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Theorem ofldchr 32432
Description: The characteristic of an ordered field is zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2018.) (Proof shortened by AV, 6-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
ofldchr (𝐹 ∈ oField β†’ (chrβ€˜πΉ) = 0)
Proof of Theorem ofldchr
Dummy variables π‘š 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . 3 (odβ€˜πΉ) = (odβ€˜πΉ)
2 eqid 2733 . . 3 (1rβ€˜πΉ) = (1rβ€˜πΉ)
3 eqid 2733 . . 3 (chrβ€˜πΉ) = (chrβ€˜πΉ)
41, 2, 3chrval 21077 . 2 ((odβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) = (chrβ€˜πΉ)
5 ofldfld 32428 . . . . 5 (𝐹 ∈ oField β†’ 𝐹 ∈ Field)
6 isfld 20368 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Field ↔ (𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CRing))
76simplbi 499 . . . . 5 (𝐹 ∈ Field β†’ 𝐹 ∈ DivRing)
8 drngring 20364 . . . . 5 (𝐹 ∈ DivRing β†’ 𝐹 ∈ Ring)
95, 7, 83syl 18 . . . 4 (𝐹 ∈ oField β†’ 𝐹 ∈ Ring)
10 eqid 2733 . . . . 5 (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜πΉ)
1110, 2ringidcl 20083 . . . 4 (𝐹 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
12 eqid 2733 . . . . 5 (.gβ€˜πΉ) = (.gβ€˜πΉ)
13 eqid 2733 . . . . 5 (0gβ€˜πΉ) = (0gβ€˜πΉ)
14 eqid 2733 . . . . 5 {𝑦 ∈ β„• ∣ (𝑦(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) = (0gβ€˜πΉ)} = {𝑦 ∈ β„• ∣ (𝑦(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) = (0gβ€˜πΉ)}
1510, 12, 13, 1, 14odval 19402 . . . 4 ((1rβ€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΉ) β†’ ((odβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) = if({𝑦 ∈ β„• ∣ (𝑦(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) = (0gβ€˜πΉ)} = βˆ…, 0, inf({𝑦 ∈ β„• ∣ (𝑦(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) = (0gβ€˜πΉ)}, ℝ, < )))
169, 11, 153syl 18 . . 3 (𝐹 ∈ oField β†’ ((odβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) = if({𝑦 ∈ β„• ∣ (𝑦(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) = (0gβ€˜πΉ)} = βˆ…, 0, inf({𝑦 ∈ β„• ∣ (𝑦(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) = (0gβ€˜πΉ)}, ℝ, < )))
17 oveq1 7416 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 1 β†’ (𝑛(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) = (1(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)))
1817breq2d 5161 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 1 β†’ ((0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(𝑛(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) ↔ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(1(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))))
1918imbi2d 341 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 1 β†’ ((𝐹 ∈ oField β†’ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(𝑛(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) ↔ (𝐹 ∈ oField β†’ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(1(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)))))
20 oveq1 7416 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = π‘š β†’ (𝑛(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) = (π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)))
2120breq2d 5161 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = π‘š β†’ ((0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(𝑛(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) ↔ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))))
2221imbi2d 341 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = π‘š β†’ ((𝐹 ∈ oField β†’ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(𝑛(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) ↔ (𝐹 ∈ oField β†’ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)))))
23 oveq1 7416 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = (π‘š + 1) β†’ (𝑛(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) = ((π‘š + 1)(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)))
2423breq2d 5161 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = (π‘š + 1) β†’ ((0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(𝑛(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) ↔ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)((π‘š + 1)(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))))
2524imbi2d 341 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (π‘š + 1) β†’ ((𝐹 ∈ oField β†’ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(𝑛(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) ↔ (𝐹 ∈ oField β†’ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)((π‘š + 1)(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)))))
26 oveq1 7416 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑦 β†’ (𝑛(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) = (𝑦(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)))
2726breq2d 5161 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑦 β†’ ((0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(𝑛(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) ↔ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(𝑦(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))))
2827imbi2d 341 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑦 β†’ ((𝐹 ∈ oField β†’ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(𝑛(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) ↔ (𝐹 ∈ oField β†’ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(𝑦(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)))))
29 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (ltβ€˜πΉ) = (ltβ€˜πΉ)
3013, 2, 29ofldlt1 32431 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ oField β†’ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))
319, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ oField β†’ (1rβ€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
3210, 12mulg1 18961 . . . . . . . . . . . . 13 ((1rβ€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΉ) β†’ (1(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) = (1rβ€˜πΉ))
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ oField β†’ (1(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) = (1rβ€˜πΉ))
3430, 33breqtrrd 5177 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ oField β†’ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(1(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)))
35 ofldtos 32429 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ oField β†’ 𝐹 ∈ Toset)
36 tospos 18373 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ Toset β†’ 𝐹 ∈ Poset)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ oField β†’ 𝐹 ∈ Poset)
3837ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘š ∈ β„• ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) β†’ 𝐹 ∈ Poset)
39 ringgrp 20061 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ Ring β†’ 𝐹 ∈ Grp)
409, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ oField β†’ 𝐹 ∈ Grp)
4140ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘š ∈ β„• ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) β†’ 𝐹 ∈ Grp)
4210, 13grpidcl 18850 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ Grp β†’ (0gβ€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘š ∈ β„• ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) β†’ (0gβ€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
44 grpmnd 18826 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ Grp β†’ 𝐹 ∈ Mnd)
45 mndmgm 18632 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ Mnd β†’ 𝐹 ∈ Mgm)
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ Grp β†’ 𝐹 ∈ Mgm)
4741, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘š ∈ β„• ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) β†’ 𝐹 ∈ Mgm)
48 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘š ∈ β„• ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) β†’ π‘š ∈ β„•)
4931ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘š ∈ β„• ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) β†’ (1rβ€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
5010, 12mulgnncl 18969 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∈ Mgm ∧ π‘š ∈ β„• ∧ (1rβ€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΉ)) β†’ (π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
5147, 48, 49, 50syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘š ∈ β„• ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) β†’ (π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
5248peano2nnd 12229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘š ∈ β„• ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) β†’ (π‘š + 1) ∈ β„•)
5310, 12mulgnncl 18969 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∈ Mgm ∧ (π‘š + 1) ∈ β„• ∧ (1rβ€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΉ)) β†’ ((π‘š + 1)(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
5447, 52, 49, 53syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘š ∈ β„• ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) β†’ ((π‘š + 1)(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
5543, 51, 543jca 1129 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘š ∈ β„• ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) β†’ ((0gβ€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ (π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ ((π‘š + 1)(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) ∈ (Baseβ€˜πΉ)))
56 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘š ∈ β„• ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) β†’ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)))
57 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘š ∈ β„• ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) β†’ 𝐹 ∈ oField)
58 isofld 32420 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ oField ↔ (𝐹 ∈ Field ∧ 𝐹 ∈ oRing))
5958simprbi 498 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ oField β†’ 𝐹 ∈ oRing)
60 orngogrp 32419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ oRing β†’ 𝐹 ∈ oGrp)
6157, 59, 603syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘š ∈ β„• ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) β†’ 𝐹 ∈ oGrp)
6230ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘š ∈ β„• ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) β†’ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))
63 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (+gβ€˜πΉ) = (+gβ€˜πΉ)
6410, 29, 63ogrpaddlt 32235 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∈ oGrp ∧ ((0gβ€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ (1rβ€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ (π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) ∈ (Baseβ€˜πΉ)) ∧ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) β†’ ((0gβ€˜πΉ)(+gβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)))(ltβ€˜πΉ)((1rβ€˜πΉ)(+gβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))))
6561, 43, 49, 51, 62, 64syl131anc 1384 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘š ∈ β„• ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) β†’ ((0gβ€˜πΉ)(+gβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)))(ltβ€˜πΉ)((1rβ€˜πΉ)(+gβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))))
6610, 63, 13grplid 18852 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹 ∈ Grp ∧ (π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) ∈ (Baseβ€˜πΉ)) β†’ ((0gβ€˜πΉ)(+gβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) = (π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)))
6741, 51, 66syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘š ∈ β„• ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) β†’ ((0gβ€˜πΉ)(+gβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) = (π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)))
6867eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘š ∈ β„• ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) β†’ (π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) = ((0gβ€˜πΉ)(+gβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))))
6910, 12, 63mulgnnp1 18962 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘š ∈ β„• ∧ (1rβ€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΉ)) β†’ ((π‘š + 1)(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) = ((π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))(+gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)))
7048, 49, 69syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘š ∈ β„• ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) β†’ ((π‘š + 1)(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) = ((π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))(+gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)))
71 ringcmn 20099 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ Ring β†’ 𝐹 ∈ CMnd)
7257, 9, 713syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘š ∈ β„• ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) β†’ 𝐹 ∈ CMnd)
7310, 63cmncom 19666 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹 ∈ CMnd ∧ (π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ (1rβ€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΉ)) β†’ ((π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))(+gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) = ((1rβ€˜πΉ)(+gβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))))
7472, 51, 49, 73syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘š ∈ β„• ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) β†’ ((π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))(+gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) = ((1rβ€˜πΉ)(+gβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))))
