MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodlema Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lmodlema 20476
Description: Lemma for properties of a left module. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
islmod.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
islmod.a + = (+gβ€˜π‘Š)
islmod.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
islmod.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
islmod.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
islmod.p ⨣ = (+gβ€˜πΉ)
islmod.t Γ— = (.rβ€˜πΉ)
islmod.u 1 = (1rβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
lmodlema ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (((𝑅 Β· π‘Œ) ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 Β· (π‘Œ + 𝑋)) = ((𝑅 Β· π‘Œ) + (𝑅 Β· 𝑋)) ∧ ((𝑄 ⨣ 𝑅) Β· π‘Œ) = ((𝑄 Β· π‘Œ) + (𝑅 Β· π‘Œ))) ∧ (((𝑄 Γ— 𝑅) Β· π‘Œ) = (𝑄 Β· (𝑅 Β· π‘Œ)) ∧ ( 1 Β· π‘Œ) = π‘Œ)))
Proof of Theorem lmodlema
Dummy variables π‘ž π‘Ÿ 𝑀 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 islmod.v . . . . . 6 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
2 islmod.a . . . . . 6 + = (+gβ€˜π‘Š)
3 islmod.s . . . . . 6 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
4 islmod.f . . . . . 6 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
5 islmod.k . . . . . 6 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
6 islmod.p . . . . . 6 ⨣ = (+gβ€˜πΉ)
7 islmod.t . . . . . 6 Γ— = (.rβ€˜πΉ)
8 islmod.u . . . . . 6 1 = (1rβ€˜πΉ)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8islmod 20475 . . . . 5 (π‘Š ∈ LMod ↔ (π‘Š ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘ž ∈ 𝐾 βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐾 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ 𝑉 (((π‘Ÿ Β· 𝑀) ∈ 𝑉 ∧ (π‘Ÿ Β· (𝑀 + π‘₯)) = ((π‘Ÿ Β· 𝑀) + (π‘Ÿ Β· π‘₯)) ∧ ((π‘ž ⨣ π‘Ÿ) Β· 𝑀) = ((π‘ž Β· 𝑀) + (π‘Ÿ Β· 𝑀))) ∧ (((π‘ž Γ— π‘Ÿ) Β· 𝑀) = (π‘ž Β· (π‘Ÿ Β· 𝑀)) ∧ ( 1 Β· 𝑀) = 𝑀))))
