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Theorem demoivreALT 16140
Description: Alternate proof of demoivre 16139. It is longer but does not use the exponential function. This is Metamath 100 proof #17. (Contributed by Steve Rodriguez, 10-Nov-2006.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
demoivreALT ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))↑𝑁) = ((cosβ€˜(𝑁 Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· 𝐴)))))

Proof of Theorem demoivreALT
Dummy variables π‘₯ π‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7413 . . . . 5 (π‘₯ = 0 β†’ (((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))↑π‘₯) = (((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))↑0))
2 oveq1 7412 . . . . . . 7 (π‘₯ = 0 β†’ (π‘₯ Β· 𝐴) = (0 Β· 𝐴))
32fveq2d 6892 . . . . . 6 (π‘₯ = 0 β†’ (cosβ€˜(π‘₯ Β· 𝐴)) = (cosβ€˜(0 Β· 𝐴)))
42fveq2d 6892 . . . . . . 7 (π‘₯ = 0 β†’ (sinβ€˜(π‘₯ Β· 𝐴)) = (sinβ€˜(0 Β· 𝐴)))
54oveq2d 7421 . . . . . 6 (π‘₯ = 0 β†’ (i Β· (sinβ€˜(π‘₯ Β· 𝐴))) = (i Β· (sinβ€˜(0 Β· 𝐴))))
63, 5oveq12d 7423 . . . . 5 (π‘₯ = 0 β†’ ((cosβ€˜(π‘₯ Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(π‘₯ Β· 𝐴)))) = ((cosβ€˜(0 Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(0 Β· 𝐴)))))
71, 6eqeq12d 2748 . . . 4 (π‘₯ = 0 β†’ ((((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))↑π‘₯) = ((cosβ€˜(π‘₯ Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(π‘₯ Β· 𝐴)))) ↔ (((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))↑0) = ((cosβ€˜(0 Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(0 Β· 𝐴))))))
87imbi2d 340 . . 3 (π‘₯ = 0 β†’ ((𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))↑π‘₯) = ((cosβ€˜(π‘₯ Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(π‘₯ Β· 𝐴))))) ↔ (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))↑0) = ((cosβ€˜(0 Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(0 Β· 𝐴)))))))
9 oveq2 7413 . . . . 5 (π‘₯ = π‘˜ β†’ (((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))↑π‘₯) = (((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))β†‘π‘˜))
10 oveq1 7412 . . . . . . 7 (π‘₯ = π‘˜ β†’ (π‘₯ Β· 𝐴) = (π‘˜ Β· 𝐴))
1110fveq2d 6892 . . . . . 6 (π‘₯ = π‘˜ β†’ (cosβ€˜(π‘₯ Β· 𝐴)) = (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))
1210fveq2d 6892 . . . . . . 7 (π‘₯ = π‘˜ β†’ (sinβ€˜(π‘₯ Β· 𝐴)) = (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))
1312oveq2d 7421 . . . . . 6 (π‘₯ = π‘˜ β†’ (i Β· (sinβ€˜(π‘₯ Β· 𝐴))) = (i Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))))
1411, 13oveq12d 7423 . . . . 5 (π‘₯ = π‘˜ β†’ ((cosβ€˜(π‘₯ Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(π‘₯ Β· 𝐴)))) = ((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))))
159, 14eqeq12d 2748 . . . 4 (π‘₯ = π‘˜ β†’ ((((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))↑π‘₯) = ((cosβ€˜(π‘₯ Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(π‘₯ Β· 𝐴)))) ↔ (((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))β†‘π‘˜) = ((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))))))
1615imbi2d 340 . . 3 (π‘₯ = π‘˜ β†’ ((𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))↑π‘₯) = ((cosβ€˜(π‘₯ Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(π‘₯ Β· 𝐴))))) ↔ (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))β†‘π‘˜) = ((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))))))
17 oveq2 7413 . . . . 5 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ (((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))↑π‘₯) = (((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))↑(π‘˜ + 1)))
18 oveq1 7412 . . . . . . 7 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ (π‘₯ Β· 𝐴) = ((π‘˜ + 1) Β· 𝐴))
1918fveq2d 6892 . . . . . 6 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ (cosβ€˜(π‘₯ Β· 𝐴)) = (cosβ€˜((π‘˜ + 1) Β· 𝐴)))
2018fveq2d 6892 . . . . . . 7 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ (sinβ€˜(π‘₯ Β· 𝐴)) = (sinβ€˜((π‘˜ + 1) Β· 𝐴)))
2120oveq2d 7421 . . . . . 6 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ (i Β· (sinβ€˜(π‘₯ Β· 𝐴))) = (i Β· (sinβ€˜((π‘˜ + 1) Β· 𝐴))))
2219, 21oveq12d 7423 . . . . 5 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ ((cosβ€˜(π‘₯ Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(π‘₯ Β· 𝐴)))) = ((cosβ€˜((π‘˜ + 1) Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜((π‘˜ + 1) Β· 𝐴)))))
2317, 22eqeq12d 2748 . . . 4 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ ((((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))↑π‘₯) = ((cosβ€˜(π‘₯ Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(π‘₯ Β· 𝐴)))) ↔ (((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))↑(π‘˜ + 1)) = ((cosβ€˜((π‘˜ + 1) Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜((π‘˜ + 1) Β· 𝐴))))))
2423imbi2d 340 . . 3 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ ((𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))↑π‘₯) = ((cosβ€˜(π‘₯ Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(π‘₯ Β· 𝐴))))) ↔ (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))↑(π‘˜ + 1)) = ((cosβ€˜((π‘˜ + 1) Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜((π‘˜ + 1) Β· 𝐴)))))))
25 oveq2 7413 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))↑π‘₯) = (((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))↑𝑁))
26 oveq1 7412 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (π‘₯ Β· 𝐴) = (𝑁 Β· 𝐴))
2726fveq2d 6892 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (cosβ€˜(π‘₯ Β· 𝐴)) = (cosβ€˜(𝑁 Β· 𝐴)))
2826fveq2d 6892 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (sinβ€˜(π‘₯ Β· 𝐴)) = (sinβ€˜(𝑁 Β· 𝐴)))
