Theorem mulexp 14213

Description: Nonnegative integer exponentiation of a product. Proposition 10-4.2(c) of [Gleason] p. 135, restricted to nonnegative integer exponents. (Contributed by NM, 13-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
mulexp	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴↑𝑁) · (𝐵↑𝑁)))

Proof of Theorem mulexp

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7416	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 0 → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑗) = ((𝐴 · 𝐵)↑0))
2		oveq2 7416	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 0 → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑0))
3		oveq2 7416	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 0 → (𝐵↑𝑗) = (𝐵↑0))
4	2, 3	oveq12d 7426	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 0 → ((𝐴↑𝑗) · (𝐵↑𝑗)) = ((𝐴↑0) · (𝐵↑0)))
5	1, 4	eqeq12d 2776	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 0 → (((𝐴 · 𝐵)↑𝑗) = ((𝐴↑𝑗) · (𝐵↑𝑗)) ↔ ((𝐴 · 𝐵)↑0) = ((𝐴↑0) · (𝐵↑0))))
6	5	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 0 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑗) = ((𝐴↑𝑗) · (𝐵↑𝑗))) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵)↑0) = ((𝐴↑0) · (𝐵↑0)))))
7		oveq2 7416	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑗) = ((𝐴 · 𝐵)↑𝑘))
8		oveq2 7416	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑𝑘))
9		oveq2 7416	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐵↑𝑗) = (𝐵↑𝑘))
10	8, 9	oveq12d 7426	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴↑𝑗) · (𝐵↑𝑗)) = ((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑𝑘)))
11	7, 10	eqeq12d 2776	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((𝐴 · 𝐵)↑𝑗) = ((𝐴↑𝑗) · (𝐵↑𝑗)) ↔ ((𝐴 · 𝐵)↑𝑘) = ((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑𝑘))))
12	11	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑗) = ((𝐴↑𝑗) · (𝐵↑𝑗))) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑘) = ((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑𝑘)))))
13		oveq2 7416	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑗) = ((𝐴 · 𝐵)↑(𝑘 + 1)))
14		oveq2 7416	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
15		oveq2 7416	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐵↑𝑗) = (𝐵↑(𝑘 + 1)))
16	14, 15	oveq12d 7426	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴↑𝑗) · (𝐵↑𝑗)) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑(𝑘 + 1))))
17	13, 16	eqeq12d 2776	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝐴 · 𝐵)↑𝑗) = ((𝐴↑𝑗) · (𝐵↑𝑗)) ↔ ((𝐴 · 𝐵)↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑(𝑘 + 1)))))
18	17	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑗) = ((𝐴↑𝑗) · (𝐵↑𝑗))) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵)↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑(𝑘 + 1))))))
19		oveq2 7416	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑗) = ((𝐴 · 𝐵)↑𝑁))
20		oveq2 7416	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑𝑁))
21		oveq2 7416	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝐵↑𝑗) = (𝐵↑𝑁))
22	20, 21	oveq12d 7426	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴↑𝑗) · (𝐵↑𝑗)) = ((𝐴↑𝑁) · (𝐵↑𝑁)))
23	19, 22	eqeq12d 2776	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (((𝐴 · 𝐵)↑𝑗) = ((𝐴↑𝑗) · (𝐵↑𝑗)) ↔ ((𝐴 · 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴↑𝑁) · (𝐵↑𝑁))))
24	23	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑗) = ((𝐴↑𝑗) · (𝐵↑𝑗))) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴↑𝑁) · (𝐵↑𝑁)))))
25		mulcl 11256	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
26		exp0 14177	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ → ((𝐴 · 𝐵)↑0) = 1)
27	25, 26	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵)↑0) = 1)
28		exp0 14177	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
29		exp0 14177	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵↑0) = 1)
30	28, 29	oveqan12d 7427	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑0) · (𝐵↑0)) = (1 · 1))
31		1t1e1 12474	. . . . . 6 ⊢ (1 · 1) = 1
32	30, 31	eqtrdi 2811	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑0) · (𝐵↑0)) = 1)
33	27, 32	eqtr4d 2798	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵)↑0) = ((𝐴↑0) · (𝐵↑0)))