109simp3bi 1148 . . . 4 (π‘Š ∈ LMod β†’ βˆ€π‘ž ∈ 𝐾 βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐾 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ 𝑉 (((π‘Ÿ Β· 𝑀) ∈ 𝑉 ∧ (π‘Ÿ Β· (𝑀 + π‘₯)) = ((π‘Ÿ Β· 𝑀) + (π‘Ÿ Β· π‘₯)) ∧ ((π‘ž ⨣ π‘Ÿ) Β· 𝑀) = ((π‘ž Β· 𝑀) + (π‘Ÿ Β· 𝑀))) ∧ (((π‘ž Γ— π‘Ÿ) Β· 𝑀) = (π‘ž Β· (π‘Ÿ Β· 𝑀)) ∧ ( 1 Β· 𝑀) = 𝑀)))
11 oveq1 7416 . . . . . . . . . 10 (π‘ž = 𝑄 β†’ (π‘ž ⨣ π‘Ÿ) = (𝑄 ⨣ π‘Ÿ))
1211oveq1d 7424 . . . . . . . . 9 (π‘ž = 𝑄 β†’ ((π‘ž ⨣ π‘Ÿ) Β· 𝑀) = ((𝑄 ⨣ π‘Ÿ) Β· 𝑀))
13 oveq1 7416 . . . . . . . . . 10 (π‘ž = 𝑄 β†’ (π‘ž Β· 𝑀) = (𝑄 Β· 𝑀))
1413oveq1d 7424 . . . . . . . . 9 (π‘ž = 𝑄 β†’ ((π‘ž Β· 𝑀) + (π‘Ÿ Β· 𝑀)) = ((𝑄 Β· 𝑀) + (π‘Ÿ Β· 𝑀)))
1512, 14eqeq12d 2749 . . . . . . . 8 (π‘ž = 𝑄 β†’ (((π‘ž ⨣ π‘Ÿ) Β· 𝑀) = ((π‘ž Β· 𝑀) + (π‘Ÿ Β· 𝑀)) ↔ ((𝑄 ⨣ π‘Ÿ) Β· 𝑀) = ((𝑄 Β· 𝑀) + (π‘Ÿ Β· 𝑀))))
16153anbi3d 1443 . . . . . . 7 (π‘ž = 𝑄 β†’ (((π‘Ÿ Β· 𝑀) ∈ 𝑉 ∧ (π‘Ÿ Β· (𝑀 + π‘₯)) = ((π‘Ÿ Β· 𝑀) + (π‘Ÿ Β· π‘₯)) ∧ ((π‘ž ⨣ π‘Ÿ) Β· 𝑀) = ((π‘ž Β· 𝑀) + (π‘Ÿ Β· 𝑀))) ↔ ((π‘Ÿ Β· 𝑀) ∈ 𝑉 ∧ (π‘Ÿ Β· (𝑀 + π‘₯)) = ((π‘Ÿ Β· 𝑀) + (π‘Ÿ Β· π‘₯)) ∧ ((𝑄 ⨣ π‘Ÿ) Β· 𝑀) = ((𝑄 Β· 𝑀) + (π‘Ÿ Β· 𝑀)))))
17 oveq1 7416 . . . . . . . . . 10 (π‘ž = 𝑄 β†’ (π‘ž Γ— π‘Ÿ) = (𝑄 Γ— π‘Ÿ))
1817oveq1d 7424 . . . . . . . . 9 (π‘ž = 𝑄 β†’ ((π‘ž Γ— π‘Ÿ) Β· 𝑀) = ((𝑄 Γ— π‘Ÿ) Β· 𝑀))
19 oveq1 7416 . . . . . . . . 9 (π‘ž = 𝑄 β†’ (π‘ž Β· (π‘Ÿ Β· 𝑀)) = (𝑄 Β· (π‘Ÿ Β· 𝑀)))
2018, 19eqeq12d 2749 . . . . . . . 8 (π‘ž = 𝑄 β†’ (((π‘ž Γ— π‘Ÿ) Β· 𝑀) = (π‘ž Β· (π‘Ÿ Β· 𝑀)) ↔ ((𝑄 Γ— π‘Ÿ) Β· 𝑀) = (𝑄 Β· (π‘Ÿ Β· 𝑀))))
2120anbi1d 631 . . . . . . 7 (π‘ž = 𝑄 β†’ ((((π‘ž Γ— π‘Ÿ) Β· 𝑀) = (π‘ž Β· (π‘Ÿ Β· 𝑀)) ∧ ( 1 Β· 𝑀) = 𝑀) ↔ (((𝑄 Γ— π‘Ÿ) Β· 𝑀) = (𝑄 Β· (π‘Ÿ Β· 𝑀)) ∧ ( 1 Β· 𝑀) = 𝑀)))
2216, 21anbi12d 632 . . . . . 6 (π‘ž = 𝑄 β†’ ((((π‘Ÿ Β· 𝑀) ∈ 𝑉 ∧ (π‘Ÿ Β· (𝑀 + π‘₯)) = ((π‘Ÿ Β· 𝑀) + (π‘Ÿ Β· π‘₯)) ∧ ((π‘ž ⨣ π‘Ÿ) Β· 𝑀) = ((π‘ž Β· 𝑀) + (π‘Ÿ Β· 𝑀))) ∧ (((π‘ž Γ— π‘Ÿ) Β· 𝑀) = (π‘ž Β· (π‘Ÿ Β· 𝑀)) ∧ ( 1 Β· 𝑀) = 𝑀)) ↔ (((π‘Ÿ Β· 𝑀) ∈ 𝑉 ∧ (π‘Ÿ Β· (𝑀 + π‘₯)) = ((π‘Ÿ Β· 𝑀) + (π‘Ÿ Β· π‘₯)) ∧ ((𝑄 ⨣ π‘Ÿ) Β· 𝑀) = ((𝑄 Β· 𝑀) + (π‘Ÿ Β· 𝑀))) ∧ (((𝑄 Γ— π‘Ÿ) Β· 𝑀) = (𝑄 Β· (π‘Ÿ Β· 𝑀)) ∧ ( 1 Β· 𝑀) = 𝑀))))
