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Theorem islmodd 19079
Description: Properties that determine a left module. See note in isgrpd2 17650 regarding the 𝜑 on hypotheses that name structure components. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
islmodd.v (𝜑𝑉 = (Base‘𝑊))
islmodd.a (𝜑+ = (+g𝑊))
islmodd.f (𝜑𝐹 = (Scalar‘𝑊))
islmodd.s (𝜑· = ( ·𝑠𝑊))
islmodd.b (𝜑𝐵 = (Base‘𝐹))
islmodd.p (𝜑 = (+g𝐹))
islmodd.t (𝜑× = (.r𝐹))
islmodd.u (𝜑1 = (1r𝐹))
islmodd.r (𝜑𝐹 ∈ Ring)
islmodd.l (𝜑𝑊 ∈ Grp)
islmodd.w ((𝜑𝑥𝐵𝑦𝑉) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑉)
islmodd.c ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)))
islmodd.d ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝑉)) → ((𝑥 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
islmodd.e ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝑉)) → ((𝑥 × 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
islmodd.g ((𝜑𝑥𝑉) → ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
Assertion
Ref Expression
islmodd (𝜑𝑊 ∈ LMod)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,   𝑥,𝑦,𝑧,𝐵   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑉,𝑦,𝑧   𝑥, + ,𝑦,𝑧   𝑥,𝑊   𝑥, · ,𝑦,𝑧   𝑦, × ,𝑧   𝑥, 1
Allowed substitution hints:   (𝑥)   × (𝑥)   1 (𝑦,𝑧)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑊(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem islmodd
Dummy variables 𝑢 𝑟 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 islmodd.l . 2 (𝜑𝑊 ∈ Grp)
2 islmodd.f . . 3 (𝜑𝐹 = (Scalar‘𝑊))
3 islmodd.r . . 3 (𝜑𝐹 ∈ Ring)
42, 3eqeltrrd 2851 . 2 (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
5 islmodd.w . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐵𝑦𝑉) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑉)
653expb 1113 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝑉)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑉)
76ralrimivva 3120 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝑉 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑉)
8 oveq1 6800 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑟 → (𝑥 · 𝑦) = (𝑟 · 𝑦))
98eleq1d 2835 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑟 → ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑉 ↔ (𝑟 · 𝑦) ∈ 𝑉))
10 oveq2 6801 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑤 → (𝑟 · 𝑦) = (𝑟 · 𝑤))
1110eleq1d 2835 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑤 → ((𝑟 · 𝑦) ∈ 𝑉 ↔ (𝑟 · 𝑤) ∈ 𝑉))
129, 11rspc2v 3472 . . . . . . . . . 10 ((𝑟𝐵𝑤𝑉) → (∀𝑥𝐵𝑦𝑉 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑉 → (𝑟 · 𝑤) ∈ 𝑉))
1312ad2ant2l 732 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝐵𝑟𝐵) ∧ (𝑢𝑉𝑤𝑉)) → (∀𝑥𝐵𝑦𝑉 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑉 → (𝑟 · 𝑤) ∈ 𝑉))
147, 13mpan9 490 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑟𝐵) ∧ (𝑢𝑉𝑤𝑉))) → (𝑟 · 𝑤) ∈ 𝑉)
15 islmodd.c . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)))
1615ralrimivvva 3121 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝑉𝑧𝑉 (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)))
17 oveq1 6800 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑟 → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = (𝑟 · (𝑦 + 𝑧)))
18 oveq1 6800 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑟 → (𝑥 · 𝑧) = (𝑟 · 𝑧))
198, 18oveq12d 6811 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑟 → ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) = ((𝑟 · 𝑦) + (𝑟 · 𝑧)))
