Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ofldchr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ofldchr 32109
Description: The characteristic of an ordered field is zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2018.) (Proof shortened by AV, 6-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
ofldchr (𝐹 ∈ oField → (chr‘𝐹) = 0)

Proof of Theorem ofldchr
Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2736 . . 3 (od‘𝐹) = (od‘𝐹)
2 eqid 2736 . . 3 (1r𝐹) = (1r𝐹)
3 eqid 2736 . . 3 (chr‘𝐹) = (chr‘𝐹)
41, 2, 3chrval 20928 . 2 ((od‘𝐹)‘(1r𝐹)) = (chr‘𝐹)
5 ofldfld 32105 . . . . 5 (𝐹 ∈ oField → 𝐹 ∈ Field)
6 isfld 20196 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Field ↔ (𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CRing))
76simplbi 498 . . . . 5 (𝐹 ∈ Field → 𝐹 ∈ DivRing)
8 drngring 20192 . . . . 5 (𝐹 ∈ DivRing → 𝐹 ∈ Ring)
95, 7, 83syl 18 . . . 4 (𝐹 ∈ oField → 𝐹 ∈ Ring)
10 eqid 2736 . . . . 5 (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
1110, 2ringidcl 19989 . . . 4 (𝐹 ∈ Ring → (1r𝐹) ∈ (Base‘𝐹))
12 eqid 2736 . . . . 5 (.g𝐹) = (.g𝐹)
13 eqid 2736 . . . . 5 (0g𝐹) = (0g𝐹)
14 eqid 2736 . . . . 5 {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) = (0g𝐹)} = {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) = (0g𝐹)}
1510, 12, 13, 1, 14odval 19316 . . . 4 ((1r𝐹) ∈ (Base‘𝐹) → ((od‘𝐹)‘(1r𝐹)) = if({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) = (0g𝐹)} = ∅, 0, inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) = (0g𝐹)}, ℝ, < )))
169, 11, 153syl 18 . . 3 (𝐹 ∈ oField → ((od‘𝐹)‘(1r𝐹)) = if({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) = (0g𝐹)} = ∅, 0, inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) = (0g𝐹)}, ℝ, < )))
17 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 1 → (𝑛(.g𝐹)(1r𝐹)) = (1(.g𝐹)(1r𝐹)))
1817breq2d 5117 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 1 → ((0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑛(.g𝐹)(1r𝐹)) ↔ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(1(.g𝐹)(1r𝐹))))
1918imbi2d 340 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 1 → ((𝐹 ∈ oField → (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑛(.g𝐹)(1r𝐹))) ↔ (𝐹 ∈ oField → (0g𝐹)(lt‘𝐹)(1(.g𝐹)(1r𝐹)))))
20 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑚 → (𝑛(.g𝐹)(1r𝐹)) = (𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)))
2120breq2d 5117 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑚 → ((0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑛(.g𝐹)(1r𝐹)) ↔ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))))
2221imbi2d 340 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑚 → ((𝐹 ∈ oField → (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑛(.g𝐹)(1r𝐹))) ↔ (𝐹 ∈ oField → (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)))))
23 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑛(.g𝐹)(1r𝐹)) = ((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹)))
2423breq2d 5117 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑛(.g𝐹)(1r𝐹)) ↔ (0g𝐹)(lt‘𝐹)((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹))))
2524imbi2d 340 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝐹 ∈ oField → (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑛(.g𝐹)(1r𝐹))) ↔ (𝐹 ∈ oField → (0g𝐹)(lt‘𝐹)((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹)))))
26 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑦 → (𝑛(.g𝐹)(1r𝐹)) = (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)))
2726breq2d 5117 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑦 → ((0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑛(.g𝐹)(1r𝐹)) ↔ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑦(.g𝐹)(1r𝐹))))
2827imbi2d 340 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑦 → ((𝐹 ∈ oField → (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑛(.g𝐹)(1r𝐹))) ↔ (𝐹 ∈ oField → (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)))))
29 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (lt‘𝐹) = (lt‘𝐹)
3013, 2, 29ofldlt1 32108 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ oField → (0g𝐹)(lt‘𝐹)(1r𝐹))
319, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ oField → (1r𝐹) ∈ (Base‘𝐹))
3210, 12mulg1 18883 . . . . . . . . . . . . 13 ((1r𝐹) ∈ (Base‘𝐹) → (1(.g𝐹)(1r𝐹)) = (1r𝐹))
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ oField → (1(.g𝐹)(1r𝐹)) = (1r𝐹))
3430, 33breqtrrd 5133 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ oField → (0g𝐹)(lt‘𝐹)(1(.g𝐹)(1r𝐹)))
35 ofldtos 32106 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ oField → 𝐹 ∈ Toset)
36 tospos 18309 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ Toset → 𝐹 ∈ Poset)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ oField → 𝐹 ∈ Poset)
3837ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → 𝐹 ∈ Poset)
39 ringgrp 19969 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ Grp)
409, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ oField → 𝐹 ∈ Grp)
4140ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → 𝐹 ∈ Grp)
4210, 13grpidcl 18778 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ Grp → (0g𝐹) ∈ (Base‘𝐹))