23222ralbidv 3219 . . . . 5 (π‘ž = 𝑄 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ 𝑉 (((π‘Ÿ Β· 𝑀) ∈ 𝑉 ∧ (π‘Ÿ Β· (𝑀 + π‘₯)) = ((π‘Ÿ Β· 𝑀) + (π‘Ÿ Β· π‘₯)) ∧ ((π‘ž ⨣ π‘Ÿ) Β· 𝑀) = ((π‘ž Β· 𝑀) + (π‘Ÿ Β· 𝑀))) ∧ (((π‘ž Γ— π‘Ÿ) Β· 𝑀) = (π‘ž Β· (π‘Ÿ Β· 𝑀)) ∧ ( 1 Β· 𝑀) = 𝑀)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ 𝑉 (((π‘Ÿ Β· 𝑀) ∈ 𝑉 ∧ (π‘Ÿ Β· (𝑀 + π‘₯)) = ((π‘Ÿ Β· 𝑀) + (π‘Ÿ Β· π‘₯)) ∧ ((𝑄 ⨣ π‘Ÿ) Β· 𝑀) = ((𝑄 Β· 𝑀) + (π‘Ÿ Β· 𝑀))) ∧ (((𝑄 Γ— π‘Ÿ) Β· 𝑀) = (𝑄 Β· (π‘Ÿ Β· 𝑀)) ∧ ( 1 Β· 𝑀) = 𝑀))))
24 oveq1 7416 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (π‘Ÿ Β· 𝑀) = (𝑅 Β· 𝑀))
2524eleq1d 2819 . . . . . . . 8 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ ((π‘Ÿ Β· 𝑀) ∈ 𝑉 ↔ (𝑅 Β· 𝑀) ∈ 𝑉))
26 oveq1 7416 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (π‘Ÿ Β· (𝑀 + π‘₯)) = (𝑅 Β· (𝑀 + π‘₯)))
27 oveq1 7416 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (π‘Ÿ Β· π‘₯) = (𝑅 Β· π‘₯))
2824, 27oveq12d 7427 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ ((π‘Ÿ Β· 𝑀) + (π‘Ÿ Β· π‘₯)) = ((𝑅 Β· 𝑀) + (𝑅 Β· π‘₯)))
2926, 28eqeq12d 2749 . . . . . . . 8 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ ((π‘Ÿ Β· (𝑀 + π‘₯)) = ((π‘Ÿ Β· 𝑀) + (π‘Ÿ Β· π‘₯)) ↔ (𝑅 Β· (𝑀 + π‘₯)) = ((𝑅 Β· 𝑀) + (𝑅 Β· π‘₯))))
30 oveq2 7417 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (𝑄 ⨣ π‘Ÿ) = (𝑄 ⨣ 𝑅))
3130oveq1d 7424 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ ((𝑄 ⨣ π‘Ÿ) Β· 𝑀) = ((𝑄 ⨣ 𝑅) Β· 𝑀))
3224oveq2d 7425 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ ((𝑄 Β· 𝑀) + (π‘Ÿ Β· 𝑀)) = ((𝑄 Β· 𝑀) + (𝑅 Β· 𝑀)))
3331, 32eqeq12d 2749 . . . . . . . 8 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (((𝑄 ⨣ π‘Ÿ) Β· 𝑀) = ((𝑄 Β· 𝑀) + (π‘Ÿ Β· 𝑀)) ↔ ((𝑄 ⨣ 𝑅) Β· 𝑀) = ((𝑄 Β· 𝑀) + (𝑅 Β· 𝑀))))
3425, 29, 333anbi123d 1437 . . . . . . 7 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (((π‘Ÿ Β· 𝑀) ∈ 𝑉 ∧ (π‘Ÿ Β· (𝑀 + π‘₯)) = ((π‘Ÿ Β· 𝑀) + (π‘Ÿ Β· π‘₯)) ∧ ((𝑄 ⨣ π‘Ÿ) Β· 𝑀) = ((𝑄 Β· 𝑀) + (π‘Ÿ Β· 𝑀))) ↔ ((𝑅 Β· 𝑀) ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 Β· (𝑀 + π‘₯)) = ((𝑅 Β· 𝑀) + (𝑅 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑄 ⨣ 𝑅) Β· 𝑀) = ((𝑄 Β· 𝑀) + (𝑅 Β· 𝑀)))))
35 oveq2 7417 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (𝑄 Γ— π‘Ÿ) = (𝑄 Γ— 𝑅))
