Theorem lmodvsdir 21076

Description: Distributive law for scalar product (right-distributivity). (ax-hvdistr1 31497 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvsdir.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodvsdir.a	⊢ + = (+g‘𝑊)
lmodvsdir.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodvsdir.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lmodvsdir.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lmodvsdir.p	⊢ ⨣ = (+g‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lmodvsdir	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑄 ⨣ 𝑅) · 𝑋) = ((𝑄 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑋)))

Proof of Theorem lmodvsdir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodvsdir.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lmodvsdir.a	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘𝑊)
3		lmodvsdir.s	. . . . . . . 8 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
4		lmodvsdir.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
5		lmodvsdir.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
6		lmodvsdir.p	. . . . . . . 8 ⊢ ⨣ = (+g‘𝐹)
7		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
8		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	lmodlema 21055	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (((𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 · (𝑋 + 𝑋)) = ((𝑅 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑋)) ∧ ((𝑄 ⨣ 𝑅) · 𝑋) = ((𝑄 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑋))) ∧ (((𝑄(.r‘𝐹)𝑅) · 𝑋) = (𝑄 · (𝑅 · 𝑋)) ∧ ((1r‘𝐹) · 𝑋) = 𝑋)))
10	9	simpld 500	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 · (𝑋 + 𝑋)) = ((𝑅 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑋)) ∧ ((𝑄 ⨣ 𝑅) · 𝑋) = ((𝑄 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑋))))
11	10	simp3d 1162	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑄 ⨣ 𝑅) · 𝑋) = ((𝑄 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑋)))
12	11	3expa 1136	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑄 ⨣ 𝑅) · 𝑋) = ((𝑄 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑋)))
13	12	anabsan2 687	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑄 ⨣ 𝑅) · 𝑋) = ((𝑄 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑋)))
14	13	exp42 441	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑄 ∈ 𝐾 → (𝑅 ∈ 𝐾 → (𝑋 ∈ 𝑉 → ((𝑄 ⨣ 𝑅) · 𝑋) = ((𝑄 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑋))))))
15	14	3imp2 1368	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑄 ⨣ 𝑅) · 𝑋) = ((𝑄 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  Basecbs 17307  +_gcplusg 17348  ._rcmulr 17349  Scalarcsca 17351   ·_𝑠 cvsca 17352  1_rcur 20326  LModclmod 21050

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2734  ax-nul 5267

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-dif 3905  df-un 3907  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-iota 6493  df-fv 6545  df-ov 7420  df-lmod 21052

This theorem is used by:  lmod0vs  21085  lmodvsmmulgdi  21087  lmodvneg1  21095  lmodcom  21098  lmodsubdir  21110  islss3  21149  lss1d  21153  prdslmodd  21159  lspsolvlem  21335  frlmup1  22017  asclghm  22103  scmataddcl  22744  scmatghm  22761  pm2mpghm  23047  clmvsdir  25325  cvsi  25364  lmodvslmhm  33498  imaslmod  33801  lshpkrlem4  39994  baerlem3lem1  42588  baerlem5blem1  42590  hgmapadd  42775  mendlmod  44038  lmodvsmdi  49317  lincsum  49367  ldepsprlem  49410