demoivreALT - Metamath Proof Explorer

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Theorem demoivreALT 16141

Description: Alternate proof of demoivre 16140. It is longer but does not use the exponential function. This is Metamath 100 proof #17. (Contributed by Steve Rodriguez, 10-Nov-2006.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

**Assertion**
Ref	Expression
demoivreALT	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑁) = ((cos‘(𝑁 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑁 · 𝐴)))))

Proof of Theorem demoivreALT Dummy variables 𝑥 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7409	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑥) = (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑0))
2		oveq1 7408	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 · 𝐴) = (0 · 𝐴))
3	2	fveq2d 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (cos‘(𝑥 · 𝐴)) = (cos‘(0 · 𝐴)))
4	2	fveq2d 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (sin‘(𝑥 · 𝐴)) = (sin‘(0 · 𝐴)))
5	4	oveq2d 7417	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (i · (sin‘(𝑥 · 𝐴))) = (i · (sin‘(0 · 𝐴))))
6	3, 5	oveq12d 7419	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → ((cos‘(𝑥 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑥 · 𝐴)))) = ((cos‘(0 · 𝐴)) + (i · (sin‘(0 · 𝐴)))))
7	1, 6	eqeq12d 2740	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → ((((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑥) = ((cos‘(𝑥 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑥 · 𝐴)))) ↔ (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑0) = ((cos‘(0 · 𝐴)) + (i · (sin‘(0 · 𝐴))))))
8	7	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑥) = ((cos‘(𝑥 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑥 · 𝐴))))) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑0) = ((cos‘(0 · 𝐴)) + (i · (sin‘(0 · 𝐴)))))))
9		oveq2 7409	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑥) = (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑘))
10		oveq1 7408	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑥 · 𝐴) = (𝑘 · 𝐴))
11	10	fveq2d 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (cos‘(𝑥 · 𝐴)) = (cos‘(𝑘 · 𝐴)))
12	10	fveq2d 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (sin‘(𝑥 · 𝐴)) = (sin‘(𝑘 · 𝐴)))
13	12	oveq2d 7417	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (i · (sin‘(𝑥 · 𝐴))) = (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))
14	11, 13	oveq12d 7419	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((cos‘(𝑥 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑥 · 𝐴)))) = ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))
15	9, 14	eqeq12d 2740	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑥) = ((cos‘(𝑥 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑥 · 𝐴)))) ↔ (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑘) = ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))))
16	15	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑥) = ((cos‘(𝑥 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑥 · 𝐴))))) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑘) = ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))))
17		oveq2 7409	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑥) = (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑(𝑘 + 1)))
18		oveq1 7408	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝑥 · 𝐴) = ((𝑘 + 1) · 𝐴))
19	18	fveq2d 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (cos‘(𝑥 · 𝐴)) = (cos‘((𝑘 + 1) · 𝐴)))
20	18	fveq2d 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (sin‘(𝑥 · 𝐴)) = (sin‘((𝑘 + 1) · 𝐴)))
21	20	oveq2d 7417	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (i · (sin‘(𝑥 · 𝐴))) = (i · (sin‘((𝑘 + 1) · 𝐴))))
22	19, 21	oveq12d 7419	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((cos‘(𝑥 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑥 · 𝐴)))) = ((cos‘((𝑘 + 1) · 𝐴)) + (i · (sin‘((𝑘 + 1) · 𝐴)))))
23	17, 22	eqeq12d 2740	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑥) = ((cos‘(𝑥 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑥 · 𝐴)))) ↔ (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑(𝑘 + 1)) = ((cos‘((𝑘 + 1) · 𝐴)) + (i · (sin‘((𝑘 + 1) · 𝐴))))))
24	23	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑥) = ((cos‘(𝑥 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑥 · 𝐴))))) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑(𝑘 + 1)) = ((cos‘((𝑘 + 1) · 𝐴)) + (i · (sin‘((𝑘 + 1) · 𝐴)))))))
25		oveq2 7409	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑥) = (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑁))
26		oveq1 7408	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))
27	26	fveq2d 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (cos‘(𝑥 · 𝐴)) = (cos‘(𝑁 · 𝐴)))
28	26	fveq2d 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (sin‘(𝑥 · 𝐴)) = (sin‘(𝑁 · 𝐴)))
29	28	oveq2d 7417	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (i · (sin‘(𝑥 · 𝐴))) = (i · (sin‘(𝑁 · 𝐴))))
30	27, 29	oveq12d 7419	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((cos‘(𝑥 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑥 · 𝐴)))) = ((cos‘(𝑁 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑁 · 𝐴)))))
31	25, 30	eqeq12d 2740	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑥) = ((cos‘(𝑥 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑥 · 𝐴)))) ↔ (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑁) = ((cos‘(𝑁 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑁 · 𝐴))))))
32	31	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑥) = ((cos‘(𝑥 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑥 · 𝐴))))) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑁) = ((cos‘(𝑁 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑁 · 𝐴)))))))
33		coscl 16067	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
34		ax-icn 11165	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
