MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplsubglem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mplsubglem 21961
Description: If 𝐴 is an ideal of sets (a nonempty collection closed under subset and binary union) of the set 𝐷 of finite bags (the primary applications being 𝐴 = Fin and 𝐴 = 𝒫 𝐵 for some 𝐵), then the set of all power series whose coefficient functions are supported on an element of 𝐴 is a subgroup of the set of all power series. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2015.) (Revised by AV, 16-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mplsubglem.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mplsubglem.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
mplsubglem.z 0 = (0g𝑅)
mplsubglem.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
mplsubglem.i (𝜑𝐼𝑊)
mplsubglem.0 (𝜑 → ∅ ∈ 𝐴)
mplsubglem.a ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → (𝑥𝑦) ∈ 𝐴)
mplsubglem.y ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝑥)) → 𝑦𝐴)
mplsubglem.u (𝜑𝑈 = {𝑔𝐵 ∣ (𝑔 supp 0 ) ∈ 𝐴})
mplsubglem.r (𝜑𝑅 ∈ Grp)
Assertion
Ref Expression
mplsubglem (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑥,𝑦, 0   𝐴,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦   𝐵,𝑓,𝑔   𝐷,𝑔   𝑓,𝐼   𝜑,𝑥,𝑦   𝑆,𝑓,𝑔,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑔)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑓)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑓,𝑔)   𝑆(𝑥)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑓,𝑔)   𝐼(𝑥,𝑦,𝑔)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑓,𝑔)

Proof of Theorem mplsubglem
Dummy variables 𝑘 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mplsubglem.u . . 3 (𝜑𝑈 = {𝑔𝐵 ∣ (𝑔 supp 0 ) ∈ 𝐴})
2 ssrab2 4073 . . 3 {𝑔𝐵 ∣ (𝑔 supp 0 ) ∈ 𝐴} ⊆ 𝐵
31, 2eqsstrdi 4031 . 2 (𝜑𝑈𝐵)
4 mplsubglem.s . . . . 5 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
5 mplsubglem.i . . . . 5 (𝜑𝐼𝑊)
6 mplsubglem.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
7 mplsubglem.d . . . . 5 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
8 mplsubglem.z . . . . 5 0 = (0g𝑅)
9 mplsubglem.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑆)
104, 5, 6, 7, 8, 9psr0cl 21914 . . . 4 (𝜑 → (𝐷 × { 0 }) ∈ 𝐵)
11 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
1211, 8grpidcl 18930 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝑅))
13 fconst6g 6786 . . . . . . . 8 ( 0 ∈ (Base‘𝑅) → (𝐷 × { 0 }):𝐷⟶(Base‘𝑅))
146, 12, 133syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷 × { 0 }):𝐷⟶(Base‘𝑅))
15 eldifi 4123 . . . . . . . . 9 (𝑢 ∈ (𝐷 ∖ ∅) → 𝑢𝐷)
168fvexi 6910 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
1716fvconst2 7216 . . . . . . . . 9 (𝑢𝐷 → ((𝐷 × { 0 })‘𝑢) = 0 )
1815, 17syl 17 . . . . . . . 8 (𝑢 ∈ (𝐷 ∖ ∅) → ((𝐷 × { 0 })‘𝑢) = 0 )