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → (0g𝐹) ∈ (Base‘𝐹))
44 grpmnd 18755 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ Grp → 𝐹 ∈ Mnd)
45 mndmgm 18563 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ Mnd → 𝐹 ∈ Mgm)
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ Grp → 𝐹 ∈ Mgm)
4741, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → 𝐹 ∈ Mgm)
48 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → 𝑚 ∈ ℕ)
4931ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → (1r𝐹) ∈ (Base‘𝐹))
5010, 12mulgnncl 18891 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∈ Mgm ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ (1r𝐹) ∈ (Base‘𝐹)) → (𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)) ∈ (Base‘𝐹))
5147, 48, 49, 50syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → (𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)) ∈ (Base‘𝐹))
5248peano2nnd 12170 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
5310, 12mulgnncl 18891 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∈ Mgm ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℕ ∧ (1r𝐹) ∈ (Base‘𝐹)) → ((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹)) ∈ (Base‘𝐹))
5447, 52, 49, 53syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → ((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹)) ∈ (Base‘𝐹))
5543, 51, 543jca 1128 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → ((0g𝐹) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)) ∈ (Base‘𝐹) ∧ ((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹)) ∈ (Base‘𝐹)))
56 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)))
57 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → 𝐹 ∈ oField)
58 isofld 32097 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ oField ↔ (𝐹 ∈ Field ∧ 𝐹 ∈ oRing))
5958simprbi 497 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ oField → 𝐹 ∈ oRing)
60 orngogrp 32096 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ oRing → 𝐹 ∈ oGrp)
6157, 59, 603syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → 𝐹 ∈ oGrp)
6230ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → (0g𝐹)(lt‘𝐹)(1r𝐹))
63 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (+g𝐹) = (+g𝐹)
6410, 29, 63ogrpaddlt 31925 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∈ oGrp ∧ ((0g𝐹) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (1r𝐹) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)) ∈ (Base‘𝐹)) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(1r𝐹)) → ((0g𝐹)(+g𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)))(lt‘𝐹)((1r𝐹)(+g𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))))
6561, 43, 49, 51, 62, 64syl131anc 1383 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → ((0g𝐹)(+g𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)))(lt‘𝐹)((1r𝐹)(+g𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))))
6610, 63, 13grplid 18780 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹 ∈ Grp ∧ (𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)) ∈ (Base‘𝐹)) → ((0g𝐹)(+g𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) = (𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)))
6741, 51, 66syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → ((0g𝐹)(+g𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) = (𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)))
6867eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → (𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)) = ((0g𝐹)(+g𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))))
6910, 12, 63mulgnnp1 18884 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (1r𝐹) ∈ (Base‘𝐹)) → ((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹)) = ((𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))(+g𝐹)(1r𝐹)))
7048, 49, 69syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → ((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹)) = ((𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))(+g𝐹)(1r𝐹)))
71 ringcmn 20003 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ CMnd)
7257, 9, 713syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → 𝐹 ∈ CMnd)
7310, 63cmncom 19580 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹 ∈ CMnd ∧ (𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (1r𝐹) ∈ (Base‘𝐹)) → ((𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))(+g𝐹)(1r𝐹)) = ((1r𝐹)(+g𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))))
7472, 51, 49, 73syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → ((𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))(+g𝐹)(1r𝐹)) = ((1r𝐹)(+g𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))))
7570, 74eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → ((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹)) = ((1r𝐹)(+g𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))))
7665, 68, 753brtr4d 5137 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → (𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))(lt‘𝐹)((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹)))
