Theorem mul4d 11418

Description: Rearrangement of 4 factors. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
muld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
addcomd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
addcand.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
mul4d.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mul4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))

Proof of Theorem mul4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		addcomd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		addcand.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		mul4d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
5		mul4 11374	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐵) · (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 851	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  (class class class)co 7408  ℂcc 11094   · cmul 11101

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-ext 2741  ax-mulcl 11158  ax-mulcom 11160  ax-mulass 11162

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-sb 2098  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5111  df-iota 6489  df-fv 6541  df-ov 7411

This theorem is referenced by:  remullem  15175  absmul  15341  binomrisefac  16092  cosadd  16217  tanadd  16219  eulerthlem2  16837  mul4sqlem  17009  odadd2  19915  itgmulc2  25958  plymullem1  26336  chordthmlem4  26962  heron  26965  quartlem1  26984  dchrmulcl  27375  bposlem9  27418  lgsdir  27458  lgsdi  27460  lgsquad2lem1  27510  chtppilimlem1  27599  rplogsumlem1  27610  dchrvmasumlem1  27621  dchrvmasum2lem  27622  chpdifbndlem1  27679  pntlemf  27731  brbtwn2  29192  colinearalglem4  29196  binom2subadd  33023  zringfrac  33785  constrmulcl  34102  madjusmdetlem4  34161  hgt750lemf  34981  hgt750leme  34986  circum  36061  itgmulc2nc  38222  flt4lem5e  43273  pellexlem6  43446  pell1234qrmulcl  43467  rmxyadd  43533  wallispi2lem2  46671  dirkertrigeqlem3  46699  cevathlem1  47466  sin5tlem1  47492  sin5tlem4  47495  itsclc0xyqsolr  49427