Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ofldchr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ofldchr 30380
Description: The characteristic of an ordered field is zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2018.) (Proof shortened by AV, 6-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
ofldchr (𝐹 ∈ oField → (chr‘𝐹) = 0)

Proof of Theorem ofldchr
Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2778 . . 3 (od‘𝐹) = (od‘𝐹)
2 eqid 2778 . . 3 (1r𝐹) = (1r𝐹)
3 eqid 2778 . . 3 (chr‘𝐹) = (chr‘𝐹)
41, 2, 3chrval 20273 . 2 ((od‘𝐹)‘(1r𝐹)) = (chr‘𝐹)
5 ofldfld 30376 . . . . 5 (𝐹 ∈ oField → 𝐹 ∈ Field)
6 isfld 19152 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Field ↔ (𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CRing))
76simplbi 493 . . . . 5 (𝐹 ∈ Field → 𝐹 ∈ DivRing)
8 drngring 19150 . . . . 5 (𝐹 ∈ DivRing → 𝐹 ∈ Ring)
95, 7, 83syl 18 . . . 4 (𝐹 ∈ oField → 𝐹 ∈ Ring)
10 eqid 2778 . . . . 5 (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
1110, 2ringidcl 18959 . . . 4 (𝐹 ∈ Ring → (1r𝐹) ∈ (Base‘𝐹))
12 eqid 2778 . . . . 5 (.g𝐹) = (.g𝐹)
13 eqid 2778 . . . . 5 (0g𝐹) = (0g𝐹)
14 eqid 2778 . . . . 5 {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) = (0g𝐹)} = {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) = (0g𝐹)}
1510, 12, 13, 1, 14odval 18341 . . . 4 ((1r𝐹) ∈ (Base‘𝐹) → ((od‘𝐹)‘(1r𝐹)) = if({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) = (0g𝐹)} = ∅, 0, inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) = (0g𝐹)}, ℝ, < )))
169, 11, 153syl 18 . . 3 (𝐹 ∈ oField → ((od‘𝐹)‘(1r𝐹)) = if({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) = (0g𝐹)} = ∅, 0, inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) = (0g𝐹)}, ℝ, < )))
17 oveq1 6931 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 1 → (𝑛(.g𝐹)(1r𝐹)) = (1(.g𝐹)(1r𝐹)))
1817breq2d 4900 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 1 → ((0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑛(.g𝐹)(1r𝐹)) ↔ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(1(.g𝐹)(1r𝐹))))
1918imbi2d 332 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 1 → ((𝐹 ∈ oField → (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑛(.g𝐹)(1r𝐹))) ↔ (𝐹 ∈ oField → (0g𝐹)(lt‘𝐹)(1(.g𝐹)(1r𝐹)))))
20 oveq1 6931 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑚 → (𝑛(.g𝐹)(1r𝐹)) = (𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)))
2120breq2d 4900 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑚 → ((0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑛(.g𝐹)(1r𝐹)) ↔ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))))
2221imbi2d 332 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑚 → ((𝐹 ∈ oField → (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑛(.g𝐹)(1r𝐹))) ↔ (𝐹 ∈ oField → (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)))))
23 oveq1 6931 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑛(.g𝐹)(1r𝐹)) = ((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹)))
2423breq2d 4900 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑛(.g𝐹)(1r𝐹)) ↔ (0g𝐹)(lt‘𝐹)((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹))))
2524imbi2d 332 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝐹 ∈ oField → (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑛(.g𝐹)(1r𝐹))) ↔ (𝐹 ∈ oField → (0g𝐹)(lt‘𝐹)((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹)))))
26 oveq1 6931 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑦 → (𝑛(.g𝐹)(1r𝐹)) = (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)))
2726breq2d 4900 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑦 → ((0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑛(.g𝐹)(1r𝐹)) ↔ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑦(.g𝐹)(1r𝐹))))
2827imbi2d 332 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑦 → ((𝐹 ∈ oField → (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑛(.g𝐹)(1r𝐹))) ↔ (𝐹 ∈ oField → (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)))))
29 eqid 2778 . . . . . . . . . . . . 13 (lt‘𝐹) = (lt‘𝐹)
3013, 2, 29ofldlt1 30379 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ oField → (0g𝐹)(lt‘𝐹)(1r𝐹))
319, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ oField → (1r𝐹) ∈ (Base‘𝐹))
3210, 12mulg1 17939 . . . . . . . . . . . . 13 ((1r𝐹) ∈ (Base‘𝐹) → (1(.g𝐹)(1r𝐹)) = (1r𝐹))
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ oField → (1(.g𝐹)(1r𝐹)) = (1r𝐹))
3430, 33breqtrrd 4916 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ oField → (0g𝐹)(lt‘𝐹)(1(.g𝐹)(1r𝐹)))
35 ofldtos 30377 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ oField → 𝐹 ∈ Toset)
36 tospos 30224 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ Toset → 𝐹 ∈ Poset)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ oField → 𝐹 ∈ Poset)
3837ad2antlr 717 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → 𝐹 ∈ Poset)
39 ringgrp 18943 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ Grp)
409, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ oField → 𝐹 ∈ Grp)
4140ad2antlr 717 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → 𝐹 ∈ Grp)
4210, 13grpidcl 17841 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ Grp → (0g𝐹) ∈ (Base‘𝐹))
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → (0g𝐹) ∈ (Base‘𝐹))
