MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodvsdir Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmodvsdir 20885
Description: Distributive law for scalar product (right-distributivity). (ax-hvdistr1 31028 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvsdir.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodvsdir.a + = (+g𝑊)
lmodvsdir.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodvsdir.s · = ( ·𝑠𝑊)
lmodvsdir.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
lmodvsdir.p = (+g𝐹)
Assertion
Ref Expression
lmodvsdir ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄𝐾𝑅𝐾𝑋𝑉)) → ((𝑄 𝑅) · 𝑋) = ((𝑄 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑋)))

Proof of Theorem lmodvsdir
StepHypRef Expression
1 lmodvsdir.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 lmodvsdir.a . . . . . . . 8 + = (+g𝑊)
3 lmodvsdir.s . . . . . . . 8 · = ( ·𝑠𝑊)
4 lmodvsdir.f . . . . . . . 8 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
5 lmodvsdir.k . . . . . . . 8 𝐾 = (Base‘𝐹)
6 lmodvsdir.p . . . . . . . 8 = (+g𝐹)
7 eqid 2736 . . . . . . . 8 (.r𝐹) = (.r𝐹)
8 eqid 2736 . . . . . . . 8 (1r𝐹) = (1r𝐹)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8lmodlema 20864 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄𝐾𝑅𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑋𝑉)) → (((𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 · (𝑋 + 𝑋)) = ((𝑅 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑋)) ∧ ((𝑄 𝑅) · 𝑋) = ((𝑄 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑋))) ∧ (((𝑄(.r𝐹)𝑅) · 𝑋) = (𝑄 · (𝑅 · 𝑋)) ∧ ((1r𝐹) · 𝑋) = 𝑋)))
109simpld 494 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄𝐾𝑅𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑋𝑉)) → ((𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 · (𝑋 + 𝑋)) = ((𝑅 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑋)) ∧ ((𝑄 𝑅) · 𝑋) = ((𝑄 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑋))))
1110simp3d 1144 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄𝐾𝑅𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑋𝑉)) → ((𝑄 𝑅) · 𝑋) = ((𝑄 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑋)))
12113expa 1118 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄𝐾𝑅𝐾)) ∧ (𝑋𝑉𝑋𝑉)) → ((𝑄 𝑅) · 𝑋) = ((𝑄 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑋)))
1312anabsan2 674 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄𝐾𝑅𝐾)) ∧ 𝑋𝑉) → ((𝑄 𝑅) · 𝑋) = ((𝑄 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑋)))
1413exp42 435 . 2 (𝑊 ∈ LMod → (𝑄𝐾 → (𝑅𝐾 → (𝑋𝑉 → ((𝑄 𝑅) · 𝑋) = ((𝑄 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑋))))))
15143imp2 1349 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄𝐾𝑅𝐾𝑋𝑉)) → ((𝑄 𝑅) · 𝑋) = ((𝑄 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  cfv 6560  (class class class)co 7432  Basecbs 17248  +gcplusg 17298  .rcmulr 17299  Scalarcsca 17301   ·𝑠 cvsca 17302  1rcur 20179  LModclmod 20859
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2707  ax-nul 5305
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-sb 2064  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-dif 3953  df-un 3955  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-iota 6513  df-fv 6568  df-ov 7435  df-lmod 20861
This theorem is referenced by:  lmod0vs  20894  lmodvsmmulgdi  20896  lmodvneg1  20904  lmodcom  20907  lmodsubdir  20919  islss3  20958  lss1d  20962  prdslmodd  20968  lspsolvlem  21145  frlmup1  21819  asclghm  21904  scmataddcl  22523  scmatghm  22540  pm2mpghm  22823  clmvsdir  25125  cvsi  25164  lmodvslmhm  33054  imaslmod  33382  lshpkrlem4  39115  baerlem3lem1  41710  baerlem5blem1  41712  hgmapadd  41897  mendlmod  43206  lmodvsmdi  48300  lincsum  48351  ldepsprlem  48394
  Copyright terms: Public domain W3C validator