Theorem mul4d 11349

Description: Rearrangement of 4 factors. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
muld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
addcomd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
addcand.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
mul4d.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mul4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))

Proof of Theorem mul4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		addcomd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		addcand.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		mul4d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
5		mul4 11305	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐵) · (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 839	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7360  ℂcc 11027   · cmul 11034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-mulcl 11091  ax-mulcom 11093  ax-mulass 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-iota 6448  df-fv 6500  df-ov 7363

This theorem is referenced by:  remullem  15081  absmul  15247  binomrisefac  15998  cosadd  16123  tanadd  16125  eulerthlem2  16743  mul4sqlem  16915  odadd2  19815  itgmulc2  25811  plymullem1  26189  chordthmlem4  26812  heron  26815  quartlem1  26834  dchrmulcl  27226  bposlem9  27269  lgsdir  27309  lgsdi  27311  lgsquad2lem1  27361  chtppilimlem1  27450  rplogsumlem1  27461  dchrvmasumlem1  27472  dchrvmasum2lem  27473  chpdifbndlem1  27530  pntlemf  27582  brbtwn2  28988  colinearalglem4  28992  binom2subadd  32829  zringfrac  33629  constrmulcl  33931  madjusmdetlem4  33990  hgt750lemf  34813  hgt750leme  34818  circum  35872  itgmulc2nc  38023  flt4lem5e  43103  pellexlem6  43280  pell1234qrmulcl  43301  rmxyadd  43367  wallispi2lem2  46518  dirkertrigeqlem3  46546  cevathlem1  47313  sin5tlem1  47337  sin5tlem4  47340  itsclc0xyqsolr  49257