Theorem ofldchr 32935

Description: The characteristic of an ordered field is zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2018.) (Proof shortened by AV, 6-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ofldchr	⊢ (𝐹 ∈ oField → (chr‘𝐹) = 0)

Proof of Theorem ofldchr

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2726	. . 3 ⊢ (od‘𝐹) = (od‘𝐹)
2		eqid 2726	. . 3 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
3		eqid 2726	. . 3 ⊢ (chr‘𝐹) = (chr‘𝐹)
4	1, 2, 3	chrval 21414	. 2 ⊢ ((od‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) = (chr‘𝐹)
5		ofldfld 32931	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ oField → 𝐹 ∈ Field)
6		isfld 20598	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Field ↔ (𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CRing))
7	6	simplbi 497	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Field → 𝐹 ∈ DivRing)
8		drngring 20594	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → 𝐹 ∈ Ring)
9	5, 7, 8	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ oField → 𝐹 ∈ Ring)
10		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
11	10, 2	ringidcl 20165	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → (1r‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹))
12		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (.g‘𝐹) = (.g‘𝐹)
13		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐹) = (0g‘𝐹)
14		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) = (0g‘𝐹)} = {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) = (0g‘𝐹)}
15	10, 12, 13, 1, 14	odval 19454	. . . 4 ⊢ ((1r‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹) → ((od‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) = if({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) = (0g‘𝐹)} = ∅, 0, inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) = (0g‘𝐹)}, ℝ, < )))
16	9, 11, 15	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ oField → ((od‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) = if({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) = (0g‘𝐹)} = ∅, 0, inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) = (0g‘𝐹)}, ℝ, < )))
17		oveq1 7412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) = (1(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)))
18	17	breq2d 5153	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 1 → ((0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑛(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) ↔ (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(1(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))))
19	18	imbi2d 340	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 1 → ((𝐹 ∈ oField → (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑛(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) ↔ (𝐹 ∈ oField → (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(1(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)))))
20		oveq1 7412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑛(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) = (𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)))
21	20	breq2d 5153	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑛(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) ↔ (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))))
22	21	imbi2d 340	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝐹 ∈ oField → (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑛(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) ↔ (𝐹 ∈ oField → (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)))))
23		oveq1 7412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑛(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) = ((𝑚 + 1)(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)))
24	23	breq2d 5153	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑛(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) ↔ (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)((𝑚 + 1)(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))))
25	24	imbi2d 340	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝐹 ∈ oField → (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑛(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) ↔ (𝐹 ∈ oField → (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)((𝑚 + 1)(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)))))
26		oveq1 7412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑦 → (𝑛(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) = (𝑦(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)))
27	26	breq2d 5153	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑦 → ((0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑛(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) ↔ (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑦(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))))
28	27	imbi2d 340	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑦 → ((𝐹 ∈ oField → (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑛(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) ↔ (𝐹 ∈ oField → (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑦(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)))))
29		eqid 2726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (lt‘𝐹) = (lt‘𝐹)
30	13, 2, 29	ofldlt1 32934	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ oField → (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(1r‘𝐹))
31	9, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ oField → (1r‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹))
32	10, 12	mulg1 19008	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1r‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹) → (1(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) = (1r‘𝐹))
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ oField → (1(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) = (1r‘𝐹))
34	30, 33	breqtrrd 5169	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ oField → (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(1(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)))
35		ofldtos 32932	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹 ∈ oField → 𝐹 ∈ Toset)
36		tospos 18385	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹 ∈ Toset → 𝐹 ∈ Poset)
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ oField → 𝐹 ∈ Poset)
38	37	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) → 𝐹 ∈ Poset)
39	9	ringgrpd 20147	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐹 ∈ oField → 𝐹 ∈ Grp)
40	39	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) → 𝐹 ∈ Grp)
41	10, 13	grpidcl 18895	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹 ∈ Grp → (0g‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹))
42	40, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) → (0g‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹))
43	40	grpmgmd 18891	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) → 𝐹 ∈ Mgm)
44		simpll 764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) → 𝑚 ∈ ℕ)
45	31	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) → (1r‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹))
46	10, 12	mulgnncl 19016	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹 ∈ Mgm ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ (1r‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹)) → (𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐹))
47	43, 44, 45, 46	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) → (𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐹))
48	44	peano2nnd 12233	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
49	10, 12	mulgnncl 19016	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹 ∈ Mgm ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℕ ∧ (1r‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹)) → ((𝑚 + 1)(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐹))
50	43, 48, 45, 49	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) → ((𝑚 + 1)(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐹))
51	42, 47, 50	3jca 1125	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) → ((0g‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐹) ∧ ((𝑚 + 1)(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐹)))
52		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) → (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)))
53		simplr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) → 𝐹 ∈ oField)
54		isofld 32923	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐹 ∈ oField ↔ (𝐹 ∈ Field ∧ 𝐹 ∈ oRing))
55	54	simprbi 496	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐹 ∈ oField → 𝐹 ∈ oRing)
56		orngogrp 32922	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐹 ∈ oRing → 𝐹 ∈ oGrp)
57	53, 55, 56	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) → 𝐹 ∈ oGrp)
