Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | islmod.v |
. . . . . 6
⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊) |
2 | | islmod.a |
. . . . . 6
⊢ + =
(+g‘𝑊) |
3 | | islmod.s |
. . . . . 6
⊢ · = (
·𝑠 ‘𝑊) |
4 | | islmod.f |
. . . . . 6
⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊) |
5 | | islmod.k |
. . . . . 6
⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹) |
6 | | islmod.p |
. . . . . 6
⊢ ⨣ =
(+g‘𝐹) |
7 | | islmod.t |
. . . . . 6
⊢ × =
(.r‘𝐹) |
8 | | islmod.u |
. . . . . 6
⊢ 1 =
(1r‘𝐹) |
9 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 | islmod 19903 |
. . . . 5
⊢ (𝑊 ∈ LMod ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑟 · 𝑤) ∈ 𝑉 ∧ (𝑟 · (𝑤 + 𝑥)) = ((𝑟 · 𝑤) + (𝑟 · 𝑥)) ∧ ((𝑞 ⨣ 𝑟) · 𝑤) = ((𝑞 · 𝑤) + (𝑟 · 𝑤))) ∧ (((𝑞 × 𝑟) · 𝑤) = (𝑞 · (𝑟 · 𝑤)) ∧ ( 1 · 𝑤) = 𝑤)))) |
10 | 9 | simp3bi 1149 |
. . . 4
⊢ (𝑊 ∈ LMod →
∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑟 · 𝑤) ∈ 𝑉 ∧ (𝑟 · (𝑤 + 𝑥)) = ((𝑟 · 𝑤) + (𝑟 · 𝑥)) ∧ ((𝑞 ⨣ 𝑟) · 𝑤) = ((𝑞 · 𝑤) + (𝑟 · 𝑤))) ∧ (((𝑞 × 𝑟) · 𝑤) = (𝑞 · (𝑟 · 𝑤)) ∧ ( 1 · 𝑤) = 𝑤))) |
11 | | oveq1 7220 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑞 = 𝑄 → (𝑞 ⨣ 𝑟) = (𝑄 ⨣ 𝑟)) |
12 | 11 | oveq1d 7228 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑞 = 𝑄 → ((𝑞 ⨣ 𝑟) · 𝑤) = ((𝑄 ⨣ 𝑟) · 𝑤)) |
13 | | oveq1 7220 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑞 = 𝑄 → (𝑞 · 𝑤) = (𝑄 · 𝑤)) |
14 | 13 | oveq1d 7228 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑞 = 𝑄 → ((𝑞 · 𝑤) + (𝑟 · 𝑤)) = ((𝑄 · 𝑤) + (𝑟 · 𝑤))) |
15 | 12, 14 | eqeq12d 2753 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑞 = 𝑄 → (((𝑞 ⨣ 𝑟) · 𝑤) = ((𝑞 · 𝑤) + (𝑟 · 𝑤)) ↔ ((𝑄 ⨣ 𝑟) · 𝑤) = ((𝑄 · 𝑤) + (𝑟 · 𝑤)))) |
16 | 15 | 3anbi3d 1444 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑞 = 𝑄 → (((𝑟 · 𝑤) ∈ 𝑉 ∧ (𝑟 · (𝑤 + 𝑥)) = ((𝑟 · 𝑤) + (𝑟 · 𝑥)) ∧ ((𝑞 ⨣ 𝑟) · 𝑤) = ((𝑞 · 𝑤) + (𝑟 · 𝑤))) ↔ ((𝑟 · 𝑤) ∈ 𝑉 ∧ (𝑟 · (𝑤 + 𝑥)) = ((𝑟 · 𝑤) + (𝑟 · 𝑥)) ∧ ((𝑄 ⨣ 𝑟) · 𝑤) = ((𝑄 · 𝑤) + (𝑟 · 𝑤))))) |
17 | | oveq1 7220 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑞 = 𝑄 → (𝑞 × 𝑟) = (𝑄 × 𝑟)) |
