Theorem mul4d 11525

Description: Rearrangement of 4 factors. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
muld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
addcomd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
addcand.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
mul4d.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mul4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))

Proof of Theorem mul4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		addcomd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		addcand.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		mul4d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
5		mul4 11481	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐵) · (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 852	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7420  ℂcc 11201   · cmul 11208

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-mulcl 11265  ax-mulcom 11267  ax-mulass 11269

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-iota 6494  df-fv 6546  df-ov 7423

This theorem is used by:  remullem  15300  absmul  15466  binomrisefac  16213  cosadd  16338  tanadd  16340  eulerthlem2  16964  mul4sqlem  17136  odadd2  20068  itgmulc2  26159  plymullem1  26538  chordthmlem4  27168  heron  27171  quartlem1  27190  dchrmulcl  27581  bposlem9  27624  lgsdir  27664  lgsdi  27666  lgsquad2lem1  27716  chtppilimlem1  27805  rplogsumlem1  27816  dchrvmasumlem1  27827  dchrvmasum2lem  27828  chpdifbndlem1  27885  pntlemf  27937  flt4lem5e  27991  brbtwn2  29488  colinearalglem4  29492  binom2subadd  33379  zringfrac  34132  constrmulcl  34449  madjusmdetlem4  34508  hgt750lemf  35328  hgt750leme  35333  circum  36525  itgmulc2nc  38699  pellexlem6  43934  pell1234qrmulcl  43955  rmxyadd  44021  wallispi2lem2  47175  dirkertrigeqlem3  47203  cevathlem1  47970  sin5tlem1  48012  sin5tlem4  48015  itsclc0xyqsolr  49974