2017, 19eqeq12d 2786 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑟 → ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ↔ (𝑟 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑟 · 𝑦) + (𝑟 · 𝑧))))
21 oveq1 6800 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑤 → (𝑦 + 𝑧) = (𝑤 + 𝑧))
2221oveq2d 6809 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑤 → (𝑟 · (𝑦 + 𝑧)) = (𝑟 · (𝑤 + 𝑧)))
2310oveq1d 6808 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑤 → ((𝑟 · 𝑦) + (𝑟 · 𝑧)) = ((𝑟 · 𝑤) + (𝑟 · 𝑧)))
2422, 23eqeq12d 2786 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑤 → ((𝑟 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑟 · 𝑦) + (𝑟 · 𝑧)) ↔ (𝑟 · (𝑤 + 𝑧)) = ((𝑟 · 𝑤) + (𝑟 · 𝑧))))
25 oveq2 6801 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑢 → (𝑤 + 𝑧) = (𝑤 + 𝑢))
2625oveq2d 6809 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑢 → (𝑟 · (𝑤 + 𝑧)) = (𝑟 · (𝑤 + 𝑢)))
27 oveq2 6801 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑢 → (𝑟 · 𝑧) = (𝑟 · 𝑢))
2827oveq2d 6809 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑢 → ((𝑟 · 𝑤) + (𝑟 · 𝑧)) = ((𝑟 · 𝑤) + (𝑟 · 𝑢)))
2926, 28eqeq12d 2786 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑢 → ((𝑟 · (𝑤 + 𝑧)) = ((𝑟 · 𝑤) + (𝑟 · 𝑧)) ↔ (𝑟 · (𝑤 + 𝑢)) = ((𝑟 · 𝑤) + (𝑟 · 𝑢))))
3020, 24, 29rspc3v 3475 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑟𝐵𝑤𝑉𝑢𝑉) → (∀𝑥𝐵𝑦𝑉𝑧𝑉 (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) → (𝑟 · (𝑤 + 𝑢)) = ((𝑟 · 𝑤) + (𝑟 · 𝑢))))
31303com23 1120 . . . . . . . . . . 11 ((𝑟𝐵𝑢𝑉𝑤𝑉) → (∀𝑥𝐵𝑦𝑉𝑧𝑉 (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) → (𝑟 · (𝑤 + 𝑢)) = ((𝑟 · 𝑤) + (𝑟 · 𝑢))))
32313expb 1113 . . . . . . . . . 10 ((𝑟𝐵 ∧ (𝑢𝑉𝑤𝑉)) → (∀𝑥𝐵𝑦𝑉𝑧𝑉 (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) → (𝑟 · (𝑤 + 𝑢)) = ((𝑟 · 𝑤) + (𝑟 · 𝑢))))
3332adantll 685 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝐵𝑟𝐵) ∧ (𝑢𝑉𝑤𝑉)) → (∀𝑥𝐵𝑦𝑉𝑧𝑉 (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) → (𝑟 · (𝑤 + 𝑢)) = ((𝑟 · 𝑤) + (𝑟 · 𝑢))))
3416, 33mpan9 490 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑟𝐵) ∧ (𝑢𝑉𝑤𝑉))) → (𝑟 · (𝑤 + 𝑢)) = ((𝑟 · 𝑤) + (𝑟 · 𝑢)))
35 simpll 742 . . . . . . . . . 10 (((𝑥𝐵𝑟𝐵) ∧ (𝑢𝑉𝑤𝑉)) → 𝑥𝐵)
36 islmodd.d . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝑉)) → ((𝑥 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
37363exp2 1447 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥𝐵 → (𝑦𝐵 → (𝑧𝑉 → ((𝑥 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))))))
3837imp43 414 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝑉)) → ((𝑥 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
3938ralrimivva 3120 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐵) → ∀𝑦𝐵𝑧𝑉 ((𝑥 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
4035, 39sylan2 572 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑟𝐵) ∧ (𝑢𝑉𝑤𝑉))) → ∀𝑦𝐵𝑧𝑉 ((𝑥 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
41 simprlr 757 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑟𝐵) ∧ (𝑢𝑉𝑤𝑉))) → 𝑟𝐵)
42 simprrr 759 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑟𝐵) ∧ (𝑢𝑉𝑤𝑉))) → 𝑤𝑉)
43 oveq2 6801 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑟 → (𝑥 𝑦) = (𝑥 𝑟))
4443oveq1d 6808 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑟 → ((𝑥 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 𝑟) · 𝑧))
45 oveq1 6800 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑟 → (𝑦 · 𝑧) = (𝑟 · 𝑧))
4645oveq2d 6809 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑟 → ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑟 · 𝑧)))
4744, 46eqeq12d 2786 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑟 → (((𝑥 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)) ↔ ((𝑥 𝑟) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑟 · 𝑧))))
