Theorem mul4d 11552

Description: Rearrangement of 4 factors. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
muld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
addcomd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
addcand.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
mul4d.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mul4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))

Proof of Theorem mul4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		addcomd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		addcand.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		mul4d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
5		mul4 11508	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐵) · (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 852	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7446  ℂcc 11228   · cmul 11235

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-mulcl 11292  ax-mulcom 11294  ax-mulass 11296

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-iota 6515  df-fv 6569  df-ov 7449

This theorem is used by:  remullem  15327  absmul  15493  binomrisefac  16240  cosadd  16365  tanadd  16367  eulerthlem2  16991  mul4sqlem  17163  odadd2  20096  itgmulc2  26187  plymullem1  26566  chordthmlem4  27196  heron  27199  quartlem1  27218  dchrmulcl  27609  bposlem9  27652  lgsdir  27692  lgsdi  27694  lgsquad2lem1  27744  chtppilimlem1  27833  rplogsumlem1  27844  dchrvmasumlem1  27855  dchrvmasum2lem  27856  chpdifbndlem1  27913  pntlemf  27965  flt4lem5e  28019  brbtwn2  29516  colinearalglem4  29520  binom2subadd  33406  zringfrac  34169  constrmulcl  34486  madjusmdetlem4  34545  hgt750lemf  35365  hgt750leme  35370  circum  36619  itgmulc2nc  38811  pellexlem6  44045  pell1234qrmulcl  44066  rmxyadd  44132  wallispi2lem2  47297  dirkertrigeqlem3  47325  cevathlem1  48092  sin5tlem1  48134  sin5tlem4  48137  itsclc0xyqsolr  50096  coshadd  51139