MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulexp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulexp 14090
Description: Nonnegative integer exponentiation of a product. Proposition 10-4.2(c) of [Gleason] p. 135, restricted to nonnegative integer exponents. (Contributed by NM, 13-Feb-2005.)
Assertion
Ref Expression
mulexp ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘) = ((๐ดโ†‘๐‘) ยท (๐ตโ†‘๐‘)))

Proof of Theorem mulexp
Dummy variables ๐‘— ๐‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7422 . . . . . 6 (๐‘— = 0 โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘—) = ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘0))
2 oveq2 7422 . . . . . . 7 (๐‘— = 0 โ†’ (๐ดโ†‘๐‘—) = (๐ดโ†‘0))
3 oveq2 7422 . . . . . . 7 (๐‘— = 0 โ†’ (๐ตโ†‘๐‘—) = (๐ตโ†‘0))
42, 3oveq12d 7432 . . . . . 6 (๐‘— = 0 โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘—) ยท (๐ตโ†‘๐‘—)) = ((๐ดโ†‘0) ยท (๐ตโ†‘0)))
51, 4eqeq12d 2743 . . . . 5 (๐‘— = 0 โ†’ (((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘—) = ((๐ดโ†‘๐‘—) ยท (๐ตโ†‘๐‘—)) โ†” ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘0) = ((๐ดโ†‘0) ยท (๐ตโ†‘0))))
65imbi2d 340 . . . 4 (๐‘— = 0 โ†’ (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘—) = ((๐ดโ†‘๐‘—) ยท (๐ตโ†‘๐‘—))) โ†” ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘0) = ((๐ดโ†‘0) ยท (๐ตโ†‘0)))))
7 oveq2 7422 . . . . . 6 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘—) = ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘˜))
8 oveq2 7422 . . . . . . 7 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘—) = (๐ดโ†‘๐‘˜))
9 oveq2 7422 . . . . . . 7 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (๐ตโ†‘๐‘—) = (๐ตโ†‘๐‘˜))
108, 9oveq12d 7432 . . . . . 6 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘—) ยท (๐ตโ†‘๐‘—)) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜)))
117, 10eqeq12d 2743 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘—) = ((๐ดโ†‘๐‘—) ยท (๐ตโ†‘๐‘—)) โ†” ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘˜) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))))
1211imbi2d 340 . . . 4 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘—) = ((๐ดโ†‘๐‘—) ยท (๐ตโ†‘๐‘—))) โ†” ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘˜) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜)))))
13 oveq2 7422 . . . . . 6 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘—) = ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘(๐‘˜ + 1)))
14 oveq2 7422 . . . . . . 7 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘—) = (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)))
15 oveq2 7422 . . . . . . 7 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ (๐ตโ†‘๐‘—) = (๐ตโ†‘(๐‘˜ + 1)))
1614, 15oveq12d 7432 . . . . . 6 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘—) ยท (๐ตโ†‘๐‘—)) = ((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) ยท (๐ตโ†‘(๐‘˜ + 1))))
1713, 16eqeq12d 2743 . . . . 5 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ (((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘—) = ((๐ดโ†‘๐‘—) ยท (๐ตโ†‘๐‘—)) โ†” ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘(๐‘˜ + 1)) = ((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) ยท (๐ตโ†‘(๐‘˜ + 1)))))
1817imbi2d 340 . . . 4 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘—) = ((๐ดโ†‘๐‘—) ยท (๐ตโ†‘๐‘—))) โ†” ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘(๐‘˜ + 1)) = ((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) ยท (๐ตโ†‘(๐‘˜ + 1))))))
19 oveq2 7422 . . . . . 6 (๐‘— = ๐‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘—) = ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘))
20 oveq2 7422 . . . . . . 7 (๐‘— = ๐‘ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘—) = (๐ดโ†‘๐‘))
21 oveq2 7422 . . . . . . 7 (๐‘— = ๐‘ โ†’ (๐ตโ†‘๐‘—) = (๐ตโ†‘๐‘))
2220, 21oveq12d 7432 . . . . . 6 (๐‘— = ๐‘ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘—) ยท (๐ตโ†‘๐‘—)) = ((๐ดโ†‘๐‘) ยท (๐ตโ†‘๐‘)))
2319, 22eqeq12d 2743 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘ โ†’ (((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘—) = ((๐ดโ†‘๐‘—) ยท (๐ตโ†‘๐‘—)) โ†” ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘) = ((๐ดโ†‘๐‘) ยท (๐ตโ†‘๐‘))))
