MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplsubglem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mplsubglem 19835
Description: If 𝐴 is an ideal of sets (a nonempty collection closed under subset and binary union) of the set 𝐷 of finite bags (the primary applications being 𝐴 = Fin and 𝐴 = 𝒫 𝐵 for some 𝐵), then the set of all power series whose coefficient functions are supported on an element of 𝐴 is a subgroup of the set of all power series. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2015.) (Revised by AV, 16-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mplsubglem.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mplsubglem.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
mplsubglem.z 0 = (0g𝑅)
mplsubglem.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
mplsubglem.i (𝜑𝐼𝑊)
mplsubglem.0 (𝜑 → ∅ ∈ 𝐴)
mplsubglem.a ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → (𝑥𝑦) ∈ 𝐴)
mplsubglem.y ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝑥)) → 𝑦𝐴)
mplsubglem.u (𝜑𝑈 = {𝑔𝐵 ∣ (𝑔 supp 0 ) ∈ 𝐴})
mplsubglem.r (𝜑𝑅 ∈ Grp)
Assertion
Ref Expression
mplsubglem (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑥,𝑦, 0   𝐴,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦   𝐵,𝑓,𝑔   𝐷,𝑔   𝑓,𝐼   𝜑,𝑥,𝑦   𝑆,𝑓,𝑔,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑔)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑓)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑓,𝑔)   𝑆(𝑥)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑓,𝑔)   𝐼(𝑥,𝑦,𝑔)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑓,𝑔)

Proof of Theorem mplsubglem
Dummy variables 𝑘 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mplsubglem.u . . 3 (𝜑𝑈 = {𝑔𝐵 ∣ (𝑔 supp 0 ) ∈ 𝐴})
2 ssrab2 3908 . . 3 {𝑔𝐵 ∣ (𝑔 supp 0 ) ∈ 𝐴} ⊆ 𝐵
31, 2syl6eqss 3874 . 2 (𝜑𝑈𝐵)
4 mplsubglem.s . . . . 5 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
5 mplsubglem.i . . . . 5 (𝜑𝐼𝑊)
6 mplsubglem.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
7 mplsubglem.d . . . . 5 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
8 mplsubglem.z . . . . 5 0 = (0g𝑅)
9 mplsubglem.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑆)
104, 5, 6, 7, 8, 9psr0cl 19795 . . . 4 (𝜑 → (𝐷 × { 0 }) ∈ 𝐵)
11 eqid 2778 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
1211, 8grpidcl 17841 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝑅))
13 fconst6g 6346 . . . . . . . 8 ( 0 ∈ (Base‘𝑅) → (𝐷 × { 0 }):𝐷⟶(Base‘𝑅))
146, 12, 133syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷 × { 0 }):𝐷⟶(Base‘𝑅))
15 eldifi 3955 . . . . . . . . 9 (𝑢 ∈ (𝐷 ∖ ∅) → 𝑢𝐷)
168fvexi 6462 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
1716fvconst2 6743 . . . . . . . . 9 (𝑢𝐷 → ((𝐷 × { 0 })‘𝑢) = 0 )
1815, 17syl 17 . . . . . . . 8 (𝑢 ∈ (𝐷 ∖ ∅) → ((𝐷 × { 0 })‘𝑢) = 0 )
1918adantl 475 . . . . . . 7 ((𝜑𝑢 ∈ (𝐷 ∖ ∅)) → ((𝐷 × { 0 })‘𝑢) = 0 )
2014, 19suppss 7609 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐷 × { 0 }) supp 0 ) ⊆ ∅)