1918adantl 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑢 ∈ (𝐷 ∖ ∅)) → ((𝐷 × { 0 })‘𝑢) = 0 )
2014, 19suppss 8199 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐷 × { 0 }) supp 0 ) ⊆ ∅)
21 ss0 4400 . . . . . 6 (((𝐷 × { 0 }) supp 0 ) ⊆ ∅ → ((𝐷 × { 0 }) supp 0 ) = ∅)
2220, 21syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐷 × { 0 }) supp 0 ) = ∅)
23 mplsubglem.0 . . . . 5 (𝜑 → ∅ ∈ 𝐴)
2422, 23eqeltrd 2825 . . . 4 (𝜑 → ((𝐷 × { 0 }) supp 0 ) ∈ 𝐴)
251eleq2d 2811 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐷 × { 0 }) ∈ 𝑈 ↔ (𝐷 × { 0 }) ∈ {𝑔𝐵 ∣ (𝑔 supp 0 ) ∈ 𝐴}))
26 oveq1 7426 . . . . . . 7 (𝑔 = (𝐷 × { 0 }) → (𝑔 supp 0 ) = ((𝐷 × { 0 }) supp 0 ))
2726eleq1d 2810 . . . . . 6 (𝑔 = (𝐷 × { 0 }) → ((𝑔 supp 0 ) ∈ 𝐴 ↔ ((𝐷 × { 0 }) supp 0 ) ∈ 𝐴))
2827elrab 3679 . . . . 5 ((𝐷 × { 0 }) ∈ {𝑔𝐵 ∣ (𝑔 supp 0 ) ∈ 𝐴} ↔ ((𝐷 × { 0 }) ∈ 𝐵 ∧ ((𝐷 × { 0 }) supp 0 ) ∈ 𝐴))
2925, 28bitrdi 286 . . . 4 (𝜑 → ((𝐷 × { 0 }) ∈ 𝑈 ↔ ((𝐷 × { 0 }) ∈ 𝐵 ∧ ((𝐷 × { 0 }) supp 0 ) ∈ 𝐴)))
3010, 24, 29mpbir2and 711 . . 3 (𝜑 → (𝐷 × { 0 }) ∈ 𝑈)
3130ne0d 4335 . 2 (𝜑𝑈 ≠ ∅)
32 eqid 2725 . . . . . . 7 (+g𝑆) = (+g𝑆)
336grpmgmd 18926 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ Mgm)
3433ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → 𝑅 ∈ Mgm)
351eleq2d 2811 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑢𝑈𝑢 ∈ {𝑔𝐵 ∣ (𝑔 supp 0 ) ∈ 𝐴}))
36 oveq1 7426 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = 𝑢 → (𝑔 supp 0 ) = (𝑢 supp 0 ))
3736eleq1d 2810 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = 𝑢 → ((𝑔 supp 0 ) ∈ 𝐴 ↔ (𝑢 supp 0 ) ∈ 𝐴))
3837elrab 3679 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 ∈ {𝑔𝐵 ∣ (𝑔 supp 0 ) ∈ 𝐴} ↔ (𝑢𝐵 ∧ (𝑢 supp 0 ) ∈ 𝐴))
3935, 38bitrdi 286 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑢𝑈 ↔ (𝑢𝐵 ∧ (𝑢 supp 0 ) ∈ 𝐴)))
4039biimpa 475 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑢𝑈) → (𝑢𝐵 ∧ (𝑢 supp 0 ) ∈ 𝐴))
4140simpld 493 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢𝑈) → 𝑢𝐵)
4241adantr 479 . . . . . . 7 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → 𝑢𝐵)
431adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑢𝑈) → 𝑈 = {𝑔𝐵 ∣ (𝑔 supp 0 ) ∈ 𝐴})
4443eleq2d 2811 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢𝑈) → (𝑣𝑈𝑣 ∈ {𝑔𝐵 ∣ (𝑔 supp 0 ) ∈ 𝐴}))
45 oveq1 7426 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = 𝑣 → (𝑔 supp 0 ) = (𝑣 supp 0 ))
4645eleq1d 2810 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = 𝑣 → ((𝑔 supp 0 ) ∈ 𝐴 ↔ (𝑣 supp 0 ) ∈ 𝐴))
4746elrab 3679 . . . . . . . . . 10 (𝑣 ∈ {𝑔𝐵 ∣ (𝑔 supp 0 ) ∈ 𝐴} ↔ (𝑣𝐵 ∧ (𝑣 supp 0 ) ∈ 𝐴))
4844, 47bitrdi 286 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑢𝑈) → (𝑣𝑈 ↔ (𝑣𝐵 ∧ (𝑣 supp 0 ) ∈ 𝐴)))
4948biimpa 475 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → (𝑣𝐵 ∧ (𝑣 supp 0 ) ∈ 𝐴))
5049simpld 493 . . . . . . 7 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → 𝑣𝐵)
