Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodvsdir Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmodvsdir 19581
 Description: Distributive law for scalar product (right-distributivity). (ax-hvdistr1 28702 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvsdir.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodvsdir.a + = (+g𝑊)
lmodvsdir.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodvsdir.s · = ( ·𝑠𝑊)
lmodvsdir.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
lmodvsdir.p = (+g𝐹)
Assertion
Ref Expression
lmodvsdir ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄𝐾𝑅𝐾𝑋𝑉)) → ((𝑄 𝑅) · 𝑋) = ((𝑄 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑋)))

Proof of Theorem lmodvsdir
StepHypRef Expression
1 lmodvsdir.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 lmodvsdir.a . . . . . . . 8 + = (+g𝑊)
3 lmodvsdir.s . . . . . . . 8 · = ( ·𝑠𝑊)
4 lmodvsdir.f . . . . . . . 8 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
5 lmodvsdir.k . . . . . . . 8 𝐾 = (Base‘𝐹)
6 lmodvsdir.p . . . . . . . 8 = (+g𝐹)
7 eqid 2825 . . . . . . . 8 (.r𝐹) = (.r𝐹)
8 eqid 2825 . . . . . . . 8 (1r𝐹) = (1r𝐹)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8lmodlema 19562 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄𝐾𝑅𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑋𝑉)) → (((𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 · (𝑋 + 𝑋)) = ((𝑅 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑋)) ∧ ((𝑄 𝑅) · 𝑋) = ((𝑄 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑋))) ∧ (((𝑄(.r𝐹)𝑅) · 𝑋) = (𝑄 · (𝑅 · 𝑋)) ∧ ((1r𝐹) · 𝑋) = 𝑋)))
109simpld 495 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄𝐾𝑅𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑋𝑉)) → ((𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 · (𝑋 + 𝑋)) = ((𝑅 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑋)) ∧ ((𝑄 𝑅) · 𝑋) = ((𝑄 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑋))))
1110simp3d 1138 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄𝐾𝑅𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑋𝑉)) → ((𝑄 𝑅) · 𝑋) = ((𝑄 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑋)))
12113expa 1112 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄𝐾𝑅𝐾)) ∧ (𝑋𝑉𝑋𝑉)) → ((𝑄 𝑅) · 𝑋) = ((𝑄 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑋)))
1312anabsan2 670 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄𝐾𝑅𝐾)) ∧ 𝑋𝑉) → ((𝑄 𝑅) · 𝑋) = ((𝑄 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑋)))
1413exp42 436 . 2 (𝑊 ∈ LMod → (𝑄𝐾 → (𝑅𝐾 → (𝑋𝑉 → ((𝑄 𝑅) · 𝑋) = ((𝑄 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑋))))))
15143imp2 1343 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄𝐾𝑅𝐾𝑋𝑉)) → ((𝑄 𝑅) · 𝑋) = ((𝑄 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑋)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1081   = wceq 1530   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6351  (class class class)co 7151  Basecbs 16476  +gcplusg 16558  .rcmulr 16559  Scalarcsca 16561   ·𝑠 cvsca 16562  1rcur 19174  LModclmod 19557 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-nul 5206 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ral 3147  df-rex 3148  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4470  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4837  df-br 5063  df-iota 6311  df-fv 6359  df-ov 7154  df-lmod 19559 This theorem is referenced by:  lmod0vs  19590  lmodvsmmulgdi  19592  lmodvneg1  19600  lmodcom  19603  lmodsubdir  19615  islss3  19654  lss1d  19658  prdslmodd  19664  lspsolvlem  19837  asclghm  20034  frlmup1  20861  scmataddcl  21044  scmatghm  21061  pm2mpghm  21343  clmvsdir  23613  cvsi  23652  lmodvslmhm  30605  imaslmod  30839  lshpkrlem4  36119  baerlem3lem1  38713  baerlem5blem1  38715  hgmapadd  38900  mendlmod  39661  lmodvsmdi  44265  lincsum  44319  ldepsprlem  44362
 Copyright terms: Public domain W3C validator