21 ss0 4200 . . . . . 6 (((𝐷 × { 0 }) supp 0 ) ⊆ ∅ → ((𝐷 × { 0 }) supp 0 ) = ∅)
2220, 21syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐷 × { 0 }) supp 0 ) = ∅)
23 mplsubglem.0 . . . . 5 (𝜑 → ∅ ∈ 𝐴)
2422, 23eqeltrd 2859 . . . 4 (𝜑 → ((𝐷 × { 0 }) supp 0 ) ∈ 𝐴)
251eleq2d 2845 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐷 × { 0 }) ∈ 𝑈 ↔ (𝐷 × { 0 }) ∈ {𝑔𝐵 ∣ (𝑔 supp 0 ) ∈ 𝐴}))
26 oveq1 6931 . . . . . . 7 (𝑔 = (𝐷 × { 0 }) → (𝑔 supp 0 ) = ((𝐷 × { 0 }) supp 0 ))
2726eleq1d 2844 . . . . . 6 (𝑔 = (𝐷 × { 0 }) → ((𝑔 supp 0 ) ∈ 𝐴 ↔ ((𝐷 × { 0 }) supp 0 ) ∈ 𝐴))
2827elrab 3572 . . . . 5 ((𝐷 × { 0 }) ∈ {𝑔𝐵 ∣ (𝑔 supp 0 ) ∈ 𝐴} ↔ ((𝐷 × { 0 }) ∈ 𝐵 ∧ ((𝐷 × { 0 }) supp 0 ) ∈ 𝐴))
2925, 28syl6bb 279 . . . 4 (𝜑 → ((𝐷 × { 0 }) ∈ 𝑈 ↔ ((𝐷 × { 0 }) ∈ 𝐵 ∧ ((𝐷 × { 0 }) supp 0 ) ∈ 𝐴)))
3010, 24, 29mpbir2and 703 . . 3 (𝜑 → (𝐷 × { 0 }) ∈ 𝑈)
3130ne0d 4150 . 2 (𝜑𝑈 ≠ ∅)
32 eqid 2778 . . . . . . 7 (+g𝑆) = (+g𝑆)
336ad2antrr 716 . . . . . . 7 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → 𝑅 ∈ Grp)
341eleq2d 2845 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑢𝑈𝑢 ∈ {𝑔𝐵 ∣ (𝑔 supp 0 ) ∈ 𝐴}))
35 oveq1 6931 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = 𝑢 → (𝑔 supp 0 ) = (𝑢 supp 0 ))
3635eleq1d 2844 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = 𝑢 → ((𝑔 supp 0 ) ∈ 𝐴 ↔ (𝑢 supp 0 ) ∈ 𝐴))
3736elrab 3572 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 ∈ {𝑔𝐵 ∣ (𝑔 supp 0 ) ∈ 𝐴} ↔ (𝑢𝐵 ∧ (𝑢 supp 0 ) ∈ 𝐴))
3834, 37syl6bb 279 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑢𝑈 ↔ (𝑢𝐵 ∧ (𝑢 supp 0 ) ∈ 𝐴)))
3938biimpa 470 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑢𝑈) → (𝑢𝐵 ∧ (𝑢 supp 0 ) ∈ 𝐴))
4039simpld 490 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢𝑈) → 𝑢𝐵)
4140adantr 474 . . . . . . 7 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → 𝑢𝐵)
421adantr 474 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑢𝑈) → 𝑈 = {𝑔𝐵 ∣ (𝑔 supp 0 ) ∈ 𝐴})
4342eleq2d 2845 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢𝑈) → (𝑣𝑈𝑣 ∈ {𝑔𝐵 ∣ (𝑔 supp 0 ) ∈ 𝐴}))
44 oveq1 6931 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = 𝑣 → (𝑔 supp 0 ) = (𝑣 supp 0 ))
4544eleq1d 2844 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = 𝑣 → ((𝑔 supp 0 ) ∈ 𝐴 ↔ (𝑣 supp 0 ) ∈ 𝐴))
4645elrab 3572 . . . . . . . . . 10 (𝑣 ∈ {𝑔𝐵 ∣ (𝑔 supp 0 ) ∈ 𝐴} ↔ (𝑣𝐵 ∧ (𝑣 supp 0 ) ∈ 𝐴))
4743, 46syl6bb 279 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑢𝑈) → (𝑣𝑈 ↔ (𝑣𝐵 ∧ (𝑣 supp 0 ) ∈ 𝐴)))
4847biimpa 470 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → (𝑣𝐵 ∧ (𝑣 supp 0 ) ∈ 𝐴))
4948simpld 490 . . . . . . 7 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → 𝑣𝐵)
504, 9, 32, 33, 41, 49psraddcl 19784 . . . . . 6 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → (𝑢(+g𝑆)𝑣) ∈ 𝐵)
51 ovexd 6958 . . . . . . 7 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → ((𝑢(+g𝑆)𝑣) supp 0 ) ∈ V)
52 sseq2 3846 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 )) → (𝑦𝑥𝑦 ⊆ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 ))))