2928oveq2d 7421 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (i Β· (sinβ€˜(π‘₯ Β· 𝐴))) = (i Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· 𝐴))))
3027, 29oveq12d 7423 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((cosβ€˜(π‘₯ Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(π‘₯ Β· 𝐴)))) = ((cosβ€˜(𝑁 Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· 𝐴)))))
3125, 30eqeq12d 2748 . . . 4 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))↑π‘₯) = ((cosβ€˜(π‘₯ Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(π‘₯ Β· 𝐴)))) ↔ (((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))↑𝑁) = ((cosβ€˜(𝑁 Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· 𝐴))))))
3231imbi2d 340 . . 3 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))↑π‘₯) = ((cosβ€˜(π‘₯ Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(π‘₯ Β· 𝐴))))) ↔ (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))↑𝑁) = ((cosβ€˜(𝑁 Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· 𝐴)))))))
33 coscl 16066 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (cosβ€˜π΄) ∈ β„‚)
34 ax-icn 11165 . . . . . . 7 i ∈ β„‚
35 sincl 16065 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜π΄) ∈ β„‚)
36 mulcl 11190 . . . . . . 7 ((i ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) ∈ β„‚) β†’ (i Β· (sinβ€˜π΄)) ∈ β„‚)
3734, 35, 36sylancr 587 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (i Β· (sinβ€˜π΄)) ∈ β„‚)
38 addcl 11188 . . . . . 6 (((cosβ€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ (i Β· (sinβ€˜π΄)) ∈ β„‚) β†’ ((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄))) ∈ β„‚)
3933, 37, 38syl2anc 584 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄))) ∈ β„‚)
40 exp0 14027 . . . . 5 (((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄))) ∈ β„‚ β†’ (((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))↑0) = 1)
4139, 40syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))↑0) = 1)
42 mul02 11388 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (0 Β· 𝐴) = 0)
4342fveq2d 6892 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (cosβ€˜(0 Β· 𝐴)) = (cosβ€˜0))
44 cos0 16089 . . . . . . 7 (cosβ€˜0) = 1
4543, 44eqtrdi 2788 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (cosβ€˜(0 Β· 𝐴)) = 1)
4642fveq2d 6892 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜(0 Β· 𝐴)) = (sinβ€˜0))
47 sin0 16088 . . . . . . . . 9 (sinβ€˜0) = 0
4846, 47eqtrdi 2788 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜(0 Β· 𝐴)) = 0)
4948oveq2d 7421 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (i Β· (sinβ€˜(0 Β· 𝐴))) = (i Β· 0))
5034mul01i 11400 . . . . . . 7 (i Β· 0) = 0
5149, 50eqtrdi 2788 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (i Β· (sinβ€˜(0 Β· 𝐴))) = 0)
5245, 51oveq12d 7423 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((cosβ€˜(0 Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(0 Β· 𝐴)))) = (1 + 0))
53 ax-1cn 11164 . . . . . 6 1 ∈ β„‚
5453addridi 11397 . . . . 5 (1 + 0) = 1
5552, 54eqtrdi 2788 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((cosβ€˜(0 Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(0 Β· 𝐴)))) = 1)
5641, 55eqtr4d 2775 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))↑0) = ((cosβ€˜(0 Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(0 Β· 𝐴)))))
57 expp1 14030 . . . . . . . . 9 ((((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄))) ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))↑(π‘˜ + 1)) = ((((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))β†‘π‘˜) Β· ((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))))
5839, 57sylan 580 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))↑(π‘˜ + 1)) = ((((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))β†‘π‘˜) Β· ((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))))
5958ancoms 459 . . . . . . 7 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))↑(π‘˜ + 1)) = ((((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))β†‘π‘˜) Β· ((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))))
6059adantr 481 . . . . . 6 (((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ (((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))β†‘π‘˜) = ((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))))) β†’ (((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))↑(π‘˜ + 1)) = ((((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))β†‘π‘˜) Β· ((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))))
61 oveq1 7412 . . . . . . 7 ((((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))β†‘π‘˜) = ((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))) β†’ ((((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))β†‘π‘˜) Β· ((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))) = (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))) Β· ((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))))
6261adantl 482 . . . . . 6 (((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ (((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))β†‘π‘˜) = ((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))))) β†’ ((((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))β†‘π‘˜) Β· ((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))) = (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))) Β· ((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))))
63 nn0cn 12478 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
64 mulcl 11190 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘˜ ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (π‘˜ Β· 𝐴) ∈ β„‚)
6563, 64sylan 580 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (π‘˜ Β· 𝐴) ∈ β„‚)