34		expp1 14180	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴 · 𝐵)↑(𝑘 + 1)) = (((𝐴 · 𝐵)↑𝑘) · (𝐴 · 𝐵)))
35	25, 34	sylan 592	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴 · 𝐵)↑(𝑘 + 1)) = (((𝐴 · 𝐵)↑𝑘) · (𝐴 · 𝐵)))
36	35	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴 · 𝐵)↑𝑘) = ((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑𝑘))) → ((𝐴 · 𝐵)↑(𝑘 + 1)) = (((𝐴 · 𝐵)↑𝑘) · (𝐴 · 𝐵)))
37		oveq1 7415	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 · 𝐵)↑𝑘) = ((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑𝑘)) → (((𝐴 · 𝐵)↑𝑘) · (𝐴 · 𝐵)) = (((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑𝑘)) · (𝐴 · 𝐵)))
38		expcl 14191	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
39		expcl 14191	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℂ)
40	38, 39	anim12i 625	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → ((𝐴↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵↑𝑘) ∈ ℂ))
41	40	anandirs 692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵↑𝑘) ∈ ℂ))
42		simpl 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
43		mul4 11450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵↑𝑘) ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → (((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑𝑘)) · (𝐴 · 𝐵)) = (((𝐴↑𝑘) · 𝐴) · ((𝐵↑𝑘) · 𝐵)))
44	41, 42, 43	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑𝑘)) · (𝐴 · 𝐵)) = (((𝐴↑𝑘) · 𝐴) · ((𝐵↑𝑘) · 𝐵)))
45		expp1 14180	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑𝑘) · 𝐴))
46	45	adantlr 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑𝑘) · 𝐴))
47		expp1 14180	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵↑(𝑘 + 1)) = ((𝐵↑𝑘) · 𝐵))
48	47	adantll 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵↑(𝑘 + 1)) = ((𝐵↑𝑘) · 𝐵))
49	46, 48	oveq12d 7426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑(𝑘 + 1))) = (((𝐴↑𝑘) · 𝐴) · ((𝐵↑𝑘) · 𝐵)))
50	44, 49	eqtr4d 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑𝑘)) · (𝐴 · 𝐵)) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑(𝑘 + 1))))
51	37, 50	sylan9eqr 2817	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴 · 𝐵)↑𝑘) = ((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑𝑘))) → (((𝐴 · 𝐵)↑𝑘) · (𝐴 · 𝐵)) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑(𝑘 + 1))))
52	36, 51	eqtrd 2795	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴 · 𝐵)↑𝑘) = ((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑𝑘))) → ((𝐴 · 𝐵)↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑(𝑘 + 1))))
53	52	exp31 425	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝐴 · 𝐵)↑𝑘) = ((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑𝑘)) → ((𝐴 · 𝐵)↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑(𝑘 + 1))))))
54	53	com12 33	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐵)↑𝑘) = ((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑𝑘)) → ((𝐴 · 𝐵)↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑(𝑘 + 1))))))
55	54	a2d 30	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑘) = ((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑𝑘))) → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵)↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑(𝑘 + 1))))))
56	6, 12, 18, 24, 33, 55	nn0ind 12764	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴↑𝑁) · (𝐵↑𝑁))))
57	56	expdcom 420	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐵 ∈ ℂ → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴↑𝑁) · (𝐵↑𝑁)))))
58	57	3imp 1128	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴↑𝑁) · (𝐵↑𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7408  ℂcc 11170  0cc0 11172  1c1 11173   + caddc 11175   · cmul 11177  ℕ₀cn0 12576  ↑cexp 14173

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248  ax-pre-mulgt0 11249

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-sub 11515  df-neg 11516  df-nn 12306  df-n0 12577  df-z 12664  df-uz 12936  df-seq 14114  df-exp 14174

This theorem is used by:  mulexpz  14214  expdiv  14225  sqmul  14231  mulexpd  14273  expubnd  14290  efi4p  16273  logtayl2  26954  ipidsq  31246  lcmineqlem1  42999  fprodexp  46528