MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodvs1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lmodvs1 20644
Description: Scalar product with the ring unity. (ax-hvmulid 30514 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvs1.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lmodvs1.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lmodvs1.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
lmodvs1.u 1 = (1rβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
lmodvs1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ( 1 Β· 𝑋) = 𝑋)
Proof of Theorem lmodvs1
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ LMod)
2 lmodvs1.f . . . 4 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
3 eqid 2732 . . . 4 (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜πΉ)
4 lmodvs1.u . . . 4 1 = (1rβ€˜πΉ)
52, 3, 4lmod1cl 20643 . . 3 (π‘Š ∈ LMod β†’ 1 ∈ (Baseβ€˜πΉ))
65adantr 481 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 1 ∈ (Baseβ€˜πΉ))
7 simpr 485 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
8 lmodvs1.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
9 eqid 2732 . . . 4 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
10 lmodvs1.s . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
11 eqid 2732 . . . 4 (+gβ€˜πΉ) = (+gβ€˜πΉ)
12 eqid 2732 . . . 4 (.rβ€˜πΉ) = (.rβ€˜πΉ)
138, 9, 10, 2, 3, 11, 12, 4lmodlema 20619 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ ( 1 ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ 1 ∈ (Baseβ€˜πΉ)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ ((( 1 Β· 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ ( 1 Β· (𝑋(+gβ€˜π‘Š)𝑋)) = (( 1 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)( 1 Β· 𝑋)) ∧ (( 1 (+gβ€˜πΉ) 1 ) Β· 𝑋) = (( 1 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)( 1 Β· 𝑋))) ∧ ((( 1 (.rβ€˜πΉ) 1 ) Β· 𝑋) = ( 1 Β· ( 1 Β· 𝑋)) ∧ ( 1 Β· 𝑋) = 𝑋)))
1413simprrd 772 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ ( 1 ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ 1 ∈ (Baseβ€˜πΉ)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ ( 1 Β· 𝑋) = 𝑋)
151, 6, 6, 7, 7, 14syl122anc 1379 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ( 1 Β· 𝑋) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  +gcplusg 17201  .rcmulr 17202  Scalarcsca 17204   ·𝑠 cvsca 17205  1rcur 20075  LModclmod 20614
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-plusg 17214  df-0g 17391  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mgp 20029  df-ur 20076  df-ring 20129  df-lmod 20616
This theorem is referenced by:  lmodfopne  20654  lmodvneg1  20659  lmodcom  20662  lssvacl  20709  islss3  20714  prdslmodd  20724  lspsn  20757  islmhm2  20793  lbsind2  20836  lvecvs0or  20866  lssvs0or  20868  lvecinv  20871  lspsnvs  20872  lspsneq  20880  lspfixed  20886  lspexch  20887  lspsolv  20901  frlmup2  21573  lindfind2  21592  ascl1  21658  assamulgscmlem1  21672  coe1pwmul  22021  ply1scl1OLD  22036  ply1idvr1  22037  scmatid  22236  scmatmhm  22256  matinv  22399  decpmatid  22492  idpm2idmp  22523  chfacfscmulgsum  22582  cpmadugsumlemF  22598  clmvs1  24833  deg1pwle  25861  deg1pw  25862  ply1remlem  25904  imaslmod  32726  coe1mon  32926  lfl0  38238  lfladd  38239  dochfl1  40650  lcfl7lem  40673  mapdpglem21  40866  mapdpglem30  40876  mapdpglem31  40877  hgmapval1  41067  prjsperref  41650  mendlmod  42237  lmod0rng  46909  ply1vr1smo  47151  linc1  47194  ldepspr  47242  lincresunit3lem3  47243  islindeps2  47252
  Copyright terms: Public domain W3C validator