66 sinadd 16103 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘˜ Β· 𝐴) ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (sinβ€˜((π‘˜ Β· 𝐴) + 𝐴)) = (((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (cosβ€˜π΄)) + ((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (sinβ€˜π΄))))
6765, 66sylancom 588 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (sinβ€˜((π‘˜ Β· 𝐴) + 𝐴)) = (((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (cosβ€˜π΄)) + ((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (sinβ€˜π΄))))
6833adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (cosβ€˜π΄) ∈ β„‚)
69 sincl 16065 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘˜ Β· 𝐴) ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) ∈ β„‚)
7065, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) ∈ β„‚)
71 mulcom 11192 . . . . . . . . . . . . 13 (((cosβ€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) ∈ β„‚) β†’ ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))) = ((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (cosβ€˜π΄)))
7268, 70, 71syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))) = ((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (cosβ€˜π΄)))
7372oveq1d 7420 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))) + ((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (sinβ€˜π΄))) = (((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (cosβ€˜π΄)) + ((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (sinβ€˜π΄))))
74 mulcl 11190 . . . . . . . . . . . . 13 (((cosβ€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) ∈ β„‚) β†’ ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))) ∈ β„‚)
7568, 70, 74syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))) ∈ β„‚)
76 coscl 16066 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘˜ Β· 𝐴) ∈ β„‚ β†’ (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) ∈ β„‚)
7765, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) ∈ β„‚)
7835adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (sinβ€˜π΄) ∈ β„‚)
79 mulcl 11190 . . . . . . . . . . . . 13 (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) ∈ β„‚) β†’ ((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (sinβ€˜π΄)) ∈ β„‚)
8077, 78, 79syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (sinβ€˜π΄)) ∈ β„‚)
81 addcom 11396 . . . . . . . . . . . 12 ((((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))) ∈ β„‚ ∧ ((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (sinβ€˜π΄)) ∈ β„‚) β†’ (((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))) + ((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (sinβ€˜π΄))) = (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (sinβ€˜π΄)) + ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))))
8275, 80, 81syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))) + ((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (sinβ€˜π΄))) = (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (sinβ€˜π΄)) + ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))))
8367, 73, 823eqtr2d 2778 . . . . . . . . . 10 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (sinβ€˜((π‘˜ Β· 𝐴) + 𝐴)) = (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (sinβ€˜π΄)) + ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))))
8483oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (i Β· (sinβ€˜((π‘˜ Β· 𝐴) + 𝐴))) = (i Β· (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (sinβ€˜π΄)) + ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))))))
8584oveq2d 7421 . . . . . . . 8 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((cosβ€˜((π‘˜ Β· 𝐴) + 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜((π‘˜ Β· 𝐴) + 𝐴)))) = ((cosβ€˜((π‘˜ Β· 𝐴) + 𝐴)) + (i Β· (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (sinβ€˜π΄)) + ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))))))
86 adddir 11201 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘˜ ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((π‘˜ + 1) Β· 𝐴) = ((π‘˜ Β· 𝐴) + (1 Β· 𝐴)))
87 mullid 11209 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (1 Β· 𝐴) = 𝐴)
8887oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((π‘˜ Β· 𝐴) + (1 Β· 𝐴)) = ((π‘˜ Β· 𝐴) + 𝐴))
89883ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘˜ ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((π‘˜ Β· 𝐴) + (1 Β· 𝐴)) = ((π‘˜ Β· 𝐴) + 𝐴))
9086, 89eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((π‘˜ + 1) Β· 𝐴) = ((π‘˜ Β· 𝐴) + 𝐴))
9163, 90syl3an1 1163 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 1 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((π‘˜ + 1) Β· 𝐴) = ((π‘˜ Β· 𝐴) + 𝐴))
9253, 91mp3an2 1449 . . . . . . . . . 10 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((π‘˜ + 1) Β· 𝐴) = ((π‘˜ Β· 𝐴) + 𝐴))
9392fveq2d 6892 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (cosβ€˜((π‘˜ + 1) Β· 𝐴)) = (cosβ€˜((π‘˜ Β· 𝐴) + 𝐴)))
9492fveq2d 6892 . . . . . . . . . 10 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (sinβ€˜((π‘˜ + 1) Β· 𝐴)) = (sinβ€˜((π‘˜ Β· 𝐴) + 𝐴)))
9594oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (i Β· (sinβ€˜((π‘˜ + 1) Β· 𝐴))) = (i Β· (sinβ€˜((π‘˜ Β· 𝐴) + 𝐴))))
9693, 95oveq12d 7423 . . . . . . . 8 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((cosβ€˜((π‘˜ + 1) Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜((π‘˜ + 1) Β· 𝐴)))) = ((cosβ€˜((π‘˜ Β· 𝐴) + 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜((π‘˜ Β· 𝐴) + 𝐴)))))
97 mulcl 11190 . . . . . . . . . . . . . 14 ((i ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) ∈ β„‚) β†’ (i Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))) ∈ β„‚)