5352imbi1d 333 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 )) → ((𝑦𝑥𝑦𝐴) ↔ (𝑦 ⊆ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 )) → 𝑦𝐴)))
5453albidv 1963 . . . . . . . 8 (𝑥 = ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 )) → (∀𝑦(𝑦𝑥𝑦𝐴) ↔ ∀𝑦(𝑦 ⊆ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 )) → 𝑦𝐴)))
55 mplsubglem.y . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝑥)) → 𝑦𝐴)
5655expr 450 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑦𝑥𝑦𝐴))
5756alrimiv 1970 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → ∀𝑦(𝑦𝑥𝑦𝐴))
5857ralrimiva 3148 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦(𝑦𝑥𝑦𝐴))
5958ad2antrr 716 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → ∀𝑥𝐴𝑦(𝑦𝑥𝑦𝐴))
6039simprd 491 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢𝑈) → (𝑢 supp 0 ) ∈ 𝐴)
6160adantr 474 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → (𝑢 supp 0 ) ∈ 𝐴)
6248simprd 491 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → (𝑣 supp 0 ) ∈ 𝐴)
63 mplsubglem.a . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → (𝑥𝑦) ∈ 𝐴)
6463ralrimivva 3153 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦) ∈ 𝐴)
6564ad2antrr 716 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦) ∈ 𝐴)
66 uneq1 3983 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑢 supp 0 ) → (𝑥𝑦) = ((𝑢 supp 0 ) ∪ 𝑦))
6766eleq1d 2844 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑢 supp 0 ) → ((𝑥𝑦) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑢 supp 0 ) ∪ 𝑦) ∈ 𝐴))
68 uneq2 3984 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑣 supp 0 ) → ((𝑢 supp 0 ) ∪ 𝑦) = ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 )))
6968eleq1d 2844 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝑣 supp 0 ) → (((𝑢 supp 0 ) ∪ 𝑦) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 )) ∈ 𝐴))
7067, 69rspc2va 3525 . . . . . . . . 9 ((((𝑢 supp 0 ) ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 supp 0 ) ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦) ∈ 𝐴) → ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 )) ∈ 𝐴)
7161, 62, 65, 70syl21anc 828 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 )) ∈ 𝐴)
7254, 59, 71rspcdva 3517 . . . . . . 7 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → ∀𝑦(𝑦 ⊆ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 )) → 𝑦𝐴))
734, 11, 7, 9, 50psrelbas 19780 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → (𝑢(+g𝑆)𝑣):𝐷⟶(Base‘𝑅))
74 eqid 2778 . . . . . . . . . . . 12 (+g𝑅) = (+g𝑅)
754, 9, 74, 32, 41, 49psradd 19783 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → (𝑢(+g𝑆)𝑣) = (𝑢𝑓 (+g𝑅)𝑣))
7675fveq1d 6450 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → ((𝑢(+g𝑆)𝑣)‘𝑘) = ((𝑢𝑓 (+g𝑅)𝑣)‘𝑘))
7776adantr 474 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 )))) → ((𝑢(+g𝑆)𝑣)‘𝑘) = ((𝑢𝑓 (+g𝑅)𝑣)‘𝑘))
78 eldifi 3955 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (𝐷 ∖ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 ))) → 𝑘𝐷)
794, 11, 7, 9, 40psrelbas 19780 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢𝑈) → 𝑢:𝐷⟶(Base‘𝑅))
