 supp 0 )))
96 ssidd 3976 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢𝑈) → (𝑢 supp 0 ) ⊆ (𝑢 supp 0 ))
9785a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢𝑈) → 𝐷 ∈ V)
9816a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢𝑈) → 0 ∈ V)
9979, 96, 97, 98suppssr 7859 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ (𝑢 supp 0 ))) → (𝑢𝑘) = 0 )
10099adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ (𝑢 supp 0 ))) → (𝑢𝑘) = 0 )
10195, 100sylan2 595 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 )))) → (𝑢𝑘) = 0 )
102 ssun2 4135 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 supp 0 ) ⊆ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 ))
103 sscon 4101 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑣 supp 0 ) ⊆ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 )) → (𝐷 ∖ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 ))) ⊆ (𝐷 ∖ (𝑣 supp 0 )))
104102, 103ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ∖ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 ))) ⊆ (𝐷 ∖ (𝑣 supp 0 ))
105104sseli 3949 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (𝐷 ∖ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 ))) → 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ (𝑣 supp 0 )))
106 ssidd 3976 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → (𝑣 supp 0 ) ⊆ (𝑣 supp 0 ))
10716a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → 0 ∈ V)
10882, 106, 86, 107suppssr 7859 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ (𝑣 supp 0 ))) → (𝑣𝑘) = 0 )
109105, 108sylan2 595 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 )))) → (𝑣𝑘) = 0 )
110101, 109oveq12d 7169 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 )))) → ((𝑢𝑘)(+g𝑅)(𝑣𝑘)) = ( 0 (+g𝑅) 0 ))
11111, 74, 8grplid 18135 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 0 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 0 (+g𝑅) 0 ) = 0 )
11233, 12, 111syl2anc2 588 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → ( 0 (+g𝑅) 0 ) = 0 )
113112adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 )))) → ( 0 (+g𝑅) 0 ) = 0 )
114110, 113eqtrd 2859 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 )))) → ((𝑢𝑘)(+g𝑅)(𝑣𝑘)) = 0 )
11577, 91, 1143eqtrd 2863 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 )))) → ((𝑢(+g𝑆)𝑣)‘𝑘) = 0 )
11673, 115suppss 7858 . . . . . . 7 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → ((𝑢(+g𝑆)𝑣) supp 0 ) ⊆ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 )))
117 sseq1 3978 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ((𝑢(+g𝑆)𝑣) supp 0 ) → (𝑦 ⊆ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 )) ↔ ((𝑢(+g𝑆)𝑣) supp 0 ) ⊆ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 ))))
118 eleq1 2903 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ((𝑢(+g𝑆)𝑣) supp 0 ) → (𝑦𝐴 ↔ ((𝑢(+g𝑆)𝑣) supp 0 ) ∈ 𝐴))
119117, 118imbi12d 348 . . . . . . . 8 (𝑦 = ((𝑢(+g𝑆)𝑣) supp 0 ) → ((𝑦 ⊆ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 )) → 𝑦𝐴) ↔ (((𝑢(+g𝑆)𝑣) supp 0 ) ⊆ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 )) → ((𝑢(+g𝑆)𝑣) supp 0 ) ∈ 𝐴)))