514, 9, 32, 34, 42, 50psraddcl 21900 . . . . . 6 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → (𝑢(+g𝑆)𝑣) ∈ 𝐵)
52 ovexd 7454 . . . . . . 7 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → ((𝑢(+g𝑆)𝑣) supp 0 ) ∈ V)
53 sseq2 4003 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 )) → (𝑦𝑥𝑦 ⊆ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 ))))
5453imbi1d 340 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 )) → ((𝑦𝑥𝑦𝐴) ↔ (𝑦 ⊆ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 )) → 𝑦𝐴)))
5554albidv 1915 . . . . . . . 8 (𝑥 = ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 )) → (∀𝑦(𝑦𝑥𝑦𝐴) ↔ ∀𝑦(𝑦 ⊆ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 )) → 𝑦𝐴)))
56 mplsubglem.y . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝑥)) → 𝑦𝐴)
5756expr 455 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑦𝑥𝑦𝐴))
5857alrimiv 1922 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → ∀𝑦(𝑦𝑥𝑦𝐴))
5958ralrimiva 3135 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦(𝑦𝑥𝑦𝐴))
6059ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → ∀𝑥𝐴𝑦(𝑦𝑥𝑦𝐴))
6140simprd 494 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢𝑈) → (𝑢 supp 0 ) ∈ 𝐴)
6261adantr 479 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → (𝑢 supp 0 ) ∈ 𝐴)
6349simprd 494 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → (𝑣 supp 0 ) ∈ 𝐴)
64 mplsubglem.a . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → (𝑥𝑦) ∈ 𝐴)
6564ralrimivva 3190 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦) ∈ 𝐴)
6665ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦) ∈ 𝐴)
67 uneq1 4153 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑢 supp 0 ) → (𝑥𝑦) = ((𝑢 supp 0 ) ∪ 𝑦))
6867eleq1d 2810 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑢 supp 0 ) → ((𝑥𝑦) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑢 supp 0 ) ∪ 𝑦) ∈ 𝐴))
69 uneq2 4154 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑣 supp 0 ) → ((𝑢 supp 0 ) ∪ 𝑦) = ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 )))
7069eleq1d 2810 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝑣 supp 0 ) → (((𝑢 supp 0 ) ∪ 𝑦) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 )) ∈ 𝐴))
7168, 70rspc2va 3618 . . . . . . . . 9 ((((𝑢 supp 0 ) ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 supp 0 ) ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦) ∈ 𝐴) → ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 )) ∈ 𝐴)
7262, 63, 66, 71syl21anc 836 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 )) ∈ 𝐴)
7355, 60, 72rspcdva 3607 . . . . . . 7 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → ∀𝑦(𝑦 ⊆ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 )) → 𝑦𝐴))
744, 11, 7, 9, 51psrelbas 21896 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → (𝑢(+g𝑆)𝑣):𝐷⟶(Base‘𝑅))
75 eqid 2725 . . . . . . . . . . . 12 (+g𝑅) = (+g𝑅)
