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Theorem ofldchr 32702
Description: The characteristic of an ordered field is zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2018.) (Proof shortened by AV, 6-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
ofldchr (𝐹 ∈ oField β†’ (chrβ€˜πΉ) = 0)
Proof of Theorem ofldchr
Dummy variables π‘š 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2730 . . 3 (odβ€˜πΉ) = (odβ€˜πΉ)
2 eqid 2730 . . 3 (1rβ€˜πΉ) = (1rβ€˜πΉ)
3 eqid 2730 . . 3 (chrβ€˜πΉ) = (chrβ€˜πΉ)
41, 2, 3chrval 21296 . 2 ((odβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) = (chrβ€˜πΉ)
5 ofldfld 32698 . . . . 5 (𝐹 ∈ oField β†’ 𝐹 ∈ Field)
6 isfld 20511 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Field ↔ (𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CRing))
76simplbi 496 . . . . 5 (𝐹 ∈ Field β†’ 𝐹 ∈ DivRing)
8 drngring 20507 . . . . 5 (𝐹 ∈ DivRing β†’ 𝐹 ∈ Ring)
95, 7, 83syl 18 . . . 4 (𝐹 ∈ oField β†’ 𝐹 ∈ Ring)
10 eqid 2730 . . . . 5 (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜πΉ)
1110, 2ringidcl 20154 . . . 4 (𝐹 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
12 eqid 2730 . . . . 5 (.gβ€˜πΉ) = (.gβ€˜πΉ)
13 eqid 2730 . . . . 5 (0gβ€˜πΉ) = (0gβ€˜πΉ)
14 eqid 2730 . . . . 5 {𝑦 ∈ β„• ∣ (𝑦(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) = (0gβ€˜πΉ)} = {𝑦 ∈ β„• ∣ (𝑦(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) = (0gβ€˜πΉ)}
1510, 12, 13, 1, 14odval 19443 . . . 4 ((1rβ€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΉ) β†’ ((odβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) = if({𝑦 ∈ β„• ∣ (𝑦(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) = (0gβ€˜πΉ)} = βˆ…, 0, inf({𝑦 ∈ β„• ∣ (𝑦(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) = (0gβ€˜πΉ)}, ℝ, < )))
169, 11, 153syl 18 . . 3 (𝐹 ∈ oField β†’ ((odβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) = if({𝑦 ∈ β„• ∣ (𝑦(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) = (0gβ€˜πΉ)} = βˆ…, 0, inf({𝑦 ∈ β„• ∣ (𝑦(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) = (0gβ€˜πΉ)}, ℝ, < )))
17 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 1 β†’ (𝑛(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) = (1(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)))
1817breq2d 5159 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 1 β†’ ((0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(𝑛(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) ↔ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(1(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))))
1918imbi2d 339 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 1 β†’ ((𝐹 ∈ oField β†’ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(𝑛(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) ↔ (𝐹 ∈ oField β†’ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(1(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)))))
20 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = π‘š β†’ (𝑛(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) = (π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)))
2120breq2d 5159 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = π‘š β†’ ((0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(𝑛(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) ↔ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))))
2221imbi2d 339 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = π‘š β†’ ((𝐹 ∈ oField β†’ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(𝑛(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) ↔ (𝐹 ∈ oField β†’ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)))))
23 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = (π‘š + 1) β†’ (𝑛(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) = ((π‘š + 1)(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)))
2423breq2d 5159 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = (π‘š + 1) β†’ ((0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(𝑛(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) ↔ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)((π‘š + 1)(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))))
2524imbi2d 339 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (π‘š + 1) β†’ ((𝐹 ∈ oField β†’ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(𝑛(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) ↔ (𝐹 ∈ oField β†’ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)((π‘š + 1)(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)))))
26 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑦 β†’ (𝑛(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) = (𝑦(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)))
2726breq2d 5159 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑦 β†’ ((0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(𝑛(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) ↔ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(𝑦(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))))
2827imbi2d 339 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑦 β†’ ((𝐹 ∈ oField β†’ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(𝑛(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) ↔ (𝐹 ∈ oField β†’ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(𝑦(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)))))
29 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . 13 (ltβ€˜πΉ) = (ltβ€˜πΉ)
3013, 2, 29ofldlt1 32701 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ oField β†’ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))
319, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ oField β†’ (1rβ€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
3210, 12mulg1 18997 . . . . . . . . . . . . 13 ((1rβ€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΉ) β†’ (1(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) = (1rβ€˜πΉ))
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ oField β†’ (1(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) = (1rβ€˜πΉ))
3430, 33breqtrrd 5175 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ oField β†’ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(1(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)))
35 ofldtos 32699 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ oField β†’ 𝐹 ∈ Toset)
36 tospos 18377 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ Toset β†’ 𝐹 ∈ Poset)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ oField β†’ 𝐹 ∈ Poset)
3837ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘š ∈ β„• ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) β†’ 𝐹 ∈ Poset)
39 ringgrp 20132 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ Ring β†’ 𝐹 ∈ Grp)
409, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ oField β†’ 𝐹 ∈ Grp)
4140ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘š ∈ β„• ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) β†’ 𝐹 ∈ Grp)
4210, 13grpidcl 18886 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ Grp β†’ (0gβ€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘š ∈ β„• ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) β†’ (0gβ€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
44 grpmnd 18862 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ Grp β†’ 𝐹 ∈ Mnd)
45 mndmgm 18666 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ Mnd β†’ 𝐹 ∈ Mgm)
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ Grp β†’ 𝐹 ∈ Mgm)
4741, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘š ∈ β„• ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) β†’ 𝐹 ∈ Mgm)
48 simpll 763 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘š ∈ β„• ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) β†’ π‘š ∈ β„•)
4931ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘š ∈ β„• ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) β†’ (1rβ€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
5010, 12mulgnncl 19005 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∈ Mgm ∧ π‘š ∈ β„• ∧ (1rβ€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΉ)) β†’ (π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
5147, 48, 49, 50syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘š ∈ β„• ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) β†’ (π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
5248peano2nnd 12233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘š ∈ β„• ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) β†’ (π‘š + 1) ∈ β„•)
5310, 12mulgnncl 19005 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∈ Mgm ∧ (π‘š + 1) ∈ β„• ∧ (1rβ€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΉ)) β†’ ((π‘š + 1)(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
5447, 52, 49, 53syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘š ∈ β„• ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) β†’ ((π‘š + 1)(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
5543, 51, 543jca 1126 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘š ∈ β„• ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) β†’ ((0gβ€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ (π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ ((π‘š + 1)(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) ∈ (Baseβ€˜πΉ)))
56 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘š ∈ β„• ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) β†’ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)))
57 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘š ∈ β„• ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) β†’ 𝐹 ∈ oField)
58 isofld 32690 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ oField ↔ (𝐹 ∈ Field ∧ 𝐹 ∈ oRing))
5958simprbi 495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ oField β†’ 𝐹 ∈ oRing)
60 orngogrp 32689 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ oRing β†’ 𝐹 ∈ oGrp)
6157, 59, 603syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘š ∈ β„• ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) β†’ 𝐹 ∈ oGrp)
6230ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘š ∈ β„• ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) β†’ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))
63 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (+gβ€˜πΉ) = (+gβ€˜πΉ)
6410, 29, 63ogrpaddlt 32505 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∈ oGrp ∧ ((0gβ€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ (1rβ€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ (π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) ∈ (Baseβ€˜πΉ)) ∧ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) β†’ ((0gβ€˜πΉ)(+gβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)))(ltβ€˜πΉ)((1rβ€˜πΉ)(+gβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))))
6561, 43, 49, 51, 62, 64syl131anc 1381 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘š ∈ β„• ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) β†’ ((0gβ€˜πΉ)(+gβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)))(ltβ€˜πΉ)((1rβ€˜πΉ)(+gβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))))
6610, 63, 13grplid 18888 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹 ∈ Grp ∧ (π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) ∈ (Baseβ€˜πΉ)) β†’ ((0gβ€˜πΉ)(+gβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) = (π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)))
6741, 51, 66syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘š ∈ β„• ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) β†’ ((0gβ€˜πΉ)(+gβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) = (π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)))
6867eqcomd 2736 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘š ∈ β„• ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) β†’ (π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) = ((0gβ€˜πΉ)(+gβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))))
6910, 12, 63mulgnnp1 18998 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘š ∈ β„• ∧ (1rβ€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΉ)) β†’ ((π‘š + 1)(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) = ((π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))(+gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)))
7048, 49, 69syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘š ∈ β„• ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) β†’ ((π‘š + 1)(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) = ((π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))(+gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)))
71 ringcmn 20170 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ Ring β†’ 𝐹 ∈ CMnd)
7257, 9, 713syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘š ∈ β„• ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) β†’ 𝐹 ∈ CMnd)
7310, 63cmncom 19707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹 ∈ CMnd ∧ (π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ (1rβ€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΉ)) β†’ ((π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))(+gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) = ((1rβ€˜πΉ)(+gβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))))
7472, 51, 49, 73syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘š ∈ β„• ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) β†’ ((π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))(+gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) = ((1rβ€˜πΉ)(+gβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))))