48 oveq2 6801 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑤 → ((𝑥 𝑟) · 𝑧) = ((𝑥 𝑟) · 𝑤))
49 oveq2 6801 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑤 → (𝑥 · 𝑧) = (𝑥 · 𝑤))
50 oveq2 6801 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑤 → (𝑟 · 𝑧) = (𝑟 · 𝑤))
5149, 50oveq12d 6811 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑤 → ((𝑥 · 𝑧) + (𝑟 · 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑤) + (𝑟 · 𝑤)))
5248, 51eqeq12d 2786 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑤 → (((𝑥 𝑟) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑟 · 𝑧)) ↔ ((𝑥 𝑟) · 𝑤) = ((𝑥 · 𝑤) + (𝑟 · 𝑤))))
5347, 52rspc2v 3472 . . . . . . . . . 10 ((𝑟𝐵𝑤𝑉) → (∀𝑦𝐵𝑧𝑉 ((𝑥 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)) → ((𝑥 𝑟) · 𝑤) = ((𝑥 · 𝑤) + (𝑟 · 𝑤))))
5441, 42, 53syl2anc 565 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑟𝐵) ∧ (𝑢𝑉𝑤𝑉))) → (∀𝑦𝐵𝑧𝑉 ((𝑥 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)) → ((𝑥 𝑟) · 𝑤) = ((𝑥 · 𝑤) + (𝑟 · 𝑤))))
5540, 54mpd 15 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑟𝐵) ∧ (𝑢𝑉𝑤𝑉))) → ((𝑥 𝑟) · 𝑤) = ((𝑥 · 𝑤) + (𝑟 · 𝑤)))
5614, 34, 553jca 1122 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑟𝐵) ∧ (𝑢𝑉𝑤𝑉))) → ((𝑟 · 𝑤) ∈ 𝑉 ∧ (𝑟 · (𝑤 + 𝑢)) = ((𝑟 · 𝑤) + (𝑟 · 𝑢)) ∧ ((𝑥 𝑟) · 𝑤) = ((𝑥 · 𝑤) + (𝑟 · 𝑤))))
57 islmodd.e . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝑉)) → ((𝑥 × 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
58573exp2 1447 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥𝐵 → (𝑦𝐵 → (𝑧𝑉 → ((𝑥 × 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧))))))
5958imp43 414 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝑉)) → ((𝑥 × 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
6059ralrimivva 3120 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵) → ∀𝑦𝐵𝑧𝑉 ((𝑥 × 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
6135, 60sylan2 572 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑟𝐵) ∧ (𝑢𝑉𝑤𝑉))) → ∀𝑦𝐵𝑧𝑉 ((𝑥 × 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
62 oveq2 6801 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑟 → (𝑥 × 𝑦) = (𝑥 × 𝑟))
6362oveq1d 6808 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑟 → ((𝑥 × 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 × 𝑟) · 𝑧))
6445oveq2d 6809 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑟 → (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)) = (𝑥 · (𝑟 · 𝑧)))
6563, 64eqeq12d 2786 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑟 → (((𝑥 × 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)) ↔ ((𝑥 × 𝑟) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑟 · 𝑧))))
66 oveq2 6801 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑤 → ((𝑥 × 𝑟) · 𝑧) = ((𝑥 × 𝑟) · 𝑤))
6750oveq2d 6809 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑤 → (𝑥 · (𝑟 · 𝑧)) = (𝑥 · (𝑟 · 𝑤)))
6866, 67eqeq12d 2786 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑤 → (((𝑥 × 𝑟) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑟 · 𝑧)) ↔ ((𝑥 × 𝑟) · 𝑤) = (𝑥 · (𝑟 · 𝑤))))
6965, 68rspc2v 3472 . . . . . . . . 9 ((𝑟𝐵𝑤𝑉) → (∀𝑦𝐵𝑧𝑉 ((𝑥 × 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)) → ((𝑥 × 𝑟) · 𝑤) = (𝑥 · (𝑟 · 𝑤))))
7041, 42, 69syl2anc 565 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑟𝐵) ∧ (𝑢𝑉𝑤𝑉))) → (∀𝑦𝐵𝑧𝑉 ((𝑥 × 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)) → ((𝑥 × 𝑟) · 𝑤) = (𝑥 · (𝑟 · 𝑤))))
7161, 70mpd 15 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑟𝐵) ∧ (𝑢𝑉𝑤𝑉))) → ((𝑥 × 𝑟) · 𝑤) = (𝑥 · (𝑟 · 𝑤)))