18 | 17 | oveq1d 7228 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑞 = 𝑄 → ((𝑞 × 𝑟) · 𝑤) = ((𝑄 × 𝑟) · 𝑤)) |
19 | | oveq1 7220 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑞 = 𝑄 → (𝑞 · (𝑟 · 𝑤)) = (𝑄 · (𝑟 · 𝑤))) |
20 | 18, 19 | eqeq12d 2753 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑞 = 𝑄 → (((𝑞 × 𝑟) · 𝑤) = (𝑞 · (𝑟 · 𝑤)) ↔ ((𝑄 × 𝑟) · 𝑤) = (𝑄 · (𝑟 · 𝑤)))) |
21 | 20 | anbi1d 633 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑞 = 𝑄 → ((((𝑞 × 𝑟) · 𝑤) = (𝑞 · (𝑟 · 𝑤)) ∧ ( 1 · 𝑤) = 𝑤) ↔ (((𝑄 × 𝑟) · 𝑤) = (𝑄 · (𝑟 · 𝑤)) ∧ ( 1 · 𝑤) = 𝑤))) |
22 | 16, 21 | anbi12d 634 |
. . . . . 6
⊢ (𝑞 = 𝑄 → ((((𝑟 · 𝑤) ∈ 𝑉 ∧ (𝑟 · (𝑤 + 𝑥)) = ((𝑟 · 𝑤) + (𝑟 · 𝑥)) ∧ ((𝑞 ⨣ 𝑟) · 𝑤) = ((𝑞 · 𝑤) + (𝑟 · 𝑤))) ∧ (((𝑞 × 𝑟) · 𝑤) = (𝑞 · (𝑟 · 𝑤)) ∧ ( 1 · 𝑤) = 𝑤)) ↔ (((𝑟 · 𝑤) ∈ 𝑉 ∧ (𝑟 · (𝑤 + 𝑥)) = ((𝑟 · 𝑤) + (𝑟 · 𝑥)) ∧ ((𝑄 ⨣ 𝑟) · 𝑤) = ((𝑄 · 𝑤) + (𝑟 · 𝑤))) ∧ (((𝑄 × 𝑟) · 𝑤) = (𝑄 · (𝑟 · 𝑤)) ∧ ( 1 · 𝑤) = 𝑤)))) |
23 | 22 | 2ralbidv 3120 |
. . . . 5
⊢ (𝑞 = 𝑄 → (∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑟 · 𝑤) ∈ 𝑉 ∧ (𝑟 · (𝑤 + 𝑥)) = ((𝑟 · 𝑤) + (𝑟 · 𝑥)) ∧ ((𝑞 ⨣ 𝑟) · 𝑤) = ((𝑞 · 𝑤) + (𝑟 · 𝑤))) ∧ (((𝑞 × 𝑟) · 𝑤) = (𝑞 · (𝑟 · 𝑤)) ∧ ( 1 · 𝑤) = 𝑤)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑟 · 𝑤) ∈ 𝑉 ∧ (𝑟 · (𝑤 + 𝑥)) = ((𝑟 · 𝑤) + (𝑟 · 𝑥)) ∧ ((𝑄 ⨣ 𝑟) · 𝑤) = ((𝑄 · 𝑤) + (𝑟 · 𝑤))) ∧ (((𝑄 × 𝑟) · 𝑤) = (𝑄 · (𝑟 · 𝑤)) ∧ ( 1 · 𝑤) = 𝑤)))) |
24 | | oveq1 7220 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑟 = 𝑅 → (𝑟 · 𝑤) = (𝑅 · 𝑤)) |
25 | 24 | eleq1d 2822 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑟 = 𝑅 → ((𝑟 · 𝑤) ∈ 𝑉 ↔ (𝑅 · 𝑤) ∈ 𝑉)) |
26 | | oveq1 7220 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑟 = 𝑅 → (𝑟 · (𝑤 + 𝑥)) = (𝑅 · (𝑤 + 𝑥))) |
27 | | oveq1 7220 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑟 = 𝑅 → (𝑟 · 𝑥) = (𝑅 · 𝑥)) |
28 | 24, 27 | oveq12d 7231 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑟 = 𝑅 → ((𝑟 · 𝑤) + (𝑟 · 𝑥)) = ((𝑅 · 𝑤) + (𝑅 · 𝑥))) |
29 | 26, 28 | eqeq12d 2753 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑟 = 𝑅 → ((𝑟 · (𝑤 + 𝑥)) = ((𝑟 · 𝑤) + (𝑟 · 𝑥)) ↔ (𝑅 · (𝑤 + 𝑥)) = ((𝑅 · 𝑤) + (𝑅 · 𝑥)))) |