58	30	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) → (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(1r‘𝐹))
59		eqid 2726	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (+g‘𝐹) = (+g‘𝐹)
60	10, 29, 59	ogrpaddlt 32741	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹 ∈ oGrp ∧ ((0g‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (1r‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐹)) ∧ (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(1r‘𝐹)) → ((0g‘𝐹)(+g‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)))(lt‘𝐹)((1r‘𝐹)(+g‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))))
61	57, 42, 45, 47, 58, 60	syl131anc 1380	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) → ((0g‘𝐹)(+g‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)))(lt‘𝐹)((1r‘𝐹)(+g‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))))
62	10, 59, 13, 40, 47	grplidd 18899	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) → ((0g‘𝐹)(+g‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) = (𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)))
63	62	eqcomd 2732	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) → (𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) = ((0g‘𝐹)(+g‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))))
64	10, 12, 59	mulgnnp1 19009	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (1r‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹)) → ((𝑚 + 1)(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) = ((𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))(+g‘𝐹)(1r‘𝐹)))
65	44, 45, 64	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) → ((𝑚 + 1)(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) = ((𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))(+g‘𝐹)(1r‘𝐹)))
66		ringcmn 20181	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ CMnd)
67	53, 9, 66	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) → 𝐹 ∈ CMnd)
68	10, 59	cmncom 19718	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹 ∈ CMnd ∧ (𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (1r‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹)) → ((𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))(+g‘𝐹)(1r‘𝐹)) = ((1r‘𝐹)(+g‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))))
69	67, 47, 45, 68	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) → ((𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))(+g‘𝐹)(1r‘𝐹)) = ((1r‘𝐹)(+g‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))))
70	65, 69	eqtrd 2766	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) → ((𝑚 + 1)(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) = ((1r‘𝐹)(+g‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))))
71	61, 63, 70	3brtr4d 5173	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) → (𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))(lt‘𝐹)((𝑚 + 1)(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)))
72	10, 29	plttr 18307	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹 ∈ Poset ∧ ((0g‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐹) ∧ ((𝑚 + 1)(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐹))) → (((0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) ∧ (𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))(lt‘𝐹)((𝑚 + 1)(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) → (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)((𝑚 + 1)(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))))
73	72	imp 406	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹 ∈ Poset ∧ ((0g‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐹) ∧ ((𝑚 + 1)(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐹))) ∧ ((0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) ∧ (𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))(lt‘𝐹)((𝑚 + 1)(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)))) → (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)((𝑚 + 1)(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)))
74	38, 51, 52, 71, 73	syl22anc 836	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) → (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)((𝑚 + 1)(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)))
75	74	exp31 419	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝐹 ∈ oField → ((0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) → (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)((𝑚 + 1)(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)))))
76	75	a2d 29	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝐹 ∈ oField → (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) → (𝐹 ∈ oField → (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)((𝑚 + 1)(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)))))
77	19, 22, 25, 28, 34, 76	nnind 12234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝐹 ∈ oField → (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑦(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))))
78	77	impcom 407	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ oField ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑦(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)))
79		fvex 6898	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝐹) ∈ V
80		ovex 7438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) ∈ V
81	29	pltne 18299	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ oField ∧ (0g‘𝐹) ∈ V ∧ (𝑦(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) ∈ V) → ((0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑦(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) → (0g‘𝐹) ≠ (𝑦(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))))
82	79, 80, 81	mp3an23 1449	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ oField → ((0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑦(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) → (0g‘𝐹) ≠ (𝑦(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))))
83	82	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ oField ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑦(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) → (0g‘𝐹) ≠ (𝑦(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))))
84	78, 83	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ oField ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (0g‘𝐹) ≠ (𝑦(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)))
85	84	necomd 2990	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ oField ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) ≠ (0g‘𝐹))
86	85	neneqd 2939	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ oField ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ¬ (𝑦(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) = (0g‘𝐹))
87	86	ralrimiva 3140	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ oField → ∀𝑦 ∈ ℕ ¬ (𝑦(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) = (0g‘𝐹))
88		rabeq0 4379	. . . . 5 ⊢ ({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) = (0g‘𝐹)} = ∅ ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ ¬ (𝑦(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) = (0g‘𝐹))
89	87, 88	sylibr 233	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ oField → {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) = (0g‘𝐹)} = ∅)
90	89	iftrued 4531	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ oField → if({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) = (0g‘𝐹)} = ∅, 0, inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) = (0g‘𝐹)}, ℝ, < )) = 0)
91	16, 90	eqtrd 2766	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ oField → ((od‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) = 0)
92	4, 91	eqtr3id 2780	1 ⊢ (𝐹 ∈ oField → (chr‘𝐹) = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934  ∀wral 3055  {crab 3426  Vcvv 3468  ∅c0 4317  ifcif 4523   class class class wbr 5141  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  infcinf 9438  ℝcr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   < clt 11252  ℕcn 12216  Basecbs 17153  +_gcplusg 17206  0_gc0g 17394  Posetcpo 18272  ltcplt 18273  Tosetctos 18381  Mgmcmgm 18571  Grpcgrp 18863  ._gcmg 18995  odcod 19444  CMndccmn 19700  1_rcur 20086  Ringcrg 20138  CRingccrg 20139  DivRingcdr 20587  Fieldcfield 20588  chrcchr 21388  oGrpcogrp 32722  oRingcorng 32916  oFieldcofld 32917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-seq 13973  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-0g 17396  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-toset 18382  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-mulg 18996  df-od 19448  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-drng 20589  df-field 20590  df-chr 21392  df-omnd 32723  df-ogrp 32724  df-orng 32918  df-ofld 32919

This theorem is referenced by:  rerrext  33519  cnrrext  33520