Theorem lmodvsdi 20791

Description: Distributive law for scalar product (left-distributivity). (ax-hvdistr1 30937 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvsdi.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodvsdi.a	⊢ + = (+g‘𝑊)
lmodvsdi.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodvsdi.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lmodvsdi.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lmodvsdi	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝑅 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑅 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑌)))

Proof of Theorem lmodvsdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodvsdi.v	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lmodvsdi.a	. . . . . . . . 9 ⊢ + = (+g‘𝑊)
3		lmodvsdi.s	. . . . . . . . 9 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
4		lmodvsdi.f	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
5		lmodvsdi.k	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
6		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝐹) = (+g‘𝐹)
7		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
8		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	lmodlema 20771	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾) ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (((𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑅 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑌)) ∧ ((𝑅(+g‘𝐹)𝑅) · 𝑋) = ((𝑅 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑋))) ∧ (((𝑅(.r‘𝐹)𝑅) · 𝑋) = (𝑅 · (𝑅 · 𝑋)) ∧ ((1r‘𝐹) · 𝑋) = 𝑋)))
10	9	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾) ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑅 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑌)) ∧ ((𝑅(+g‘𝐹)𝑅) · 𝑋) = ((𝑅 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑋))))
11	10	simp2d 1143	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾) ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (𝑅 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑅 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑌)))
12	11	3expia 1121	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾)) → ((𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑅 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑅 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑌))))
13	12	anabsan2 674	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾) → ((𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑅 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑅 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑌))))
14	13	exp4b 430	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑅 ∈ 𝐾 → (𝑌 ∈ 𝑉 → (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑅 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑅 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑌))))))
15	14	com34 91	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑅 ∈ 𝐾 → (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑌 ∈ 𝑉 → (𝑅 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑅 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑌))))))
16	15	3imp2 1350	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝑅 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑅 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  ._rcmulr 17221  Scalarcsca 17223   ·_𝑠 cvsca 17224  1_rcur 20090  LModclmod 20766

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-nul 5261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-dif 3917  df-un 3919  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-iota 6464  df-fv 6519  df-ov 7390  df-lmod 20768

This theorem is referenced by:  lmodcom  20814  lmodsubdi  20825  lmodvsghm  20829  islss3  20865  prdslmodd  20875  lmodvsinv2  20944  lmhmplusg  20951  lsmcl  20990  pj1lmhm  21007  lspfixed  21038  lspsolvlem  21052  clmvsdi  24992  cvsi  25030  eqgvscpbl  33321  imaslmod  33324  lshpkrlem4  39106  baerlem5alem1  41702  baerlem5blem1  41703  hdmap14lem8  41869  mendlmod  43178  lmodvsmdi  48367