120119spcgv 3581 . . . . . . 7 (((𝑢(+g𝑆)𝑣) supp 0 ) ∈ V → (∀𝑦(𝑦 ⊆ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 )) → 𝑦𝐴) → (((𝑢(+g𝑆)𝑣) supp 0 ) ⊆ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 )) → ((𝑢(+g𝑆)𝑣) supp 0 ) ∈ 𝐴)))
12151, 72, 116, 120syl3c 66 . . . . . 6 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → ((𝑢(+g𝑆)𝑣) supp 0 ) ∈ 𝐴)
1221ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → 𝑈 = {𝑔𝐵 ∣ (𝑔 supp 0 ) ∈ 𝐴})
123122eleq2d 2901 . . . . . . 7 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → ((𝑢(+g𝑆)𝑣) ∈ 𝑈 ↔ (𝑢(+g𝑆)𝑣) ∈ {𝑔𝐵 ∣ (𝑔 supp 0 ) ∈ 𝐴}))
124 oveq1 7158 . . . . . . . . 9 (𝑔 = (𝑢(+g𝑆)𝑣) → (𝑔 supp 0 ) = ((𝑢(+g𝑆)𝑣) supp 0 ))
125124eleq1d 2900 . . . . . . . 8 (𝑔 = (𝑢(+g𝑆)𝑣) → ((𝑔 supp 0 ) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑢(+g𝑆)𝑣) supp 0 ) ∈ 𝐴))
126125elrab 3666 . . . . . . 7 ((𝑢(+g𝑆)𝑣) ∈ {𝑔𝐵 ∣ (𝑔 supp 0 ) ∈ 𝐴} ↔ ((𝑢(+g𝑆)𝑣) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑢(+g𝑆)𝑣) supp 0 ) ∈ 𝐴))
127123, 126syl6bb 290 . . . . . 6 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → ((𝑢(+g𝑆)𝑣) ∈ 𝑈 ↔ ((𝑢(+g𝑆)𝑣) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑢(+g𝑆)𝑣) supp 0 ) ∈ 𝐴)))
12850, 121, 127mpbir2and 712 . . . . 5 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → (𝑢(+g𝑆)𝑣) ∈ 𝑈)
129128ralrimiva 3177 . . . 4 ((𝜑𝑢𝑈) → ∀𝑣𝑈 (𝑢(+g𝑆)𝑣) ∈ 𝑈)
1304, 5, 6psrgrp 20645 . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ Grp)
131 eqid 2824 . . . . . . 7 (invg𝑆) = (invg𝑆)
1329, 131grpinvcl 18153 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑢𝐵) → ((invg𝑆)‘𝑢) ∈ 𝐵)
133130, 40, 132syl2an2r 684 . . . . 5 ((𝜑𝑢𝑈) → ((invg𝑆)‘𝑢) ∈ 𝐵)
134 ovexd 7186 . . . . . 6 ((𝜑𝑢𝑈) → (((invg𝑆)‘𝑢) supp 0 ) ∈ V)
135 sseq2 3979 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑢 supp 0 ) → (𝑦𝑥𝑦 ⊆ (𝑢 supp 0 )))
136135imbi1d 345 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑢 supp 0 ) → ((𝑦𝑥𝑦𝐴) ↔ (𝑦 ⊆ (𝑢 supp 0 ) → 𝑦𝐴)))
137136albidv 1922 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑢 supp 0 ) → (∀𝑦(𝑦𝑥𝑦𝐴) ↔ ∀𝑦(𝑦 ⊆ (𝑢 supp 0 ) → 𝑦𝐴)))
13858adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑢𝑈) → ∀𝑥𝐴𝑦(𝑦𝑥𝑦𝐴))
139137, 138, 60rspcdva 3611 . . . . . 6 ((𝜑𝑢𝑈) → ∀𝑦(𝑦 ⊆ (𝑢 supp 0 ) → 𝑦𝐴))
1405adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑢𝑈) → 𝐼𝑊)
1416adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑢𝑈) → 𝑅 ∈ Grp)
142 eqid 2824 . . . . . . . . 9 (invg𝑅) = (invg𝑅)
1434, 140, 141, 7, 142, 9, 131, 40psrneg 20647 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢𝑈) → ((invg𝑆)‘𝑢) = ((invg𝑅) ∘ 𝑢))
144143oveq1d 7166 . . . . . . 7 ((𝜑𝑢𝑈) → (((invg𝑆)‘𝑢) supp 0 ) = (((invg𝑅) ∘ 𝑢) supp 0 ))
14511, 142grpinvfn 18147 . . . . . . . . 9 (invg𝑅) Fn (Base‘𝑅)
146145a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢𝑈) → (invg𝑅) Fn (Base‘𝑅))
1478, 142grpinvid 18162 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Grp → ((invg𝑅)‘ 0 ) = 0 )
148141, 147syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢𝑈) → ((invg𝑅)‘ 0 ) = 0 )
149146, 79, 97, 98, 148suppcoss 7869 . . . . . . 7 ((𝜑𝑢𝑈) → (((invg𝑅) ∘ 𝑢) supp 0 ) ⊆ (𝑢 supp 0 ))
150144, 149eqsstrd 3991 . . . . . 6 ((𝜑𝑢𝑈) → (((invg𝑆)‘𝑢) supp 0 ) ⊆ (𝑢 supp 0 ))