3635oveq1d 7424 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ ((𝑄 Γ— π‘Ÿ) Β· 𝑀) = ((𝑄 Γ— 𝑅) Β· 𝑀))
3724oveq2d 7425 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (𝑄 Β· (π‘Ÿ Β· 𝑀)) = (𝑄 Β· (𝑅 Β· 𝑀)))
3836, 37eqeq12d 2749 . . . . . . . 8 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (((𝑄 Γ— π‘Ÿ) Β· 𝑀) = (𝑄 Β· (π‘Ÿ Β· 𝑀)) ↔ ((𝑄 Γ— 𝑅) Β· 𝑀) = (𝑄 Β· (𝑅 Β· 𝑀))))
3938anbi1d 631 . . . . . . 7 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ ((((𝑄 Γ— π‘Ÿ) Β· 𝑀) = (𝑄 Β· (π‘Ÿ Β· 𝑀)) ∧ ( 1 Β· 𝑀) = 𝑀) ↔ (((𝑄 Γ— 𝑅) Β· 𝑀) = (𝑄 Β· (𝑅 Β· 𝑀)) ∧ ( 1 Β· 𝑀) = 𝑀)))
4034, 39anbi12d 632 . . . . . 6 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ ((((π‘Ÿ Β· 𝑀) ∈ 𝑉 ∧ (π‘Ÿ Β· (𝑀 + π‘₯)) = ((π‘Ÿ Β· 𝑀) + (π‘Ÿ Β· π‘₯)) ∧ ((𝑄 ⨣ π‘Ÿ) Β· 𝑀) = ((𝑄 Β· 𝑀) + (π‘Ÿ Β· 𝑀))) ∧ (((𝑄 Γ— π‘Ÿ) Β· 𝑀) = (𝑄 Β· (π‘Ÿ Β· 𝑀)) ∧ ( 1 Β· 𝑀) = 𝑀)) ↔ (((𝑅 Β· 𝑀) ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 Β· (𝑀 + π‘₯)) = ((𝑅 Β· 𝑀) + (𝑅 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑄 ⨣ 𝑅) Β· 𝑀) = ((𝑄 Β· 𝑀) + (𝑅 Β· 𝑀))) ∧ (((𝑄 Γ— 𝑅) Β· 𝑀) = (𝑄 Β· (𝑅 Β· 𝑀)) ∧ ( 1 Β· 𝑀) = 𝑀))))
41402ralbidv 3219 . . . . 5 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ 𝑉 (((π‘Ÿ Β· 𝑀) ∈ 𝑉 ∧ (π‘Ÿ Β· (𝑀 + π‘₯)) = ((π‘Ÿ Β· 𝑀) + (π‘Ÿ Β· π‘₯)) ∧ ((𝑄 ⨣ π‘Ÿ) Β· 𝑀) = ((𝑄 Β· 𝑀) + (π‘Ÿ Β· 𝑀))) ∧ (((𝑄 Γ— π‘Ÿ) Β· 𝑀) = (𝑄 Β· (π‘Ÿ Β· 𝑀)) ∧ ( 1 Β· 𝑀) = 𝑀)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ 𝑉 (((𝑅 Β· 𝑀) ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 Β· (𝑀 + π‘₯)) = ((𝑅 Β· 𝑀) + (𝑅 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑄 ⨣ 𝑅) Β· 𝑀) = ((𝑄 Β· 𝑀) + (𝑅 Β· 𝑀))) ∧ (((𝑄 Γ— 𝑅) Β· 𝑀) = (𝑄 Β· (𝑅 Β· 𝑀)) ∧ ( 1 Β· 𝑀) = 𝑀))))
4223, 41rspc2v 3623 . . . 4 ((𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾) β†’ (βˆ€π‘ž ∈ 𝐾 βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐾 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ 𝑉 (((π‘Ÿ Β· 𝑀) ∈ 𝑉 ∧ (π‘Ÿ Β· (𝑀 + π‘₯)) = ((π‘Ÿ Β· 𝑀) + (π‘Ÿ Β· π‘₯)) ∧ ((π‘ž ⨣ π‘Ÿ) Β· 𝑀) = ((π‘ž Β· 𝑀) + (π‘Ÿ Β· 𝑀))) ∧ (((π‘ž Γ— π‘Ÿ) Β· 𝑀) = (π‘ž Β· (π‘Ÿ Β· 