35		sincl 16066	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
36		mulcl 11190	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ)
37	34, 35, 36	sylancr 586	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ)
38		addcl 11188	. . . . . 6 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))) ∈ ℂ)
39	33, 37, 38	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))) ∈ ℂ)
40		exp0 14028	. . . . 5 ⊢ (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))) ∈ ℂ → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑0) = 1)
41	39, 40	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑0) = 1)
42		mul02 11389	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 · 𝐴) = 0)
43	42	fveq2d 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(0 · 𝐴)) = (cos‘0))
44		cos0 16090	. . . . . . 7 ⊢ (cos‘0) = 1
45	43, 44	eqtrdi 2780	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(0 · 𝐴)) = 1)
46	42	fveq2d 6885	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(0 · 𝐴)) = (sin‘0))
47		sin0 16089	. . . . . . . . 9 ⊢ (sin‘0) = 0
48	46, 47	eqtrdi 2780	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(0 · 𝐴)) = 0)
49	48	oveq2d 7417	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (sin‘(0 · 𝐴))) = (i · 0))
50	34	mul01i 11401	. . . . . . 7 ⊢ (i · 0) = 0
51	49, 50	eqtrdi 2780	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (sin‘(0 · 𝐴))) = 0)
52	45, 51	oveq12d 7419	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘(0 · 𝐴)) + (i · (sin‘(0 · 𝐴)))) = (1 + 0))
53		ax-1cn 11164	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
54	53	addridi 11398	. . . . 5 ⊢ (1 + 0) = 1
55	52, 54	eqtrdi 2780	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘(0 · 𝐴)) + (i · (sin‘(0 · 𝐴)))) = 1)
56	41, 55	eqtr4d 2767	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑0) = ((cos‘(0 · 𝐴)) + (i · (sin‘(0 · 𝐴)))))
57		expp1 14031	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑(𝑘 + 1)) = ((((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑘) · ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))))
58	39, 57	sylan 579	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑(𝑘 + 1)) = ((((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑘) · ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))))
59	58	ancoms 458	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑(𝑘 + 1)) = ((((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑘) · ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))))
60	59	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑘) = ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))) → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑(𝑘 + 1)) = ((((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑘) · ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))))
61		oveq1 7408	. . . . . . 7 ⊢ ((((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑘) = ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) → ((((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑘) · ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))) = (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) · ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))))
62	61	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑘) = ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))) → ((((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑘) · ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))) = (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) · ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))))
63		nn0cn 12479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ₀ → 𝑘 ∈ ℂ)
64		mulcl 11190	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑘 · 𝐴) ∈ ℂ)
65	63, 64	sylan 579	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑘 · 𝐴) ∈ ℂ)
66		sinadd 16104	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑘 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (sin‘((𝑘 · 𝐴) + 𝐴)) = (((sin‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) + ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴))))
67	65, 66	sylancom 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (sin‘((𝑘 · 𝐴) + 𝐴)) = (((sin‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) + ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴))))
68	33	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
69		sincl 16066	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 · 𝐴) ∈ ℂ → (sin‘(𝑘 · 𝐴)) ∈ ℂ)
70	65, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (sin‘(𝑘 · 𝐴)) ∈ ℂ)
71		mulcom 11192	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (sin‘(𝑘 · 𝐴)) ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))) = ((sin‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)))
72	68, 70, 71	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))) = ((sin‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)))
73	72	oveq1d 7416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))) + ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴))) = (((sin‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) + ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴))))
74		mulcl 11190	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (sin‘(𝑘 · 𝐴)) ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))) ∈ ℂ)
75	68, 70, 74	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))) ∈ ℂ)
76		coscl 16067	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 · 𝐴) ∈ ℂ → (cos‘(𝑘 · 𝐴)) ∈ ℂ)
77	65, 76	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (cos‘(𝑘 · 𝐴)) ∈ ℂ)
78	35	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
79		mulcl 11190	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℂ) → ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ)
80	77, 78, 79	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ)
