Theorem ofldchr 21795

Description: The characteristic of an ordered field is zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2018.) (Proof shortened by AV, 6-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ofldchr	⊢ (𝐹 ∈ oField → (chr‘𝐹) = 0)

Proof of Theorem ofldchr

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . 3 ⊢ (od‘𝐹) = (od‘𝐹)
2		eqid 2762	. . 3 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
3		eqid 2762	. . 3 ⊢ (chr‘𝐹) = (chr‘𝐹)
4	1, 2, 3	chrval 21742	. 2 ⊢ ((od‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) = (chr‘𝐹)
5		ofldfld 21044	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ oField → 𝐹 ∈ Field)
6		isfld 20909	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Field ↔ (𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CRing))
7	6	simplbi 502	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Field → 𝐹 ∈ DivRing)
8		drngring 20903	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → 𝐹 ∈ Ring)
9	5, 7, 8	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ oField → 𝐹 ∈ Ring)
10		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
11	10, 2	ringidcl 20412	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → (1r‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹))
12		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (.g‘𝐹) = (.g‘𝐹)
13		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐹) = (0g‘𝐹)
14		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) = (0g‘𝐹)} = {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) = (0g‘𝐹)}
15	10, 12, 13, 1, 14	odval 19667	. . . 4 ⊢ ((1r‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹) → ((od‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) = if({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) = (0g‘𝐹)} = ∅, 0, inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) = (0g‘𝐹)}, ℝ, < )))
16	9, 11, 15	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ oField → ((od‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) = if({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) = (0g‘𝐹)} = ∅, 0, inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) = (0g‘𝐹)}, ℝ, < )))
17		oveq1 7424	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) = (1(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)))
18	17	breq2d 5119	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 1 → ((0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑛(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) ↔ (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(1(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))))
19	18	imbi2d 343	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 1 → ((𝐹 ∈ oField → (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑛(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) ↔ (𝐹 ∈ oField → (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(1(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)))))
20		oveq1 7424	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑛(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) = (𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)))
21	20	breq2d 5119	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑛(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) ↔ (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))))
22	21	imbi2d 343	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝐹 ∈ oField → (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑛(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) ↔ (𝐹 ∈ oField → (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)))))
23		oveq1 7424	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑛(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) = ((𝑚 + 1)(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)))
24	23	breq2d 5119	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑛(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) ↔ (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)((𝑚 + 1)(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))))
25	24	imbi2d 343	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝐹 ∈ oField → (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑛(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) ↔ (𝐹 ∈ oField → (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)((𝑚 + 1)(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)))))
26		oveq1 7424	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑦 → (𝑛(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) = (𝑦(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)))
27	26	breq2d 5119	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑦 → ((0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑛(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) ↔ (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑦(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))))
28	27	imbi2d 343	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑦 → ((𝐹 ∈ oField → (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑛(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) ↔ (𝐹 ∈ oField → (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑦(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)))))
29		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (lt‘𝐹) = (lt‘𝐹)
30	13, 2, 29	ofldlt1 21047	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ oField → (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(1r‘𝐹))
31	9, 11	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ oField → (1r‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹))
32	10, 12	mulg1 19210	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1r‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹) → (1(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) = (1r‘𝐹))
33	31, 32	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ oField → (1(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) = (1r‘𝐹))
34	30, 33	breqtrrd 5137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ oField → (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(1(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)))
35		ofldtos 21045	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹 ∈ oField → 𝐹 ∈ Toset)
36		tospos 18512	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹 ∈ Toset → 𝐹 ∈ Poset)
37	35, 36	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ oField → 𝐹 ∈ Poset)
38	37	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) → 𝐹 ∈ Poset)
39	9	ringgrpd 20387	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐹 ∈ oField → 𝐹 ∈ Grp)
40	39	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) → 𝐹 ∈ Grp)
41	10, 13	grpidcl 19095	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹 ∈ Grp → (0g‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹))
42	40, 41	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) → (0g‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹))
43	40	grpmgmd 19091	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) → 𝐹 ∈ Mgm)
44		simpll 779	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) → 𝑚 ∈ ℕ)
45	31	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) → (1r‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹))
46	10, 12	mulgnncl 19218	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹 ∈ Mgm ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ (1r‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹)) → (𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐹))
47	43, 44, 45, 46	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) → (𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐹))
48	44	peano2nnd 12278	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
49	10, 12	mulgnncl 19218	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹 ∈ Mgm ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℕ ∧ (1r‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹)) → ((𝑚 + 1)(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐹))
50	43, 48, 45, 49	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) → ((𝑚 + 1)(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐹))
51	42, 47, 50	3jca 1146	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) → ((0g‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐹) ∧ ((𝑚 + 1)(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐹)))
52		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) → (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)))
53		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) → 𝐹 ∈ oField)
54		isofld 21036	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐹 ∈ oField ↔ (𝐹 ∈ Field ∧ 𝐹 ∈ oRing))
55	54	simprbi 503	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐹 ∈ oField → 𝐹 ∈ oRing)
56		orngogrp 21035	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐹 ∈ oRing → 𝐹 ∈ oGrp)
57	53, 55, 56	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) → 𝐹 ∈ oGrp)
