Theorem ofldchr 21888

Description: The characteristic of an ordered field is zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2018.) (Proof shortened by AV, 6-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ofldchr	⊢ (𝐹 ∈ oField → (chr‘𝐹) = 0)

Proof of Theorem ofldchr

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ (od‘𝐹) = (od‘𝐹)
2		eqid 2760	. . 3 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
3		eqid 2760	. . 3 ⊢ (chr‘𝐹) = (chr‘𝐹)
4	1, 2, 3	chrval 21835	. 2 ⊢ ((od‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) = (chr‘𝐹)
5		ofldfld 21135	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ oField → 𝐹 ∈ Field)
6		isfld 20999	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Field ↔ (𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CRing))
7	6	simplbi 502	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Field → 𝐹 ∈ DivRing)
8		drngring 20993	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → 𝐹 ∈ Ring)
9	5, 7, 8	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ oField → 𝐹 ∈ Ring)
10		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
11	10, 2	ringidcl 20500	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → (1r‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹))
12		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (.g‘𝐹) = (.g‘𝐹)
13		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐹) = (0g‘𝐹)
14		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) = (0g‘𝐹)} = {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) = (0g‘𝐹)}
15	10, 12, 13, 1, 14	odval 19754	. . . 4 ⊢ ((1r‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹) → ((od‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) = if({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) = (0g‘𝐹)} = ∅, 0, inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) = (0g‘𝐹)}, ℝ, < )))
16	9, 11, 15	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ oField → ((od‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) = if({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) = (0g‘𝐹)} = ∅, 0, inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) = (0g‘𝐹)}, ℝ, < )))
17		oveq1 7428	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) = (1(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)))
18	17	breq2d 5114	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 1 → ((0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑛(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) ↔ (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(1(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))))
19	18	imbi2d 343	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 1 → ((𝐹 ∈ oField → (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑛(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) ↔ (𝐹 ∈ oField → (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(1(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)))))
20		oveq1 7428	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑛(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) = (𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)))
21	20	breq2d 5114	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑛(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) ↔ (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))))
22	21	imbi2d 343	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝐹 ∈ oField → (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑛(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) ↔ (𝐹 ∈ oField → (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)))))
23		oveq1 7428	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑛(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) = ((𝑚 + 1)(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)))
24	23	breq2d 5114	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑛(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) ↔ (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)((𝑚 + 1)(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))))
25	24	imbi2d 343	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝐹 ∈ oField → (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑛(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) ↔ (𝐹 ∈ oField → (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)((𝑚 + 1)(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)))))
26		oveq1 7428	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑦 → (𝑛(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) = (𝑦(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)))
27	26	breq2d 5114	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑦 → ((0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑛(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) ↔ (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑦(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))))
28	27	imbi2d 343	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑦 → ((𝐹 ∈ oField → (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑛(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) ↔ (𝐹 ∈ oField → (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑦(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)))))
29		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (lt‘𝐹) = (lt‘𝐹)
30	13, 2, 29	ofldlt1 21138	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ oField → (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(1r‘𝐹))
31	9, 11	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ oField → (1r‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹))
32	10, 12	mulg1 19297	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1r‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹) → (1(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) = (1r‘𝐹))
33	31, 32	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ oField → (1(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) = (1r‘𝐹))
34	30, 33	breqtrrd 5132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ oField → (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(1(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)))
35		ofldtos 21136	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹 ∈ oField → 𝐹 ∈ Toset)
36		tospos 18598	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹 ∈ Toset → 𝐹 ∈ Poset)
37	35, 36	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ oField → 𝐹 ∈ Poset)
38	37	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) → 𝐹 ∈ Poset)
39	9	ringgrpd 20475	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐹 ∈ oField → 𝐹 ∈ Grp)
40	39	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) → 𝐹 ∈ Grp)
41	10, 13	grpidcl 19182	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹 ∈ Grp → (0g‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹))
42	40, 41	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) → (0g‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹))
43	40	grpmgmd 19178	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) → 𝐹 ∈ Mgm)
44		simpll 779	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) → 𝑚 ∈ ℕ)
45	31	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) → (1r‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹))
46	10, 12	mulgnncl 19305	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹 ∈ Mgm ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ (1r‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹)) → (𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐹))
47	43, 44, 45, 46	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) → (𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐹))
48	44	peano2nnd 12356	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
49	10, 12	mulgnncl 19305	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹 ∈ Mgm ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℕ ∧ (1r‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹)) → ((𝑚 + 1)(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐹))
50	43, 48, 45, 49	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) → ((𝑚 + 1)(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐹))
51	42, 47, 50	3jca 1146	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) → ((0g‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐹) ∧ ((𝑚 + 1)(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐹)))
52		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) → (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)))
53		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) → 𝐹 ∈ oField)
54		isofld 21127	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐹 ∈ oField ↔ (𝐹 ∈ Field ∧ 𝐹 ∈ oRing))
55	54	simprbi 503	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐹 ∈ oField → 𝐹 ∈ oRing)
56		orngogrp 21126	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐹 ∈ oRing → 𝐹 ∈ oGrp)
57	53, 55, 56	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) → 𝐹 ∈ oGrp)
58	30	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) → (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(1r‘𝐹))