8079adantr 474 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → 𝑢:𝐷⟶(Base‘𝑅))
8180ffnd 6294 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → 𝑢 Fn 𝐷)
824, 11, 7, 9, 49psrelbas 19780 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → 𝑣:𝐷⟶(Base‘𝑅))
8382ffnd 6294 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → 𝑣 Fn 𝐷)
84 ovex 6956 . . . . . . . . . . . . 13 (ℕ0𝑚 𝐼) ∈ V
857, 84rabex2 5053 . . . . . . . . . . . 12 𝐷 ∈ V
8685a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → 𝐷 ∈ V)
87 inidm 4043 . . . . . . . . . . 11 (𝐷𝐷) = 𝐷
88 eqidd 2779 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) ∧ 𝑘𝐷) → (𝑢𝑘) = (𝑢𝑘))
89 eqidd 2779 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) ∧ 𝑘𝐷) → (𝑣𝑘) = (𝑣𝑘))
9081, 83, 86, 86, 87, 88, 89ofval 7185 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) ∧ 𝑘𝐷) → ((𝑢𝑓 (+g𝑅)𝑣)‘𝑘) = ((𝑢𝑘)(+g𝑅)(𝑣𝑘)))
9178, 90sylan2 586 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 )))) → ((𝑢𝑓 (+g𝑅)𝑣)‘𝑘) = ((𝑢𝑘)(+g𝑅)(𝑣𝑘)))
92 ssun1 3999 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 supp 0 ) ⊆ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 ))
93 sscon 3967 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢 supp 0 ) ⊆ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 )) → (𝐷 ∖ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 ))) ⊆ (𝐷 ∖ (𝑢 supp 0 )))
9492, 93ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ∖ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 ))) ⊆ (𝐷 ∖ (𝑢 supp 0 ))
9594sseli 3817 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (𝐷 ∖ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 ))) → 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ (𝑢 supp 0 )))
96 ssidd 3843 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢𝑈) → (𝑢 supp 0 ) ⊆ (𝑢 supp 0 ))
9785a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢𝑈) → 𝐷 ∈ V)
9816a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢𝑈) → 0 ∈ V)
9979, 96, 97, 98suppssr 7610 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ (𝑢 supp 0 ))) → (𝑢𝑘) = 0 )
10099adantlr 705 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ (𝑢 supp 0 ))) → (𝑢𝑘) = 0 )
10195, 100sylan2 586 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 )))) → (𝑢𝑘) = 0 )
102 ssun2 4000 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 supp 0 ) ⊆ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 ))
103 sscon 3967 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑣 supp 0 ) ⊆ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 )) → (𝐷 ∖ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 ))) ⊆ (𝐷 ∖ (𝑣 supp 0 )))
104102, 103ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ∖ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 ))) ⊆ (𝐷 ∖ (𝑣 supp 0 ))
105104sseli 3817 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (𝐷 ∖ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 ))) → 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ (𝑣 supp 0 )))
