Theorem mul4d 11450

Description: Rearrangement of 4 factors. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
muld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
addcomd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
addcand.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
mul4d.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mul4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))

Proof of Theorem mul4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		addcomd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		addcand.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		mul4d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
5		mul4 11406	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐵) · (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 852	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7417  ℂcc 11126   · cmul 11133

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2734  ax-mulcl 11190  ax-mulcom 11192  ax-mulass 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-iota 6493  df-fv 6545  df-ov 7420

This theorem is used by:  remullem  15219  absmul  15385  binomrisefac  16134  cosadd  16259  tanadd  16261  eulerthlem2  16879  mul4sqlem  17051  odadd2  19982  itgmulc2  26068  plymullem1  26447  chordthmlem4  27080  heron  27083  quartlem1  27102  dchrmulcl  27493  bposlem9  27536  lgsdir  27576  lgsdi  27578  lgsquad2lem1  27628  chtppilimlem1  27717  rplogsumlem1  27728  dchrvmasumlem1  27739  dchrvmasum2lem  27740  chpdifbndlem1  27797  pntlemf  27849  brbtwn2  29370  colinearalglem4  29374  binom2subadd  33220  zringfrac  33972  constrmulcl  34289  madjusmdetlem4  34348  hgt750lemf  35169  hgt750leme  35174  circum  36261  itgmulc2nc  38445  flt4lem5e  43510  pellexlem6  43683  pell1234qrmulcl  43704  rmxyadd  43770  wallispi2lem2  46908  dirkertrigeqlem3  46936  cevathlem1  47703  sin5tlem1  47745  sin5tlem4  47748  itsclc0xyqsolr  49707