44 grpmnd 17820 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ Grp → 𝐹 ∈ Mnd)
45 mndmgm 17690 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ Mnd → 𝐹 ∈ Mgm)
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ Grp → 𝐹 ∈ Mgm)
4741, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → 𝐹 ∈ Mgm)
48 simpll 757 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → 𝑚 ∈ ℕ)
4931ad2antlr 717 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → (1r𝐹) ∈ (Base‘𝐹))
5010, 12mulgnncl 17947 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∈ Mgm ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ (1r𝐹) ∈ (Base‘𝐹)) → (𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)) ∈ (Base‘𝐹))
5147, 48, 49, 50syl3anc 1439 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → (𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)) ∈ (Base‘𝐹))
5248peano2nnd 11397 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
5310, 12mulgnncl 17947 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∈ Mgm ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℕ ∧ (1r𝐹) ∈ (Base‘𝐹)) → ((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹)) ∈ (Base‘𝐹))
5447, 52, 49, 53syl3anc 1439 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → ((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹)) ∈ (Base‘𝐹))
5543, 51, 543jca 1119 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → ((0g𝐹) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)) ∈ (Base‘𝐹) ∧ ((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹)) ∈ (Base‘𝐹)))
56 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)))
57 simplr 759 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → 𝐹 ∈ oField)
58 isofld 30368 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ oField ↔ (𝐹 ∈ Field ∧ 𝐹 ∈ oRing))
5958simprbi 492 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ oField → 𝐹 ∈ oRing)
60 orngogrp 30367 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ oRing → 𝐹 ∈ oGrp)
6157, 59, 603syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → 𝐹 ∈ oGrp)
6230ad2antlr 717 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → (0g𝐹)(lt‘𝐹)(1r𝐹))
63 eqid 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (+g𝐹) = (+g𝐹)
6410, 29, 63ogrpaddlt 30284 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∈ oGrp ∧ ((0g𝐹) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (1r𝐹) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)) ∈ (Base‘𝐹)) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(1r𝐹)) → ((0g𝐹)(+g𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)))(lt‘𝐹)((1r𝐹)(+g𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))))
6561, 43, 49, 51, 62, 64syl131anc 1451 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → ((0g𝐹)(+g𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)))(lt‘𝐹)((1r𝐹)(+g𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))))
6610, 63, 13grplid 17843 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹 ∈ Grp ∧ (𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)) ∈ (Base‘𝐹)) → ((0g𝐹)(+g𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) = (𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)))
6741, 51, 66syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → ((0g𝐹)(+g𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) = (𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)))
6867eqcomd 2784 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → (𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)) = ((0g𝐹)(+g𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))))
6910, 12, 63mulgnnp1 17940 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (1r𝐹) ∈ (Base‘𝐹)) → ((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹)) = ((𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))(+g𝐹)(1r𝐹)))
7048, 49, 69syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → ((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹)) = ((𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))(+g𝐹)(1r𝐹)))
71 ringcmn 18972 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ CMnd)
7257, 9, 713syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → 𝐹 ∈ CMnd)
7310, 63cmncom 18599 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹 ∈ CMnd ∧ (𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (1r𝐹) ∈ (Base‘𝐹)) → ((𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))(+g𝐹)(1r𝐹)) = ((1r𝐹)(+g𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))))
7472, 51, 49, 73syl3anc 1439 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → ((𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))(+g𝐹)(1r𝐹)) = ((1r𝐹)(+g𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))))
7570, 74eqtrd 2814 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → ((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹)) = ((1r𝐹)(+g𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))))
7665, 68, 753brtr4d 4920 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → (𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))(lt‘𝐹)((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹)))
7710, 29plttr 17360 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ Poset ∧ ((0g𝐹) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)) ∈ (Base‘𝐹) ∧ ((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹)) ∈ (Base‘𝐹))) → (((0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)) ∧ (𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))(lt‘𝐹)((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹))) → (0g𝐹)(lt‘𝐹)((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹))))