106 ssidd 3843 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → (𝑣 supp 0 ) ⊆ (𝑣 supp 0 ))
10716a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → 0 ∈ V)
10882, 106, 86, 107suppssr 7610 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ (𝑣 supp 0 ))) → (𝑣𝑘) = 0 )
109105, 108sylan2 586 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 )))) → (𝑣𝑘) = 0 )
110101, 109oveq12d 6942 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 )))) → ((𝑢𝑘)(+g𝑅)(𝑣𝑘)) = ( 0 (+g𝑅) 0 ))
11111, 74, 8grplid 17843 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 0 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 0 (+g𝑅) 0 ) = 0 )
11212, 111mpdan 677 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Grp → ( 0 (+g𝑅) 0 ) = 0 )
11333, 112syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → ( 0 (+g𝑅) 0 ) = 0 )
114113adantr 474 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 )))) → ( 0 (+g𝑅) 0 ) = 0 )
115110, 114eqtrd 2814 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 )))) → ((𝑢𝑘)(+g𝑅)(𝑣𝑘)) = 0 )
11677, 91, 1153eqtrd 2818 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 )))) → ((𝑢(+g𝑆)𝑣)‘𝑘) = 0 )
11773, 116suppss 7609 . . . . . . 7 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → ((𝑢(+g𝑆)𝑣) supp 0 ) ⊆ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 )))
118 sseq1 3845 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ((𝑢(+g𝑆)𝑣) supp 0 ) → (𝑦 ⊆ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 )) ↔ ((𝑢(+g𝑆)𝑣) supp 0 ) ⊆ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 ))))
119 eleq1 2847 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ((𝑢(+g𝑆)𝑣) supp 0 ) → (𝑦𝐴 ↔ ((𝑢(+g𝑆)𝑣) supp 0 ) ∈ 𝐴))
120118, 119imbi12d 336 . . . . . . . 8 (𝑦 = ((𝑢(+g𝑆)𝑣) supp 0 ) → ((𝑦 ⊆ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 )) → 𝑦𝐴) ↔ (((𝑢(+g𝑆)𝑣) supp 0 ) ⊆ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 )) → ((𝑢(+g𝑆)𝑣) supp 0 ) ∈ 𝐴)))
121120spcgv 3495 . . . . . . 7 (((𝑢(+g𝑆)𝑣) supp 0 ) ∈ V → (∀𝑦(𝑦 ⊆ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 )) → 𝑦𝐴) → (((𝑢(+g𝑆)𝑣) supp 0 ) ⊆ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 )) → ((𝑢(+g𝑆)𝑣) supp 0 ) ∈ 𝐴)))
12251, 72, 117, 121syl3c 66 . . . . . 6 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → ((𝑢(+g𝑆)𝑣) supp 0 ) ∈ 𝐴)
1231ad2antrr 716 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → 𝑈 = {𝑔𝐵 ∣ (𝑔 supp 0 ) ∈ 𝐴})
124123eleq2d 2845 . . . . . . 7 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → ((𝑢(+g𝑆)𝑣) ∈ 𝑈 ↔ (𝑢(+g𝑆)𝑣) ∈ {𝑔𝐵 ∣ (𝑔 supp 0 ) ∈ 𝐴}))
125 oveq1 6931 . . . . . . . . 9 (𝑔 = (𝑢(+g𝑆)𝑣) → (𝑔 supp 0 ) = ((𝑢(+g𝑆)𝑣) supp 0 ))
126125eleq1d 2844 . . . . . . . 8 (𝑔 = (𝑢(+g𝑆)𝑣) → ((𝑔 supp 0 ) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑢(+g𝑆)𝑣) supp 0 ) ∈ 𝐴))
127126elrab 3572 . . . . . . 7 ((𝑢(+g𝑆)𝑣) ∈ {𝑔𝐵 ∣ (𝑔 supp 0 ) ∈ 𝐴} ↔ ((𝑢(+g𝑆)𝑣) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑢(+g𝑆)𝑣) supp 0 ) ∈ 𝐴))
128124, 127syl6bb 279 . . . . . 6 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → ((𝑢(+g𝑆)𝑣) ∈ 𝑈 ↔ ((𝑢(+g𝑆)𝑣) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑢(+g𝑆)𝑣) supp 0 ) ∈ 𝐴)))