764, 9, 75, 32, 42, 50psradd 21899 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → (𝑢(+g𝑆)𝑣) = (𝑢f (+g𝑅)𝑣))
7776fveq1d 6898 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → ((𝑢(+g𝑆)𝑣)‘𝑘) = ((𝑢f (+g𝑅)𝑣)‘𝑘))
7877adantr 479 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 )))) → ((𝑢(+g𝑆)𝑣)‘𝑘) = ((𝑢f (+g𝑅)𝑣)‘𝑘))
79 eldifi 4123 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (𝐷 ∖ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 ))) → 𝑘𝐷)
804, 11, 7, 9, 41psrelbas 21896 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢𝑈) → 𝑢:𝐷⟶(Base‘𝑅))
8180adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → 𝑢:𝐷⟶(Base‘𝑅))
8281ffnd 6724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → 𝑢 Fn 𝐷)
834, 11, 7, 9, 50psrelbas 21896 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → 𝑣:𝐷⟶(Base‘𝑅))
8483ffnd 6724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → 𝑣 Fn 𝐷)
85 ovex 7452 . . . . . . . . . . . . 13 (ℕ0m 𝐼) ∈ V
867, 85rabex2 5337 . . . . . . . . . . . 12 𝐷 ∈ V
8786a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → 𝐷 ∈ V)
88 inidm 4217 . . . . . . . . . . 11 (𝐷𝐷) = 𝐷
89 eqidd 2726 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) ∧ 𝑘𝐷) → (𝑢𝑘) = (𝑢𝑘))
90 eqidd 2726 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) ∧ 𝑘𝐷) → (𝑣𝑘) = (𝑣𝑘))
9182, 84, 87, 87, 88, 89, 90ofval 7696 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) ∧ 𝑘𝐷) → ((𝑢f (+g𝑅)𝑣)‘𝑘) = ((𝑢𝑘)(+g𝑅)(𝑣𝑘)))
9279, 91sylan2 591 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 )))) → ((𝑢f (+g𝑅)𝑣)‘𝑘) = ((𝑢𝑘)(+g𝑅)(𝑣𝑘)))
93 ssun1 4170 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 supp 0 ) ⊆ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 ))
94 sscon 4135 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢 supp 0 ) ⊆ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 )) → (𝐷 ∖ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 ))) ⊆ (𝐷 ∖ (𝑢 supp 0 )))
9593, 94ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ∖ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 ))) ⊆ (𝐷 ∖ (𝑢 supp 0 ))
9695sseli 3972 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (𝐷 ∖ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 ))) → 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ (𝑢 supp 0 )))
97 ssidd 4000 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢𝑈) → (𝑢 supp 0 ) ⊆ (𝑢 supp 0 ))
9886a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢𝑈) → 𝐷 ∈ V)
9916a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢𝑈) → 0 ∈ V)
10080, 97, 98, 99suppssr 8201 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ (𝑢 supp 0 ))) → (𝑢𝑘) = 0 )
101100adantlr 713 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ (𝑢 supp 0 ))) → (𝑢𝑘) = 0 )
10296, 101sylan2 591 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 )))) → (𝑢𝑘) = 0 )