9834, 97mpan 688 . . . . . . . . . . . . 13 ((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) ∈ β„‚ β†’ (i Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))) ∈ β„‚)
9965, 69, 983syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (i Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))) ∈ β„‚)
10033, 37jca 512 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((cosβ€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ (i Β· (sinβ€˜π΄)) ∈ β„‚))
101100adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((cosβ€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ (i Β· (sinβ€˜π΄)) ∈ β„‚))
102 muladd 11642 . . . . . . . . . . . 12 ((((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) ∈ β„‚ ∧ (i Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))) ∈ β„‚) ∧ ((cosβ€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ (i Β· (sinβ€˜π΄)) ∈ β„‚)) β†’ (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))) Β· ((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))) = ((((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (cosβ€˜π΄)) + ((i Β· (sinβ€˜π΄)) Β· (i Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))))) + (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄))) + ((cosβ€˜π΄) Β· (i Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))))))
10377, 99, 101, 102syl21anc 836 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))) Β· ((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))) = ((((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (cosβ€˜π΄)) + ((i Β· (sinβ€˜π΄)) Β· (i Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))))) + (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄))) + ((cosβ€˜π΄) Β· (i Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))))))
10478, 34jctil 520 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (i ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) ∈ β„‚))
10570, 34jctil 520 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (i ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) ∈ β„‚))
106 mul4 11378 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((i ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) ∈ β„‚) ∧ (i ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) ∈ β„‚)) β†’ ((i Β· (sinβ€˜π΄)) Β· (i Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))) = ((i Β· i) Β· ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))))
107 ixi 11839 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (i Β· i) = -1
108107oveq1i 7415 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((i Β· i) Β· ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))) = (-1 Β· ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))))
109106, 108eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . . . 14 (((i ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) ∈ β„‚) ∧ (i ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) ∈ β„‚)) β†’ ((i Β· (sinβ€˜π΄)) Β· (i Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))) = (-1 Β· ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))))
110104, 105, 109syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((i Β· (sinβ€˜π΄)) Β· (i Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))) = (-1 Β· ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))))
111110oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (cosβ€˜π΄)) + ((i Β· (sinβ€˜π΄)) Β· (i Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))))) = (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (cosβ€˜π΄)) + (-1 Β· ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))))))
112111oveq1d 7420 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (cosβ€˜π΄)) + ((i Β· (sinβ€˜π΄)) Β· (i Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))))) + (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄))) + ((cosβ€˜π΄) Β· (i Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))))) = ((((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (cosβ€˜π΄)) + (-1 Β· ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))))) + (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄))) + ((cosβ€˜π΄) Β· (i Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))))))
113 mul12 11375 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) ∈ β„‚ ∧ i ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) ∈ β„‚) β†’ ((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄))) = (i Β· ((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (sinβ€˜π΄))))
11434, 113mp3an2 1449 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) ∈ β„‚) β†’ ((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄))) = (i Β· ((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (sinβ€˜π΄))))
11577, 78, 114syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄))) = (i Β· ((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (sinβ€˜π΄))))
116 mul12 11375 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((cosβ€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ i ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) ∈ β„‚) β†’ ((cosβ€˜π΄) Β· (i Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))) = (i Β· ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))))
11734, 116mp3an2 1449 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((cosβ€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) ∈ β„‚) β†’ ((cosβ€˜π΄) Β· (i Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))) = (i Β· ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))))
11868, 70, 117syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((cosβ€˜π΄) Β· (i Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))) = (i Β· ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))))