151 sseq1 3978 . . . . . . . 8 (𝑦 = (((invg𝑆)‘𝑢) supp 0 ) → (𝑦 ⊆ (𝑢 supp 0 ) ↔ (((invg𝑆)‘𝑢) supp 0 ) ⊆ (𝑢 supp 0 )))
152 eleq1 2903 . . . . . . . 8 (𝑦 = (((invg𝑆)‘𝑢) supp 0 ) → (𝑦𝐴 ↔ (((invg𝑆)‘𝑢) supp 0 ) ∈ 𝐴))
153151, 152imbi12d 348 . . . . . . 7 (𝑦 = (((invg𝑆)‘𝑢) supp 0 ) → ((𝑦 ⊆ (𝑢 supp 0 ) → 𝑦𝐴) ↔ ((((invg𝑆)‘𝑢) supp 0 ) ⊆ (𝑢 supp 0 ) → (((invg𝑆)‘𝑢) supp 0 ) ∈ 𝐴)))
154153spcgv 3581 . . . . . 6 ((((invg𝑆)‘𝑢) supp 0 ) ∈ V → (∀𝑦(𝑦 ⊆ (𝑢 supp 0 ) → 𝑦𝐴) → ((((invg𝑆)‘𝑢) supp 0 ) ⊆ (𝑢 supp 0 ) → (((invg𝑆)‘𝑢) supp 0 ) ∈ 𝐴)))
155134, 139, 150, 154syl3c 66 . . . . 5 ((𝜑𝑢𝑈) → (((invg𝑆)‘𝑢) supp 0 ) ∈ 𝐴)
15642eleq2d 2901 . . . . . 6 ((𝜑𝑢𝑈) → (((invg𝑆)‘𝑢) ∈ 𝑈 ↔ ((invg𝑆)‘𝑢) ∈ {𝑔𝐵 ∣ (𝑔 supp 0 ) ∈ 𝐴}))
157 oveq1 7158 . . . . . . . 8 (𝑔 = ((invg𝑆)‘𝑢) → (𝑔 supp 0 ) = (((invg𝑆)‘𝑢) supp 0 ))
158157eleq1d 2900 . . . . . . 7 (𝑔 = ((invg𝑆)‘𝑢) → ((𝑔 supp 0 ) ∈ 𝐴 ↔ (((invg𝑆)‘𝑢) supp 0 ) ∈ 𝐴))
159158elrab 3666 . . . . . 6 (((invg𝑆)‘𝑢) ∈ {𝑔𝐵 ∣ (𝑔 supp 0 ) ∈ 𝐴} ↔ (((invg𝑆)‘𝑢) ∈ 𝐵 ∧ (((invg𝑆)‘𝑢) supp 0 ) ∈ 𝐴))
160156, 159syl6bb 290 . . . . 5 ((𝜑𝑢𝑈) → (((invg𝑆)‘𝑢) ∈ 𝑈 ↔ (((invg𝑆)‘𝑢) ∈ 𝐵 ∧ (((invg𝑆)‘𝑢) supp 0 ) ∈ 𝐴)))
161133, 155, 160mpbir2and 712 . . . 4 ((𝜑𝑢𝑈) → ((invg𝑆)‘𝑢) ∈ 𝑈)
162129, 161jca 515 . . 3 ((𝜑𝑢𝑈) → (∀𝑣𝑈 (𝑢(+g𝑆)𝑣) ∈ 𝑈 ∧ ((invg𝑆)‘𝑢) ∈ 𝑈))
163162ralrimiva 3177 . 2 (𝜑 → ∀𝑢𝑈 (∀𝑣𝑈 (𝑢(+g𝑆)𝑣) ∈ 𝑈 ∧ ((invg𝑆)‘𝑢) ∈ 𝑈))
1649, 32, 131issubg2 18296 . . 3 (𝑆 ∈ Grp → (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑆) ↔ (𝑈𝐵𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑢𝑈 (∀𝑣𝑈 (𝑢(+g𝑆)𝑣) ∈ 𝑈 ∧ ((invg𝑆)‘𝑢) ∈ 𝑈))))
165130, 164syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑆) ↔ (𝑈𝐵𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑢𝑈 (∀𝑣𝑈 (𝑢(+g𝑆)𝑣) ∈ 𝑈 ∧ ((invg𝑆)‘𝑢) ∈ 𝑈))))
1663, 31, 163, 165mpbir3and 1339 1 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084  wal 1536   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014  wral 3133  {crab 3137  Vcvv 3480  cdif 3916  cun 3917  wss 3919  c0 4276  {csn 4550   × cxp 5541  ccnv 5542  cima 5546  ccom 5547   Fn wfn 6340  wf 6341  cfv 6345  (class class class)co 7151  f cof 7403   supp csupp 7828  m cmap 8404  Fincfn 8507  cn 11636  0cn0 11896  Basecbs 16485  +gcplusg 16567  0gc0g 16715  Grpcgrp 18105  invgcminusg 18106  SubGrpcsubg 18275   mPwSer cmps 20598
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6137  df-ord 6183  df-on 6184  df-lim 6185  df-suc 6186  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7405  df-om 7577  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-supp 7829  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-1o 8100  df-oadd 8104  df-er 8287  df-map 8406  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-fin 8511  df-fsupp 8833  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11637  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-fz 12897  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-tset 16586  df-0g 16717  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-grp 18108  df-minusg 18109  df-subg 18278  df-psr 20603
This theorem is referenced by:  mpllsslem  20682  mplsubg  20684
  Copyright terms: Public domain W3C validator