72 islmodd.g . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑉) → ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
7372ralrimiva 3115 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥𝑉 ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
74 oveq2 6801 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑤 → ( 1 · 𝑥) = ( 1 · 𝑤))
75 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑤𝑥 = 𝑤)
7674, 75eqeq12d 2786 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑤 → (( 1 · 𝑥) = 𝑥 ↔ ( 1 · 𝑤) = 𝑤))
7776rspcv 3456 . . . . . . . . 9 (𝑤𝑉 → (∀𝑥𝑉 ( 1 · 𝑥) = 𝑥 → ( 1 · 𝑤) = 𝑤))
7877ad2antll 700 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐵𝑟𝐵) ∧ (𝑢𝑉𝑤𝑉)) → (∀𝑥𝑉 ( 1 · 𝑥) = 𝑥 → ( 1 · 𝑤) = 𝑤))
7973, 78mpan9 490 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑟𝐵) ∧ (𝑢𝑉𝑤𝑉))) → ( 1 · 𝑤) = 𝑤)
8056, 71, 79jca32 499 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑟𝐵) ∧ (𝑢𝑉𝑤𝑉))) → (((𝑟 · 𝑤) ∈ 𝑉 ∧ (𝑟 · (𝑤 + 𝑢)) = ((𝑟 · 𝑤) + (𝑟 · 𝑢)) ∧ ((𝑥 𝑟) · 𝑤) = ((𝑥 · 𝑤) + (𝑟 · 𝑤))) ∧ (((𝑥 × 𝑟) · 𝑤) = (𝑥 · (𝑟 · 𝑤)) ∧ ( 1 · 𝑤) = 𝑤)))
8180anassrs 458 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑟𝐵)) ∧ (𝑢𝑉𝑤𝑉)) → (((𝑟 · 𝑤) ∈ 𝑉 ∧ (𝑟 · (𝑤 + 𝑢)) = ((𝑟 · 𝑤) + (𝑟 · 𝑢)) ∧ ((𝑥 𝑟) · 𝑤) = ((𝑥 · 𝑤) + (𝑟 · 𝑤))) ∧ (((𝑥 × 𝑟) · 𝑤) = (𝑥 · (𝑟 · 𝑤)) ∧ ( 1 · 𝑤) = 𝑤)))
8281ralrimivva 3120 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑟𝐵)) → ∀𝑢𝑉𝑤𝑉 (((𝑟 · 𝑤) ∈ 𝑉 ∧ (𝑟 · (𝑤 + 𝑢)) = ((𝑟 · 𝑤) + (𝑟 · 𝑢)) ∧ ((𝑥 𝑟) · 𝑤) = ((𝑥 · 𝑤) + (𝑟 · 𝑤))) ∧ (((𝑥 × 𝑟) · 𝑤) = (𝑥 · (𝑟 · 𝑤)) ∧ ( 1 · 𝑤) = 𝑤)))
8382ralrimivva 3120 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑟𝐵𝑢𝑉𝑤𝑉 (((𝑟 · 𝑤) ∈ 𝑉 ∧ (𝑟 · (𝑤 + 𝑢)) = ((𝑟 · 𝑤) + (𝑟 · 𝑢)) ∧ ((𝑥 𝑟) · 𝑤) = ((𝑥 · 𝑤) + (𝑟 · 𝑤))) ∧ (((𝑥 × 𝑟) · 𝑤) = (𝑥 · (𝑟 · 𝑤)) ∧ ( 1 · 𝑤) = 𝑤)))
84 islmodd.b . . . . 5 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐹))
852fveq2d 6336 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘𝐹) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
8684, 85eqtrd 2805 . . . 4 (𝜑𝐵 = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
87 islmodd.v . . . . . 6 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑊))
88 islmodd.s . . . . . . . . . . 11 (𝜑· = ( ·𝑠𝑊))
8988oveqd 6810 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑟 · 𝑤) = (𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤))
9089, 87eleq12d 2844 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑟 · 𝑤) ∈ 𝑉 ↔ (𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤) ∈ (Base‘𝑊)))
91 eqidd 2772 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑟 = 𝑟)
92 islmodd.a . . . . . . . . . . . 12 (𝜑+ = (+g𝑊))
9392oveqd 6810 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑤 + 𝑢) = (𝑤(+g𝑊)𝑢))
9488, 91, 93oveq123d 6814 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑟 · (𝑤 + 𝑢)) = (𝑟( ·𝑠𝑊)(𝑤(+g𝑊)𝑢)))
9588oveqd 6810 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑟 · 𝑢) = (𝑟( ·𝑠𝑊)𝑢))
9692, 89, 95oveq123d 6814 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑟 · 𝑤) + (𝑟 · 𝑢)) = ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤)(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑢)))
9794, 96eqeq12d 2786 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑟 · (𝑤 + 𝑢)) = ((𝑟 · 𝑤) + (𝑟 · 𝑢)) ↔ (𝑟( ·𝑠𝑊)(𝑤(+g𝑊)𝑢)) = ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤)(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑢))))
98 islmodd.p . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 = (+g𝐹))
992fveq2d 6336 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (+g𝐹) = (+g‘(Scalar‘𝑊)))