119115, 118oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄))) + ((cosβ€˜π΄) Β· (i Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))))) = ((i Β· ((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (sinβ€˜π΄))) + (i Β· ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))))))
120 adddi 11195 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((i ∈ β„‚ ∧ ((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (sinβ€˜π΄)) ∈ β„‚ ∧ ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))) ∈ β„‚) β†’ (i Β· (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (sinβ€˜π΄)) + ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))))) = ((i Β· ((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (sinβ€˜π΄))) + (i Β· ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))))))
12134, 120mp3an1 1448 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (sinβ€˜π΄)) ∈ β„‚ ∧ ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))) ∈ β„‚) β†’ (i Β· (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (sinβ€˜π΄)) + ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))))) = ((i Β· ((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (sinβ€˜π΄))) + (i Β· ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))))))
12280, 75, 121syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (i Β· (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (sinβ€˜π΄)) + ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))))) = ((i Β· ((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (sinβ€˜π΄))) + (i Β· ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))))))
123119, 122eqtr4d 2775 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄))) + ((cosβ€˜π΄) Β· (i Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))))) = (i Β· (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (sinβ€˜π΄)) + ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))))))
124123oveq2d 7421 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (cosβ€˜π΄)) + (-1 Β· ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))))) + (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄))) + ((cosβ€˜π΄) Β· (i Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))))) = ((((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (cosβ€˜π΄)) + (-1 Β· ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))))) + (i Β· (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (sinβ€˜π΄)) + ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))))))
125103, 112, 1243eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))) Β· ((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))) = ((((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (cosβ€˜π΄)) + (-1 Β· ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))))) + (i Β· (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (sinβ€˜π΄)) + ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))))))
126 mulcl 11190 . . . . . . . . . . . . . 14 (((sinβ€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) ∈ β„‚) β†’ ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))) ∈ β„‚)
12778, 70, 126syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))) ∈ β„‚)
128 mulm1 11651 . . . . . . . . . . . . 13 (((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))) ∈ β„‚ β†’ (-1 Β· ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))) = -((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))))
129127, 128syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (-1 Β· ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))) = -((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))))
130129oveq2d 7421 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (cosβ€˜π΄)) + (-1 Β· ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))))) = (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (cosβ€˜π΄)) + -((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))))
131130oveq1d 7420 . . . . . . . . . 10 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (cosβ€˜π΄)) + (-1 Β· ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))))) + (i Β· (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (sinβ€˜π΄)) + ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))))) = ((((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (cosβ€˜π΄)) + -((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))) + (i Β· (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (sinβ€˜π΄)) + ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))))))
132 mulcl 11190 . . . . . . . . . . . . 13 (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) ∈ β„‚) β†’ ((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (cosβ€˜π΄)) ∈ β„‚)
13377, 68, 132syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (cosβ€˜π΄)) ∈ β„‚)
134 negsub 11504 . . . . . . . . . . . 12 ((((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (cosβ€˜π΄)) ∈ β„‚ ∧ ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))) ∈ β„‚) β†’ (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (cosβ€˜π΄)) + -((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))) = (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (cosβ€˜π΄)) βˆ’ ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))))
135133, 127, 134syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (cosβ€˜π΄)) + -((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))) = (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (cosβ€˜π΄)) βˆ’ ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))))
