Theorem demoivreALT 16166

Description: Alternate proof of demoivre 16165. It is longer but does not use the exponential function. This is Metamath 100 proof #17. (Contributed by Steve Rodriguez, 10-Nov-2006.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
demoivreALT	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑁) = ((cos‘(𝑁 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑁 · 𝐴)))))

Proof of Theorem demoivreALT

Dummy variables 𝑥 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7371	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑥) = (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑0))
2		oveq1 7370	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 · 𝐴) = (0 · 𝐴))
3	2	fveq2d 6838	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (cos‘(𝑥 · 𝐴)) = (cos‘(0 · 𝐴)))
4	2	fveq2d 6838	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (sin‘(𝑥 · 𝐴)) = (sin‘(0 · 𝐴)))
5	4	oveq2d 7379	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (i · (sin‘(𝑥 · 𝐴))) = (i · (sin‘(0 · 𝐴))))
6	3, 5	oveq12d 7381	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → ((cos‘(𝑥 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑥 · 𝐴)))) = ((cos‘(0 · 𝐴)) + (i · (sin‘(0 · 𝐴)))))
7	1, 6	eqeq12d 2756	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → ((((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑥) = ((cos‘(𝑥 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑥 · 𝐴)))) ↔ (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑0) = ((cos‘(0 · 𝐴)) + (i · (sin‘(0 · 𝐴))))))
8	7	imbi2d 341	. . 3 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑥) = ((cos‘(𝑥 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑥 · 𝐴))))) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑0) = ((cos‘(0 · 𝐴)) + (i · (sin‘(0 · 𝐴)))))))
9		oveq2 7371	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑥) = (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑘))
10		oveq1 7370	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑥 · 𝐴) = (𝑘 · 𝐴))
11	10	fveq2d 6838	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (cos‘(𝑥 · 𝐴)) = (cos‘(𝑘 · 𝐴)))
12	10	fveq2d 6838	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (sin‘(𝑥 · 𝐴)) = (sin‘(𝑘 · 𝐴)))
13	12	oveq2d 7379	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (i · (sin‘(𝑥 · 𝐴))) = (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))
14	11, 13	oveq12d 7381	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((cos‘(𝑥 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑥 · 𝐴)))) = ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))
15	9, 14	eqeq12d 2756	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑥) = ((cos‘(𝑥 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑥 · 𝐴)))) ↔ (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑘) = ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))))
16	15	imbi2d 341	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑥) = ((cos‘(𝑥 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑥 · 𝐴))))) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑘) = ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))))
17		oveq2 7371	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑥) = (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑(𝑘 + 1)))
18		oveq1 7370	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝑥 · 𝐴) = ((𝑘 + 1) · 𝐴))
19	18	fveq2d 6838	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (cos‘(𝑥 · 𝐴)) = (cos‘((𝑘 + 1) · 𝐴)))
20	18	fveq2d 6838	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (sin‘(𝑥 · 𝐴)) = (sin‘((𝑘 + 1) · 𝐴)))
21	20	oveq2d 7379	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (i · (sin‘(𝑥 · 𝐴))) = (i · (sin‘((𝑘 + 1) · 𝐴))))
22	19, 21	oveq12d 7381	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((cos‘(𝑥 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑥 · 𝐴)))) = ((cos‘((𝑘 + 1) · 𝐴)) + (i · (sin‘((𝑘 + 1) · 𝐴)))))
23	17, 22	eqeq12d 2756	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑥) = ((cos‘(𝑥 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑥 · 𝐴)))) ↔ (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑(𝑘 + 1)) = ((cos‘((𝑘 + 1) · 𝐴)) + (i · (sin‘((𝑘 + 1) · 𝐴))))))
24	23	imbi2d 341	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑥) = ((cos‘(𝑥 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑥 · 𝐴))))) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑(𝑘 + 1)) = ((cos‘((𝑘 + 1) · 𝐴)) + (i · (sin‘((𝑘 + 1) · 𝐴)))))))
25		oveq2 7371	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑥) = (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑁))
26		oveq1 7370	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))
27	26	fveq2d 6838	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (cos‘(𝑥 · 𝐴)) = (cos‘(𝑁 · 𝐴)))
28	26	fveq2d 6838	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (sin‘(𝑥 · 𝐴)) = (sin‘(𝑁 · 𝐴)))
29	28	oveq2d 7379	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (i · (sin‘(𝑥 · 𝐴))) = (i · (sin‘(𝑁 · 𝐴))))
30	27, 29	oveq12d 7381	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((cos‘(𝑥 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑥 · 𝐴)))) = ((cos‘(𝑁 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑁 · 𝐴)))))
31	25, 30	eqeq12d 2756	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑥) = ((cos‘(𝑥 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑥 · 𝐴)))) ↔ (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑁) = ((cos‘(𝑁 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑁 · 𝐴))))))
32	31	imbi2d 341	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑥) = ((cos‘(𝑥 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑥 · 𝐴))))) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑁) = ((cos‘(𝑁 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑁 · 𝐴)))))))
33		coscl 16092	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
34		ax-icn 11095	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
35		sincl 16091	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
36		mulcl 11120	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ)
37	34, 35, 36	sylancr 593	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ)
38		addcl 11118	. . . . . 6 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))) ∈ ℂ)
39	33, 37, 38	syl2anc 590	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))) ∈ ℂ)
40		exp0 14025	. . . . 5 ⊢ (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))) ∈ ℂ → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑0) = 1)
41	39, 40	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑0) = 1)
42		mul02 11322	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 · 𝐴) = 0)
43	42	fveq2d 6838	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(0 · 𝐴)) = (cos‘0))
44		cos0 16115	. . . . . . 7 ⊢ (cos‘0) = 1
45	43, 44	eqtrdi 2791	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(0 · 𝐴)) = 1)
46	42	fveq2d 6838	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(0 · 𝐴)) = (sin‘0))
47		sin0 16114	. . . . . . . . 9 ⊢ (sin‘0) = 0