30 | | oveq2 7221 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑟 = 𝑅 → (𝑄 ⨣ 𝑟) = (𝑄 ⨣ 𝑅)) |
31 | 30 | oveq1d 7228 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑟 = 𝑅 → ((𝑄 ⨣ 𝑟) · 𝑤) = ((𝑄 ⨣ 𝑅) · 𝑤)) |
32 | 24 | oveq2d 7229 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑟 = 𝑅 → ((𝑄 · 𝑤) + (𝑟 · 𝑤)) = ((𝑄 · 𝑤) + (𝑅 · 𝑤))) |
33 | 31, 32 | eqeq12d 2753 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑟 = 𝑅 → (((𝑄 ⨣ 𝑟) · 𝑤) = ((𝑄 · 𝑤) + (𝑟 · 𝑤)) ↔ ((𝑄 ⨣ 𝑅) · 𝑤) = ((𝑄 · 𝑤) + (𝑅 · 𝑤)))) |
34 | 25, 29, 33 | 3anbi123d 1438 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑟 = 𝑅 → (((𝑟 · 𝑤) ∈ 𝑉 ∧ (𝑟 · (𝑤 + 𝑥)) = ((𝑟 · 𝑤) + (𝑟 · 𝑥)) ∧ ((𝑄 ⨣ 𝑟) · 𝑤) = ((𝑄 · 𝑤) + (𝑟 · 𝑤))) ↔ ((𝑅 · 𝑤) ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 · (𝑤 + 𝑥)) = ((𝑅 · 𝑤) + (𝑅 · 𝑥)) ∧ ((𝑄 ⨣ 𝑅) · 𝑤) = ((𝑄 · 𝑤) + (𝑅 · 𝑤))))) |
35 | | oveq2 7221 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑟 = 𝑅 → (𝑄 × 𝑟) = (𝑄 × 𝑅)) |
36 | 35 | oveq1d 7228 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑟 = 𝑅 → ((𝑄 × 𝑟) · 𝑤) = ((𝑄 × 𝑅) · 𝑤)) |
37 | 24 | oveq2d 7229 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑟 = 𝑅 → (𝑄 · (𝑟 · 𝑤)) = (𝑄 · (𝑅 · 𝑤))) |
38 | 36, 37 | eqeq12d 2753 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑟 = 𝑅 → (((𝑄 × 𝑟) · 𝑤) = (𝑄 · (𝑟 · 𝑤)) ↔ ((𝑄 × 𝑅) · 𝑤) = (𝑄 · (𝑅 · 𝑤)))) |
39 | 38 | anbi1d 633 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑟 = 𝑅 → ((((𝑄 × 𝑟) · 𝑤) = (𝑄 · (𝑟 · 𝑤)) ∧ ( 1 · 𝑤) = 𝑤) ↔ (((𝑄 × 𝑅) · 𝑤) = (𝑄 · (𝑅 · 𝑤)) ∧ ( 1 · 𝑤) = 𝑤))) |
40 | 34, 39 | anbi12d 634 |
. . . . . 6
⊢ (𝑟 = 𝑅 → ((((𝑟 · 𝑤) ∈ 𝑉 ∧ (𝑟 · (𝑤 + 𝑥)) = ((𝑟 · 𝑤) + (𝑟 · 𝑥)) ∧ ((𝑄 ⨣ 𝑟) · 𝑤) = ((𝑄 · 𝑤) + (𝑟 · 𝑤))) ∧ (((𝑄 × 𝑟) · 𝑤) = (𝑄 · (𝑟 · 𝑤)) ∧ ( 1 · 𝑤) = 𝑤)) ↔ (((𝑅 · 𝑤) ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 · (𝑤 + 𝑥)) = ((𝑅 · 𝑤) + (𝑅 · 𝑥)) ∧ ((𝑄 ⨣ 𝑅) · 𝑤) = ((𝑄 · 𝑤) + (𝑅 · 𝑤))) ∧ (((𝑄 × 𝑅) · 𝑤) = (𝑄 · (𝑅 · 𝑤)) ∧ ( 1 · 𝑤) = 𝑤)))) |
41 | 40 | 2ralbidv 3120 |
. . . . 5
