Theorem mul4d 11358

Description: Rearrangement of 4 factors. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
muld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
addcomd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
addcand.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
mul4d.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mul4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))

Proof of Theorem mul4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		addcomd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		addcand.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		mul4d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
5		mul4 11314	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐵) · (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 839	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7367  ℂcc 11036   · cmul 11043

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2708  ax-mulcl 11100  ax-mulcom 11102  ax-mulass 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-iota 6454  df-fv 6506  df-ov 7370

This theorem is referenced by:  remullem  15090  absmul  15256  binomrisefac  16007  cosadd  16132  tanadd  16134  eulerthlem2  16752  mul4sqlem  16924  odadd2  19824  itgmulc2  25801  plymullem1  26179  chordthmlem4  26799  heron  26802  quartlem1  26821  dchrmulcl  27212  bposlem9  27255  lgsdir  27295  lgsdi  27297  lgsquad2lem1  27347  chtppilimlem1  27436  rplogsumlem1  27447  dchrvmasumlem1  27458  dchrvmasum2lem  27459  chpdifbndlem1  27516  pntlemf  27568  brbtwn2  28974  colinearalglem4  28978  binom2subadd  32814  zringfrac  33614  constrmulcl  33915  madjusmdetlem4  33974  hgt750lemf  34797  hgt750leme  34802  circum  35856  itgmulc2nc  38009  flt4lem5e  43089  pellexlem6  43262  pell1234qrmulcl  43283  rmxyadd  43349  wallispi2lem2  46500  dirkertrigeqlem3  46528  cevathlem1  47295  sin5tlem1  47321  sin5tlem4  47324  itsclc0xyqsolr  49245