Theorem psd1 22147

Description: The derivative of one is zero. (Contributed by SN, 25-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
psd1.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psd1.u	⊢ 1 = (1r‘𝑆)
psd1.z	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
psd1.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
psd1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
psd1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
psd1	⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 ) = 0 )

Proof of Theorem psd1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psd1.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
3		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
4		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
5		psd1.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
6		psd1.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
7		psd1.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
8	1, 7, 5	psrcrng 21964	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
9	8	crngringd 20222	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
10		psd1.u	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝑆)
11	2, 10	ringidcl 20241	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑆))
12	9, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (Base‘𝑆))
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 12	psdmul 22146	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘( 1 (.r‘𝑆) 1 )) = (((((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 )(.r‘𝑆) 1 )(+g‘𝑆)( 1 (.r‘𝑆)(((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 ))))
14	2, 4, 10, 9, 12	ringlidmd 20248	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( 1 (.r‘𝑆) 1 ) = 1 )
15	14	fveq2d 6840	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘( 1 (.r‘𝑆) 1 )) = (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 ))
16	5	crnggrpd 20223	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
17	16	grpmgmd 18932	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mgm)
18	1, 2, 17, 6, 12	psdcl 22141	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 ) ∈ (Base‘𝑆))
19	2, 4, 10, 9, 18	ringridmd 20249	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 )(.r‘𝑆) 1 ) = (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 ))
20	2, 4, 10, 9, 18	ringlidmd 20248	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( 1 (.r‘𝑆)(((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 )) = (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 ))
21	19, 20	oveq12d 7380	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 )(.r‘𝑆) 1 )(+g‘𝑆)( 1 (.r‘𝑆)(((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 ))) = ((((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 )(+g‘𝑆)(((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 )))
22	13, 15, 21	3eqtr3rd 2781	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 )(+g‘𝑆)(((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 )) = (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 ))
23	8	crnggrpd 20223	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
24		psd1.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
25	2, 3, 24	grpid 18946	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 ) ∈ (Base‘𝑆)) → (((((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 )(+g‘𝑆)(((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 )) = (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 ) ↔ 0 = (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 )))
26	23, 18, 25	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 )(+g‘𝑆)(((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 )) = (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 ) ↔ 0 = (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 )))
27	22, 26	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 = (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 ))
28	27	eqcomd 2743	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 ) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  Basecbs 17174  +_gcplusg 17215  ._rcmulr 17216  0_gc0g 17397  Grpcgrp 18904  1_rcur 20157  Ringcrg 20209  CRingccrg 20210   mPwSer cmps 21898   mPSDer cpsd 22110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-ifp 1064  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-se 5580  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-isom 6503  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7626  df-ofr 7627  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-supp 8106  df-tpos 8171  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-2o 8401  df-er 8638  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8841  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-fsupp 9270  df-sup 9350  df-oi 9420  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-seq 13959  df-hash 14288  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-hom 17239  df-cco 17240  df-0g 17399  df-gsum 17400  df-prds 17405  df-pws 17407  df-mre 17543  df-mrc 17544  df-acs 17546  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18746  df-submnd 18747  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-mulg 19039  df-ghm 19183  df-cntz 19287  df-cmn 19752  df-abl 19753  df-mgp 20117  df-rng 20129  df-ur 20158  df-ring 20211  df-cring 20212  df-oppr 20312  df-psr 21903  df-psd 22136

This theorem is referenced by:  psdascl  22148