48	46, 47	eqtrdi 2791	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(0 · 𝐴)) = 0)
49	48	oveq2d 7379	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (sin‘(0 · 𝐴))) = (i · 0))
50	34	mul01i 11334	. . . . . . 7 ⊢ (i · 0) = 0
51	49, 50	eqtrdi 2791	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (sin‘(0 · 𝐴))) = 0)
52	45, 51	oveq12d 7381	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘(0 · 𝐴)) + (i · (sin‘(0 · 𝐴)))) = (1 + 0))
53		ax-1cn 11094	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
54	53	addridi 11331	. . . . 5 ⊢ (1 + 0) = 1
55	52, 54	eqtrdi 2791	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘(0 · 𝐴)) + (i · (sin‘(0 · 𝐴)))) = 1)
56	41, 55	eqtr4d 2778	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑0) = ((cos‘(0 · 𝐴)) + (i · (sin‘(0 · 𝐴)))))
57		expp1 14028	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑(𝑘 + 1)) = ((((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑘) · ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))))
58	39, 57	sylan 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑(𝑘 + 1)) = ((((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑘) · ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))))
59	58	ancoms 459	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑(𝑘 + 1)) = ((((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑘) · ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))))
60	59	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑘) = ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))) → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑(𝑘 + 1)) = ((((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑘) · ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))))
61		oveq1 7370	. . . . . . 7 ⊢ ((((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑘) = ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) → ((((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑘) · ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))) = (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) · ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))))
62	61	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑘) = ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))) → ((((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑘) · ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))) = (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) · ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))))
63		nn0cn 12445	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ)
64		mulcl 11120	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑘 · 𝐴) ∈ ℂ)
65	63, 64	sylan 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑘 · 𝐴) ∈ ℂ)
66		sinadd 16129	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑘 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (sin‘((𝑘 · 𝐴) + 𝐴)) = (((sin‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) + ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴))))
67	65, 66	sylancom 594	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (sin‘((𝑘 · 𝐴) + 𝐴)) = (((sin‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) + ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴))))
68	33	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
69		sincl 16091	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 · 𝐴) ∈ ℂ → (sin‘(𝑘 · 𝐴)) ∈ ℂ)
70	65, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (sin‘(𝑘 · 𝐴)) ∈ ℂ)
71		mulcom 11122	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (sin‘(𝑘 · 𝐴)) ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))) = ((sin‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)))
72	68, 70, 71	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))) = ((sin‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)))
73	72	oveq1d 7378	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))) + ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴))) = (((sin‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) + ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴))))
74		mulcl 11120	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (sin‘(𝑘 · 𝐴)) ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))) ∈ ℂ)
75	68, 70, 74	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))) ∈ ℂ)
76		coscl 16092	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 · 𝐴) ∈ ℂ → (cos‘(𝑘 · 𝐴)) ∈ ℂ)
77	65, 76	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (cos‘(𝑘 · 𝐴)) ∈ ℂ)
78	35	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
79		mulcl 11120	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℂ) → ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ)
80	77, 78, 79	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ)
81		addcom 11330	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))) ∈ ℂ ∧ ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ) → (((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))) + ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴))) = (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))
82	75, 80, 81	syl2anc 590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))) + ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴))) = (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))
83	67, 73, 82	3eqtr2d 2781	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (sin‘((𝑘 · 𝐴) + 𝐴)) = (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))
84	83	oveq2d 7379	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · (sin‘((𝑘 · 𝐴) + 𝐴))) = (i · (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))))
85	84	oveq2d 7379	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((cos‘((𝑘 · 𝐴) + 𝐴)) + (i · (sin‘((𝑘 · 𝐴) + 𝐴)))) = ((cos‘((𝑘 · 𝐴) + 𝐴)) + (i · (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))))
86		adddir 11133	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 1) · 𝐴) = ((𝑘 · 𝐴) + (1 · 𝐴)))
87		mullid 11141	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
88	87	oveq2d 7379	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑘 · 𝐴) + (1 · 𝐴)) = ((𝑘 · 𝐴) + 𝐴))
89	88	3ad2ant3 1141	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑘 · 𝐴) + (1 · 𝐴)) = ((𝑘 · 𝐴) + 𝐴))
90	86, 89	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 1) · 𝐴) = ((𝑘 · 𝐴) + 𝐴))
91	63, 90	syl3an1 1169	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 1) · 𝐴) = ((𝑘 · 𝐴) + 𝐴))
92	53, 91	mp3an2 1457	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 1) · 𝐴) = ((𝑘 · 𝐴) + 𝐴))
93	92	fveq2d 6838	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (cos‘((𝑘 + 1) · 𝐴)) = (cos‘((𝑘 · 𝐴) + 𝐴)))
94	92	fveq2d 6838	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (sin‘((𝑘 + 1) · 𝐴)) = (sin‘((𝑘 · 𝐴) + 𝐴)))
95	94	oveq2d 7379	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · (sin‘((𝑘 + 1) · 𝐴))) = (i · (sin‘((𝑘 · 𝐴) + 𝐴))))
96	93, 95	oveq12d 7381	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((cos‘((𝑘 + 1) · 𝐴)) + (i · (sin‘((𝑘 + 1) · 𝐴)))) = ((cos‘((𝑘 · 𝐴) + 𝐴)) + (i · (sin‘((𝑘 · 𝐴) + 𝐴)))))