7570, 74eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘š ∈ β„• ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) β†’ ((π‘š + 1)(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) = ((1rβ€˜πΉ)(+gβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))))
7665, 68, 753brtr4d 5181 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘š ∈ β„• ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) β†’ (π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))(ltβ€˜πΉ)((π‘š + 1)(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)))
7710, 29plttr 18295 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ Poset ∧ ((0gβ€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ (π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ ((π‘š + 1)(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) ∈ (Baseβ€˜πΉ))) β†’ (((0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) ∧ (π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))(ltβ€˜πΉ)((π‘š + 1)(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) β†’ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)((π‘š + 1)(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))))
7877imp 408 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ Poset ∧ ((0gβ€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ (π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ ((π‘š + 1)(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) ∈ (Baseβ€˜πΉ))) ∧ ((0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) ∧ (π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))(ltβ€˜πΉ)((π‘š + 1)(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)))) β†’ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)((π‘š + 1)(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)))
7938, 55, 56, 76, 78syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘š ∈ β„• ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) β†’ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)((π‘š + 1)(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)))
8079exp31 421 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š ∈ β„• β†’ (𝐹 ∈ oField β†’ ((0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) β†’ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)((π‘š + 1)(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)))))
8180a2d 29 . . . . . . . . . . 11 (π‘š ∈ β„• β†’ ((𝐹 ∈ oField β†’ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) β†’ (𝐹 ∈ oField β†’ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)((π‘š + 1)(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)))))
8219, 22, 25, 28, 34, 81nnind 12230 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ β„• β†’ (𝐹 ∈ oField β†’ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(𝑦(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))))
8382impcom 409 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ oField ∧ 𝑦 ∈ β„•) β†’ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(𝑦(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)))
84 fvex 6905 . . . . . . . . . . 11 (0gβ€˜πΉ) ∈ V
85 ovex 7442 . . . . . . . . . . 11 (𝑦(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) ∈ V
8629pltne 18287 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ oField ∧ (0gβ€˜πΉ) ∈ V ∧ (𝑦(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) ∈ V) β†’ ((0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(𝑦(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) β†’ (0gβ€˜πΉ) β‰  (𝑦(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))))
8784, 85, 86mp3an23 1454 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ oField β†’ ((0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(𝑦(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) β†’ (0gβ€˜πΉ) β‰  (𝑦(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))))
8887adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ oField ∧ 𝑦 ∈ β„•) β†’ ((0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(𝑦(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) β†’ (0gβ€˜πΉ) β‰  (𝑦(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))))
8983, 88mpd 15 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ oField ∧ 𝑦 ∈ β„•) β†’ (0gβ€˜πΉ) β‰  (𝑦(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)))
9089necomd 2997 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ oField ∧ 𝑦 ∈ β„•) β†’ (𝑦(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) β‰  (0gβ€˜πΉ))
9190neneqd 2946 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ oField ∧ 𝑦 ∈ β„•) β†’ Β¬ (𝑦(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) = (0gβ€˜πΉ))
9291ralrimiva 3147 . . . . 5 (𝐹 ∈ oField β†’ βˆ€π‘¦ ∈ β„• Β¬ (𝑦(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) = (0gβ€˜πΉ))
93 rabeq0 4385 . . . . 5 ({𝑦 ∈ β„• ∣ (𝑦(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) = (0gβ€˜πΉ)} = βˆ… ↔ βˆ€π‘¦ ∈ β„• Β¬ (𝑦(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) = (0gβ€˜πΉ))
9492, 93sylibr 233 . . . 4 (𝐹 ∈ oField β†’ {𝑦 ∈ β„• ∣ (𝑦(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) = (0gβ€˜πΉ)} = βˆ…)
9594iftrued 4537 . . 3 (𝐹 ∈ oField β†’ if({𝑦 ∈ β„• ∣ (𝑦(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) = (0gβ€˜πΉ)} = βˆ…, 0, inf({𝑦 ∈ β„• ∣ (𝑦(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) = (0gβ€˜πΉ)}, ℝ, < )) = 0)
9616, 95eqtrd 2773 . 2 (𝐹 ∈ oField β†’ ((odβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) = 0)
974, 96eqtr3id 2787 1 (𝐹 ∈ oField β†’ (chrβ€˜πΉ) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  {crab 3433  Vcvv 3475  βˆ…c0 4323  ifcif 4529   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  infcinf 9436  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   < clt 11248  β„•cn 12212  Basecbs 17144  +gcplusg 17197  0gc0g 17385  Posetcpo 18260  ltcplt 18261  Tosetctos 18369  Mgmcmgm 18559  Mndcmnd 18625  Grpcgrp 18819  .gcmg 18950  odcod 19392  CMndccmn 19648  1rcur 20004  Ringcrg 20056  CRingccrg 20057  DivRingcdr 20357  Fieldcfield 20358  chrcchr 21051  oGrpcogrp 32216  oRingcorng 32413  oFieldcofld 32414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-seq 13967  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-0g 17387  df-proset 18248  df-poset 18266  df-plt 18283  df-toset 18370  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-mulg 18951  df-od 19396  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-drng 20359  df-field 20360  df-chr 21055  df-omnd 32217  df-ogrp 32218  df-orng 32415  df-ofld 32416
This theorem is referenced by:  rerrext  32989  cnrrext  32990
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