103 ssun2 4171 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 supp 0 ) ⊆ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 ))
104 sscon 4135 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑣 supp 0 ) ⊆ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 )) → (𝐷 ∖ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 ))) ⊆ (𝐷 ∖ (𝑣 supp 0 )))
105103, 104ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ∖ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 ))) ⊆ (𝐷 ∖ (𝑣 supp 0 ))
106105sseli 3972 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (𝐷 ∖ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 ))) → 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ (𝑣 supp 0 )))
107 ssidd 4000 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → (𝑣 supp 0 ) ⊆ (𝑣 supp 0 ))
10816a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → 0 ∈ V)
10983, 107, 87, 108suppssr 8201 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ (𝑣 supp 0 ))) → (𝑣𝑘) = 0 )
110106, 109sylan2 591 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 )))) → (𝑣𝑘) = 0 )
111102, 110oveq12d 7437 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 )))) → ((𝑢𝑘)(+g𝑅)(𝑣𝑘)) = ( 0 (+g𝑅) 0 ))
1126ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → 𝑅 ∈ Grp)
11311, 75, 8grplid 18932 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 0 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 0 (+g𝑅) 0 ) = 0 )
114112, 12, 113syl2anc2 583 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → ( 0 (+g𝑅) 0 ) = 0 )
115114adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 )))) → ( 0 (+g𝑅) 0 ) = 0 )
116111, 115eqtrd 2765 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 )))) → ((𝑢𝑘)(+g𝑅)(𝑣𝑘)) = 0 )
11778, 92, 1163eqtrd 2769 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 )))) → ((𝑢(+g𝑆)𝑣)‘𝑘) = 0 )
11874, 117suppss 8199 . . . . . . 7 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → ((𝑢(+g𝑆)𝑣) supp 0 ) ⊆ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 )))
119 sseq1 4002 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ((𝑢(+g𝑆)𝑣) supp 0 ) → (𝑦 ⊆ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 )) ↔ ((𝑢(+g𝑆)𝑣) supp 0 ) ⊆ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 ))))
120 eleq1 2813 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ((𝑢(+g𝑆)𝑣) supp 0 ) → (𝑦𝐴 ↔ ((𝑢(+g𝑆)𝑣) supp 0 ) ∈ 𝐴))
121119, 120imbi12d 343 . . . . . . . 8 (𝑦 = ((𝑢(+g𝑆)𝑣) supp 0 ) → ((𝑦 ⊆ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 )) → 𝑦𝐴) ↔ (((𝑢(+g𝑆)𝑣) supp 0 ) ⊆ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 )) → ((𝑢(+g𝑆)𝑣) supp 0 ) ∈ 𝐴)))
122121spcgv 3580 . . . . . . 7 (((𝑢(+g𝑆)𝑣) supp 0 ) ∈ V → (∀𝑦(𝑦 ⊆ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 )) → 𝑦𝐴) → (((𝑢(+g𝑆)𝑣) supp 0 ) ⊆ ((𝑢 supp 0 ) ∪ (𝑣 supp 0 )) → ((𝑢(+g𝑆)𝑣) supp 0 ) ∈ 𝐴)))
12352, 73, 118, 122syl3c 66 . . . . . 6 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → ((𝑢(+g𝑆)𝑣) supp 0 ) ∈ 𝐴)
