Theorem lmodvsdir 20807

Description: Distributive law for scalar product (right-distributivity). (ax-hvdistr1 30970 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvsdir.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodvsdir.a	⊢ + = (+g‘𝑊)
lmodvsdir.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodvsdir.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lmodvsdir.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lmodvsdir.p	⊢ ⨣ = (+g‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lmodvsdir	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑄 ⨣ 𝑅) · 𝑋) = ((𝑄 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑋)))

Proof of Theorem lmodvsdir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodvsdir.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lmodvsdir.a	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘𝑊)
3		lmodvsdir.s	. . . . . . . 8 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
4		lmodvsdir.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
5		lmodvsdir.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
6		lmodvsdir.p	. . . . . . . 8 ⊢ ⨣ = (+g‘𝐹)
7		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
8		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	lmodlema 20786	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (((𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 · (𝑋 + 𝑋)) = ((𝑅 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑋)) ∧ ((𝑄 ⨣ 𝑅) · 𝑋) = ((𝑄 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑋))) ∧ (((𝑄(.r‘𝐹)𝑅) · 𝑋) = (𝑄 · (𝑅 · 𝑋)) ∧ ((1r‘𝐹) · 𝑋) = 𝑋)))
10	9	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 · (𝑋 + 𝑋)) = ((𝑅 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑋)) ∧ ((𝑄 ⨣ 𝑅) · 𝑋) = ((𝑄 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑋))))
11	10	simp3d 1144	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑄 ⨣ 𝑅) · 𝑋) = ((𝑄 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑋)))
12	11	3expa 1118	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑄 ⨣ 𝑅) · 𝑋) = ((𝑄 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑋)))
13	12	anabsan2 674	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑄 ⨣ 𝑅) · 𝑋) = ((𝑄 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑋)))
14	13	exp42 435	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑄 ∈ 𝐾 → (𝑅 ∈ 𝐾 → (𝑋 ∈ 𝑉 → ((𝑄 ⨣ 𝑅) · 𝑋) = ((𝑄 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑋))))))
15	14	3imp2 1350	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑄 ⨣ 𝑅) · 𝑋) = ((𝑄 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  Basecbs 17138  +_gcplusg 17179  ._rcmulr 17180  Scalarcsca 17182   ·_𝑠 cvsca 17183  1_rcur 20084  LModclmod 20781

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-nul 5248

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-dif 3908  df-un 3910  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-iota 6442  df-fv 6494  df-ov 7356  df-lmod 20783

This theorem is referenced by:  lmod0vs  20816  lmodvsmmulgdi  20818  lmodvneg1  20826  lmodcom  20829  lmodsubdir  20841  islss3  20880  lss1d  20884  prdslmodd  20890  lspsolvlem  21067  frlmup1  21723  asclghm  21808  scmataddcl  22419  scmatghm  22436  pm2mpghm  22719  clmvsdir  25007  cvsi  25046  lmodvslmhm  33016  imaslmod  33300  lshpkrlem4  39091  baerlem3lem1  41686  baerlem5blem1  41688  hgmapadd  41873  mendlmod  43162  lmodvsmdi  48364  lincsum  48415  ldepsprlem  48458