7710, 29plttr 18231 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ Poset ∧ ((0g𝐹) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)) ∈ (Base‘𝐹) ∧ ((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹)) ∈ (Base‘𝐹))) → (((0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)) ∧ (𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))(lt‘𝐹)((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹))) → (0g𝐹)(lt‘𝐹)((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹))))
7877imp 407 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ Poset ∧ ((0g𝐹) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)) ∈ (Base‘𝐹) ∧ ((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹)) ∈ (Base‘𝐹))) ∧ ((0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)) ∧ (𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))(lt‘𝐹)((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹)))) → (0g𝐹)(lt‘𝐹)((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹)))
7938, 55, 56, 76, 78syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → (0g𝐹)(lt‘𝐹)((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹)))
8079exp31 420 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ → (𝐹 ∈ oField → ((0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)) → (0g𝐹)(lt‘𝐹)((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹)))))
8180a2d 29 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝐹 ∈ oField → (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → (𝐹 ∈ oField → (0g𝐹)(lt‘𝐹)((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹)))))
8219, 22, 25, 28, 34, 81nnind 12171 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → (𝐹 ∈ oField → (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑦(.g𝐹)(1r𝐹))))
8382impcom 408 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ oField ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)))
84 fvex 6855 . . . . . . . . . . 11 (0g𝐹) ∈ V
85 ovex 7390 . . . . . . . . . . 11 (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) ∈ V
8629pltne 18223 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ oField ∧ (0g𝐹) ∈ V ∧ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) ∈ V) → ((0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) → (0g𝐹) ≠ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹))))
8784, 85, 86mp3an23 1453 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ oField → ((0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) → (0g𝐹) ≠ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹))))
8887adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ oField ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) → (0g𝐹) ≠ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹))))
8983, 88mpd 15 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ oField ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (0g𝐹) ≠ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)))
9089necomd 2999 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ oField ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) ≠ (0g𝐹))
9190neneqd 2948 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ oField ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ¬ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) = (0g𝐹))
9291ralrimiva 3143 . . . . 5 (𝐹 ∈ oField → ∀𝑦 ∈ ℕ ¬ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) = (0g𝐹))
93 rabeq0 4344 . . . . 5 ({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) = (0g𝐹)} = ∅ ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ ¬ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) = (0g𝐹))
9492, 93sylibr 233 . . . 4 (𝐹 ∈ oField → {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) = (0g𝐹)} = ∅)
9594iftrued 4494 . . 3 (𝐹 ∈ oField → if({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) = (0g𝐹)} = ∅, 0, inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) = (0g𝐹)}, ℝ, < )) = 0)
9616, 95eqtrd 2776 . 2 (𝐹 ∈ oField → ((od‘𝐹)‘(1r𝐹)) = 0)
974, 96eqtr3id 2790 1 (𝐹 ∈ oField → (chr‘𝐹) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  {crab 3407  Vcvv 3445  c0 4282  ifcif 4486   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  infcinf 9377  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   < clt 11189  cn 12153  Basecbs 17083  +gcplusg 17133  0gc0g 17321  Posetcpo 18196  ltcplt 18197  Tosetctos 18305  Mgmcmgm 18495  Mndcmnd 18556  Grpcgrp 18748  .gcmg 18872  odcod 19306  CMndccmn 19562  1rcur 19913  Ringcrg 19964  CRingccrg 19965  DivRingcdr 20185  Fieldcfield 20186  chrcchr 20902  oGrpcogrp 31906  oRingcorng 32090  oFieldcofld 32091
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-seq 13907  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-0g 17323  df-proset 18184  df-poset 18202  df-plt 18219  df-toset 18306  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-mulg 18873  df-od 19310  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-drng 20187  df-field 20188  df-chr 20906  df-omnd 31907  df-ogrp 31908  df-orng 32092  df-ofld 32093
This theorem is referenced by:  rerrext  32590  cnrrext  32591
  Copyright terms: Public domain W3C validator