58	30	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) → (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(1r‘𝐹))
59		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (+g‘𝐹) = (+g‘𝐹)
60	10, 29, 59	ogrpaddlt 20271	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹 ∈ oGrp ∧ ((0g‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (1r‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐹)) ∧ (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(1r‘𝐹)) → ((0g‘𝐹)(+g‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)))(lt‘𝐹)((1r‘𝐹)(+g‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))))
61	57, 42, 45, 47, 58, 60	syl131anc 1410	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) → ((0g‘𝐹)(+g‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)))(lt‘𝐹)((1r‘𝐹)(+g‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))))
62	10, 59, 13, 40, 47	grplidd 19099	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) → ((0g‘𝐹)(+g‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) = (𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)))
63	62	eqcomd 2768	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) → (𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) = ((0g‘𝐹)(+g‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))))
64	10, 12, 59	mulgnnp1 19211	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (1r‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹)) → ((𝑚 + 1)(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) = ((𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))(+g‘𝐹)(1r‘𝐹)))
65	44, 45, 64	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) → ((𝑚 + 1)(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) = ((𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))(+g‘𝐹)(1r‘𝐹)))
66		ringcmn 20429	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ CMnd)
67	53, 9, 66	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) → 𝐹 ∈ CMnd)
68	10, 59	cmncom 19931	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹 ∈ CMnd ∧ (𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (1r‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹)) → ((𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))(+g‘𝐹)(1r‘𝐹)) = ((1r‘𝐹)(+g‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))))
69	67, 47, 45, 68	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) → ((𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))(+g‘𝐹)(1r‘𝐹)) = ((1r‘𝐹)(+g‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))))
70	65, 69	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) → ((𝑚 + 1)(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) = ((1r‘𝐹)(+g‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))))
71	61, 63, 70	3brtr4d 5141	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) → (𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))(lt‘𝐹)((𝑚 + 1)(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)))
72	10, 29	plttr 18434	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹 ∈ Poset ∧ ((0g‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐹) ∧ ((𝑚 + 1)(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐹))) → (((0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) ∧ (𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))(lt‘𝐹)((𝑚 + 1)(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) → (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)((𝑚 + 1)(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))))
73	72	imp 412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹 ∈ Poset ∧ ((0g‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐹) ∧ ((𝑚 + 1)(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐹))) ∧ ((0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) ∧ (𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))(lt‘𝐹)((𝑚 + 1)(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)))) → (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)((𝑚 + 1)(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)))
74	38, 51, 52, 71, 73	syl22anc 852	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) → (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)((𝑚 + 1)(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)))
75	74	exp31 425	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝐹 ∈ oField → ((0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) → (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)((𝑚 + 1)(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)))))
76	75	a2d 30	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝐹 ∈ oField → (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))) → (𝐹 ∈ oField → (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)((𝑚 + 1)(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)))))
77	19, 22, 25, 28, 34, 76	nnind 12279	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝐹 ∈ oField → (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑦(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))))
78	77	impcom 413	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ oField ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑦(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)))
79		fvex 6895	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝐹) ∈ V
80		ovex 7450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) ∈ V
81	29	pltne 18426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ oField ∧ (0g‘𝐹) ∈ V ∧ (𝑦(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) ∈ V) → ((0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑦(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) → (0g‘𝐹) ≠ (𝑦(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))))
82	79, 80, 81	mp3an23 1482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ oField → ((0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑦(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) → (0g‘𝐹) ≠ (𝑦(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))))
83	82	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ oField ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((0g‘𝐹)(lt‘𝐹)(𝑦(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) → (0g‘𝐹) ≠ (𝑦(.g‘𝐹)(1r‘𝐹))))
84	78, 83	mpd 16	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ oField ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (0g‘𝐹) ≠ (𝑦(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)))
85	84	necomd 3012	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ oField ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) ≠ (0g‘𝐹))
86	85	neneqd 2962	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ oField ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ¬ (𝑦(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) = (0g‘𝐹))
87	86	ralrimiva 3156	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ oField → ∀𝑦 ∈ ℕ ¬ (𝑦(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) = (0g‘𝐹))
88		rabeq0 4341	. . . . 5 ⊢ ({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) = (0g‘𝐹)} = ∅ ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ ¬ (𝑦(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) = (0g‘𝐹))
89	87, 88	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ oField → {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) = (0g‘𝐹)} = ∅)
90	89	iftrued 4493	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ oField → if({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) = (0g‘𝐹)} = ∅, 0, inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g‘𝐹)(1r‘𝐹)) = (0g‘𝐹)}, ℝ, < )) = 0)
91	16, 90	eqtrd 2797	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ oField → ((od‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) = 0)
92	4, 91	eqtr3id 2811	1 ⊢ (𝐹 ∈ oField → (chr‘𝐹) = 0)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∀wral 3078  {crab 3414  Vcvv 3453  ∅c0 4282  ifcif 4485   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  infcinf 9415  ℝcr 11127  0cc0 11128  1c1 11129   + caddc 11131   < clt 11271  ℕcn 12261  Basecbs 17307  +_gcplusg 17348  0_gc0g 17530  Posetcpo 18401  ltcplt 18402  Tosetctos 18508  Mgmcmgm 18734  Grpcgrp 19063  ._gcmg 19196  odcod 19657  CMndccmn 19913  oGrpcogrp 20253  1_rcur 20326  Ringcrg 20378  CRingccrg 20379  DivRingcdr 20896  Fieldcfield 20897  oRingcorng 21029  oFieldcofld 21030  chrcchr 21720

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-sup 9416  df-inf 9417  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-fz 13566  df-seq 14070  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-plusg 17361  df-mulr 17362  df-0g 17532  df-proset 18388  df-poset 18407  df-plt 18422  df-toset 18509  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-grp 19066  df-minusg 19067  df-mulg 19197  df-od 19661  df-cmn 19915  df-abl 19916  df-omnd 20254  df-ogrp 20255  df-mgp 20280  df-rng 20294  df-ur 20327  df-ring 20380  df-oppr 20484  df-dvdsr 20504  df-unit 20505  df-drng 20898  df-field 20899  df-orng 21031  df-ofld 21032  df-chr 21724

This theorem is used by:  rerrext  34527  cnrrext  34528