Theorem lmodvs1 21195

Description: Scalar product with the ring unity. (ax-hvmulid 31638 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvs1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodvs1.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodvs1.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lmodvs1.u	⊢ 1 = (1r‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lmodvs1	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ( 1 · 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem lmodvs1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
2		lmodvs1.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
3		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
4		lmodvs1.u	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝐹)
5	2, 3, 4	lmod1cl 21194	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 1 ∈ (Base‘𝐹))
6	5	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 1 ∈ (Base‘𝐹))
7		simpr 490	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
8		lmodvs1.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
9		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
10		lmodvs1.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
11		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐹) = (+g‘𝐹)
12		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
13	8, 9, 10, 2, 3, 11, 12, 4	lmodlema 21170	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ( 1 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 1 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((( 1 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ ( 1 · (𝑋(+g‘𝑊)𝑋)) = (( 1 · 𝑋)(+g‘𝑊)( 1 · 𝑋)) ∧ (( 1 (+g‘𝐹) 1 ) · 𝑋) = (( 1 · 𝑋)(+g‘𝑊)( 1 · 𝑋))) ∧ ((( 1 (.r‘𝐹) 1 ) · 𝑋) = ( 1 · ( 1 · 𝑋)) ∧ ( 1 · 𝑋) = 𝑋)))
14	13	simprrd 786	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ( 1 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 1 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ( 1 · 𝑋) = 𝑋)
15	1, 6, 6, 7, 7, 14	syl122anc 1407	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ( 1 · 𝑋) = 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  Basecbs 17416  +_gcplusg 17457  ._rcmulr 17458  Scalarcsca 17460   ·_𝑠 cvsca 17461  1_rcur 20437  LModclmod 21165

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-plusg 17470  df-0g 17641  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-mgp 20391  df-ur 20438  df-ring 20491  df-lmod 21167

This theorem is used by:  lmodfopne  21205  lmodvneg1  21210  lmodcom  21213  lssvacl  21248  islss3  21264  prdslmodd  21274  lspsn  21307  islmhm2  21343  lbsind2  21386  lvecvs0or  21416  lssvs0or  21418  lvecinv  21421  lspsnvs  21422  lspsneq  21430  lspfixed  21436  lspexch  21437  lspsolv  21451  frlmup2  22135  lindfind2  22154  ascl1  22223  assamulgscmlem1  22237  coe1pwmul  22628  scmatid  22859  scmatmhm  22879  matinv  23022  decpmatid  23118  idpm2idmp  23149  chfacfscmulgsum  23208  cpmadugsumlemF  23224  clmvs1  25444  deg1pwle  26468  deg1pw  26469  ply1remlem  26513  imaslmod  33984  coe1mon  34189  deg1vr  34194  lfl0  40314  lfladd  40315  dochfl1  42725  lcfl7lem  42748  mapdpglem21  42941  mapdpglem30  42951  mapdpglem31  42952  hgmapval1  43142  prjsperref  43827  mendlmod  44383  lmod0rng  49531  ply1vr1smo  49700  linc1  49742  ldepspr  49790  lincresunit3lem3  49791  islindeps2  49800