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Theorem ofldchr 32163
Description: The characteristic of an ordered field is zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2018.) (Proof shortened by AV, 6-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
ofldchr (𝐹 ∈ oField β†’ (chrβ€˜πΉ) = 0)

Proof of Theorem ofldchr
Dummy variables π‘š 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . 3 (odβ€˜πΉ) = (odβ€˜πΉ)
2 eqid 2733 . . 3 (1rβ€˜πΉ) = (1rβ€˜πΉ)
3 eqid 2733 . . 3 (chrβ€˜πΉ) = (chrβ€˜πΉ)
41, 2, 3chrval 20951 . 2 ((odβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) = (chrβ€˜πΉ)
5 ofldfld 32159 . . . . 5 (𝐹 ∈ oField β†’ 𝐹 ∈ Field)
6 isfld 20230 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Field ↔ (𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CRing))
76simplbi 499 . . . . 5 (𝐹 ∈ Field β†’ 𝐹 ∈ DivRing)
8 drngring 20226 . . . . 5 (𝐹 ∈ DivRing β†’ 𝐹 ∈ Ring)
95, 7, 83syl 18 . . . 4 (𝐹 ∈ oField β†’ 𝐹 ∈ Ring)
10 eqid 2733 . . . . 5 (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜πΉ)
1110, 2ringidcl 19997 . . . 4 (𝐹 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
12 eqid 2733 . . . . 5 (.gβ€˜πΉ) = (.gβ€˜πΉ)
13 eqid 2733 . . . . 5 (0gβ€˜πΉ) = (0gβ€˜πΉ)
14 eqid 2733 . . . . 5 {𝑦 ∈ β„• ∣ (𝑦(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) = (0gβ€˜πΉ)} = {𝑦 ∈ β„• ∣ (𝑦(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) = (0gβ€˜πΉ)}
1510, 12, 13, 1, 14odval 19324 . . . 4 ((1rβ€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΉ) β†’ ((odβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) = if({𝑦 ∈ β„• ∣ (𝑦(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) = (0gβ€˜πΉ)} = βˆ…, 0, inf({𝑦 ∈ β„• ∣ (𝑦(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) = (0gβ€˜πΉ)}, ℝ, < )))
169, 11, 153syl 18 . . 3 (𝐹 ∈ oField β†’ ((odβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) = if({𝑦 ∈ β„• ∣ (𝑦(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) = (0gβ€˜πΉ)} = βˆ…, 0, inf({𝑦 ∈ β„• ∣ (𝑦(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) = (0gβ€˜πΉ)}, ℝ, < )))
17 oveq1 7368 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 1 β†’ (𝑛(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) = (1(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)))
1817breq2d 5121 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 1 β†’ ((0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(𝑛(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) ↔ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(1(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))))
1918imbi2d 341 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 1 β†’ ((𝐹 ∈ oField β†’ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(𝑛(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) ↔ (𝐹 ∈ oField β†’ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(1(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)))))
20 oveq1 7368 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = π‘š β†’ (𝑛(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) = (π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)))
2120breq2d 5121 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = π‘š β†’ ((0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(𝑛(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) ↔ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))))
2221imbi2d 341 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = π‘š β†’ ((𝐹 ∈ oField β†’ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(𝑛(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) ↔ (𝐹 ∈ oField β†’ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)))))
23 oveq1 7368 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = (π‘š + 1) β†’ (𝑛(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) = ((π‘š + 1)(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)))
2423breq2d 5121 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = (π‘š + 1) β†’ ((0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(𝑛(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) ↔ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)((π‘š + 1)(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))))
2524imbi2d 341 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (π‘š + 1) β†’ ((𝐹 ∈ oField β†’ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(𝑛(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) ↔ (𝐹 ∈ oField β†’ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)((π‘š + 1)(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)))))
26 oveq1 7368 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑦 β†’ (𝑛(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) = (𝑦(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)))
2726breq2d 5121 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑦 β†’ ((0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(𝑛(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) ↔ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(𝑦(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))))
2827imbi2d 341 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑦 β†’ ((𝐹 ∈ oField β†’ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(𝑛(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) ↔ (𝐹 ∈ oField β†’ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(𝑦(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)))))
29 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (ltβ€˜πΉ) = (ltβ€˜πΉ)
3013, 2, 29ofldlt1 32162 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ oField β†’ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))
319, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ oField β†’ (1rβ€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
3210, 12mulg1 18891 . . . . . . . . . . . . 13 ((1rβ€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΉ) β†’ (1(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) = (1rβ€˜πΉ))
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ oField β†’ (1(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) = (1rβ€˜πΉ))
3430, 33breqtrrd 5137 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ oField β†’ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(1(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)))
35 ofldtos 32160 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ oField β†’ 𝐹 ∈ Toset)
36 tospos 18317 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ Toset β†’ 𝐹 ∈ Poset)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ oField β†’ 𝐹 ∈ Poset)
3837ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘š ∈ β„• ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) β†’ 𝐹 ∈ Poset)
39 ringgrp 19977 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ Ring β†’ 𝐹 ∈ Grp)
409, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ oField β†’ 𝐹 ∈ Grp)
4140ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘š ∈ β„• ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) β†’ 𝐹 ∈ Grp)
4210, 13grpidcl 18786 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ Grp β†’ (0gβ€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘š ∈ β„• ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) β†’ (0gβ€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
44 grpmnd 18763 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ Grp β†’ 𝐹 ∈ Mnd)
45 mndmgm 18571 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ Mnd β†’ 𝐹 ∈ Mgm)
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ Grp β†’ 𝐹 ∈ Mgm)
4741, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘š ∈ β„• ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) β†’ 𝐹 ∈ Mgm)
48 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘š ∈ β„• ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) β†’ π‘š ∈ β„•)
4931ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘š ∈ β„• ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) β†’ (1rβ€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
5010, 12mulgnncl 18899 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∈ Mgm ∧ π‘š ∈ β„• ∧ (1rβ€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΉ)) β†’ (π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
5147, 48, 49, 50syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘š ∈ β„• ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) β†’ (π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
5248peano2nnd 12178 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘š ∈ β„• ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) β†’ (π‘š + 1) ∈ β„•)
5310, 12mulgnncl 18899 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∈ Mgm ∧ (π‘š + 1) ∈ β„• ∧ (1rβ€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΉ)) β†’ ((π‘š + 1)(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
5447, 52, 49, 53syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘š ∈ β„• ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) β†’ ((π‘š + 1)(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
5543, 51, 543jca 1129 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘š ∈ β„• ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) β†’ ((0gβ€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ (π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ ((π‘š + 1)(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) ∈ (Baseβ€˜πΉ)))
56 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘š ∈ β„• ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) β†’ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)))
57 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘š ∈ β„• ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) β†’ 𝐹 ∈ oField)
58 isofld 32151 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ oField ↔ (𝐹 ∈ Field ∧ 𝐹 ∈ oRing))
5958simprbi 498 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ oField β†’ 𝐹 ∈ oRing)
60 orngogrp 32150 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ oRing β†’ 𝐹 ∈ oGrp)
6157, 59, 603syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘š ∈ β„• ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) β†’ 𝐹 ∈ oGrp)
6230ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘š ∈ β„• ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) β†’ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))
63 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (+gβ€˜πΉ) = (+gβ€˜πΉ)
6410, 29, 63ogrpaddlt 31981 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∈ oGrp ∧ ((0gβ€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ (1rβ€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ (π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) ∈ (Baseβ€˜πΉ)) ∧ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) β†’ ((0gβ€˜πΉ)(+gβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)))(ltβ€˜πΉ)((1rβ€˜πΉ)(+gβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))))
6561, 43, 49, 51, 62, 64syl131anc 1384 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘š ∈ β„• ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) β†’ ((0gβ€˜πΉ)(+gβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)))(ltβ€˜πΉ)((1rβ€˜πΉ)(+gβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))))
6610, 63, 13grplid 18788 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹 ∈ Grp ∧ (π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) ∈ (Baseβ€˜πΉ)) β†’ ((0gβ€˜πΉ)(+gβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) = (π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)))
6741, 51, 66syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘š ∈ β„• ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) β†’ ((0gβ€˜πΉ)(+gβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) = (π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)))
6867eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘š ∈ β„• ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) β†’ (π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) = ((0gβ€˜πΉ)(+gβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))))
6910, 12, 63mulgnnp1 18892 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘š ∈ β„• ∧ (1rβ€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΉ)) β†’ ((π‘š + 1)(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) = ((π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))(+gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)))
7048, 49, 69syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘š ∈ β„• ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) β†’ ((π‘š + 1)(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) = ((π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))(+gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)))
71 ringcmn 20011 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ Ring β†’ 𝐹 ∈ CMnd)
7257, 9, 713syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘š ∈ β„• ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) β†’ 𝐹 ∈ CMnd)
7310, 63cmncom 19588 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹 ∈ CMnd ∧ (π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ (1rβ€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΉ)) β†’ ((π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))(+gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) = ((1rβ€˜πΉ)(+gβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))))
7472, 51, 49, 73syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘š ∈ β„• ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) β†’ ((π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))(+gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) = ((1rβ€˜πΉ)(+gβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))))
