Theorem psd1 22189

Description: The derivative of one is zero. (Contributed by SN, 25-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
psd1.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psd1.u	⊢ 1 = (1r‘𝑆)
psd1.z	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
psd1.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
psd1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
psd1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
psd1	⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 ) = 0 )

Proof of Theorem psd1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psd1.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
3		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
4		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
5		psd1.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
6		psd1.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
7		psd1.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
8	1, 7, 5	psrcrng 22010	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
9	8	crngringd 20264	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
10		psd1.u	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝑆)
11	2, 10	ringidcl 20280	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑆))
12	9, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (Base‘𝑆))
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 12	psdmul 22188	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘( 1 (.r‘𝑆) 1 )) = (((((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 )(.r‘𝑆) 1 )(+g‘𝑆)( 1 (.r‘𝑆)(((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 ))))
14	2, 4, 10, 9, 12	ringlidmd 20286	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( 1 (.r‘𝑆) 1 ) = 1 )
15	14	fveq2d 6911	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘( 1 (.r‘𝑆) 1 )) = (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 ))
16	5	crnggrpd 20265	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
17	16	grpmgmd 18992	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mgm)
18	1, 2, 17, 6, 12	psdcl 22183	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 ) ∈ (Base‘𝑆))
19	2, 4, 10, 9, 18	ringridmd 20287	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 )(.r‘𝑆) 1 ) = (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 ))
20	2, 4, 10, 9, 18	ringlidmd 20286	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( 1 (.r‘𝑆)(((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 )) = (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 ))
21	19, 20	oveq12d 7449	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 )(.r‘𝑆) 1 )(+g‘𝑆)( 1 (.r‘𝑆)(((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 ))) = ((((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 )(+g‘𝑆)(((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 )))
22	13, 15, 21	3eqtr3rd 2784	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 )(+g‘𝑆)(((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 )) = (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 ))
23	8	crnggrpd 20265	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
24		psd1.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
25	2, 3, 24	grpid 19006	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 ) ∈ (Base‘𝑆)) → (((((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 )(+g‘𝑆)(((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 )) = (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 ) ↔ 0 = (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 )))
26	23, 18, 25	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 )(+g‘𝑆)(((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 )) = (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 ) ↔ 0 = (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 )))
27	22, 26	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 = (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 ))
28	27	eqcomd 2741	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 ) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  +_gcplusg 17298  ._rcmulr 17299  0_gc0g 17486  Grpcgrp 18964  1_rcur 20199  Ringcrg 20251  CRingccrg 20252   mPwSer cmps 21942   mPSDer cpsd 22152

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-mulg 19099  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-oppr 20351  df-psr 21947  df-psd 22178

This theorem is referenced by:  psdascl  22190