Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ofldchr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ofldchr 30920
Description: The characteristic of an ordered field is zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2018.) (Proof shortened by AV, 6-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
ofldchr (𝐹 ∈ oField → (chr‘𝐹) = 0)

Proof of Theorem ofldchr
Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2824 . . 3 (od‘𝐹) = (od‘𝐹)
2 eqid 2824 . . 3 (1r𝐹) = (1r𝐹)
3 eqid 2824 . . 3 (chr‘𝐹) = (chr‘𝐹)
41, 2, 3chrval 20672 . 2 ((od‘𝐹)‘(1r𝐹)) = (chr‘𝐹)
5 ofldfld 30916 . . . . 5 (𝐹 ∈ oField → 𝐹 ∈ Field)
6 isfld 19511 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Field ↔ (𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CRing))
76simplbi 501 . . . . 5 (𝐹 ∈ Field → 𝐹 ∈ DivRing)
8 drngring 19509 . . . . 5 (𝐹 ∈ DivRing → 𝐹 ∈ Ring)
95, 7, 83syl 18 . . . 4 (𝐹 ∈ oField → 𝐹 ∈ Ring)
10 eqid 2824 . . . . 5 (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
1110, 2ringidcl 19321 . . . 4 (𝐹 ∈ Ring → (1r𝐹) ∈ (Base‘𝐹))
12 eqid 2824 . . . . 5 (.g𝐹) = (.g𝐹)
13 eqid 2824 . . . . 5 (0g𝐹) = (0g𝐹)
14 eqid 2824 . . . . 5 {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) = (0g𝐹)} = {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) = (0g𝐹)}
1510, 12, 13, 1, 14odval 18662 . . . 4 ((1r𝐹) ∈ (Base‘𝐹) → ((od‘𝐹)‘(1r𝐹)) = if({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) = (0g𝐹)} = ∅, 0, inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) = (0g𝐹)}, ℝ, < )))
169, 11, 153syl 18 . . 3 (𝐹 ∈ oField → ((od‘𝐹)‘(1r𝐹)) = if({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) = (0g𝐹)} = ∅, 0, inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) = (0g𝐹)}, ℝ, < )))
17 oveq1 7156 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 1 → (𝑛(.g𝐹)(1r𝐹)) = (1(.g𝐹)(1r𝐹)))
1817breq2d 5064 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 1 → ((0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑛(.g𝐹)(1r𝐹)) ↔ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(1(.g𝐹)(1r𝐹))))
1918imbi2d 344 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 1 → ((𝐹 ∈ oField → (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑛(.g𝐹)(1r𝐹))) ↔ (𝐹 ∈ oField → (0g𝐹)(lt‘𝐹)(1(.g𝐹)(1r𝐹)))))
20 oveq1 7156 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑚 → (𝑛(.g𝐹)(1r𝐹)) = (𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)))
2120breq2d 5064 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑚 → ((0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑛(.g𝐹)(1r𝐹)) ↔ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))))
2221imbi2d 344 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑚 → ((𝐹 ∈ oField → (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑛(.g𝐹)(1r𝐹))) ↔ (𝐹 ∈ oField → (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)))))
23 oveq1 7156 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑛(.g𝐹)(1r𝐹)) = ((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹)))
2423breq2d 5064 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑛(.g𝐹)(1r𝐹)) ↔ (0g𝐹)(lt‘𝐹)((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹))))
2524imbi2d 344 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝐹 ∈ oField → (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑛(.g𝐹)(1r𝐹))) ↔ (𝐹 ∈ oField → (0g𝐹)(lt‘𝐹)((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹)))))
26 oveq1 7156 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑦 → (𝑛(.g𝐹)(1r𝐹)) = (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)))
2726breq2d 5064 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑦 → ((0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑛(.g𝐹)(1r𝐹)) ↔ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑦(.g𝐹)(1r𝐹))))
2827imbi2d 344 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑦 → ((𝐹 ∈ oField → (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑛(.g𝐹)(1r𝐹))) ↔ (𝐹 ∈ oField → (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)))))
29 eqid 2824 . . . . . . . . . . . . 13 (lt‘𝐹) = (lt‘𝐹)
3013, 2, 29ofldlt1 30919 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ oField → (0g𝐹)(lt‘𝐹)(1r𝐹))
319, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ oField → (1r𝐹) ∈ (Base‘𝐹))
3210, 12mulg1 18235 . . . . . . . . . . . . 13 ((1r𝐹) ∈ (Base‘𝐹) → (1(.g𝐹)(1r𝐹)) = (1r𝐹))
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ oField → (1(.g𝐹)(1r𝐹)) = (1r𝐹))
3430, 33breqtrrd 5080 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ oField → (0g𝐹)(lt‘𝐹)(1(.g𝐹)(1r𝐹)))
35 ofldtos 30917 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ oField → 𝐹 ∈ Toset)
36 tospos 30656 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ Toset → 𝐹 ∈ Poset)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ oField → 𝐹 ∈ Poset)
3837ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → 𝐹 ∈ Poset)
39 ringgrp 19302 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ Grp)
409, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ oField → 𝐹 ∈ Grp)
4140ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → 𝐹 ∈ Grp)
4210, 13grpidcl 18131 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ Grp → (0g𝐹) ∈ (Base‘𝐹))