7877imp 397 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ Poset ∧ ((0g𝐹) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)) ∈ (Base‘𝐹) ∧ ((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹)) ∈ (Base‘𝐹))) ∧ ((0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)) ∧ (𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))(lt‘𝐹)((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹)))) → (0g𝐹)(lt‘𝐹)((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹)))
7938, 55, 56, 76, 78syl22anc 829 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → (0g𝐹)(lt‘𝐹)((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹)))
8079exp31 412 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ → (𝐹 ∈ oField → ((0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)) → (0g𝐹)(lt‘𝐹)((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹)))))
8180a2d 29 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝐹 ∈ oField → (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → (𝐹 ∈ oField → (0g𝐹)(lt‘𝐹)((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹)))))
8219, 22, 25, 28, 34, 81nnind 11398 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → (𝐹 ∈ oField → (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑦(.g𝐹)(1r𝐹))))
8382impcom 398 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ oField ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)))
84 fvex 6461 . . . . . . . . . . 11 (0g𝐹) ∈ V
85 ovex 6956 . . . . . . . . . . 11 (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) ∈ V
8629pltne 17352 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ oField ∧ (0g𝐹) ∈ V ∧ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) ∈ V) → ((0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) → (0g𝐹) ≠ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹))))
8784, 85, 86mp3an23 1526 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ oField → ((0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) → (0g𝐹) ≠ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹))))
8887adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ oField ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) → (0g𝐹) ≠ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹))))
8983, 88mpd 15 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ oField ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (0g𝐹) ≠ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)))
9089necomd 3024 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ oField ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) ≠ (0g𝐹))
9190neneqd 2974 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ oField ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ¬ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) = (0g𝐹))
9291ralrimiva 3148 . . . . 5 (𝐹 ∈ oField → ∀𝑦 ∈ ℕ ¬ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) = (0g𝐹))
93 rabeq0 4187 . . . . 5 ({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) = (0g𝐹)} = ∅ ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ ¬ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) = (0g𝐹))
9492, 93sylibr 226 . . . 4 (𝐹 ∈ oField → {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) = (0g𝐹)} = ∅)
9594iftrued 4315 . . 3 (𝐹 ∈ oField → if({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) = (0g𝐹)} = ∅, 0, inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) = (0g𝐹)}, ℝ, < )) = 0)
9616, 95eqtrd 2814 . 2 (𝐹 ∈ oField → ((od‘𝐹)‘(1r𝐹)) = 0)
974, 96syl5eqr 2828 1 (𝐹 ∈ oField → (chr‘𝐹) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2107  wne 2969  wral 3090  {crab 3094  Vcvv 3398  c0 4141  ifcif 4307   class class class wbr 4888  cfv 6137  (class class class)co 6924  infcinf 8637  cr 10273  0cc0 10274  1c1 10275   + caddc 10277   < clt 10413  cn 11378  Basecbs 16259  +gcplusg 16342  0gc0g 16490  Posetcpo 17330  ltcplt 17331  Tosetctos 17423  Mgmcmgm 17630  Mndcmnd 17684  Grpcgrp 17813  .gcmg 17931  odcod 18332  CMndccmn 18583  1rcur 18892  Ringcrg 18938  CRingccrg 18939  DivRingcdr 19143  Fieldcfield 19144  chrcchr 20250  oGrpcogrp 30264  oRingcorng 30361  oFieldcofld 30362
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-inf2 8837  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-tpos 7636  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-sup 8638  df-inf 8639  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11379  df-2 11442  df-3 11443  df-n0 11647  df-z 11733  df-uz 11997  df-fz 12648  df-seq 13124  df-ndx 16262  df-slot 16263  df-base 16265  df-sets 16266  df-plusg 16355  df-mulr 16356  df-0g 16492  df-proset 17318  df-poset 17336  df-plt 17348  df-toset 17424  df-mgm 17632  df-sgrp 17674  df-mnd 17685  df-grp 17816  df-minusg 17817  df-mulg 17932  df-od 18336  df-cmn 18585  df-abl 18586  df-mgp 18881  df-ur 18893  df-ring 18940  df-oppr 19014  df-dvdsr 19032  df-unit 19033  df-drng 19145  df-field 19146  df-chr 20254  df-omnd 30265  df-ogrp 30266  df-orng 30363  df-ofld 30364
This theorem is referenced by:  rerrext  30655  cnrrext  30656
  Copyright terms: Public domain W3C validator