10098, 99eqtrd 2805 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 = (+g‘(Scalar‘𝑊)))
101100oveqd 6810 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 𝑟) = (𝑥(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑟))
102 eqidd 2772 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑤 = 𝑤)
10388, 101, 102oveq123d 6814 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑥 𝑟) · 𝑤) = ((𝑥(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠𝑊)𝑤))
10488oveqd 6810 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 · 𝑤) = (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑤))
10592, 104, 89oveq123d 6814 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑥 · 𝑤) + (𝑟 · 𝑤)) = ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑤)(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤)))
106103, 105eqeq12d 2786 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑥 𝑟) · 𝑤) = ((𝑥 · 𝑤) + (𝑟 · 𝑤)) ↔ ((𝑥(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠𝑊)𝑤) = ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑤)(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤))))
10790, 97, 1063anbi123d 1547 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑟 · 𝑤) ∈ 𝑉 ∧ (𝑟 · (𝑤 + 𝑢)) = ((𝑟 · 𝑤) + (𝑟 · 𝑢)) ∧ ((𝑥 𝑟) · 𝑤) = ((𝑥 · 𝑤) + (𝑟 · 𝑤))) ↔ ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑟( ·𝑠𝑊)(𝑤(+g𝑊)𝑢)) = ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤)(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑢)) ∧ ((𝑥(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠𝑊)𝑤) = ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑤)(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤)))))
108 islmodd.t . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑× = (.r𝐹))
1092fveq2d 6336 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (.r𝐹) = (.r‘(Scalar‘𝑊)))
110108, 109eqtrd 2805 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑× = (.r‘(Scalar‘𝑊)))
111110oveqd 6810 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 × 𝑟) = (𝑥(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟))
11288, 111, 102oveq123d 6814 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑥 × 𝑟) · 𝑤) = ((𝑥(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠𝑊)𝑤))
113 eqidd 2772 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑥 = 𝑥)
11488, 113, 89oveq123d 6814 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 · (𝑟 · 𝑤)) = (𝑥( ·𝑠𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤)))
115112, 114eqeq12d 2786 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑥 × 𝑟) · 𝑤) = (𝑥 · (𝑟 · 𝑤)) ↔ ((𝑥(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠𝑊)𝑤) = (𝑥( ·𝑠𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤))))
116 islmodd.u . . . . . . . . . . . 12 (𝜑1 = (1r𝐹))
1172fveq2d 6336 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1r𝐹) = (1r‘(Scalar‘𝑊)))
118116, 117eqtrd 2805 . . . . . . . . . . 11 (𝜑1 = (1r‘(Scalar‘𝑊)))
11988, 118, 102oveq123d 6814 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ( 1 · 𝑤) = ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑤))
120119eqeq1d 2773 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (( 1 · 𝑤) = 𝑤 ↔ ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑤) = 𝑤))
121115, 120anbi12d 608 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝑥 × 𝑟) · 𝑤) = (𝑥 · (𝑟 · 𝑤)) ∧ ( 1 · 𝑤) = 𝑤) ↔ (((𝑥(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠𝑊)𝑤) = (𝑥( ·𝑠𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤)) ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑤) = 𝑤)))
