MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divmuldiv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divmuldiv 11965
Description: Multiplication of two ratios. Theorem I.14 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 1-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
divmuldiv (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → ((𝐴 / 𝐶) · (𝐵 / 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐵) / (𝐶 · 𝐷)))

Proof of Theorem divmuldiv
StepHypRef Expression
1 3anass 1094 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)))
2 3anass 1094 . . 3 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)))
3 divcl 11926 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ)
4 divcl 11926 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (𝐵 / 𝐷) ∈ ℂ)
5 mulcl 11237 . . . . . 6 (((𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐵 / 𝐷) ∈ ℂ) → ((𝐴 / 𝐶) · (𝐵 / 𝐷)) ∈ ℂ)
63, 4, 5syl2an 596 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐴 / 𝐶) · (𝐵 / 𝐷)) ∈ ℂ)
7 mulcl 11237 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐶 · 𝐷) ∈ ℂ)
87ad2ant2r 747 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐶 · 𝐷) ∈ ℂ)
983adantr1 1168 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐶 · 𝐷) ∈ ℂ)
1093adantl1 1165 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐶 · 𝐷) ∈ ℂ)
11 mulne0 11903 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐶 · 𝐷) ≠ 0)
12113adantr1 1168 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐶 · 𝐷) ≠ 0)
13123adantl1 1165 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐶 · 𝐷) ≠ 0)
14 divcan3 11946 . . . . 5 ((((𝐴 / 𝐶) · (𝐵 / 𝐷)) ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝐷) ≠ 0) → (((𝐶 · 𝐷) · ((𝐴 / 𝐶) · (𝐵 / 𝐷))) / (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐴 / 𝐶) · (𝐵 / 𝐷)))
156, 10, 13, 14syl3anc 1370 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (((𝐶 · 𝐷) · ((𝐴 / 𝐶) · (𝐵 / 𝐷))) / (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐴 / 𝐶) · (𝐵 / 𝐷)))
16 simp2 1136 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → 𝐶 ∈ ℂ)
1716, 3jca 511 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ))
18 simp2 1136 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0) → 𝐷 ∈ ℂ)
1918, 4jca 511 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (𝐷 ∈ ℂ ∧ (𝐵 / 𝐷) ∈ ℂ))
20 mul4 11427 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ (𝐵 / 𝐷) ∈ ℂ)) → ((𝐶 · (𝐴 / 𝐶)) · (𝐷 · (𝐵 / 𝐷))) = ((𝐶 · 𝐷) · ((𝐴 / 𝐶) · (𝐵 / 𝐷))))
2117, 19, 20syl2an 596 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐶 · (𝐴 / 𝐶)) · (𝐷 · (𝐵 / 𝐷))) = ((𝐶 · 𝐷) · ((𝐴 / 𝐶) · (𝐵 / 𝐷))))
22 divcan2 11928 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (𝐶 · (𝐴 / 𝐶)) = 𝐴)
23 divcan2 11928 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (𝐷 · (𝐵 / 𝐷)) = 𝐵)
2422, 23oveqan12d 7450 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐶 · (𝐴 / 𝐶)) · (𝐷 · (𝐵 / 𝐷))) = (𝐴 · 𝐵))
2521, 24eqtr3d 2777 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐶 · 𝐷) · ((𝐴 / 𝐶) · (𝐵 / 𝐷))) = (𝐴 · 𝐵))
2625oveq1d 7446 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (((𝐶 · 𝐷) · ((𝐴 / 𝐶) · (𝐵 / 𝐷))) / (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐵) / (𝐶 · 𝐷)))
2715, 26eqtr3d 2777 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐴 / 𝐶) · (𝐵 / 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐵) / (𝐶 · 𝐷)))
281, 2, 27syl2anbr 599 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → ((𝐴 / 𝐶) · (𝐵 / 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐵) / (𝐶 · 𝐷)))
2928an4s 660 1 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → ((𝐴 / 𝐶) · (𝐵 / 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐵) / (𝐶 · 𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  (class class class)co 7431  cc 11151  0cc0 11153   · cmul 11158   / cdiv 11918
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919
This theorem is referenced by:  divdivdiv  11966  divcan5  11967  divmul13  11968  divmul24  11969  divmuldivi  12025  divmuldivd  12082  qmulcl  13007  mulexpz  14140  expaddz  14144  sqdiv  14158  faclbnd2  14327  bcm1k  14351  bcp1n  14352  pythagtriplem16  16864  dvsqrt  26799  dquartlem1  26909  basellem8  27146  dchrvmasumlem1  27554  dchrvmasum2lem  27555  pntlemr  27661  pntlemf  27664  wallispilem4  46024
  Copyright terms: Public domain W3C validator