59		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (+g‘𝐹) = (+g‘𝐹)
60	10, 29, 59	ogrpaddlt 20358	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹 ∈ oGrp ∧ ((0g‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (1r‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐹)) ∧ (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(1r‘𝐹)) → ((0g‘𝐹)(+g‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)))(lt‘𝐹)((1r‘𝐹)(+g‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))))
61	57, 42, 45, 47, 58, 60	syl131anc 1410	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) → ((0g‘𝐹)(+g‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)))(lt‘𝐹)((1r‘𝐹)(+g‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))))
62	10, 59, 13, 40, 47	grplidd 19186	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) → ((0g‘𝐹)(+g‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) = (𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)))
63	62	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) → (𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) = ((0g‘𝐹)(+g‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))))
64	10, 12, 59	mulgnnp1 19298	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (1r‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹)) → ((𝑚 + 1)(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) = ((𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))(+g‘𝐹)(1r‘𝐹)))
65	44, 45, 64	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) → ((𝑚 + 1)(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) = ((𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))(+g‘𝐹)(1r‘𝐹)))
66		ringcmn 20517	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ CMnd)
67	53, 9, 66	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) → 𝐹 ∈ CMnd)
68	10, 59	cmncom 20018	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹 ∈ CMnd ∧ (𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (1r‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹)) → ((𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))(+g‘𝐹)(1r‘𝐹)) = ((1r‘𝐹)(+g‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))))
69	67, 47, 45, 68	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) → ((𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))(+g‘𝐹)(1r‘𝐹)) = ((1r‘𝐹)(+g‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))))
70	65, 69	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) → ((𝑚 + 1)(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) = ((1r‘𝐹)(+g‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))))
71	61, 63, 70	3brtr4d 5136	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) → (𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))(lt‘𝐹)((𝑚 + 1)(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)))
72	10, 29	plttr 18520	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹 ∈ Poset ∧ ((0g‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐹) ∧ ((𝑚 + 1)(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐹))) → (((0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) ∧ (𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))(lt‘𝐹)((𝑚 + 1)(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) → (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)((𝑚 + 1)(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))))
73	72	imp 412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹 ∈ Poset ∧ ((0g‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐹) ∧ ((𝑚 + 1)(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐹))) ∧ ((0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) ∧ (𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))(lt‘𝐹)((𝑚 + 1)(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)))) → (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)((𝑚 + 1)(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)))
74	38, 51, 52, 71, 73	syl22anc 852	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) → (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)((𝑚 + 1)(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)))
75	74	exp31 425	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝐹 ∈ oField → ((0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) → (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)((𝑚 + 1)(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)))))
76	75	a2d 30	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝐹 ∈ oField → (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) → (𝐹 ∈ oField → (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)((𝑚 + 1)(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)))))
77	19, 22, 25, 28, 34, 76	nnind 12357	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝐹 ∈ oField → (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑦(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))))
78	77	impcom 413	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ oField ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑦(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)))
79		fvex 6899	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝐹) ∈ V
80		ovex 7454	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) ∈ V
81	29	pltne 18512	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ oField ∧ (0g‘𝐹) ∈ V ∧ (𝑦(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) ∈ V) → ((0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑦(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) → (0g‘𝐹) ≠ (𝑦(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))))
82	79, 80, 81	mp3an23 1482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ oField → ((0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑦(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) → (0g‘𝐹) ≠ (𝑦(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))))
83	82	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ oField ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑦(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) → (0g‘𝐹) ≠ (𝑦(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))))
84	78, 83	mpd 16	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ oField ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (0g‘𝐹) ≠ (𝑦(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)))
85	84	necomd 3010	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ oField ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) ≠ (0g‘𝐹))
86	85	neneqd 2960	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ oField ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ¬ (𝑦(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) = (0g‘𝐹))
87	86	ralrimiva 3154	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ oField → ∀𝑦 ∈ ℕ ¬ (𝑦(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) = (0g‘𝐹))
88		rabeq0 4337	. . . . 5 ⊢ ({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) = (0g‘𝐹)} = ∅ ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ ¬ (𝑦(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) = (0g‘𝐹))
89	87, 88	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ oField → {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) = (0g‘𝐹)} = ∅)
90	89	iftrued 4489	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ oField → if({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) = (0g‘𝐹)} = ∅, 0, inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) = (0g‘𝐹)}, ℝ, < )) = 0)
91	16, 90	eqtrd 2795	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ oField → ((od‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) = 0)
92	4, 91	eqtr3id 2809	1 ⊢ (𝐹 ∈ oField → (chr‘𝐹) = 0)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  {crab 3412  Vcvv 3450  ∅c0 4278  ifcif 4481   class class class wbr 5102  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  infcinf 9437  ℝcr 11203  0cc0 11204  1c1 11205   + caddc 11207   < clt 11347  ℕcn 12339  Basecbs 17393  +_gcplusg 17434  0_gc0g 17616  Posetcpo 18487  ltcplt 18488  Tosetctos 18594  Mgmcmgm 18820  Grpcgrp 19150  ._gcmg 19283  odcod 19744  CMndccmn 20000  oGrpcogrp 20340  1_rcur 20413  Ringcrg 20465  CRingccrg 20466  DivRingcdr 20986  Fieldcfield 20987  oRingcorng 21120  oFieldcofld 21121  chrcchr 21813

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-tpos 8247  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-sup 9438  df-inf 9439  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-fz 13644  df-seq 14149  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-plusg 17447  df-mulr 17448  df-0g 17618  df-proset 18474  df-poset 18493  df-plt 18508  df-toset 18595  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-grp 19153  df-minusg 19154  df-mulg 19284  df-od 19748  df-cmn 20002  df-abl 20003  df-omnd 20341  df-ogrp 20342  df-mgp 20367  df-rng 20381  df-ur 20414  df-ring 20467  df-oppr 20573  df-dvdsr 20593  df-unit 20594  df-drng 20988  df-field 20989  df-orng 21122  df-ofld 21123  df-chr 21817

This theorem is used by:  rerrext  34688  cnrrext  34689