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → (0g𝐹) ∈ (Base‘𝐹))
44 grpmnd 18110 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ Grp → 𝐹 ∈ Mnd)
45 mndmgm 17918 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ Mnd → 𝐹 ∈ Mgm)
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ Grp → 𝐹 ∈ Mgm)
4741, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → 𝐹 ∈ Mgm)
48 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → 𝑚 ∈ ℕ)
4931ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → (1r𝐹) ∈ (Base‘𝐹))
5010, 12mulgnncl 18243 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∈ Mgm ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ (1r𝐹) ∈ (Base‘𝐹)) → (𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)) ∈ (Base‘𝐹))
5147, 48, 49, 50syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → (𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)) ∈ (Base‘𝐹))
5248peano2nnd 11651 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
5310, 12mulgnncl 18243 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∈ Mgm ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℕ ∧ (1r𝐹) ∈ (Base‘𝐹)) → ((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹)) ∈ (Base‘𝐹))
5447, 52, 49, 53syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → ((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹)) ∈ (Base‘𝐹))
5543, 51, 543jca 1125 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → ((0g𝐹) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)) ∈ (Base‘𝐹) ∧ ((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹)) ∈ (Base‘𝐹)))
56 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)))
57 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → 𝐹 ∈ oField)
58 isofld 30908 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ oField ↔ (𝐹 ∈ Field ∧ 𝐹 ∈ oRing))
5958simprbi 500 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ oField → 𝐹 ∈ oRing)
60 orngogrp 30907 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ oRing → 𝐹 ∈ oGrp)
6157, 59, 603syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → 𝐹 ∈ oGrp)
6230ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → (0g𝐹)(lt‘𝐹)(1r𝐹))
63 eqid 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (+g𝐹) = (+g𝐹)
6410, 29, 63ogrpaddlt 30750 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∈ oGrp ∧ ((0g𝐹) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (1r𝐹) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)) ∈ (Base‘𝐹)) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(1r𝐹)) → ((0g𝐹)(+g𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)))(lt‘𝐹)((1r𝐹)(+g𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))))
6561, 43, 49, 51, 62, 64syl131anc 1380 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → ((0g𝐹)(+g𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)))(lt‘𝐹)((1r𝐹)(+g𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))))
6610, 63, 13grplid 18133 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹 ∈ Grp ∧ (𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)) ∈ (Base‘𝐹)) → ((0g𝐹)(+g𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) = (𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)))
6741, 51, 66syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → ((0g𝐹)(+g𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) = (𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)))
6867eqcomd 2830 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → (𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)) = ((0g𝐹)(+g𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))))
6910, 12, 63mulgnnp1 18236 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (1r𝐹) ∈ (Base‘𝐹)) → ((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹)) = ((𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))(+g𝐹)(1r𝐹)))
7048, 49, 69syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → ((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹)) = ((𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))(+g𝐹)(1r𝐹)))
71 ringcmn 19334 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ CMnd)
7257, 9, 713syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → 𝐹 ∈ CMnd)
7310, 63cmncom 18923 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹 ∈ CMnd ∧ (𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (1r𝐹) ∈ (Base‘𝐹)) → ((𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))(+g𝐹)(1r𝐹)) = ((1r𝐹)(+g𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))))
7472, 51, 49, 73syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → ((𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))(+g𝐹)(1r𝐹)) = ((1r𝐹)(+g𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))))
7570, 74eqtrd 2859 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → ((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹)) = ((1r𝐹)(+g𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))))
7665, 68, 753brtr4d 5084 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → (𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))(lt‘𝐹)((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹)))