⊢ (𝑟 = 𝑅 → (∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑟 · 𝑤) ∈ 𝑉 ∧ (𝑟 · (𝑤 + 𝑥)) = ((𝑟 · 𝑤) + (𝑟 · 𝑥)) ∧ ((𝑄 ⨣ 𝑟) · 𝑤) = ((𝑄 · 𝑤) + (𝑟 · 𝑤))) ∧ (((𝑄 × 𝑟) · 𝑤) = (𝑄 · (𝑟 · 𝑤)) ∧ ( 1 · 𝑤) = 𝑤)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑅 · 𝑤) ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 · (𝑤 + 𝑥)) = ((𝑅 · 𝑤) + (𝑅 · 𝑥)) ∧ ((𝑄 ⨣ 𝑅) · 𝑤) = ((𝑄 · 𝑤) + (𝑅 · 𝑤))) ∧ (((𝑄 × 𝑅) · 𝑤) = (𝑄 · (𝑅 · 𝑤)) ∧ ( 1 · 𝑤) = 𝑤)))) |
42 | 23, 41 | rspc2v 3547 |
. . . 4
⊢ ((𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾) → (∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑟 · 𝑤) ∈ 𝑉 ∧ (𝑟 · (𝑤 + 𝑥)) = ((𝑟 · 𝑤) + (𝑟 · 𝑥)) ∧ ((𝑞 ⨣ 𝑟) · 𝑤) = ((𝑞 · 𝑤) + (𝑟 · 𝑤))) ∧ (((𝑞 × 𝑟) · 𝑤) = (𝑞 · (𝑟 · 𝑤)) ∧ ( 1 · 𝑤) = 𝑤)) → ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑅 · 𝑤) ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 · (𝑤 + 𝑥)) = ((𝑅 · 𝑤) + (𝑅 · 𝑥)) ∧ ((𝑄 ⨣ 𝑅) · 𝑤) = ((𝑄 · 𝑤) + (𝑅 · 𝑤))) ∧ (((𝑄 × 𝑅) · 𝑤) = (𝑄 · (𝑅 · 𝑤)) ∧ ( 1 · 𝑤) = 𝑤)))) |
43 | 10, 42 | mpan9 510 |
. . 3
⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾)) → ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑅 · 𝑤) ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 · (𝑤 + 𝑥)) = ((𝑅 · 𝑤) + (𝑅 · 𝑥)) ∧ ((𝑄 ⨣ 𝑅) · 𝑤) = ((𝑄 · 𝑤) + (𝑅 · 𝑤))) ∧ (((𝑄 × 𝑅) · 𝑤) = (𝑄 · (𝑅 · 𝑤)) ∧ ( 1 · 𝑤) = 𝑤))) |
44 | | oveq2 7221 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑤 + 𝑥) = (𝑤 + 𝑋)) |
45 | 44 | oveq2d 7229 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑅 · (𝑤 + 𝑥)) = (𝑅 · (𝑤 + 𝑋))) |
46 | | oveq2 7221 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑅 · 𝑥) = (𝑅 · 𝑋)) |
47 | 46 | oveq2d 7229 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑅 · 𝑤) + (𝑅 · 𝑥)) = ((𝑅 · 𝑤) + (𝑅 · 𝑋))) |
48 | 45, 47 | eqeq12d 2753 |
. . . . . 6
⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑅 · (𝑤 + 𝑥)) = ((𝑅 · 𝑤) + (𝑅 · 𝑥)) ↔ (𝑅 · (𝑤 + 𝑋)) = ((𝑅 · 𝑤) + (𝑅 · 𝑋)))) |
49 | 48 | 3anbi2d 1443 |
. . . . 5
⊢ (𝑥 = 𝑋 → (((𝑅 · 𝑤) ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 · (𝑤 + 𝑥)) = ((𝑅 · 𝑤) + (𝑅 · 𝑥)) ∧ ((𝑄 ⨣ 𝑅) · 𝑤) = ((𝑄 · 𝑤) + (𝑅 · 𝑤))) ↔ ((𝑅 · 𝑤) ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 · (𝑤 + 𝑋)) = ((𝑅 · 𝑤) + (𝑅 · 𝑋)) ∧ ((𝑄 ⨣ 𝑅) · 𝑤) = ((𝑄 · 𝑤) + (𝑅 · 𝑤))))) |
50 | 49 | anbi1d 633 |