7570, 74eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘š ∈ β„• ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) β†’ ((π‘š + 1)(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) = ((1rβ€˜πΉ)(+gβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))))
7665, 68, 753brtr4d 5141 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘š ∈ β„• ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) β†’ (π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))(ltβ€˜πΉ)((π‘š + 1)(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)))
7710, 29plttr 18239 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ Poset ∧ ((0gβ€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ (π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ ((π‘š + 1)(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) ∈ (Baseβ€˜πΉ))) β†’ (((0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) ∧ (π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))(ltβ€˜πΉ)((π‘š + 1)(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) β†’ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)((π‘š + 1)(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))))
7877imp 408 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ Poset ∧ ((0gβ€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ (π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ ((π‘š + 1)(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) ∈ (Baseβ€˜πΉ))) ∧ ((0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) ∧ (π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))(ltβ€˜πΉ)((π‘š + 1)(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)))) β†’ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)((π‘š + 1)(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)))
7938, 55, 56, 76, 78syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘š ∈ β„• ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) β†’ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)((π‘š + 1)(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)))
8079exp31 421 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š ∈ β„• β†’ (𝐹 ∈ oField β†’ ((0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) β†’ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)((π‘š + 1)(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)))))
8180a2d 29 . . . . . . . . . . 11 (π‘š ∈ β„• β†’ ((𝐹 ∈ oField β†’ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) β†’ (𝐹 ∈ oField β†’ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)((π‘š + 1)(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)))))
8219, 22, 25, 28, 34, 81nnind 12179 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ β„• β†’ (𝐹 ∈ oField β†’ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(𝑦(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))))
8382impcom 409 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ oField ∧ 𝑦 ∈ β„•) β†’ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(𝑦(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)))
84 fvex 6859 . . . . . . . . . . 11 (0gβ€˜πΉ) ∈ V
85 ovex 7394 . . . . . . . . . . 11 (𝑦(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) ∈ V
8629pltne 18231 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ oField ∧ (0gβ€˜πΉ) ∈ V ∧ (𝑦(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) ∈ V) β†’ ((0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(𝑦(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) β†’ (0gβ€˜πΉ) β‰  (𝑦(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))))
8784, 85, 86mp3an23 1454 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ oField β†’ ((0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(𝑦(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) β†’ (0gβ€˜πΉ) β‰  (𝑦(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))))
8887adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ oField ∧ 𝑦 ∈ β„•) β†’ ((0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(𝑦(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) β†’ (0gβ€˜πΉ) β‰  (𝑦(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))))
8983, 88mpd 15 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ oField ∧ 𝑦 ∈ β„•) β†’ (0gβ€˜πΉ) β‰  (𝑦(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)))
9089necomd 2996 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ oField ∧ 𝑦 ∈ β„•) β†’ (𝑦(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) β‰  (0gβ€˜πΉ))
9190neneqd 2945 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ oField ∧ 𝑦 ∈ β„•) β†’ Β¬ (𝑦(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) = (0gβ€˜πΉ))
9291ralrimiva 3140 . . . . 5 (𝐹 ∈ oField β†’ βˆ€π‘¦ ∈ β„• Β¬ (𝑦(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) = (0gβ€˜πΉ))
93 rabeq0 4348 . . . . 5 ({𝑦 ∈ β„• ∣ (𝑦(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) = (0gβ€˜πΉ)} = βˆ… ↔ βˆ€π‘¦ ∈ β„• Β¬ (𝑦(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) = (0gβ€˜πΉ))
9492, 93sylibr 233 . . . 4 (𝐹 ∈ oField β†’ {𝑦 ∈ β„• ∣ (𝑦(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) = (0gβ€˜πΉ)} = βˆ…)
9594iftrued 4498 . . 3 (𝐹 ∈ oField β†’ if({𝑦 ∈ β„• ∣ (𝑦(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) = (0gβ€˜πΉ)} = βˆ…, 0, inf({𝑦 ∈ β„• ∣ (𝑦(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) = (0gβ€˜πΉ)}, ℝ, < )) = 0)
9616, 95eqtrd 2773 . 2 (𝐹 ∈ oField β†’ ((odβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) = 0)
974, 96eqtr3id 2787 1 (𝐹 ∈ oField β†’ (chrβ€˜πΉ) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  {crab 3406  Vcvv 3447  βˆ…c0 4286  ifcif 4490   class class class wbr 5109  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  infcinf 9385  β„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062   < clt 11197  β„•cn 12161  Basecbs 17091  +gcplusg 17141  0gc0g 17329  Posetcpo 18204  ltcplt 18205  Tosetctos 18313  Mgmcmgm 18503  Mndcmnd 18564  Grpcgrp 18756  .gcmg 18880  odcod 19314  CMndccmn 19570  1rcur 19921  Ringcrg 19972  CRingccrg 19973  DivRingcdr 20219  Fieldcfield 20220  chrcchr 20925  oGrpcogrp 31962  oRingcorng 32144  oFieldcofld 32145
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-tpos 8161  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-inf 9387  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-seq 13916  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-0g 17331  df-proset 18192  df-poset 18210  df-plt 18227  df-toset 18314  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-mulg 18881  df-od 19318  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-oppr 20057  df-dvdsr 20078  df-unit 20079  df-drng 20221  df-field 20222  df-chr 20929  df-omnd 31963  df-ogrp 31964  df-orng 32146  df-ofld 32147
This theorem is referenced by:  rerrext  32654  cnrrext  32655
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