7710, 29plttr 17580 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ Poset ∧ ((0g𝐹) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)) ∈ (Base‘𝐹) ∧ ((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹)) ∈ (Base‘𝐹))) → (((0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)) ∧ (𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))(lt‘𝐹)((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹))) → (0g𝐹)(lt‘𝐹)((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹))))
7877imp 410 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ Poset ∧ ((0g𝐹) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)) ∈ (Base‘𝐹) ∧ ((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹)) ∈ (Base‘𝐹))) ∧ ((0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)) ∧ (𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))(lt‘𝐹)((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹)))) → (0g𝐹)(lt‘𝐹)((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹)))
7938, 55, 56, 76, 78syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → (0g𝐹)(lt‘𝐹)((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹)))
8079exp31 423 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ → (𝐹 ∈ oField → ((0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)) → (0g𝐹)(lt‘𝐹)((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹)))))
8180a2d 29 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝐹 ∈ oField → (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → (𝐹 ∈ oField → (0g𝐹)(lt‘𝐹)((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹)))))
8219, 22, 25, 28, 34, 81nnind 11652 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → (𝐹 ∈ oField → (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑦(.g𝐹)(1r𝐹))))
8382impcom 411 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ oField ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)))
84 fvex 6674 . . . . . . . . . . 11 (0g𝐹) ∈ V
85 ovex 7182 . . . . . . . . . . 11 (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) ∈ V
8629pltne 17572 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ oField ∧ (0g𝐹) ∈ V ∧ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) ∈ V) → ((0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) → (0g𝐹) ≠ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹))))
8784, 85, 86mp3an23 1450 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ oField → ((0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) → (0g𝐹) ≠ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹))))
8887adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ oField ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) → (0g𝐹) ≠ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹))))
8983, 88mpd 15 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ oField ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (0g𝐹) ≠ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)))
9089necomd 3069 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ oField ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) ≠ (0g𝐹))
9190neneqd 3019 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ oField ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ¬ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) = (0g𝐹))
9291ralrimiva 3177 . . . . 5 (𝐹 ∈ oField → ∀𝑦 ∈ ℕ ¬ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) = (0g𝐹))
93 rabeq0 4321 . . . . 5 ({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) = (0g𝐹)} = ∅ ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ ¬ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) = (0g𝐹))
9492, 93sylibr 237 . . . 4 (𝐹 ∈ oField → {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) = (0g𝐹)} = ∅)
9594iftrued 4458 . . 3 (𝐹 ∈ oField → if({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) = (0g𝐹)} = ∅, 0, inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) = (0g𝐹)}, ℝ, < )) = 0)
9616, 95eqtrd 2859 . 2 (𝐹 ∈ oField → ((od‘𝐹)‘(1r𝐹)) = 0)
974, 96syl5eqr 2873 1 (𝐹 ∈ oField → (chr‘𝐹) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014  wral 3133  {crab 3137  Vcvv 3480  c0 4276  ifcif 4450   class class class wbr 5052  cfv 6343  (class class class)co 7149  infcinf 8902  cr 10534  0cc0 10535  1c1 10536   + caddc 10538   < clt 10673  cn 11634  Basecbs 16483  +gcplusg 16565  0gc0g 16713  Posetcpo 17550  ltcplt 17551  Tosetctos 17643  Mgmcmgm 17850  Mndcmnd 17911  Grpcgrp 18103  .gcmg 18224  odcod 18652  CMndccmn 18906  1rcur 19251  Ringcrg 19297  CRingccrg 19298  DivRingcdr 19502  Fieldcfield 19503  chrcchr 20649  oGrpcogrp 30731  oRingcorng 30901  oFieldcofld 30902
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-tpos 7888  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-sup 8903  df-inf 8904  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-fz 12895  df-seq 13374  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-0g 16715  df-proset 17538  df-poset 17556  df-plt 17568  df-toset 17644  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-mulg 18225  df-od 18656  df-cmn 18908  df-abl 18909  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-oppr 19376  df-dvdsr 19394  df-unit 19395  df-drng 19504  df-field 19505  df-chr 20653  df-omnd 30732  df-ogrp 30733  df-orng 30903  df-ofld 30904
This theorem is referenced by:  rerrext  31307  cnrrext  31308
  Copyright terms: Public domain W3C validator