122107, 121anbi12d 608 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝑟 · 𝑤) ∈ 𝑉 ∧ (𝑟 · (𝑤 + 𝑢)) = ((𝑟 · 𝑤) + (𝑟 · 𝑢)) ∧ ((𝑥 𝑟) · 𝑤) = ((𝑥 · 𝑤) + (𝑟 · 𝑤))) ∧ (((𝑥 × 𝑟) · 𝑤) = (𝑥 · (𝑟 · 𝑤)) ∧ ( 1 · 𝑤) = 𝑤)) ↔ (((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑟( ·𝑠𝑊)(𝑤(+g𝑊)𝑢)) = ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤)(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑢)) ∧ ((𝑥(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠𝑊)𝑤) = ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑤)(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤))) ∧ (((𝑥(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠𝑊)𝑤) = (𝑥( ·𝑠𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤)) ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑤) = 𝑤))))
12387, 122raleqbidv 3301 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑤𝑉 (((𝑟 · 𝑤) ∈ 𝑉 ∧ (𝑟 · (𝑤 + 𝑢)) = ((𝑟 · 𝑤) + (𝑟 · 𝑢)) ∧ ((𝑥 𝑟) · 𝑤) = ((𝑥 · 𝑤) + (𝑟 · 𝑤))) ∧ (((𝑥 × 𝑟) · 𝑤) = (𝑥 · (𝑟 · 𝑤)) ∧ ( 1 · 𝑤) = 𝑤)) ↔ ∀𝑤 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑟( ·𝑠𝑊)(𝑤(+g𝑊)𝑢)) = ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤)(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑢)) ∧ ((𝑥(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠𝑊)𝑤) = ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑤)(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤))) ∧ (((𝑥(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠𝑊)𝑤) = (𝑥( ·𝑠𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤)) ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑤) = 𝑤))))
12487, 123raleqbidv 3301 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑢𝑉𝑤𝑉 (((𝑟 · 𝑤) ∈ 𝑉 ∧ (𝑟 · (𝑤 + 𝑢)) = ((𝑟 · 𝑤) + (𝑟 · 𝑢)) ∧ ((𝑥 𝑟) · 𝑤) = ((𝑥 · 𝑤) + (𝑟 · 𝑤))) ∧ (((𝑥 × 𝑟) · 𝑤) = (𝑥 · (𝑟 · 𝑤)) ∧ ( 1 · 𝑤) = 𝑤)) ↔ ∀𝑢 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑤 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑟( ·𝑠𝑊)(𝑤(+g𝑊)𝑢)) = ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤)(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑢)) ∧ ((𝑥(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠𝑊)𝑤) = ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑤)(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤))) ∧ (((𝑥(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠𝑊)𝑤) = (𝑥( ·𝑠𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤)) ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑤) = 𝑤))))
12586, 124raleqbidv 3301 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑟𝐵𝑢𝑉𝑤𝑉 (((𝑟 · 𝑤) ∈ 𝑉 ∧ (𝑟 · (𝑤 + 𝑢)) = ((𝑟 · 𝑤) + (𝑟 · 𝑢)) ∧ ((𝑥 𝑟) · 𝑤) = ((𝑥 · 𝑤) + (𝑟 · 𝑤))) ∧ (((𝑥 × 𝑟) · 𝑤) = (𝑥 · (𝑟 · 𝑤)) ∧ ( 1 · 𝑤) = 𝑤)) ↔ ∀𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑢 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑤 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑟( ·𝑠𝑊)(𝑤(+g𝑊)𝑢)) = ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤)(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑢)) ∧ ((𝑥(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠𝑊)𝑤) = ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑤)(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤))) ∧ (((𝑥(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠𝑊)𝑤) = (𝑥( ·𝑠𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤)) ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑤) = 𝑤))))
