Theorem psd1 22339

Description: The derivative of one is zero. (Contributed by SN, 25-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
psd1.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psd1.u	⊢ 1 = (1r‘𝑆)
psd1.z	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
psd1.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
psd1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
psd1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
psd1	⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 ) = 0 )

Proof of Theorem psd1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psd1.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
3		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
4		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
5		psd1.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
6		psd1.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
7		psd1.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
8	1, 7, 5	psrcrng 22130	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
9	8	crngringd 20332	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
10		psd1.u	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝑆)
11	2, 10	ringidcl 20353	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑆))
12	9, 11	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (Base‘𝑆))
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 12	psdmul 22338	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘( 1 (.r‘𝑆) 1 )) = (((((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 )(.r‘𝑆) 1 )(+g‘𝑆)( 1 (.r‘𝑆)(((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 ))))
14	2, 4, 10, 9, 12	ringlidmd 20360	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( 1 (.r‘𝑆) 1 ) = 1 )
15	14	fveq2d 6885	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘( 1 (.r‘𝑆) 1 )) = (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 ))
16	5	crnggrpd 20333	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
17	16	grpmgmd 19032	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mgm)
18	1, 2, 17, 6, 12	psdcl 22333	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 ) ∈ (Base‘𝑆))
19	2, 4, 10, 9, 18	ringridmd 20361	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 )(.r‘𝑆) 1 ) = (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 ))
20	2, 4, 10, 9, 18	ringlidmd 20360	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( 1 (.r‘𝑆)(((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 )) = (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 ))
21	19, 20	oveq12d 7428	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 )(.r‘𝑆) 1 )(+g‘𝑆)( 1 (.r‘𝑆)(((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 ))) = ((((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 )(+g‘𝑆)(((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 )))
22	13, 15, 21	3eqtr3rd 2807	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 )(+g‘𝑆)(((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 )) = (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 ))
23	8	crnggrpd 20333	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
24		psd1.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
25	2, 3, 24	grpid 19046	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 ) ∈ (Base‘𝑆)) → (((((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 )(+g‘𝑆)(((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 )) = (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 ) ↔ 0 = (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 )))
26	23, 18, 25	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 )(+g‘𝑆)(((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 )) = (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 ) ↔ 0 = (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 )))
27	22, 26	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 = (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 ))
28	27	eqcomd 2769	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 ) = 0 )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17273  +_gcplusg 17314  ._rcmulr 17315  0_gc0g 17496  Grpcgrp 19004  1_rcur 20267  Ringcrg 20319  CRingccrg 20320   mPwSer cmps 22063   mPSDer cpsd 22306

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-ofr 7675  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-sup 9398  df-oi 9468  df-card 9930  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-4 12309  df-5 12310  df-6 12311  df-7 12312  df-8 12313  df-9 12314  df-n0 12509  df-z 12596  df-dec 12716  df-uz 12867  df-fz 13540  df-fzo 13688  df-seq 14043  df-hash 14372  df-struct 17211  df-sets 17228  df-slot 17246  df-ndx 17258  df-base 17274  df-ress 17295  df-plusg 17327  df-mulr 17328  df-sca 17330  df-vsca 17331  df-ip 17332  df-tset 17333  df-ple 17334  df-ds 17336  df-hom 17338  df-cco 17339  df-0g 17498  df-gsum 17499  df-prds 17504  df-pws 17506  df-mre 17642  df-mrc 17643  df-acs 17645  df-mgm 18702  df-sgrp 18781  df-mnd 18797  df-mhm 18845  df-submnd 18846  df-grp 19007  df-minusg 19008  df-mulg 19138  df-ghm 19288  df-cntz 19391  df-cmn 19856  df-abl 19857  df-mgp 20221  df-rng 20235  df-ur 20268  df-ring 20321  df-cring 20322  df-oppr 20424  df-psr 22068  df-psd 22328

This theorem is used by:  psdascl  22340