7570, 74eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘š ∈ β„• ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) β†’ ((π‘š + 1)(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) = ((1rβ€˜πΉ)(+gβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))))
7665, 68, 753brtr4d 5179 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘š ∈ β„• ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) β†’ (π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))(ltβ€˜πΉ)((π‘š + 1)(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)))
7710, 29plttr 18299 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ Poset ∧ ((0gβ€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ (π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ ((π‘š + 1)(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) ∈ (Baseβ€˜πΉ))) β†’ (((0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) ∧ (π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))(ltβ€˜πΉ)((π‘š + 1)(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) β†’ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)((π‘š + 1)(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))))
7877imp 405 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ Poset ∧ ((0gβ€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ (π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ ((π‘š + 1)(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) ∈ (Baseβ€˜πΉ))) ∧ ((0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) ∧ (π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))(ltβ€˜πΉ)((π‘š + 1)(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)))) β†’ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)((π‘š + 1)(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)))
7938, 55, 56, 76, 78syl22anc 835 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘š ∈ β„• ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) β†’ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)((π‘š + 1)(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)))
8079exp31 418 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š ∈ β„• β†’ (𝐹 ∈ oField β†’ ((0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) β†’ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)((π‘š + 1)(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)))))
8180a2d 29 . . . . . . . . . . 11 (π‘š ∈ β„• β†’ ((𝐹 ∈ oField β†’ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(π‘š(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))) β†’ (𝐹 ∈ oField β†’ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)((π‘š + 1)(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)))))
8219, 22, 25, 28, 34, 81nnind 12234 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ β„• β†’ (𝐹 ∈ oField β†’ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(𝑦(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))))
8382impcom 406 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ oField ∧ 𝑦 ∈ β„•) β†’ (0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(𝑦(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)))
84 fvex 6903 . . . . . . . . . . 11 (0gβ€˜πΉ) ∈ V
85 ovex 7444 . . . . . . . . . . 11 (𝑦(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) ∈ V
8629pltne 18291 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ oField ∧ (0gβ€˜πΉ) ∈ V ∧ (𝑦(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) ∈ V) β†’ ((0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(𝑦(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) β†’ (0gβ€˜πΉ) β‰  (𝑦(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))))
8784, 85, 86mp3an23 1451 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ oField β†’ ((0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(𝑦(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) β†’ (0gβ€˜πΉ) β‰  (𝑦(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))))
8887adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ oField ∧ 𝑦 ∈ β„•) β†’ ((0gβ€˜πΉ)(ltβ€˜πΉ)(𝑦(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) β†’ (0gβ€˜πΉ) β‰  (𝑦(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ))))
8983, 88mpd 15 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ oField ∧ 𝑦 ∈ β„•) β†’ (0gβ€˜πΉ) β‰  (𝑦(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)))
9089necomd 2994 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ oField ∧ 𝑦 ∈ β„•) β†’ (𝑦(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) β‰  (0gβ€˜πΉ))
9190neneqd 2943 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ oField ∧ 𝑦 ∈ β„•) β†’ Β¬ (𝑦(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) = (0gβ€˜πΉ))
9291ralrimiva 3144 . . . . 5 (𝐹 ∈ oField β†’ βˆ€π‘¦ ∈ β„• Β¬ (𝑦(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) = (0gβ€˜πΉ))
93 rabeq0 4383 . . . . 5 ({𝑦 ∈ β„• ∣ (𝑦(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) = (0gβ€˜πΉ)} = βˆ… ↔ βˆ€π‘¦ ∈ β„• Β¬ (𝑦(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) = (0gβ€˜πΉ))
9492, 93sylibr 233 . . . 4 (𝐹 ∈ oField β†’ {𝑦 ∈ β„• ∣ (𝑦(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) = (0gβ€˜πΉ)} = βˆ…)
9594iftrued 4535 . . 3 (𝐹 ∈ oField β†’ if({𝑦 ∈ β„• ∣ (𝑦(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) = (0gβ€˜πΉ)} = βˆ…, 0, inf({𝑦 ∈ β„• ∣ (𝑦(.gβ€˜πΉ)(1rβ€˜πΉ)) = (0gβ€˜πΉ)}, ℝ, < )) = 0)
9616, 95eqtrd 2770 . 2 (𝐹 ∈ oField β†’ ((odβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) = 0)
974, 96eqtr3id 2784 1 (𝐹 ∈ oField β†’ (chrβ€˜πΉ) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆ€wral 3059  {crab 3430  Vcvv 3472  βˆ…c0 4321  ifcif 4527   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  infcinf 9438  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   < clt 11252  β„•cn 12216  Basecbs 17148  +gcplusg 17201  0gc0g 17389  Posetcpo 18264  ltcplt 18265  Tosetctos 18373  Mgmcmgm 18563  Mndcmnd 18659  Grpcgrp 18855  .gcmg 18986  odcod 19433  CMndccmn 19689  1rcur 20075  Ringcrg 20127  CRingccrg 20128  DivRingcdr 20500  Fieldcfield 20501  chrcchr 21270  oGrpcogrp 32486  oRingcorng 32683  oFieldcofld 32684
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-seq 13971  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-0g 17391  df-proset 18252  df-poset 18270  df-plt 18287  df-toset 18374  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-mulg 18987  df-od 19437  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-drng 20502  df-field 20503  df-chr 21274  df-omnd 32487  df-ogrp 32488  df-orng 32685  df-ofld 32686
This theorem is referenced by:  rerrext  33287  cnrrext  33288
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