81		addcom 11397	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))) ∈ ℂ ∧ ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ) → (((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))) + ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴))) = (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))
82	75, 80, 81	syl2anc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))) + ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴))) = (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))
83	67, 73, 82	3eqtr2d 2770	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (sin‘((𝑘 · 𝐴) + 𝐴)) = (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))
84	83	oveq2d 7417	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · (sin‘((𝑘 · 𝐴) + 𝐴))) = (i · (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))))
85	84	oveq2d 7417	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((cos‘((𝑘 · 𝐴) + 𝐴)) + (i · (sin‘((𝑘 · 𝐴) + 𝐴)))) = ((cos‘((𝑘 · 𝐴) + 𝐴)) + (i · (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))))
86		adddir 11202	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 1) · 𝐴) = ((𝑘 · 𝐴) + (1 · 𝐴)))
87		mullid 11210	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
88	87	oveq2d 7417	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑘 · 𝐴) + (1 · 𝐴)) = ((𝑘 · 𝐴) + 𝐴))
89	88	3ad2ant3 1132	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑘 · 𝐴) + (1 · 𝐴)) = ((𝑘 · 𝐴) + 𝐴))
90	86, 89	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 1) · 𝐴) = ((𝑘 · 𝐴) + 𝐴))
91	63, 90	syl3an1 1160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 1) · 𝐴) = ((𝑘 · 𝐴) + 𝐴))
92	53, 91	mp3an2 1445	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 1) · 𝐴) = ((𝑘 · 𝐴) + 𝐴))
93	92	fveq2d 6885	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (cos‘((𝑘 + 1) · 𝐴)) = (cos‘((𝑘 · 𝐴) + 𝐴)))
94	92	fveq2d 6885	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (sin‘((𝑘 + 1) · 𝐴)) = (sin‘((𝑘 · 𝐴) + 𝐴)))
95	94	oveq2d 7417	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · (sin‘((𝑘 + 1) · 𝐴))) = (i · (sin‘((𝑘 · 𝐴) + 𝐴))))
96	93, 95	oveq12d 7419	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((cos‘((𝑘 + 1) · 𝐴)) + (i · (sin‘((𝑘 + 1) · 𝐴)))) = ((cos‘((𝑘 · 𝐴) + 𝐴)) + (i · (sin‘((𝑘 · 𝐴) + 𝐴)))))
97		mulcl 11190	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (sin‘(𝑘 · 𝐴)) ∈ ℂ) → (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴))) ∈ ℂ)
98	34, 97	mpan 687	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((sin‘(𝑘 · 𝐴)) ∈ ℂ → (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴))) ∈ ℂ)
99	65, 69, 98	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴))) ∈ ℂ)
100	33, 37	jca 511	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ))
101	100	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ))
102		muladd 11643	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((cos‘(𝑘 · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴))) ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ)) → (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) · ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))) = ((((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) + ((i · (sin‘𝐴)) · (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))) + (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (i · (sin‘𝐴))) + ((cos‘𝐴) · (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))))
103	77, 99, 101, 102	syl21anc 835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) · ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))) = ((((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) + ((i · (sin‘𝐴)) · (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))) + (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (i · (sin‘𝐴))) + ((cos‘𝐴) · (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))))
104	78, 34	jctil 519	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℂ))
105	70, 34	jctil 519	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i ∈ ℂ ∧ (sin‘(𝑘 · 𝐴)) ∈ ℂ))
106		mul4 11379	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((i ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℂ) ∧ (i ∈ ℂ ∧ (sin‘(𝑘 · 𝐴)) ∈ ℂ)) → ((i · (sin‘𝐴)) · (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) = ((i · i) · ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))
107		ixi 11840	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (i · i) = -1
108	107	oveq1i 7411	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((i · i) · ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) = (-1 · ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))
109	106, 108	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((i ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℂ) ∧ (i ∈ ℂ ∧ (sin‘(𝑘 · 𝐴)) ∈ ℂ)) → ((i · (sin‘𝐴)) · (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) = (-1 · ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))
110	104, 105, 109	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((i · (sin‘𝐴)) · (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) = (-1 · ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))
111	110	oveq2d 7417	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) + ((i · (sin‘𝐴)) · (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))) = (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) + (-1 · ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))))
112	111	oveq1d 7416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) + ((i · (sin‘𝐴)) · (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))) + (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (i · (sin‘𝐴))) + ((cos‘𝐴) · (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))) = ((((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) + (-1 · ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))) + (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (i · (sin‘𝐴))) + ((cos‘𝐴) · (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))))