12686, 125raleqbidv 3301 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥𝐵𝑟𝐵𝑢𝑉𝑤𝑉 (((𝑟 · 𝑤) ∈ 𝑉 ∧ (𝑟 · (𝑤 + 𝑢)) = ((𝑟 · 𝑤) + (𝑟 · 𝑢)) ∧ ((𝑥 𝑟) · 𝑤) = ((𝑥 · 𝑤) + (𝑟 · 𝑤))) ∧ (((𝑥 × 𝑟) · 𝑤) = (𝑥 · (𝑟 · 𝑤)) ∧ ( 1 · 𝑤) = 𝑤)) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑢 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑤 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑟( ·𝑠𝑊)(𝑤(+g𝑊)𝑢)) = ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤)(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑢)) ∧ ((𝑥(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠𝑊)𝑤) = ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑤)(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤))) ∧ (((𝑥(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠𝑊)𝑤) = (𝑥( ·𝑠𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤)) ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑤) = 𝑤))))
12783, 126mpbid 222 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑢 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑤 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑟( ·𝑠𝑊)(𝑤(+g𝑊)𝑢)) = ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤)(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑢)) ∧ ((𝑥(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠𝑊)𝑤) = ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑤)(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤))) ∧ (((𝑥(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠𝑊)𝑤) = (𝑥( ·𝑠𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤)) ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑤) = 𝑤)))
128 eqid 2771 . . 3 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
129 eqid 2771 . . 3 (+g𝑊) = (+g𝑊)
130 eqid 2771 . . 3 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
131 eqid 2771 . . 3 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
132 eqid 2771 . . 3 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
133 eqid 2771 . . 3 (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊))
134 eqid 2771 . . 3 (.r‘(Scalar‘𝑊)) = (.r‘(Scalar‘𝑊))
135 eqid 2771 . . 3 (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
136128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135islmod 19077 . 2 (𝑊 ∈ LMod ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ Ring ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑢 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑤 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑟( ·𝑠𝑊)(𝑤(+g𝑊)𝑢)) = ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤)(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑢)) ∧ ((𝑥(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠𝑊)𝑤) = ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑤)(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤))) ∧ (((𝑥(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠𝑊)𝑤) = (𝑥( ·𝑠𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤)) ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑤) = 𝑤))))
1371, 4, 127, 136syl3anbrc 1428 1 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  cfv 6031  (class class class)co 6793  Basecbs 16064  +gcplusg 16149  .rcmulr 16150  Scalarcsca 16152   ·𝑠 cvsca 16153  Grpcgrp 17630  1rcur 18709  Ringcrg 18755  LModclmod 19073
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-nul 4923
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-br 4787  df-iota 5994  df-fv 6039  df-ov 6796  df-lmod 19075
This theorem is referenced by:  rmodislmod  19141  islss3  19172  prdslmodd  19182  sralmod  19402  psrlmod  19616  zlmlmod  20086  cnlmod  23159  lduallmodlem  34961  dvalveclem  36835  dvhlveclem  36918  mendlmod  38289
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