𝑀)) ∧ ( 1 Β· 𝑀) = 𝑀)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ 𝑉 (((𝑅 Β· 𝑀) ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 Β· (𝑀 + π‘₯)) = ((𝑅 Β· 𝑀) + (𝑅 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑄 ⨣ 𝑅) Β· 𝑀) = ((𝑄 Β· 𝑀) + (𝑅 Β· 𝑀))) ∧ (((𝑄 Γ— 𝑅) Β· 𝑀) = (𝑄 Β· (𝑅 Β· 𝑀)) ∧ ( 1 Β· 𝑀) = 𝑀))))
4310, 42mpan9 508 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ 𝑉 (((𝑅 Β· 𝑀) ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 Β· (𝑀 + π‘₯)) = ((𝑅 Β· 𝑀) + (𝑅 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑄 ⨣ 𝑅) Β· 𝑀) = ((𝑄 Β· 𝑀) + (𝑅 Β· 𝑀))) ∧ (((𝑄 Γ— 𝑅) Β· 𝑀) = (𝑄 Β· (𝑅 Β· 𝑀)) ∧ ( 1 Β· 𝑀) = 𝑀)))
44 oveq2 7417 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (𝑀 + π‘₯) = (𝑀 + 𝑋))
4544oveq2d 7425 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (𝑅 Β· (𝑀 + π‘₯)) = (𝑅 Β· (𝑀 + 𝑋)))
46 oveq2 7417 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (𝑅 Β· π‘₯) = (𝑅 Β· 𝑋))
4746oveq2d 7425 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((𝑅 Β· 𝑀) + (𝑅 Β· π‘₯)) = ((𝑅 Β· 𝑀) + (𝑅 Β· 𝑋)))
4845, 47eqeq12d 2749 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((𝑅 Β· (𝑀 + π‘₯)) = ((𝑅 Β· 𝑀) + (𝑅 Β· π‘₯)) ↔ (𝑅 Β· (𝑀 + 𝑋)) = ((𝑅 Β· 𝑀) + (𝑅 Β· 𝑋))))
49483anbi2d 1442 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (((𝑅 Β· 𝑀) ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 Β· (𝑀 + π‘₯)) = ((𝑅 Β· 𝑀) + (𝑅 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑄 ⨣ 𝑅) Β· 𝑀) = ((𝑄 Β· 𝑀) + (𝑅 Β· 𝑀))) ↔ ((𝑅 Β· 𝑀) ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 Β· (𝑀 + 𝑋)) = ((𝑅 Β· 𝑀) + (𝑅 Β· 𝑋)) ∧ ((𝑄 ⨣ 𝑅) Β· 𝑀) = ((𝑄 Β· 𝑀) + (𝑅 Β· 𝑀)))))
5049anbi1d 631 . . . 4 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((((𝑅 Β· 𝑀) ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 Β· (𝑀 + π‘₯)) = ((𝑅 Β· 𝑀) + (𝑅 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑄 ⨣ 𝑅) Β· 𝑀) = ((𝑄 Β· 𝑀) + (𝑅 Β· 𝑀))) ∧ (((𝑄 Γ— 𝑅) Β· 𝑀) = (𝑄 Β· (𝑅 Β· 𝑀)) ∧ ( 1 Β· 𝑀) = 𝑀)) ↔ (((𝑅 Β· 𝑀) ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 Β· (𝑀 + 𝑋)) = ((𝑅 Β· 𝑀) + (𝑅 Β· 𝑋)) ∧ ((𝑄 ⨣ 𝑅) Β· 𝑀) = ((𝑄 Β· 𝑀) + (𝑅 Β· 𝑀))) ∧ (((𝑄 Γ— 𝑅) Β· 𝑀) = (𝑄 Β· (𝑅 Β· 𝑀)) ∧ ( 1 Β· 𝑀) = 𝑀))))