113		mul12 11376	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℂ) → ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (i · (sin‘𝐴))) = (i · ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴))))
114	34, 113	mp3an2 1445	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℂ) → ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (i · (sin‘𝐴))) = (i · ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴))))
115	77, 78, 114	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (i · (sin‘𝐴))) = (i · ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴))))
116		mul12 11376	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ (sin‘(𝑘 · 𝐴)) ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) · (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) = (i · ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))
117	34, 116	mp3an2 1445	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (sin‘(𝑘 · 𝐴)) ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) · (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) = (i · ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))
118	68, 70, 117	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) · (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) = (i · ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))
119	115, 118	oveq12d 7419	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (i · (sin‘𝐴))) + ((cos‘𝐴) · (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))) = ((i · ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴))) + (i · ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))))
120		adddi 11195	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))) ∈ ℂ) → (i · (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))) = ((i · ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴))) + (i · ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))))
121	34, 120	mp3an1 1444	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))) ∈ ℂ) → (i · (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))) = ((i · ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴))) + (i · ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))))
122	80, 75, 121	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))) = ((i · ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴))) + (i · ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))))
123	119, 122	eqtr4d 2767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (i · (sin‘𝐴))) + ((cos‘𝐴) · (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))) = (i · (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))))
124	123	oveq2d 7417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) + (-1 · ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))) + (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (i · (sin‘𝐴))) + ((cos‘𝐴) · (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))) = ((((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) + (-1 · ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))) + (i · (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))))
125	103, 112, 124	3eqtrd 2768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) · ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))) = ((((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) + (-1 · ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))) + (i · (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))))
126		mulcl 11190	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((sin‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (sin‘(𝑘 · 𝐴)) ∈ ℂ) → ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))) ∈ ℂ)
127	78, 70, 126	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))) ∈ ℂ)
128		mulm1 11652	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))) ∈ ℂ → (-1 · ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) = -((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))
129	127, 128	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-1 · ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) = -((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))
130	129	oveq2d 7417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) + (-1 · ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))) = (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) + -((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))
131	130	oveq1d 7416	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) + (-1 · ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))) + (i · (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))) = ((((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) + -((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) + (i · (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))))
132		mulcl 11190	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℂ) → ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) ∈ ℂ)
133	77, 68, 132	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) ∈ ℂ)
134		negsub 11505	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))) ∈ ℂ) → (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) + -((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) = (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))
135	133, 127, 134	syl2anc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) + -((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) = (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))
136	135	oveq1d 7416	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) + -((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) + (i · (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))) = ((((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) + (i · (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))))
137	125, 131, 136	3eqtrd 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) · ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))) = ((((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) + (i · (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))))