97		mulcl 11120	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (sin‘(𝑘 · 𝐴)) ∈ ℂ) → (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴))) ∈ ℂ)
98	34, 97	mpan 696	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((sin‘(𝑘 · 𝐴)) ∈ ℂ → (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴))) ∈ ℂ)
99	65, 69, 98	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴))) ∈ ℂ)
100	33, 37	jca 516	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ))
101	100	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ))
102		muladd 11580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((cos‘(𝑘 · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴))) ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ)) → (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) · ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))) = ((((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) + ((i · (sin‘𝐴)) · (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))) + (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (i · (sin‘𝐴))) + ((cos‘𝐴) · (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))))
103	77, 99, 101, 102	syl21anc 843	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) · ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))) = ((((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) + ((i · (sin‘𝐴)) · (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))) + (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (i · (sin‘𝐴))) + ((cos‘𝐴) · (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))))
104	78, 34	jctil 524	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℂ))
105	70, 34	jctil 524	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i ∈ ℂ ∧ (sin‘(𝑘 · 𝐴)) ∈ ℂ))
106		mul4 11312	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((i ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℂ) ∧ (i ∈ ℂ ∧ (sin‘(𝑘 · 𝐴)) ∈ ℂ)) → ((i · (sin‘𝐴)) · (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) = ((i · i) · ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))
107		ixi 11777	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (i · i) = -1
108	107	oveq1i 7373	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((i · i) · ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) = (-1 · ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))
109	106, 108	eqtrdi 2791	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((i ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℂ) ∧ (i ∈ ℂ ∧ (sin‘(𝑘 · 𝐴)) ∈ ℂ)) → ((i · (sin‘𝐴)) · (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) = (-1 · ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))
110	104, 105, 109	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((i · (sin‘𝐴)) · (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) = (-1 · ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))
111	110	oveq2d 7379	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) + ((i · (sin‘𝐴)) · (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))) = (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) + (-1 · ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))))
112	111	oveq1d 7378	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) + ((i · (sin‘𝐴)) · (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))) + (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (i · (sin‘𝐴))) + ((cos‘𝐴) · (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))) = ((((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) + (-1 · ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))) + (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (i · (sin‘𝐴))) + ((cos‘𝐴) · (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))))
113		mul12 11309	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℂ) → ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (i · (sin‘𝐴))) = (i · ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴))))
114	34, 113	mp3an2 1457	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℂ) → ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (i · (sin‘𝐴))) = (i · ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴))))
115	77, 78, 114	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (i · (sin‘𝐴))) = (i · ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴))))
116		mul12 11309	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ (sin‘(𝑘 · 𝐴)) ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) · (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) = (i · ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))
117	34, 116	mp3an2 1457	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (sin‘(𝑘 · 𝐴)) ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) · (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) = (i · ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))
118	68, 70, 117	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) · (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) = (i · ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))
119	115, 118	oveq12d 7381	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (i · (sin‘𝐴))) + ((cos‘𝐴) · (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))) = ((i · ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴))) + (i · ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))))
120		adddi 11125	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))) ∈ ℂ) → (i · (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))) = ((i · ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴))) + (i · ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))))
121	34, 120	mp3an1 1456	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))) ∈ ℂ) → (i · (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))) = ((i · ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴))) + (i · ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))))
122	80, 75, 121	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))) = ((i · ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴))) + (i · ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))))
123	119, 122	eqtr4d 2778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (i · (sin‘𝐴))) + ((cos‘𝐴) · (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))) = (i · (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))))
124	123	oveq2d 7379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) + (-1 · ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))) + (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (i · (sin‘𝐴))) + ((cos‘𝐴) · (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))) = ((((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) + (-1 · ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))) + (i · (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))))
125	103, 112, 124	3eqtrd 2779	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) · ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))) = ((((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) + (-1 · ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))) + (i · (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))))
