Theorem psd1 22052

Description: The derivative of one is zero. (Contributed by SN, 25-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
psd1.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psd1.u	⊢ 1 = (1r‘𝑆)
psd1.z	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
psd1.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
psd1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
psd1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
psd1	⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 ) = 0 )

Proof of Theorem psd1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psd1.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
3		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
4		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
5		psd1.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
6		psd1.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
7		psd1.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
8	1, 7, 5	psrcrng 21879	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
9	8	crngringd 20131	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
10		psd1.u	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝑆)
11	2, 10	ringidcl 20150	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑆))
12	9, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (Base‘𝑆))
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 12	psdmul 22051	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘( 1 (.r‘𝑆) 1 )) = (((((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 )(.r‘𝑆) 1 )(+g‘𝑆)( 1 (.r‘𝑆)(((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 ))))
14	2, 4, 10, 9, 12	ringlidmd 20157	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( 1 (.r‘𝑆) 1 ) = 1 )
15	14	fveq2d 6826	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘( 1 (.r‘𝑆) 1 )) = (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 ))
16	5	crnggrpd 20132	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
17	16	grpmgmd 18840	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mgm)
18	1, 2, 17, 6, 12	psdcl 22046	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 ) ∈ (Base‘𝑆))
19	2, 4, 10, 9, 18	ringridmd 20158	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 )(.r‘𝑆) 1 ) = (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 ))
20	2, 4, 10, 9, 18	ringlidmd 20157	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( 1 (.r‘𝑆)(((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 )) = (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 ))
21	19, 20	oveq12d 7367	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 )(.r‘𝑆) 1 )(+g‘𝑆)( 1 (.r‘𝑆)(((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 ))) = ((((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 )(+g‘𝑆)(((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 )))
22	13, 15, 21	3eqtr3rd 2773	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 )(+g‘𝑆)(((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 )) = (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 ))
23	8	crnggrpd 20132	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
24		psd1.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
25	2, 3, 24	grpid 18854	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 ) ∈ (Base‘𝑆)) → (((((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 )(+g‘𝑆)(((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 )) = (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 ) ↔ 0 = (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 )))
26	23, 18, 25	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 )(+g‘𝑆)(((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 )) = (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 ) ↔ 0 = (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 )))
27	22, 26	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 = (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 ))
28	27	eqcomd 2735	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘ 1 ) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  Basecbs 17120  +_gcplusg 17161  ._rcmulr 17162  0_gc0g 17343  Grpcgrp 18812  1_rcur 20066  Ringcrg 20118  CRingccrg 20119   mPwSer cmps 21811   mPSDer cpsd 22015

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-ofr 7614  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-supp 8094  df-tpos 8159  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-er 8625  df-map 8755  df-pm 8756  df-ixp 8825  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-fsupp 9252  df-sup 9332  df-oi 9402  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-seq 13909  df-hash 14238  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-hom 17185  df-cco 17186  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-prds 17351  df-pws 17353  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-mhm 18657  df-submnd 18658  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-mulg 18947  df-ghm 19092  df-cntz 19196  df-cmn 19661  df-abl 19662  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-cring 20121  df-oppr 20222  df-psr 21816  df-psd 22041

This theorem is referenced by:  psdascl  22053