51 oveq2 7417 . . . . . . 7 (𝑀 = π‘Œ β†’ (𝑅 Β· 𝑀) = (𝑅 Β· π‘Œ))
5251eleq1d 2819 . . . . . 6 (𝑀 = π‘Œ β†’ ((𝑅 Β· 𝑀) ∈ 𝑉 ↔ (𝑅 Β· π‘Œ) ∈ 𝑉))
53 oveq1 7416 . . . . . . . 8 (𝑀 = π‘Œ β†’ (𝑀 + 𝑋) = (π‘Œ + 𝑋))
5453oveq2d 7425 . . . . . . 7 (𝑀 = π‘Œ β†’ (𝑅 Β· (𝑀 + 𝑋)) = (𝑅 Β· (π‘Œ + 𝑋)))
5551oveq1d 7424 . . . . . . 7 (𝑀 = π‘Œ β†’ ((𝑅 Β· 𝑀) + (𝑅 Β· 𝑋)) = ((𝑅 Β· π‘Œ) + (𝑅 Β· 𝑋)))
5654, 55eqeq12d 2749 . . . . . 6 (𝑀 = π‘Œ β†’ ((𝑅 Β· (𝑀 + 𝑋)) = ((𝑅 Β· 𝑀) + (𝑅 Β· 𝑋)) ↔ (𝑅 Β· (π‘Œ + 𝑋)) = ((𝑅 Β· π‘Œ) + (𝑅 Β· 𝑋))))
57 oveq2 7417 . . . . . . 7 (𝑀 = π‘Œ β†’ ((𝑄 ⨣ 𝑅) Β· 𝑀) = ((𝑄 ⨣ 𝑅) Β· π‘Œ))
58 oveq2 7417 . . . . . . . 8 (𝑀 = π‘Œ β†’ (𝑄 Β· 𝑀) = (𝑄 Β· π‘Œ))
5958, 51oveq12d 7427 . . . . . . 7 (𝑀 = π‘Œ β†’ ((𝑄 Β· 𝑀) + (𝑅 Β· 𝑀)) = ((𝑄 Β· π‘Œ) + (𝑅 Β· π‘Œ)))
6057, 59eqeq12d 2749 . . . . . 6 (𝑀 = π‘Œ β†’ (((𝑄 ⨣ 𝑅) Β· 𝑀) = ((𝑄 Β· 𝑀) + (𝑅 Β· 𝑀)) ↔ ((𝑄 ⨣ 𝑅) Β· π‘Œ) = ((𝑄 Β· π‘Œ) + (𝑅 Β· π‘Œ))))
6152, 56, 603anbi123d 1437 . . . . 5 (𝑀 = π‘Œ β†’ (((𝑅 Β· 𝑀) ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 Β· (𝑀 + 𝑋)) = ((𝑅 Β· 𝑀) + (𝑅 Β· 𝑋)) ∧ ((𝑄 ⨣ 𝑅) Β· 𝑀) = ((𝑄 Β· 𝑀) + (𝑅 Β· 𝑀))) ↔ ((𝑅 Β· π‘Œ) ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 Β· (π‘Œ + 𝑋)) = ((𝑅 Β· π‘Œ) + (𝑅 Β· 𝑋)) ∧ ((𝑄 ⨣ 𝑅) Β· π‘Œ) = ((𝑄 Β· π‘Œ) + (𝑅 Β· π‘Œ)))))
62 oveq2 7417 . . . . . . 7 (𝑀 = π‘Œ β†’ ((𝑄 Γ— 𝑅) Β· 𝑀) = ((𝑄 Γ— 𝑅) Β· π‘Œ))
6351oveq2d 7425 . . . . . . 7 (𝑀 = π‘Œ β†’ (𝑄 Β· (𝑅 Β· 𝑀)) = (𝑄 Β· (𝑅 Β· π‘Œ)))
6462, 63eqeq12d 2749 . . . . . 6 (𝑀 = π‘Œ β†’ (((𝑄 Γ— 𝑅) Β· 𝑀) = (𝑄 Β· (𝑅 Β· 𝑀)) ↔ ((𝑄 Γ— 𝑅) Β· π‘Œ) = (𝑄 Β· (𝑅 Β· π‘Œ))))
65 oveq2 7417 . . . . . . 7 (𝑀 = π‘Œ β†’ ( 1 Β· 𝑀) = ( 1 Β· π‘Œ))
66 id 22 . . . . . . 7 (𝑀 = π‘Œ β†’ 𝑀 = π‘Œ)
6765, 66eqeq12d 2749 . . . . . 6 (𝑀 = π‘Œ β†’ (( 1 Β· 𝑀) = 𝑀 ↔ ( 1 Β· π‘Œ) = π‘Œ))
6864, 67anbi12d 632 . . . . 5 (𝑀 = π‘Œ β†’ ((((𝑄 Γ— 𝑅) Β· 𝑀) = (𝑄 Β· (𝑅 Β· 𝑀)) ∧ ( 1 Β· 𝑀) = 𝑀) ↔ (((𝑄 Γ— 𝑅) Β· π‘Œ) = (𝑄 Β· (𝑅 Β· π‘Œ)) ∧ ( 1 Β· π‘Œ) = π‘Œ)))
