Theorem infmo 9514

Description: Any class 𝐵 has at most one infimum in 𝐴 (where 𝑅 is interpreted as 'less than'). (Contributed by AV, 6-Oct-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
infmo.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 Or 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
infmo	⊢ (𝜑 → ∃*𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem infmo

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infmo.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Or 𝐴)
2		ancom 460	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑤) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑤 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
3	2	anbi2ci 625	. . . . . . 7 ⊢ (((∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑤) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦))) ↔ ((∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑤 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)))
4		an42 657	. . . . . . 7 ⊢ (((∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑤 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦))) ↔ ((∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑤) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦))))
5		an42 657	. . . . . . 7 ⊢ (((∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑤)) ↔ ((∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑤 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)))
6	3, 4, 5	3bitr4i 303	. . . . . 6 ⊢ (((∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑤 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦))) ↔ ((∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑤)))
7		ralnex 3063	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ¬ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑅𝑥)
8		breq2 5128	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑤𝑅𝑦 ↔ 𝑤𝑅𝑥))
9		breq2 5128	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑧𝑅𝑦 ↔ 𝑧𝑅𝑥))
10	9	rexbidv 3165	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑥))
11	8, 10	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑤𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦) ↔ (𝑤𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑥)))
12	11	rspcva 3604	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)) → (𝑤𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑥))
13		breq1 5127	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑦𝑅𝑥 ↔ 𝑧𝑅𝑥))
14	13	cbvrexvw 3225	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑥)
15	12, 14	imbitrrdi 252	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)) → (𝑤𝑅𝑥 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑅𝑥))
16	15	con3d 152	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)) → (¬ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑅𝑥 → ¬ 𝑤𝑅𝑥))
17	7, 16	biimtrid 242	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)) → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 → ¬ 𝑤𝑅𝑥))
18	17	expimpd 453	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥) → ¬ 𝑤𝑅𝑥))
19	18	ad2antrl 728	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → ((∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥) → ¬ 𝑤𝑅𝑥))
20		ralnex 3063	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑤 ↔ ¬ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑅𝑤)
21		breq2 5128	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝑥𝑅𝑦 ↔ 𝑥𝑅𝑤))
22		breq2 5128	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝑧𝑅𝑦 ↔ 𝑧𝑅𝑤))
23	22	rexbidv 3165	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑤))
24	21, 23	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → ((𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦) ↔ (𝑥𝑅𝑤 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑤)))
25	24	rspcva 3604	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)) → (𝑥𝑅𝑤 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑤))
26		breq1 5127	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑦𝑅𝑤 ↔ 𝑧𝑅𝑤))
27	26	cbvrexvw 3225	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑅𝑤 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑤)
28	25, 27	imbitrrdi 252	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)) → (𝑥𝑅𝑤 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑅𝑤))
29	28	con3d 152	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)) → (¬ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑅𝑤 → ¬ 𝑥𝑅𝑤))
30	20, 29	biimtrid 242	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)) → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑤 → ¬ 𝑥𝑅𝑤))
31	30	expimpd 453	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐴 → ((∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑤) → ¬ 𝑥𝑅𝑤))
32	31	ad2antll 729	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → ((∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑤) → ¬ 𝑥𝑅𝑤))
33	19, 32	anim12d 609	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → (((∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑤)) → (¬ 𝑤𝑅𝑥 ∧ ¬ 𝑥𝑅𝑤)))
34	33	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) ∧ ((∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑤))) → (¬ 𝑤𝑅𝑥 ∧ ¬ 𝑥𝑅𝑤))
35	34	ancomd 461	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) ∧ ((∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑤))) → (¬ 𝑥𝑅𝑤 ∧ ¬ 𝑤𝑅𝑥))
36	35	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → (((∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑤)) → (¬ 𝑥𝑅𝑤 ∧ ¬ 𝑤𝑅𝑥)))
37	6, 36	biimtrid 242	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → (((∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑤 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦))) → (¬ 𝑥𝑅𝑤 ∧ ¬ 𝑤𝑅𝑥)))
38		sotrieq2 5598	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → (𝑥 = 𝑤 ↔ (¬ 𝑥𝑅𝑤 ∧ ¬ 𝑤𝑅𝑥)))
39	37, 38	sylibrd 259	. . . 4 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → (((∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑤 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦))) → 𝑥 = 𝑤))
40	39	ralrimivva 3188	. . 3 ⊢ (𝑅 Or 𝐴 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝐴 (((∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑤 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦))) → 𝑥 = 𝑤))
41	1, 40	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝐴 (((∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑤 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦))) → 𝑥 = 𝑤))
42		breq2 5128	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑦𝑅𝑥 ↔ 𝑦𝑅𝑤))
43	42	notbid 318	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ¬ 𝑦𝑅𝑤))
44	43	ralbidv 3164	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑤))
45		breq1 5127	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑥𝑅𝑦 ↔ 𝑤𝑅𝑦))
46	45	imbi1d 341	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ((𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦) ↔ (𝑤𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)))
47	46	ralbidv 3164	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)))
48	44, 47	anbi12d 632	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ((∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑤 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦))))
49	48	rmo4 3718	. 2 ⊢ (∃*𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝐴 (((∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑤 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦))) → 𝑥 = 𝑤))
50	41, 49	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ∀wral 3052  ∃wrex 3061  ∃*wrmo 3363   class class class wbr 5124   Or wor 5565

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2708

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-mo 2540  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-rab 3421  df-v 3466  df-dif 3934  df-un 3936  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-br 5125  df-po 5566  df-so 5567

This theorem is referenced by:  infeu  9515