Theorem mul4d 11356

Description: Rearrangement of 4 factors. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
muld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
addcomd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
addcand.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
mul4d.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mul4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))

Proof of Theorem mul4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		addcomd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		addcand.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		mul4d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
5		mul4 11312	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐵) · (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 844	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  (class class class)co 7363  ℂcc 11034   · cmul 11041

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-ext 2712  ax-mulcl 11098  ax-mulcom 11100  ax-mulass 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-rab 3393  df-v 3434  df-dif 3893  df-un 3895  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-iota 6448  df-fv 6500  df-ov 7366

This theorem is referenced by:  remullem  15088  absmul  15254  binomrisefac  16005  cosadd  16130  tanadd  16132  eulerthlem2  16750  mul4sqlem  16922  odadd2  19822  itgmulc2  25826  plymullem1  26204  chordthmlem4  26824  heron  26827  quartlem1  26846  dchrmulcl  27237  bposlem9  27280  lgsdir  27320  lgsdi  27322  lgsquad2lem1  27372  chtppilimlem1  27461  rplogsumlem1  27472  dchrvmasumlem1  27483  dchrvmasum2lem  27484  chpdifbndlem1  27541  pntlemf  27593  brbtwn2  28999  colinearalglem4  29003  binom2subadd  32840  zringfrac  33644  constrmulcl  33962  madjusmdetlem4  34021  hgt750lemf  34844  hgt750leme  34849  circum  35909  itgmulc2nc  38062  flt4lem5e  43113  pellexlem6  43286  pell1234qrmulcl  43307  rmxyadd  43373  wallispi2lem2  46522  dirkertrigeqlem3  46550  cevathlem1  47317  sin5tlem1  47343  sin5tlem4  47346  itsclc0xyqsolr  49267