12950, 122, 128mpbir2and 703 . . . . 5 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → (𝑢(+g𝑆)𝑣) ∈ 𝑈)
130129ralrimiva 3148 . . . 4 ((𝜑𝑢𝑈) → ∀𝑣𝑈 (𝑢(+g𝑆)𝑣) ∈ 𝑈)
1314, 5, 6psrgrp 19799 . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ Grp)
132 eqid 2778 . . . . . . 7 (invg𝑆) = (invg𝑆)
1339, 132grpinvcl 17858 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑢𝐵) → ((invg𝑆)‘𝑢) ∈ 𝐵)
134131, 40, 133syl2an2r 675 . . . . 5 ((𝜑𝑢𝑈) → ((invg𝑆)‘𝑢) ∈ 𝐵)
135 ovexd 6958 . . . . . 6 ((𝜑𝑢𝑈) → (((invg𝑆)‘𝑢) supp 0 ) ∈ V)
136 sseq2 3846 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑢 supp 0 ) → (𝑦𝑥𝑦 ⊆ (𝑢 supp 0 )))
137136imbi1d 333 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑢 supp 0 ) → ((𝑦𝑥𝑦𝐴) ↔ (𝑦 ⊆ (𝑢 supp 0 ) → 𝑦𝐴)))
138137albidv 1963 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑢 supp 0 ) → (∀𝑦(𝑦𝑥𝑦𝐴) ↔ ∀𝑦(𝑦 ⊆ (𝑢 supp 0 ) → 𝑦𝐴)))
13958adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝑢𝑈) → ∀𝑥𝐴𝑦(𝑦𝑥𝑦𝐴))
140138, 139, 60rspcdva 3517 . . . . . 6 ((𝜑𝑢𝑈) → ∀𝑦(𝑦 ⊆ (𝑢 supp 0 ) → 𝑦𝐴))
1414, 11, 7, 9, 134psrelbas 19780 . . . . . . 7 ((𝜑𝑢𝑈) → ((invg𝑆)‘𝑢):𝐷⟶(Base‘𝑅))
1425adantr 474 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑢𝑈) → 𝐼𝑊)
1436adantr 474 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑢𝑈) → 𝑅 ∈ Grp)
144 eqid 2778 . . . . . . . . . . 11 (invg𝑅) = (invg𝑅)
1454, 142, 143, 7, 144, 9, 132, 40psrneg 19801 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢𝑈) → ((invg𝑆)‘𝑢) = ((invg𝑅) ∘ 𝑢))
146145adantr 474 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ (𝑢 supp 0 ))) → ((invg𝑆)‘𝑢) = ((invg𝑅) ∘ 𝑢))
147146fveq1d 6450 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ (𝑢 supp 0 ))) → (((invg𝑆)‘𝑢)‘𝑘) = (((invg𝑅) ∘ 𝑢)‘𝑘))
148 eldifi 3955 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (𝐷 ∖ (𝑢 supp 0 )) → 𝑘𝐷)
149 fvco3 6537 . . . . . . . . 9 ((𝑢:𝐷⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑘𝐷) → (((invg𝑅) ∘ 𝑢)‘𝑘) = ((invg𝑅)‘(𝑢𝑘)))
15079, 148, 149syl2an 589 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ (𝑢 supp 0 ))) → (((invg𝑅) ∘ 𝑢)‘𝑘) = ((invg𝑅)‘(𝑢𝑘)))
15199fveq2d 6452 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ (𝑢 supp 0 ))) → ((invg𝑅)‘(𝑢𝑘)) = ((invg𝑅)‘ 0 ))
1528, 144grpinvid 17867 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Grp → ((invg𝑅)‘ 0 ) = 0 )
153143, 152syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢𝑈) → ((invg𝑅)‘ 0 ) = 0 )
154153adantr 474 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ (𝑢 supp 0 ))) → ((invg𝑅)‘ 0 ) = 0 )
155151, 154eqtrd 2814 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ (𝑢 supp 0 ))) → ((invg𝑅)‘(𝑢𝑘)) = 0 )
156147, 150, 1553eqtrd 2818 . . . . . . 7 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ (𝑢 supp 0 ))) → (((invg𝑆)‘𝑢)‘𝑘) = 0 )
157141, 156suppss 7609 . . . . . 6 ((𝜑𝑢𝑈) → (((invg𝑆)‘𝑢) supp 0 ) ⊆ (𝑢 supp 0 ))
158 sseq1 3845 . . . . . . . 8 (𝑦 = (((invg𝑆)‘𝑢) supp 0 ) → (𝑦 ⊆ (𝑢 supp 0 ) ↔ (((invg𝑆)‘𝑢) supp 0 ) ⊆ (𝑢 supp 0 )))
