Theorem lmodvsdi 20816

Description: Distributive law for scalar product (left-distributivity). (ax-hvdistr1 30983 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvsdi.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodvsdi.a	⊢ + = (+g‘𝑊)
lmodvsdi.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodvsdi.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lmodvsdi.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lmodvsdi	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝑅 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑅 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑌)))

Proof of Theorem lmodvsdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodvsdi.v	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lmodvsdi.a	. . . . . . . . 9 ⊢ + = (+g‘𝑊)
3		lmodvsdi.s	. . . . . . . . 9 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
4		lmodvsdi.f	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
5		lmodvsdi.k	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
6		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝐹) = (+g‘𝐹)
7		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
8		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	lmodlema 20796	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾) ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (((𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑅 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑌)) ∧ ((𝑅(+g‘𝐹)𝑅) · 𝑋) = ((𝑅 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑋))) ∧ (((𝑅(.r‘𝐹)𝑅) · 𝑋) = (𝑅 · (𝑅 · 𝑋)) ∧ ((1r‘𝐹) · 𝑋) = 𝑋)))
10	9	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾) ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑅 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑌)) ∧ ((𝑅(+g‘𝐹)𝑅) · 𝑋) = ((𝑅 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑋))))
11	10	simp2d 1143	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾) ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (𝑅 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑅 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑌)))
12	11	3expia 1121	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾)) → ((𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑅 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑅 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑌))))
13	12	anabsan2 674	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾) → ((𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑅 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑅 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑌))))
14	13	exp4b 430	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑅 ∈ 𝐾 → (𝑌 ∈ 𝑉 → (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑅 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑅 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑌))))))
15	14	com34 91	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑅 ∈ 𝐾 → (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑌 ∈ 𝑉 → (𝑅 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑅 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑌))))))
16	15	3imp2 1350	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝑅 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑅 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17117  +_gcplusg 17158  ._rcmulr 17159  Scalarcsca 17161   ·_𝑠 cvsca 17162  1_rcur 20097  LModclmod 20791

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703  ax-nul 5244

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-dif 3905  df-un 3907  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-iota 6437  df-fv 6489  df-ov 7349  df-lmod 20793

This theorem is referenced by:  lmodcom  20839  lmodsubdi  20850  lmodvsghm  20854  islss3  20890  prdslmodd  20900  lmodvsinv2  20969  lmhmplusg  20976  lsmcl  21015  pj1lmhm  21032  lspfixed  21063  lspsolvlem  21077  clmvsdi  25017  cvsi  25055  eqgvscpbl  33310  imaslmod  33313  lshpkrlem4  39151  baerlem5alem1  41746  baerlem5blem1  41747  hdmap14lem8  41913  mendlmod  43221  lmodvsmdi  48409