Theorem mul4d 11392

Description: Rearrangement of 4 factors. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
muld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
addcomd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
addcand.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
mul4d.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mul4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))

Proof of Theorem mul4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		addcomd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		addcand.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		mul4d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
5		mul4 11348	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐵) · (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 849	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  (class class class)co 7392  ℂcc 11068   · cmul 11075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-ext 2733  ax-mulcl 11132  ax-mulcom 11134  ax-mulass 11136

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-sb 2090  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-rab 3414  df-v 3455  df-dif 3907  df-un 3909  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-iota 6473  df-fv 6525  df-ov 7395

This theorem is referenced by:  remullem  15138  absmul  15304  binomrisefac  16055  cosadd  16180  tanadd  16182  eulerthlem2  16800  mul4sqlem  16972  odadd2  19872  itgmulc2  25876  plymullem1  26254  chordthmlem4  26877  heron  26880  quartlem1  26899  dchrmulcl  27290  bposlem9  27333  lgsdir  27373  lgsdi  27375  lgsquad2lem1  27425  chtppilimlem1  27514  rplogsumlem1  27525  dchrvmasumlem1  27536  dchrvmasum2lem  27537  chpdifbndlem1  27594  pntlemf  27646  brbtwn2  29052  colinearalglem4  29056  binom2subadd  32893  zringfrac  33711  constrmulcl  34029  madjusmdetlem4  34088  hgt750lemf  34911  hgt750leme  34916  circum  35988  itgmulc2nc  38151  flt4lem5e  43202  pellexlem6  43375  pell1234qrmulcl  43396  rmxyadd  43462  wallispi2lem2  46610  dirkertrigeqlem3  46638  cevathlem1  47405  sin5tlem1  47431  sin5tlem4  47434  itsclc0xyqsolr  49355