159 eleq1 2847 . . . . . . . 8 (𝑦 = (((invg𝑆)‘𝑢) supp 0 ) → (𝑦𝐴 ↔ (((invg𝑆)‘𝑢) supp 0 ) ∈ 𝐴))
160158, 159imbi12d 336 . . . . . . 7 (𝑦 = (((invg𝑆)‘𝑢) supp 0 ) → ((𝑦 ⊆ (𝑢 supp 0 ) → 𝑦𝐴) ↔ ((((invg𝑆)‘𝑢) supp 0 ) ⊆ (𝑢 supp 0 ) → (((invg𝑆)‘𝑢) supp 0 ) ∈ 𝐴)))
161160spcgv 3495 . . . . . 6 ((((invg𝑆)‘𝑢) supp 0 ) ∈ V → (∀𝑦(𝑦 ⊆ (𝑢 supp 0 ) → 𝑦𝐴) → ((((invg𝑆)‘𝑢) supp 0 ) ⊆ (𝑢 supp 0 ) → (((invg𝑆)‘𝑢) supp 0 ) ∈ 𝐴)))
162135, 140, 157, 161syl3c 66 . . . . 5 ((𝜑𝑢𝑈) → (((invg𝑆)‘𝑢) supp 0 ) ∈ 𝐴)
16342eleq2d 2845 . . . . . 6 ((𝜑𝑢𝑈) → (((invg𝑆)‘𝑢) ∈ 𝑈 ↔ ((invg𝑆)‘𝑢) ∈ {𝑔𝐵 ∣ (𝑔 supp 0 ) ∈ 𝐴}))
164 oveq1 6931 . . . . . . . 8 (𝑔 = ((invg𝑆)‘𝑢) → (𝑔 supp 0 ) = (((invg𝑆)‘𝑢) supp 0 ))
165164eleq1d 2844 . . . . . . 7 (𝑔 = ((invg𝑆)‘𝑢) → ((𝑔 supp 0 ) ∈ 𝐴 ↔ (((invg𝑆)‘𝑢) supp 0 ) ∈ 𝐴))
166165elrab 3572 . . . . . 6 (((invg𝑆)‘𝑢) ∈ {𝑔𝐵 ∣ (𝑔 supp 0 ) ∈ 𝐴} ↔ (((invg𝑆)‘𝑢) ∈ 𝐵 ∧ (((invg𝑆)‘𝑢) supp 0 ) ∈ 𝐴))
167163, 166syl6bb 279 . . . . 5 ((𝜑𝑢𝑈) → (((invg𝑆)‘𝑢) ∈ 𝑈 ↔ (((invg𝑆)‘𝑢) ∈ 𝐵 ∧ (((invg𝑆)‘𝑢) supp 0 ) ∈ 𝐴)))
168134, 162, 167mpbir2and 703 . . . 4 ((𝜑𝑢𝑈) → ((invg𝑆)‘𝑢) ∈ 𝑈)
169130, 168jca 507 . . 3 ((𝜑𝑢𝑈) → (∀𝑣𝑈 (𝑢(+g𝑆)𝑣) ∈ 𝑈 ∧ ((invg𝑆)‘𝑢) ∈ 𝑈))
170169ralrimiva 3148 . 2 (𝜑 → ∀𝑢𝑈 (∀𝑣𝑈 (𝑢(+g𝑆)𝑣) ∈ 𝑈 ∧ ((invg𝑆)‘𝑢) ∈ 𝑈))
1719, 32, 132issubg2 17997 . . 3 (𝑆 ∈ Grp → (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑆) ↔ (𝑈𝐵𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑢𝑈 (∀𝑣𝑈 (𝑢(+g𝑆)𝑣) ∈ 𝑈 ∧ ((invg𝑆)‘𝑢) ∈ 𝑈))))
172131, 171syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑆) ↔ (𝑈𝐵𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑢𝑈 (∀𝑣𝑈 (𝑢(+g𝑆)𝑣) ∈ 𝑈 ∧ ((invg𝑆)‘𝑢) ∈ 𝑈))))
1733, 31, 170, 172mpbir3and 1399 1 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1071  wal 1599   = wceq 1601  wcel 2107  wne 2969  wral 3090  {crab 3094  Vcvv 3398  cdif 3789  cun 3790  wss 3792  c0 4141  {csn 4398   × cxp 5355  ccnv 5356  cima 5360  ccom 5361  wf 6133  cfv 6137  (class class class)co 6924  𝑓 cof 7174   supp csupp 7578  𝑚 cmap 8142  Fincfn 8243  cn 11378  0cn0 11646  Basecbs 16259  +gcplusg 16342  0gc0g 16490  Grpcgrp 17813  invgcminusg 17814  SubGrpcsubg 17976   mPwSer cmps 19752
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-of 7176  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-supp 7579  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-oadd 7849  df-er 8028  df-map 8144  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-fsupp 8566  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11379  df-2 11442  df-3 11443  df-4 11444  df-5 11445  df-6 11446  df-7 11447  df-8 11448  df-9 11449  df-n0 11647  df-z 11733  df-uz 11997  df-fz 12648  df-struct 16261  df-ndx 16262  df-slot 16263  df-base 16265  df-sets 16266  df-ress 16267  df-plusg 16355  df-mulr 16356  df-sca 16358  df-vsca 16359  df-tset 16361  df-0g 16492  df-mgm 17632  df-sgrp 17674  df-mnd 17685  df-grp 17816  df-minusg 17817  df-subg 17979  df-psr 19757
This theorem is referenced by:  mpllsslem  19836  mplsubg  19838
  Copyright terms: Public domain W3C validator