Theorem mul4d 11423

Description: Rearrangement of 4 factors. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
muld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
addcomd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
addcand.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
mul4d.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mul4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))

Proof of Theorem mul4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		addcomd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		addcand.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		mul4d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
5		mul4 11379	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐵) · (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 851	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7412  ℂcc 11099   · cmul 11106

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-ext 2735  ax-mulcl 11163  ax-mulcom 11165  ax-mulass 11167

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-sb 2097  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3909  df-un 3911  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-iota 6494  df-fv 6546  df-ov 7415

This theorem is referenced by:  remullem  15181  absmul  15347  binomrisefac  16097  cosadd  16222  tanadd  16224  eulerthlem2  16842  mul4sqlem  17014  odadd2  19920  itgmulc2  25974  plymullem1  26352  chordthmlem4  26981  heron  26984  quartlem1  27003  dchrmulcl  27394  bposlem9  27437  lgsdir  27477  lgsdi  27479  lgsquad2lem1  27529  chtppilimlem1  27618  rplogsumlem1  27629  dchrvmasumlem1  27640  dchrvmasum2lem  27641  chpdifbndlem1  27698  pntlemf  27750  brbtwn2  29236  colinearalglem4  29240  binom2subadd  33067  zringfrac  33825  constrmulcl  34142  madjusmdetlem4  34201  hgt750lemf  35021  hgt750leme  35026  circum  36147  itgmulc2nc  38320  flt4lem5e  43371  pellexlem6  43544  pell1234qrmulcl  43565  rmxyadd  43631  wallispi2lem2  46769  dirkertrigeqlem3  46797  cevathlem1  47564  sin5tlem1  47593  sin5tlem4  47596  itsclc0xyqsolr  49532