136135oveq1d 7420 . . . . . . . . . 10 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (cosβ€˜π΄)) + -((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))) + (i Β· (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (sinβ€˜π΄)) + ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))))) = ((((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (cosβ€˜π΄)) βˆ’ ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))) + (i Β· (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (sinβ€˜π΄)) + ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))))))
137125, 131, 1363eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))) Β· ((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))) = ((((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (cosβ€˜π΄)) βˆ’ ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))) + (i Β· (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (sinβ€˜π΄)) + ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))))))
138 cosadd 16104 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘˜ Β· 𝐴) ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (cosβ€˜((π‘˜ Β· 𝐴) + 𝐴)) = (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (cosβ€˜π΄)) βˆ’ ((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (sinβ€˜π΄))))
13965, 138sylancom 588 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (cosβ€˜((π‘˜ Β· 𝐴) + 𝐴)) = (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (cosβ€˜π΄)) βˆ’ ((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (sinβ€˜π΄))))
140 mulcom 11192 . . . . . . . . . . . . 13 (((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) ∈ β„‚) β†’ ((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (sinβ€˜π΄)) = ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))))
14170, 78, 140syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (sinβ€˜π΄)) = ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))))
142141oveq2d 7421 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (cosβ€˜π΄)) βˆ’ ((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (sinβ€˜π΄))) = (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (cosβ€˜π΄)) βˆ’ ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))))
143139, 142eqtrd 2772 . . . . . . . . . 10 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (cosβ€˜((π‘˜ Β· 𝐴) + 𝐴)) = (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (cosβ€˜π΄)) βˆ’ ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))))
144143oveq1d 7420 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((cosβ€˜((π‘˜ Β· 𝐴) + 𝐴)) + (i Β· (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (sinβ€˜π΄)) + ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))))) = ((((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (cosβ€˜π΄)) βˆ’ ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))) + (i Β· (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (sinβ€˜π΄)) + ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))))))
145137, 144eqtr4d 2775 . . . . . . . 8 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))) Β· ((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))) = ((cosβ€˜((π‘˜ Β· 𝐴) + 𝐴)) + (i Β· (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) Β· (sinβ€˜π΄)) + ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))))))
14685, 96, 1453eqtr4rd 2783 . . . . . . 7 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))) Β· ((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))) = ((cosβ€˜((π‘˜ + 1) Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜((π‘˜ + 1) Β· 𝐴)))))
147146adantr 481 . . . . . 6 (((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ (((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))β†‘π‘˜) = ((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))))) β†’ (((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))) Β· ((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))) = ((cosβ€˜((π‘˜ + 1) Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜((π‘˜ + 1) Β· 𝐴)))))
14860, 62, 1473eqtrd 2776 . . . . 5 (((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ (((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))β†‘π‘˜) = ((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))))) β†’ (((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))↑(π‘˜ + 1)) = ((cosβ€˜((π‘˜ + 1) Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜((π‘˜ + 1) Β· 𝐴)))))
149148exp31 420 . . . 4 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))β†‘π‘˜) = ((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)))) β†’ (((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))↑(π‘˜ + 1)) = ((cosβ€˜((π‘˜ + 1) Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜((π‘˜ + 1) Β· 𝐴)))))))
150149a2d 29 . . 3 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ ((𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))β†‘π‘˜) = ((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝐴))))) β†’ (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))↑(π‘˜ + 1)) = ((cosβ€˜((π‘˜ + 1) Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜((π‘˜ + 1) Β· 𝐴)))))))
1518, 16, 24, 32, 56, 150nn0ind 12653 . 2 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))↑𝑁) = ((cosβ€˜(𝑁 Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· 𝐴))))))
152151impcom 408 1 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))↑𝑁) = ((cosβ€˜(𝑁 Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· 𝐴)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„‚cc 11104  0cc0 11106  1c1 11107  ici 11108   + caddc 11109   Β· cmul 11111   βˆ’ cmin 11440  -cneg 11441  β„•0cn0 12468  β†‘cexp 14023  sincsin 16003  cosccos 16004
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-ico 13326  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-ef 16007  df-sin 16009  df-cos 16010
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