1241ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → 𝑈 = {𝑔𝐵 ∣ (𝑔 supp 0 ) ∈ 𝐴})
125124eleq2d 2811 . . . . . . 7 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → ((𝑢(+g𝑆)𝑣) ∈ 𝑈 ↔ (𝑢(+g𝑆)𝑣) ∈ {𝑔𝐵 ∣ (𝑔 supp 0 ) ∈ 𝐴}))
126 oveq1 7426 . . . . . . . . 9 (𝑔 = (𝑢(+g𝑆)𝑣) → (𝑔 supp 0 ) = ((𝑢(+g𝑆)𝑣) supp 0 ))
127126eleq1d 2810 . . . . . . . 8 (𝑔 = (𝑢(+g𝑆)𝑣) → ((𝑔 supp 0 ) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑢(+g𝑆)𝑣) supp 0 ) ∈ 𝐴))
128127elrab 3679 . . . . . . 7 ((𝑢(+g𝑆)𝑣) ∈ {𝑔𝐵 ∣ (𝑔 supp 0 ) ∈ 𝐴} ↔ ((𝑢(+g𝑆)𝑣) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑢(+g𝑆)𝑣) supp 0 ) ∈ 𝐴))
129125, 128bitrdi 286 . . . . . 6 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → ((𝑢(+g𝑆)𝑣) ∈ 𝑈 ↔ ((𝑢(+g𝑆)𝑣) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑢(+g𝑆)𝑣) supp 0 ) ∈ 𝐴)))
13051, 123, 129mpbir2and 711 . . . . 5 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ 𝑣𝑈) → (𝑢(+g𝑆)𝑣) ∈ 𝑈)
131130ralrimiva 3135 . . . 4 ((𝜑𝑢𝑈) → ∀𝑣𝑈 (𝑢(+g𝑆)𝑣) ∈ 𝑈)
1324, 5, 6psrgrp 21918 . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ Grp)
133 eqid 2725 . . . . . . 7 (invg𝑆) = (invg𝑆)
1349, 133grpinvcl 18952 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑢𝐵) → ((invg𝑆)‘𝑢) ∈ 𝐵)
135132, 41, 134syl2an2r 683 . . . . 5 ((𝜑𝑢𝑈) → ((invg𝑆)‘𝑢) ∈ 𝐵)
136 ovexd 7454 . . . . . 6 ((𝜑𝑢𝑈) → (((invg𝑆)‘𝑢) supp 0 ) ∈ V)
137 sseq2 4003 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑢 supp 0 ) → (𝑦𝑥𝑦 ⊆ (𝑢 supp 0 )))
138137imbi1d 340 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑢 supp 0 ) → ((𝑦𝑥𝑦𝐴) ↔ (𝑦 ⊆ (𝑢 supp 0 ) → 𝑦𝐴)))
139138albidv 1915 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑢 supp 0 ) → (∀𝑦(𝑦𝑥𝑦𝐴) ↔ ∀𝑦(𝑦 ⊆ (𝑢 supp 0 ) → 𝑦𝐴)))
14059adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑢𝑈) → ∀𝑥𝐴𝑦(𝑦𝑥𝑦𝐴))
141139, 140, 61rspcdva 3607 . . . . . 6 ((𝜑𝑢𝑈) → ∀𝑦(𝑦 ⊆ (𝑢 supp 0 ) → 𝑦𝐴))
1425adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑢𝑈) → 𝐼𝑊)
1436adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑢𝑈) → 𝑅 ∈ Grp)
144 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (invg𝑅) = (invg𝑅)
1454, 142, 143, 7, 144, 9, 133, 41psrneg 21921 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢𝑈) → ((invg𝑆)‘𝑢) = ((invg𝑅) ∘ 𝑢))
146145oveq1d 7434 . . . . . . 7 ((𝜑𝑢𝑈) → (((invg𝑆)‘𝑢) supp 0 ) = (((invg𝑅) ∘ 𝑢) supp 0 ))
14711, 144grpinvfn 18946 . . . . . . . . 9 (invg𝑅) Fn (Base‘𝑅)
148147a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢𝑈) → (invg𝑅) Fn (Base‘𝑅))
1498, 144grpinvid 18964 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Grp → ((invg𝑅)‘ 0 ) = 0 )
150143, 149syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢𝑈) → ((invg𝑅)‘ 0 ) = 0 )
151148, 80, 98, 99, 150suppcoss 8213 . . . . . . 7 ((𝜑𝑢𝑈) → (((invg𝑅) ∘ 𝑢) supp 0 ) ⊆ (𝑢 supp 0 ))
152146, 151eqsstrd 4015 . . . . . 6 ((𝜑𝑢𝑈) → (((invg𝑆)‘𝑢) supp 0 ) ⊆ (𝑢 supp 0 ))
