Theorem recextlem1 11769

Description: Lemma for recex 11771. (Contributed by Eric Schmidt, 23-May-2007.)

Assertion

Ref	Expression
recextlem1	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐴 − (i · 𝐵))) = ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))

Proof of Theorem recextlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
2		ax-icn 11087	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
3		mulcl 11112	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · 𝐵) ∈ ℂ)
4	2, 3	mpan 690	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (i · 𝐵) ∈ ℂ)
5	4	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · 𝐵) ∈ ℂ)
6		subcl 11381	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐵) ∈ ℂ) → (𝐴 − (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
7	4, 6	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
8	1, 5, 7	adddird 11159	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐴 − (i · 𝐵))) = ((𝐴 · (𝐴 − (i · 𝐵))) + ((i · 𝐵) · (𝐴 − (i · 𝐵)))))
9	1, 1, 5	subdid 11595	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐴 − (i · 𝐵))) = ((𝐴 · 𝐴) − (𝐴 · (i · 𝐵))))
10	5, 1, 5	subdid 11595	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((i · 𝐵) · (𝐴 − (i · 𝐵))) = (((i · 𝐵) · 𝐴) − ((i · 𝐵) · (i · 𝐵))))
11		mulcom 11114	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐵) ∈ ℂ) → (𝐴 · (i · 𝐵)) = ((i · 𝐵) · 𝐴))
12	4, 11	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · (i · 𝐵)) = ((i · 𝐵) · 𝐴))
13		ixi 11768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (i · i) = -1
14	13	oveq1i 7368	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i · i) · (𝐵 · 𝐵)) = (-1 · (𝐵 · 𝐵))
15		mulcl 11112	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐵) ∈ ℂ)
16	15	mulm1d 11591	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-1 · (𝐵 · 𝐵)) = -(𝐵 · 𝐵))
17	14, 16	eqtr2id 2784	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐵 · 𝐵) = ((i · i) · (𝐵 · 𝐵)))
18		mul4 11303	. . . . . . . . 9 ⊢ (((i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → ((i · i) · (𝐵 · 𝐵)) = ((i · 𝐵) · (i · 𝐵)))
19	2, 2, 18	mpanl12 702	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((i · i) · (𝐵 · 𝐵)) = ((i · 𝐵) · (i · 𝐵)))
20	17, 19	eqtrd 2771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐵 · 𝐵) = ((i · 𝐵) · (i · 𝐵)))
21	20	anidms 566	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → -(𝐵 · 𝐵) = ((i · 𝐵) · (i · 𝐵)))
22	21	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐵 · 𝐵) = ((i · 𝐵) · (i · 𝐵)))
23	12, 22	oveq12d 7376	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · (i · 𝐵)) − -(𝐵 · 𝐵)) = (((i · 𝐵) · 𝐴) − ((i · 𝐵) · (i · 𝐵))))
24	10, 23	eqtr4d 2774	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((i · 𝐵) · (𝐴 − (i · 𝐵))) = ((𝐴 · (i · 𝐵)) − -(𝐵 · 𝐵)))
25	9, 24	oveq12d 7376	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · (𝐴 − (i · 𝐵))) + ((i · 𝐵) · (𝐴 − (i · 𝐵)))) = (((𝐴 · 𝐴) − (𝐴 · (i · 𝐵))) + ((𝐴 · (i · 𝐵)) − -(𝐵 · 𝐵))))
26		mulcl 11112	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℂ)
27	26	anidms 566	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℂ)
28	27	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℂ)
29		mulcl 11112	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐵) ∈ ℂ) → (𝐴 · (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
30	4, 29	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
31	15	negcld 11481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐵 · 𝐵) ∈ ℂ)
32	31	anidms 566	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → -(𝐵 · 𝐵) ∈ ℂ)
33	32	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐵 · 𝐵) ∈ ℂ)
34	28, 30, 33	npncand 11518	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐴) − (𝐴 · (i · 𝐵))) + ((𝐴 · (i · 𝐵)) − -(𝐵 · 𝐵))) = ((𝐴 · 𝐴) − -(𝐵 · 𝐵)))
35	15	anidms 566	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 · 𝐵) ∈ ℂ)
36		subneg 11432	. . . 4 ⊢ (((𝐴 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝐵) ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐴) − -(𝐵 · 𝐵)) = ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))
37	27, 35, 36	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐴) − -(𝐵 · 𝐵)) = ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))
38	34, 37	eqtrd 2771	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐴) − (𝐴 · (i · 𝐵))) + ((𝐴 · (i · 𝐵)) − -(𝐵 · 𝐵))) = ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))
39	8, 25, 38	3eqtrd 2775	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐴 − (i · 𝐵))) = ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7358  ℂcc 11026  1c1 11029  ici 11030   + caddc 11031   · cmul 11033   − cmin 11366  -cneg 11367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-ltxr 11173  df-sub 11368  df-neg 11369

This theorem is referenced by:  recex  11771