MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recextlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem recextlem1 11849
Description: Lemma for recex 11851. (Contributed by Eric Schmidt, 23-May-2007.)
Assertion
Ref Expression
recextlem1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ด โˆ’ (i ยท ๐ต))) = ((๐ด ยท ๐ด) + (๐ต ยท ๐ต)))

Proof of Theorem recextlem1
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2 ax-icn 11172 . . . . 5 i โˆˆ โ„‚
3 mulcl 11197 . . . . 5 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
42, 3mpan 687 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
54adantl 481 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
6 subcl 11464 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (i ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด โˆ’ (i ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
74, 6sylan2 592 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด โˆ’ (i ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
81, 5, 7adddird 11244 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ด โˆ’ (i ยท ๐ต))) = ((๐ด ยท (๐ด โˆ’ (i ยท ๐ต))) + ((i ยท ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ (i ยท ๐ต)))))
91, 1, 5subdid 11675 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท (๐ด โˆ’ (i ยท ๐ต))) = ((๐ด ยท ๐ด) โˆ’ (๐ด ยท (i ยท ๐ต))))
105, 1, 5subdid 11675 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((i ยท ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ (i ยท ๐ต))) = (((i ยท ๐ต) ยท ๐ด) โˆ’ ((i ยท ๐ต) ยท (i ยท ๐ต))))
11 mulcom 11199 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (i ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท (i ยท ๐ต)) = ((i ยท ๐ต) ยท ๐ด))
124, 11sylan2 592 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท (i ยท ๐ต)) = ((i ยท ๐ต) ยท ๐ด))
13 ixi 11848 . . . . . . . . . 10 (i ยท i) = -1
1413oveq1i 7422 . . . . . . . . 9 ((i ยท i) ยท (๐ต ยท ๐ต)) = (-1 ยท (๐ต ยท ๐ต))
15 mulcl 11197 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ต ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
1615mulm1d 11671 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (-1 ยท (๐ต ยท ๐ต)) = -(๐ต ยท ๐ต))
1714, 16eqtr2id 2784 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ -(๐ต ยท ๐ต) = ((i ยท i) ยท (๐ต ยท ๐ต)))
18 mul4 11387 . . . . . . . . 9 (((i โˆˆ โ„‚ โˆง i โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((i ยท i) ยท (๐ต ยท ๐ต)) = ((i ยท ๐ต) ยท (i ยท ๐ต)))
192, 2, 18mpanl12 699 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((i ยท i) ยท (๐ต ยท ๐ต)) = ((i ยท ๐ต) ยท (i ยท ๐ต)))
2017, 19eqtrd 2771 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ -(๐ต ยท ๐ต) = ((i ยท ๐ต) ยท (i ยท ๐ต)))
2120anidms 566 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ -(๐ต ยท ๐ต) = ((i ยท ๐ต) ยท (i ยท ๐ต)))
2221adantl 481 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ -(๐ต ยท ๐ต) = ((i ยท ๐ต) ยท (i ยท ๐ต)))
2312, 22oveq12d 7430 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท (i ยท ๐ต)) โˆ’ -(๐ต ยท ๐ต)) = (((i ยท ๐ต) ยท ๐ด) โˆ’ ((i ยท ๐ต) ยท (i ยท ๐ต))))
2410, 23eqtr4d 2774 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((i ยท ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ (i ยท ๐ต))) = ((๐ด ยท (i ยท ๐ต)) โˆ’ -(๐ต ยท ๐ต)))
259, 24oveq12d 7430 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท (๐ด โˆ’ (i ยท ๐ต))) + ((i ยท ๐ต) ยท (๐ด โˆ’ (i ยท ๐ต)))) = (((๐ด ยท ๐ด) โˆ’ (๐ด ยท (i ยท ๐ต))) + ((๐ด ยท (i ยท ๐ต)) โˆ’ -(๐ต ยท ๐ต))))
26 mulcl 11197 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
2726anidms 566 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
2827adantr 480 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
29 mulcl 11197 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (i ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท (i ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
304, 29sylan2 592 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท (i ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
3115negcld 11563 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ -(๐ต ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
3231anidms 566 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ -(๐ต ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
3332adantl 481 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ -(๐ต ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
3428, 30, 33npncand 11600 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ด ยท ๐ด) โˆ’ (๐ด ยท (i ยท ๐ต))) + ((๐ด ยท (i ยท ๐ต)) โˆ’ -(๐ต ยท ๐ต))) = ((๐ด ยท ๐ด) โˆ’ -(๐ต ยท ๐ต)))
3515anidms 566 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ต ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
36 subneg 11514 . . . 4 (((๐ด ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐ด) โˆ’ -(๐ต ยท ๐ต)) = ((๐ด ยท ๐ด) + (๐ต ยท ๐ต)))
3727, 35, 36syl2an 595 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐ด) โˆ’ -(๐ต ยท ๐ต)) = ((๐ด ยท ๐ด) + (๐ต ยท ๐ต)))
3834, 37eqtrd 2771 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ด ยท ๐ด) โˆ’ (๐ด ยท (i ยท ๐ต))) + ((๐ด ยท (i ยท ๐ต)) โˆ’ -(๐ต ยท ๐ต))) = ((๐ด ยท ๐ด) + (๐ต ยท ๐ต)))
398, 25, 383eqtrd 2775 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ด โˆ’ (i ยท ๐ต))) = ((๐ด ยท ๐ด) + (๐ต ยท ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105  (class class class)co 7412  โ„‚cc 11111  1c1 11114  ici 11115   + caddc 11116   ยท cmul 11118   โˆ’ cmin 11449  -cneg 11450
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-ltxr 11258  df-sub 11451  df-neg 11452
This theorem is referenced by:  recex  11851
  Copyright terms: Public domain W3C validator