Theorem mul4d 11332

Description: Rearrangement of 4 factors. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
muld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
addcomd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
addcand.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
mul4d.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mul4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))

Proof of Theorem mul4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		addcomd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		addcand.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		mul4d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
5		mul4 11288	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐵) · (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 838	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7352  ℂcc 11011   · cmul 11018

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2705  ax-mulcl 11075  ax-mulcom 11077  ax-mulass 11079

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-rab 3397  df-v 3439  df-dif 3901  df-un 3903  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-iota 6442  df-fv 6494  df-ov 7355

This theorem is referenced by:  remullem  15037  absmul  15203  binomrisefac  15951  cosadd  16076  tanadd  16078  eulerthlem2  16695  mul4sqlem  16867  odadd2  19763  itgmulc2  25763  plymullem1  26147  chordthmlem4  26773  heron  26776  quartlem1  26795  dchrmulcl  27188  bposlem9  27231  lgsdir  27271  lgsdi  27273  lgsquad2lem1  27323  chtppilimlem1  27412  rplogsumlem1  27423  dchrvmasumlem1  27434  dchrvmasum2lem  27435  chpdifbndlem1  27492  pntlemf  27544  brbtwn2  28885  colinearalglem4  28889  binom2subadd  32729  zringfrac  33526  constrmulcl  33805  madjusmdetlem4  33864  hgt750lemf  34687  hgt750leme  34692  circum  35739  itgmulc2nc  37748  flt4lem5e  42774  pellexlem6  42951  pell1234qrmulcl  42972  rmxyadd  43038  wallispi2lem2  46194  dirkertrigeqlem3  46222  cevathlem1  46989  itsclc0xyqsolr  48894