MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recextlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem recextlem1 11848
Description: Lemma for recex 11850. (Contributed by Eric Schmidt, 23-May-2007.)
Assertion
Ref Expression
recextlem1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ด โˆ’ (i ยท ๐ต))) = ((๐ด ยท ๐ด) + (๐ต ยท ๐ต)))

Proof of Theorem recextlem1
StepHypRef Expression
1 simpl 481 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2 ax-icn 11171 . . . . 5 i โˆˆ โ„‚
3 mulcl 11196 . . . . 5 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
42, 3mpan 686 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
54adantl 480 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
6 subcl 11463 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (i ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด โˆ’ (i ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
74, 6sylan2 591 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด โˆ’ (i ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
81, 5, 7adddird 11243 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ด โˆ’ (i ยท ๐ต))) = ((๐ด ยท (๐ด โˆ’ (i ยท ๐ต))) + ((i ยท ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ (i ยท ๐ต)))))
91, 1, 5subdid 11674 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท (๐ด โˆ’ (i ยท ๐ต))) = ((๐ด ยท ๐ด) โˆ’ (๐ด ยท (i ยท ๐ต))))
105, 1, 5subdid 11674 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((i ยท ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ (i ยท ๐ต))) = (((i ยท ๐ต) ยท ๐ด) โˆ’ ((i ยท ๐ต) ยท (i ยท ๐ต))))
11 mulcom 11198 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (i ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท (i ยท ๐ต)) = ((i ยท ๐ต) ยท ๐ด))
124, 11sylan2 591 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท (i ยท ๐ต)) = ((i ยท ๐ต) ยท ๐ด))
13 ixi 11847 . . . . . . . . . 10 (i ยท i) = -1
1413oveq1i 7421 . . . . . . . . 9 ((i ยท i) ยท (๐ต ยท ๐ต)) = (-1 ยท (๐ต ยท ๐ต))
15 mulcl 11196 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ต ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
1615mulm1d 11670 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (-1 ยท (๐ต ยท ๐ต)) = -(๐ต ยท ๐ต))
1714, 16eqtr2id 2783 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ -(๐ต ยท ๐ต) = ((i ยท i) ยท (๐ต ยท ๐ต)))
18 mul4 11386 . . . . . . . . 9 (((i โˆˆ โ„‚ โˆง i โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((i ยท i) ยท (๐ต ยท ๐ต)) = ((i ยท ๐ต) ยท (i ยท ๐ต)))
192, 2, 18mpanl12 698 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((i ยท i) ยท (๐ต ยท ๐ต)) = ((i ยท ๐ต) ยท (i ยท ๐ต)))
2017, 19eqtrd 2770 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ -(๐ต ยท ๐ต) = ((i ยท ๐ต) ยท (i ยท ๐ต)))
2120anidms 565 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ -(๐ต ยท ๐ต) = ((i ยท ๐ต) ยท (i ยท ๐ต)))
2221adantl 480 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ -(๐ต ยท ๐ต) = ((i ยท ๐ต) ยท (i ยท ๐ต)))
2312, 22oveq12d 7429 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท (i ยท ๐ต)) โˆ’ -(๐ต ยท ๐ต)) = (((i ยท ๐ต) ยท ๐ด) โˆ’ ((i ยท ๐ต) ยท (i ยท ๐ต))))
2410, 23eqtr4d 2773 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((i ยท ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ (i ยท ๐ต))) = ((๐ด ยท (i ยท ๐ต)) โˆ’ -(๐ต ยท ๐ต)))
259, 24oveq12d 7429 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท (๐ด โˆ’ (i ยท ๐ต))) + ((i ยท ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ (i ยท ๐ต)))) = (((๐ด ยท ๐ด) โˆ’ (๐ด ยท (i ยท ๐ต))) + ((๐ด ยท (i ยท ๐ต)) โˆ’ -(๐ต ยท ๐ต))))
26 mulcl 11196 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
2726anidms 565 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
2827adantr 479 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
29 mulcl 11196 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (i ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท (i ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
304, 29sylan2 591 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท (i ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
3115negcld 11562 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ -(๐ต ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
3231anidms 565 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ -(๐ต ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
3332adantl 480 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ -(๐ต ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
3428, 30, 33npncand 11599 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ด ยท ๐ด) โˆ’ (๐ด ยท (i ยท ๐ต))) + ((๐ด ยท (i ยท ๐ต)) โˆ’ -(๐ต ยท ๐ต))) = ((๐ด ยท ๐ด) โˆ’ -(๐ต ยท ๐ต)))
3515anidms 565 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ต ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
36 subneg 11513 . . . 4 (((๐ด ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐ด) โˆ’ -(๐ต ยท ๐ต)) = ((๐ด ยท ๐ด) + (๐ต ยท ๐ต)))
3727, 35, 36syl2an 594 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐ด) โˆ’ -(๐ต ยท ๐ต)) = ((๐ด ยท ๐ด) + (๐ต ยท ๐ต)))
3834, 37eqtrd 2770 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ด ยท ๐ด) โˆ’ (๐ด ยท (i ยท ๐ต))) + ((๐ด ยท (i ยท ๐ต)) โˆ’ -(๐ต ยท ๐ต))) = ((๐ด ยท ๐ด) + (๐ต ยท ๐ต)))
398, 25, 383eqtrd 2774 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ด โˆ’ (i ยท ๐ต))) = ((๐ด ยท ๐ด) + (๐ต ยท ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  1c1 11113  ici 11114   + caddc 11115   ยท cmul 11117   โˆ’ cmin 11448  -cneg 11449
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-ltxr 11257  df-sub 11450  df-neg 11451
This theorem is referenced by:  recex  11850
  Copyright terms: Public domain W3C validator