153 sseq1 4002 . . . . . . . 8 (𝑦 = (((invg𝑆)‘𝑢) supp 0 ) → (𝑦 ⊆ (𝑢 supp 0 ) ↔ (((invg𝑆)‘𝑢) supp 0 ) ⊆ (𝑢 supp 0 )))
154 eleq1 2813 . . . . . . . 8 (𝑦 = (((invg𝑆)‘𝑢) supp 0 ) → (𝑦𝐴 ↔ (((invg𝑆)‘𝑢) supp 0 ) ∈ 𝐴))
155153, 154imbi12d 343 . . . . . . 7 (𝑦 = (((invg𝑆)‘𝑢) supp 0 ) → ((𝑦 ⊆ (𝑢 supp 0 ) → 𝑦𝐴) ↔ ((((invg𝑆)‘𝑢) supp 0 ) ⊆ (𝑢 supp 0 ) → (((invg𝑆)‘𝑢) supp 0 ) ∈ 𝐴)))
156155spcgv 3580 . . . . . 6 ((((invg𝑆)‘𝑢) supp 0 ) ∈ V → (∀𝑦(𝑦 ⊆ (𝑢 supp 0 ) → 𝑦𝐴) → ((((invg𝑆)‘𝑢) supp 0 ) ⊆ (𝑢 supp 0 ) → (((invg𝑆)‘𝑢) supp 0 ) ∈ 𝐴)))
157136, 141, 152, 156syl3c 66 . . . . 5 ((𝜑𝑢𝑈) → (((invg𝑆)‘𝑢) supp 0 ) ∈ 𝐴)
15843eleq2d 2811 . . . . . 6 ((𝜑𝑢𝑈) → (((invg𝑆)‘𝑢) ∈ 𝑈 ↔ ((invg𝑆)‘𝑢) ∈ {𝑔𝐵 ∣ (𝑔 supp 0 ) ∈ 𝐴}))
159 oveq1 7426 . . . . . . . 8 (𝑔 = ((invg𝑆)‘𝑢) → (𝑔 supp 0 ) = (((invg𝑆)‘𝑢) supp 0 ))
160159eleq1d 2810 . . . . . . 7 (𝑔 = ((invg𝑆)‘𝑢) → ((𝑔 supp 0 ) ∈ 𝐴 ↔ (((invg𝑆)‘𝑢) supp 0 ) ∈ 𝐴))
161160elrab 3679 . . . . . 6 (((invg𝑆)‘𝑢) ∈ {𝑔𝐵 ∣ (𝑔 supp 0 ) ∈ 𝐴} ↔ (((invg𝑆)‘𝑢) ∈ 𝐵 ∧ (((invg𝑆)‘𝑢) supp 0 ) ∈ 𝐴))
162158, 161bitrdi 286 . . . . 5 ((𝜑𝑢𝑈) → (((invg𝑆)‘𝑢) ∈ 𝑈 ↔ (((invg𝑆)‘𝑢) ∈ 𝐵 ∧ (((invg𝑆)‘𝑢) supp 0 ) ∈ 𝐴)))
163135, 157, 162mpbir2and 711 . . . 4 ((𝜑𝑢𝑈) → ((invg𝑆)‘𝑢) ∈ 𝑈)
164131, 163jca 510 . . 3 ((𝜑𝑢𝑈) → (∀𝑣𝑈 (𝑢(+g𝑆)𝑣) ∈ 𝑈 ∧ ((invg𝑆)‘𝑢) ∈ 𝑈))
165164ralrimiva 3135 . 2 (𝜑 → ∀𝑢𝑈 (∀𝑣𝑈 (𝑢(+g𝑆)𝑣) ∈ 𝑈 ∧ ((invg𝑆)‘𝑢) ∈ 𝑈))
1669, 32, 133issubg2 19104 . . 3 (𝑆 ∈ Grp → (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑆) ↔ (𝑈𝐵𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑢𝑈 (∀𝑣𝑈 (𝑢(+g𝑆)𝑣) ∈ 𝑈 ∧ ((invg𝑆)‘𝑢) ∈ 𝑈))))
167132, 166syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑆) ↔ (𝑈𝐵𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑢𝑈 (∀𝑣𝑈 (𝑢(+g𝑆)𝑣) ∈ 𝑈 ∧ ((invg𝑆)‘𝑢) ∈ 𝑈))))
1683, 31, 165, 167mpbir3and 1339 1 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084  wal 1531   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  wral 3050  {crab 3418  Vcvv 3461  cdif 3941  cun 3942  wss 3944  c0 4322  {csn 4630   × cxp 5676  ccnv 5677  cima 5681  ccom 5682   Fn wfn 6544  wf 6545  cfv 6549  (class class class)co 7419  f cof 7683   supp csupp 8165  m cmap 8845  Fincfn 8964  cn 12245  0cn0 12505  Basecbs 17183  +gcplusg 17236  0gc0g 17424  Mgmcmgm 18601  Grpcgrp 18898  invgcminusg 18899  SubGrpcsubg 19083   mPwSer cmps 21854
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9388  df-sup 9467  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-fz 13520  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-sca 17252  df-vsca 17253  df-ip 17254  df-tset 17255  df-ple 17256  df-ds 17258  df-hom 17260  df-cco 17261  df-0g 17426  df-prds 17432  df-pws 17434  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-subg 19086  df-psr 21859
This theorem is referenced by:  mpllsslem  21962  mplsubg  21964
  Copyright terms: Public domain W3C validator