. . . 4
⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((((𝑅 · 𝑤) ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 · (𝑤 + 𝑥)) = ((𝑅 · 𝑤) + (𝑅 · 𝑥)) ∧ ((𝑄 ⨣ 𝑅) · 𝑤) = ((𝑄 · 𝑤) + (𝑅 · 𝑤))) ∧ (((𝑄 × 𝑅) · 𝑤) = (𝑄 · (𝑅 · 𝑤)) ∧ ( 1 · 𝑤) = 𝑤)) ↔ (((𝑅 · 𝑤) ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 · (𝑤 + 𝑋)) = ((𝑅 · 𝑤) + (𝑅 · 𝑋)) ∧ ((𝑄 ⨣ 𝑅) · 𝑤) = ((𝑄 · 𝑤) + (𝑅 · 𝑤))) ∧ (((𝑄 × 𝑅) · 𝑤) = (𝑄 · (𝑅 · 𝑤)) ∧ ( 1 · 𝑤) = 𝑤)))) |
51 | | oveq2 7221 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑤 = 𝑌 → (𝑅 · 𝑤) = (𝑅 · 𝑌)) |
52 | 51 | eleq1d 2822 |
. . . . . 6
⊢ (𝑤 = 𝑌 → ((𝑅 · 𝑤) ∈ 𝑉 ↔ (𝑅 · 𝑌) ∈ 𝑉)) |
53 | | oveq1 7220 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑤 = 𝑌 → (𝑤 + 𝑋) = (𝑌 + 𝑋)) |
54 | 53 | oveq2d 7229 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑤 = 𝑌 → (𝑅 · (𝑤 + 𝑋)) = (𝑅 · (𝑌 + 𝑋))) |
55 | 51 | oveq1d 7228 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑤 = 𝑌 → ((𝑅 · 𝑤) + (𝑅 · 𝑋)) = ((𝑅 · 𝑌) + (𝑅 · 𝑋))) |
56 | 54, 55 | eqeq12d 2753 |
. . . . . 6
⊢ (𝑤 = 𝑌 → ((𝑅 · (𝑤 + 𝑋)) = ((𝑅 · 𝑤) + (𝑅 · 𝑋)) ↔ (𝑅 · (𝑌 + 𝑋)) = ((𝑅 · 𝑌) + (𝑅 · 𝑋)))) |
57 | | oveq2 7221 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑤 = 𝑌 → ((𝑄 ⨣ 𝑅) · 𝑤) = ((𝑄 ⨣ 𝑅) · 𝑌)) |
58 | | oveq2 7221 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑤 = 𝑌 → (𝑄 · 𝑤) = (𝑄 · 𝑌)) |
59 | 58, 51 | oveq12d 7231 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑤 = 𝑌 → ((𝑄 · 𝑤) + (𝑅 · 𝑤)) = ((𝑄 · 𝑌) + (𝑅 · 𝑌))) |
60 | 57, 59 | eqeq12d 2753 |
. . . . . 6
⊢ (𝑤 = 𝑌 → (((𝑄 ⨣ 𝑅) · 𝑤) = ((𝑄 · 𝑤) + (𝑅 · 𝑤)) ↔ ((𝑄 ⨣ 𝑅) · 𝑌) = ((𝑄 · 𝑌) + (𝑅 · 𝑌)))) |
61 | 52, 56, 60 | 3anbi123d 1438 |
. . . . 5
⊢ (𝑤 = 𝑌 → (((𝑅 · 𝑤) ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 · (𝑤 + 𝑋)) = ((𝑅 · 𝑤) + (𝑅 · 𝑋)) ∧ ((𝑄 ⨣ 𝑅) · 𝑤) = ((𝑄 · 𝑤) + (𝑅 · 𝑤))) ↔ ((𝑅 · 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 · (𝑌 + 𝑋)) = ((𝑅 · 𝑌) + (𝑅 · 𝑋)) ∧ ((𝑄 ⨣ 𝑅) · 𝑌) = ((𝑄 · 𝑌) + (𝑅 · 𝑌))))) |
62 | | oveq2 7221 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑤 = 𝑌 → ((𝑄 × 𝑅) · 𝑤) = ((𝑄 × 𝑅) · 𝑌)) |