6961, 68anbi12d 632 . . . 4 (𝑀 = π‘Œ β†’ ((((𝑅 Β· 𝑀) ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 Β· (𝑀 + 𝑋)) = ((𝑅 Β· 𝑀) + (𝑅 Β· 𝑋)) ∧ ((𝑄 ⨣ 𝑅) Β· 𝑀) = ((𝑄 Β· 𝑀) + (𝑅 Β· 𝑀))) ∧ (((𝑄 Γ— 𝑅) Β· 𝑀) = (𝑄 Β· (𝑅 Β· 𝑀)) ∧ ( 1 Β· 𝑀) = 𝑀)) ↔ (((𝑅 Β· π‘Œ) ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 Β· (π‘Œ + 𝑋)) = ((𝑅 Β· π‘Œ) + (𝑅 Β· 𝑋)) ∧ ((𝑄 ⨣ 𝑅) Β· π‘Œ) = ((𝑄 Β· π‘Œ) + (𝑅 Β· π‘Œ))) ∧ (((𝑄 Γ— 𝑅) Β· π‘Œ) = (𝑄 Β· (𝑅 Β· π‘Œ)) ∧ ( 1 Β· π‘Œ) = π‘Œ))))
7050, 69rspc2v 3623 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ 𝑉 (((𝑅 Β· 𝑀) ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 Β· (𝑀 + π‘₯)) = ((𝑅 Β· 𝑀) + (𝑅 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑄 ⨣ 𝑅) Β· 𝑀) = ((𝑄 Β· 𝑀) + (𝑅 Β· 𝑀))) ∧ (((𝑄 Γ— 𝑅) Β· 𝑀) = (𝑄 Β· (𝑅 Β· 𝑀)) ∧ ( 1 Β· 𝑀) = 𝑀)) β†’ (((𝑅 Β· π‘Œ) ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 Β· (π‘Œ + 𝑋)) = ((𝑅 Β· π‘Œ) + (𝑅 Β· 𝑋)) ∧ ((𝑄 ⨣ 𝑅) Β· π‘Œ) = ((𝑄 Β· π‘Œ) + (𝑅 Β· π‘Œ))) ∧ (((𝑄 Γ— 𝑅) Β· π‘Œ) = (𝑄 Β· (𝑅 Β· π‘Œ)) ∧ ( 1 Β· π‘Œ) = π‘Œ))))
7143, 70syl5com 31 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾)) β†’ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (((𝑅 Β· π‘Œ) ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 Β· (π‘Œ + 𝑋)) = ((𝑅 Β· π‘Œ) + (𝑅 Β· 𝑋)) ∧ ((𝑄 ⨣ 𝑅) Β· π‘Œ) = ((𝑄 Β· π‘Œ) + (𝑅 Β· π‘Œ))) ∧ (((𝑄 Γ— 𝑅) Β· π‘Œ) = (𝑄 Β· (𝑅 Β· π‘Œ)) ∧ ( 1 Β· π‘Œ) = π‘Œ))))
72713impia 1118 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (((𝑅 Β· π‘Œ) ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 Β· (π‘Œ + 𝑋)) = ((𝑅 Β· π‘Œ) + (𝑅 Β· 𝑋)) ∧ ((𝑄 ⨣ 𝑅) Β· π‘Œ) = ((𝑄 Β· π‘Œ) + (𝑅 Β· π‘Œ))) ∧ (((𝑄 Γ— 𝑅) Β· π‘Œ) = (𝑄 Β· (𝑅 Β· π‘Œ)) ∧ ( 1 Β· π‘Œ) = π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  +gcplusg 17197  .rcmulr 17198  Scalarcsca 17200   ·𝑠 cvsca 17201  Grpcgrp 18819  1rcur 20004  Ringcrg 20056  LModclmod 20471
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-nul 5307
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-iota 6496  df-fv 6552  df-ov 7412  df-lmod 20473
This theorem is referenced by:  lmodvscl  20489  lmodvsdi  20495  lmodvsdir  20496  lmodvsass  20497  lmodvs1  20500
  Copyright terms: Public domain W3C validator