Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodvs1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmodvs1 19664
 Description: Scalar product with ring unit. (ax-hvmulid 28798 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvs1.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodvs1.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodvs1.s · = ( ·𝑠𝑊)
lmodvs1.u 1 = (1r𝐹)
Assertion
Ref Expression
lmodvs1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ( 1 · 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem lmodvs1
StepHypRef Expression
1 simpl 486 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
2 lmodvs1.f . . . 4 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
3 eqid 2824 . . . 4 (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
4 lmodvs1.u . . . 4 1 = (1r𝐹)
52, 3, 4lmod1cl 19663 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → 1 ∈ (Base‘𝐹))
65adantr 484 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → 1 ∈ (Base‘𝐹))
7 simpr 488 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋𝑉)
8 lmodvs1.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
9 eqid 2824 . . . 4 (+g𝑊) = (+g𝑊)
10 lmodvs1.s . . . 4 · = ( ·𝑠𝑊)
11 eqid 2824 . . . 4 (+g𝐹) = (+g𝐹)
12 eqid 2824 . . . 4 (.r𝐹) = (.r𝐹)
138, 9, 10, 2, 3, 11, 12, 4lmodlema 19641 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ( 1 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 1 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ (𝑋𝑉𝑋𝑉)) → ((( 1 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ ( 1 · (𝑋(+g𝑊)𝑋)) = (( 1 · 𝑋)(+g𝑊)( 1 · 𝑋)) ∧ (( 1 (+g𝐹) 1 ) · 𝑋) = (( 1 · 𝑋)(+g𝑊)( 1 · 𝑋))) ∧ ((( 1 (.r𝐹) 1 ) · 𝑋) = ( 1 · ( 1 · 𝑋)) ∧ ( 1 · 𝑋) = 𝑋)))
1413simprrd 773 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ( 1 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 1 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ (𝑋𝑉𝑋𝑉)) → ( 1 · 𝑋) = 𝑋)
151, 6, 6, 7, 7, 14syl122anc 1376 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ( 1 · 𝑋) = 𝑋)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ‘cfv 6345  (class class class)co 7151  Basecbs 16485  +gcplusg 16567  .rcmulr 16568  Scalarcsca 16570   ·𝑠 cvsca 16571  1rcur 19253  LModclmod 19636 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6137  df-ord 6183  df-on 6184  df-lim 6185  df-suc 6186  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7577  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-er 8287  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11637  df-2 11699  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-plusg 16580  df-0g 16717  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-mgp 19242  df-ur 19254  df-ring 19301  df-lmod 19638 This theorem is referenced by:  lmodfopne  19674  lmodvneg1  19679  lmodcom  19682  lssvacl  19728  islss3  19733  prdslmodd  19743  lspsn  19776  islmhm2  19812  lbsind2  19855  lvecvs0or  19882  lssvs0or  19884  lvecinv  19887  lspsnvs  19888  lspsneq  19896  lspfixed  19902  lspexch  19903  lspsolv  19917  frlmup2  20497  lindfind2  20516  asclrhm  20585  assamulgscmlem1  20594  coe1pwmul  20917  ply1scl1  20930  ply1idvr1  20931  scmatid  21128  scmatmhm  21148  matinv  21291  decpmatid  21384  idpm2idmp  21415  chfacfscmulgsum  21474  cpmadugsumlemF  21490  clmvs1  23707  deg1pwle  24729  deg1pw  24730  ply1remlem  24772  imaslmod  30965  lfl0  36333  lfladd  36334  dochfl1  38744  lcfl7lem  38767  mapdpglem21  38960  mapdpglem30  38970  mapdpglem31  38971  hgmapval1  39161  prjsperref  39544  mendlmod  40081  lmod0rng  44445  ascl1  44739  ply1vr1smo  44742  linc1  44787  ldepspr  44835  lincresunit3lem3  44836  islindeps2  44845
 Copyright terms: Public domain W3C validator