138		cosadd 16105	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑘 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (cos‘((𝑘 · 𝐴) + 𝐴)) = (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) − ((sin‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴))))
139	65, 138	sylancom 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (cos‘((𝑘 · 𝐴) + 𝐴)) = (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) − ((sin‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴))))
140		mulcom 11192	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((sin‘(𝑘 · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℂ) → ((sin‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) = ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))
141	70, 78, 140	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((sin‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) = ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))
142	141	oveq2d 7417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) − ((sin‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴))) = (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))
143	139, 142	eqtrd 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (cos‘((𝑘 · 𝐴) + 𝐴)) = (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))
144	143	oveq1d 7416	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((cos‘((𝑘 · 𝐴) + 𝐴)) + (i · (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))) = ((((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) + (i · (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))))
145	137, 144	eqtr4d 2767	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) · ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))) = ((cos‘((𝑘 · 𝐴) + 𝐴)) + (i · (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))))
146	85, 96, 145	3eqtr4rd 2775	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) · ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))) = ((cos‘((𝑘 + 1) · 𝐴)) + (i · (sin‘((𝑘 + 1) · 𝐴)))))
147	146	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑘) = ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))) → (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) · ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))) = ((cos‘((𝑘 + 1) · 𝐴)) + (i · (sin‘((𝑘 + 1) · 𝐴)))))
148	60, 62, 147	3eqtrd 2768	. . . . 5 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑘) = ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))) → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑(𝑘 + 1)) = ((cos‘((𝑘 + 1) · 𝐴)) + (i · (sin‘((𝑘 + 1) · 𝐴)))))
149	148	exp31 419	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ₀ → (𝐴 ∈ ℂ → ((((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑘) = ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑(𝑘 + 1)) = ((cos‘((𝑘 + 1) · 𝐴)) + (i · (sin‘((𝑘 + 1) · 𝐴)))))))
150	149	a2d 29	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ₀ → ((𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑘) = ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))) → (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑(𝑘 + 1)) = ((cos‘((𝑘 + 1) · 𝐴)) + (i · (sin‘((𝑘 + 1) · 𝐴)))))))
151	8, 16, 24, 32, 56, 150	nn0ind 12654	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑁) = ((cos‘(𝑁 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑁 · 𝐴))))))
152	151	impcom 407	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑁) = ((cos‘(𝑁 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑁 · 𝐴)))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 395 ∧ w3a 1084 = wceq 1533 ∈ wcel 2098 ‘cfv 6533 (class class class)co 7401 ℂcc 11104 0cc0 11106 1c1 11107 ici 11108 + caddc 11109 · cmul 11111 − cmin 11441 -cneg 11442 ℕ₀cn0 12469 ↑cexp 14024 sincsin 16004 cosccos 16005

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2695 ax-rep 5275 ax-sep 5289 ax-nul 5296 ax-pow 5353 ax-pr 5417 ax-un 7718 ax-inf2 9632 ax-cnex 11162 ax-resscn 11163 ax-1cn 11164 ax-icn 11165 ax-addcl 11166 ax-addrcl 11167 ax-mulcl 11168 ax-mulrcl 11169 ax-mulcom 11170 ax-addass 11171 ax-mulass 11172 ax-distr 11173 ax-i2m1 11174 ax-1ne0 11175 ax-1rid 11176 ax-rnegex 11177 ax-rrecex 11178 ax-cnre 11179 ax-pre-lttri 11180 ax-pre-lttrn 11181 ax-pre-ltadd 11182 ax-pre-mulgt0 11183 ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2526 df-eu 2555 df-clab 2702 df-cleq 2716 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2933 df-nel 3039 df-ral 3054 df-rex 3063 df-rmo 3368 df-reu 3369 df-rab 3425 df-v 3468 df-sbc 3770 df-csb 3886 df-dif 3943 df-un 3945 df-in 3947 df-ss 3957 df-pss 3959 df-nul 4315 df-if 4521 df-pw 4596 df-sn 4621 df-pr 4623 df-op 4627 df-uni 4900 df-int 4941 df-iun 4989 df-br 5139 df-opab 5201 df-mpt 5222 df-tr 5256 df-id 5564 df-eprel 5570 df-po 5578 df-so 5579 df-fr 5621 df-se 5622 df-we 5623 df-xp 5672 df-rel 5673 df-cnv 5674 df-co 5675 df-dm 5676 df-rn 5677 df-res 5678 df-ima 5679 df-pred 6290 df-ord 6357 df-on 6358 df-lim 6359 df-suc 6360 df-iota 6485 df-fun 6535 df-fn 6536 df-f 6537 df-f1 6538 df-fo 6539 df-f1o 6540 df-fv 6541 df-isom 6542 df-riota 7357 df-ov 7404 df-oprab 7405 df-mpo 7406 df-om 7849 df-1st 7968 df-2nd 7969 df-frecs 8261 df-wrecs 8292 df-recs 8366 df-rdg 8405 df-1o 8461 df-er 8699 df-pm 8819 df-en 8936 df-dom 8937 df-sdom 8938 df-fin 8939 df-sup 9433 df-inf 9434 df-oi 9501 df-card 9930 df-pnf 11247 df-mnf 11248 df-xr 11249 df-ltxr 11250 df-le 11251 df-sub 11443 df-neg 11444 df-div 11869 df-nn 12210 df-2 12272 df-3 12273 df-n0 12470 df-z 12556 df-uz 12820 df-rp 12972 df-ico 13327 df-fz 13482 df-fzo 13625 df-fl 13754 df-seq 13964 df-exp 14025 df-fac 14231 df-bc 14260 df-hash 14288 df-shft 15011 df-cj 15043 df-re 15044 df-im 15045 df-sqrt 15179 df-abs 15180 df-limsup 15412 df-clim 15429 df-rlim 15430 df-sum 15630 df-ef 16008 df-sin 16010 df-cos 16011

This theorem is referenced by: (None)

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