63 | 51 | oveq2d 7229 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑤 = 𝑌 → (𝑄 · (𝑅 · 𝑤)) = (𝑄 · (𝑅 · 𝑌))) |
64 | 62, 63 | eqeq12d 2753 |
. . . . . 6
⊢ (𝑤 = 𝑌 → (((𝑄 × 𝑅) · 𝑤) = (𝑄 · (𝑅 · 𝑤)) ↔ ((𝑄 × 𝑅) · 𝑌) = (𝑄 · (𝑅 · 𝑌)))) |
65 | | oveq2 7221 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑤 = 𝑌 → ( 1 · 𝑤) = ( 1 · 𝑌)) |
66 | | id 22 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑤 = 𝑌 → 𝑤 = 𝑌) |
67 | 65, 66 | eqeq12d 2753 |
. . . . . 6
⊢ (𝑤 = 𝑌 → (( 1 · 𝑤) = 𝑤 ↔ ( 1 · 𝑌) = 𝑌)) |
68 | 64, 67 | anbi12d 634 |
. . . . 5
⊢ (𝑤 = 𝑌 → ((((𝑄 × 𝑅) · 𝑤) = (𝑄 · (𝑅 · 𝑤)) ∧ ( 1 · 𝑤) = 𝑤) ↔ (((𝑄 × 𝑅) · 𝑌) = (𝑄 · (𝑅 · 𝑌)) ∧ ( 1 · 𝑌) = 𝑌))) |
69 | 61, 68 | anbi12d 634 |
. . . 4
⊢ (𝑤 = 𝑌 → ((((𝑅 · 𝑤) ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 · (𝑤 + 𝑋)) = ((𝑅 · 𝑤) + (𝑅 · 𝑋)) ∧ ((𝑄 ⨣ 𝑅) · 𝑤) = ((𝑄 · 𝑤) + (𝑅 · 𝑤))) ∧ (((𝑄 × 𝑅) · 𝑤) = (𝑄 · (𝑅 · 𝑤)) ∧ ( 1 · 𝑤) = 𝑤)) ↔ (((𝑅 · 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 · (𝑌 + 𝑋)) = ((𝑅 · 𝑌) + (𝑅 · 𝑋)) ∧ ((𝑄 ⨣ 𝑅) · 𝑌) = ((𝑄 · 𝑌) + (𝑅 · 𝑌))) ∧ (((𝑄 × 𝑅) · 𝑌) = (𝑄 · (𝑅 · 𝑌)) ∧ ( 1 · 𝑌) = 𝑌)))) |
70 | 50, 69 | rspc2v 3547 |
. . 3
⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑅 · 𝑤) ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 · (𝑤 + 𝑥)) = ((𝑅 · 𝑤) + (𝑅 · 𝑥)) ∧ ((𝑄 ⨣ 𝑅) · 𝑤) = ((𝑄 · 𝑤) + (𝑅 · 𝑤))) ∧ (((𝑄 × 𝑅) · 𝑤) = (𝑄 · (𝑅 · 𝑤)) ∧ ( 1 · 𝑤) = 𝑤)) → (((𝑅 · 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 · (𝑌 + 𝑋)) = ((𝑅 · 𝑌) + (𝑅 · 𝑋)) ∧ ((𝑄 ⨣ 𝑅) · 𝑌) = ((𝑄 · 𝑌) + (𝑅 · 𝑌))) ∧ (((𝑄 × 𝑅) · 𝑌) = (𝑄 · (𝑅 · 𝑌)) ∧ ( 1 · 𝑌) = 𝑌)))) |
71 | 43, 70 | syl5com 31 |
. 2
⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾)) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (((𝑅 · 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 · (𝑌 + 𝑋)) = ((𝑅 · 𝑌) + (𝑅 · 𝑋)) ∧ ((𝑄 ⨣ 𝑅) · 𝑌) = ((𝑄 · 𝑌) + (𝑅 · 𝑌))) ∧ (((𝑄 × 𝑅) · 𝑌) = (𝑄 · (𝑅 · 𝑌)) ∧ ( 1 · 𝑌) = 𝑌)))) |
72 | 71 | 3impia 1119 |
1
⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (((𝑅 · 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 · (𝑌 + 𝑋)) = ((𝑅 · 𝑌) + (𝑅 · 𝑋)) ∧ ((𝑄 ⨣ 𝑅) · 𝑌) = ((𝑄 · 𝑌) + (𝑅 · 𝑌))) ∧ (((𝑄 × 𝑅) · 𝑌) = (𝑄 · (𝑅 · 𝑌)) ∧ ( 1 · 𝑌) = 𝑌))) |