126		mulcl 11120	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((sin‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (sin‘(𝑘 · 𝐴)) ∈ ℂ) → ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))) ∈ ℂ)
127	78, 70, 126	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))) ∈ ℂ)
128		mulm1 11589	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))) ∈ ℂ → (-1 · ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) = -((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))
129	127, 128	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-1 · ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) = -((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))
130	129	oveq2d 7379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) + (-1 · ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))) = (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) + -((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))
131	130	oveq1d 7378	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) + (-1 · ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))) + (i · (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))) = ((((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) + -((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) + (i · (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))))
132		mulcl 11120	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℂ) → ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) ∈ ℂ)
133	77, 68, 132	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) ∈ ℂ)
134		negsub 11440	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))) ∈ ℂ) → (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) + -((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) = (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))
135	133, 127, 134	syl2anc 590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) + -((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) = (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))
136	135	oveq1d 7378	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) + -((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) + (i · (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))) = ((((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) + (i · (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))))
137	125, 131, 136	3eqtrd 2779	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) · ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))) = ((((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) + (i · (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))))
138		cosadd 16130	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑘 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (cos‘((𝑘 · 𝐴) + 𝐴)) = (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) − ((sin‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴))))
139	65, 138	sylancom 594	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (cos‘((𝑘 · 𝐴) + 𝐴)) = (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) − ((sin‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴))))
140		mulcom 11122	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((sin‘(𝑘 · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℂ) → ((sin‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) = ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))
141	70, 78, 140	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((sin‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) = ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))
142	141	oveq2d 7379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) − ((sin‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴))) = (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))
143	139, 142	eqtrd 2775	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (cos‘((𝑘 · 𝐴) + 𝐴)) = (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))
144	143	oveq1d 7378	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((cos‘((𝑘 · 𝐴) + 𝐴)) + (i · (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))) = ((((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) + (i · (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))))
145	137, 144	eqtr4d 2778	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) · ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))) = ((cos‘((𝑘 · 𝐴) + 𝐴)) + (i · (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))))
146	85, 96, 145	3eqtr4rd 2786	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) · ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))) = ((cos‘((𝑘 + 1) · 𝐴)) + (i · (sin‘((𝑘 + 1) · 𝐴)))))
147	146	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑘) = ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))) → (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) · ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))) = ((cos‘((𝑘 + 1) · 𝐴)) + (i · (sin‘((𝑘 + 1) · 𝐴)))))
148	60, 62, 147	3eqtrd 2779	. . . . 5 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑘) = ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))) → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑(𝑘 + 1)) = ((cos‘((𝑘 + 1) · 𝐴)) + (i · (sin‘((𝑘 + 1) · 𝐴)))))
149	148	exp31 420	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℂ → ((((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑘) = ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑(𝑘 + 1)) = ((cos‘((𝑘 + 1) · 𝐴)) + (i · (sin‘((𝑘 + 1) · 𝐴)))))))
150	149	a2d 29	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑘) = ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))) → (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑(𝑘 + 1)) = ((cos‘((𝑘 + 1) · 𝐴)) + (i · (sin‘((𝑘 + 1) · 𝐴)))))))
151	8, 16, 24, 32, 56, 150	nn0ind 12622	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑁) = ((cos‘(𝑁 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑁 · 𝐴))))))
152	151	impcom 408	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑁) = ((cos‘(𝑁 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑁 · 𝐴)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  ℂcc 11034  0cc0 11036  1c1 11037  ici 11038   + caddc 11039   · cmul 11041   − cmin 11375  -cneg 11376  ℕ₀cn0 12435  ↑cexp 14021  sincsin 16026  cosccos 16027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-inf2 9560  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-er 8640  df-pm 8773  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9352  df-inf 9353  df-oi 9422  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-rp 12941  df-ico 13302  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-fl 13749  df-seq 13962  df-exp 14022  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15027  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195  df-abs 15196  df-limsup 15431  df-clim 15448  df-rlim 15449  df-sum 15647  df-ef 16030  df-sin 16032  df-cos 16033

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