Theorem divmuldiv 11842

Description: Multiplication of two ratios. Theorem I.14 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 1-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
divmuldiv	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → ((𝐴 / 𝐶) · (𝐵 / 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐵) / (𝐶 · 𝐷)))

Proof of Theorem divmuldiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3anass 1094	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)))
2		3anass 1094	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)))
3		divcl 11803	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ)
4		divcl 11803	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (𝐵 / 𝐷) ∈ ℂ)
5		mulcl 11112	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐵 / 𝐷) ∈ ℂ) → ((𝐴 / 𝐶) · (𝐵 / 𝐷)) ∈ ℂ)
6	3, 4, 5	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐴 / 𝐶) · (𝐵 / 𝐷)) ∈ ℂ)
7		mulcl 11112	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐶 · 𝐷) ∈ ℂ)
8	7	ad2ant2r 747	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐶 · 𝐷) ∈ ℂ)
9	8	3adantr1 1170	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐶 · 𝐷) ∈ ℂ)
10	9	3adantl1 1167	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐶 · 𝐷) ∈ ℂ)
11		mulne0 11780	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐶 · 𝐷) ≠ 0)
12	11	3adantr1 1170	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐶 · 𝐷) ≠ 0)
13	12	3adantl1 1167	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐶 · 𝐷) ≠ 0)
14		divcan3 11823	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 / 𝐶) · (𝐵 / 𝐷)) ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝐷) ≠ 0) → (((𝐶 · 𝐷) · ((𝐴 / 𝐶) · (𝐵 / 𝐷))) / (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐴 / 𝐶) · (𝐵 / 𝐷)))
15	6, 10, 13, 14	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (((𝐶 · 𝐷) · ((𝐴 / 𝐶) · (𝐵 / 𝐷))) / (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐴 / 𝐶) · (𝐵 / 𝐷)))
16		simp2 1137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → 𝐶 ∈ ℂ)
17	16, 3	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ))
18		simp2 1137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0) → 𝐷 ∈ ℂ)
19	18, 4	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (𝐷 ∈ ℂ ∧ (𝐵 / 𝐷) ∈ ℂ))
20		mul4 11302	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ (𝐵 / 𝐷) ∈ ℂ)) → ((𝐶 · (𝐴 / 𝐶)) · (𝐷 · (𝐵 / 𝐷))) = ((𝐶 · 𝐷) · ((𝐴 / 𝐶) · (𝐵 / 𝐷))))
21	17, 19, 20	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐶 · (𝐴 / 𝐶)) · (𝐷 · (𝐵 / 𝐷))) = ((𝐶 · 𝐷) · ((𝐴 / 𝐶) · (𝐵 / 𝐷))))
22		divcan2 11805	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (𝐶 · (𝐴 / 𝐶)) = 𝐴)
23		divcan2 11805	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (𝐷 · (𝐵 / 𝐷)) = 𝐵)
24	22, 23	oveqan12d 7372	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐶 · (𝐴 / 𝐶)) · (𝐷 · (𝐵 / 𝐷))) = (𝐴 · 𝐵))
25	21, 24	eqtr3d 2766	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐶 · 𝐷) · ((𝐴 / 𝐶) · (𝐵 / 𝐷))) = (𝐴 · 𝐵))
26	25	oveq1d 7368	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (((𝐶 · 𝐷) · ((𝐴 / 𝐶) · (𝐵 / 𝐷))) / (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐵) / (𝐶 · 𝐷)))
27	15, 26	eqtr3d 2766	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐴 / 𝐶) · (𝐵 / 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐵) / (𝐶 · 𝐷)))
28	1, 2, 27	syl2anbr 599	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → ((𝐴 / 𝐶) · (𝐵 / 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐵) / (𝐶 · 𝐷)))
29	28	an4s 660	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → ((𝐴 / 𝐶) · (𝐵 / 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐵) / (𝐶 · 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  0cc0 11028   · cmul 11033   / cdiv 11795

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796

This theorem is referenced by:  divdivdiv  11843  divcan5  11844  divmul13  11845  divmul24  11846  divmuldivi  11902  divmuldivd  11959  qmulcl  12886  mulexpz  14027  expaddz  14031  sqdiv  14046  faclbnd2  14216  bcm1k  14240  bcp1n  14241  pythagtriplem16  16760  dvsqrt  26667  dquartlem1  26777  basellem8  27014  dchrvmasumlem1  27422  dchrvmasum2lem  27423  pntlemr  27529  pntlemf  27532  wallispilem4  46050