2423imbi2d 340 . . . 4 (๐‘— = ๐‘ โ†’ (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘—) = ((๐ดโ†‘๐‘—) ยท (๐ตโ†‘๐‘—))) โ†” ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘) = ((๐ดโ†‘๐‘) ยท (๐ตโ†‘๐‘)))))
25 mulcl 11214 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
26 exp0 14054 . . . . . 6 ((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘0) = 1)
2725, 26syl 17 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘0) = 1)
28 exp0 14054 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ดโ†‘0) = 1)
29 exp0 14054 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ตโ†‘0) = 1)
3028, 29oveqan12d 7433 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘0) ยท (๐ตโ†‘0)) = (1 ยท 1))
31 1t1e1 12396 . . . . . 6 (1 ยท 1) = 1
3230, 31eqtrdi 2783 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘0) ยท (๐ตโ†‘0)) = 1)
3327, 32eqtr4d 2770 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘0) = ((๐ดโ†‘0) ยท (๐ตโ†‘0)))
34 expp1 14057 . . . . . . . . . 10 (((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘(๐‘˜ + 1)) = (((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘˜) ยท (๐ด ยท ๐ต)))
3525, 34sylan 579 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘(๐‘˜ + 1)) = (((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘˜) ยท (๐ด ยท ๐ต)))
3635adantr 480 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘˜) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘(๐‘˜ + 1)) = (((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘˜) ยท (๐ด ยท ๐ต)))
37 oveq1 7421 . . . . . . . . 9 (((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘˜) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜)) โ†’ (((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘˜) ยท (๐ด ยท ๐ต)) = (((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜)) ยท (๐ด ยท ๐ต)))
38 expcl 14068 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
39 expcl 14068 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ตโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
4038, 39anim12i 612 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ตโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚))
4140anandirs 678 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ตโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚))
42 simpl 482 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚))
43 mul4 11404 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ตโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚)) โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜)) ยท (๐ด ยท ๐ต)) = (((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท ๐ด) ยท ((๐ตโ†‘๐‘˜) ยท ๐ต)))
4441, 42, 43syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜)) ยท (๐ด ยท ๐ต)) = (((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท ๐ด) ยท ((๐ตโ†‘๐‘˜) ยท ๐ต)))
45 expp1 14057 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท ๐ด))
4645adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท ๐ด))
47 expp1 14057 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ตโ†‘(๐‘˜ + 1)) = ((๐ตโ†‘๐‘˜) ยท ๐ต))
4847adantll 713 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ตโ†‘(๐‘˜ + 1)) = ((๐ตโ†‘๐‘˜) ยท ๐ต))
4946, 48oveq12d 7432 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) ยท (๐ตโ†‘(๐‘˜ + 1))) = (((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท ๐ด) ยท ((๐ตโ†‘๐‘˜) ยท ๐ต)))
5044, 49eqtr4d 2770 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜)) ยท (๐ด ยท ๐ต)) = ((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) ยท (๐ตโ†‘(๐‘˜ + 1))))
5137, 50sylan9eqr 2789 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘˜) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))) โ†’ (((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘˜) ยท (๐ด ยท ๐ต)) = ((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) ยท (๐ตโ†‘(๐‘˜ + 1))))
5236, 51eqtrd 2767 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘˜) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘(๐‘˜ + 1)) = ((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) ยท (๐ตโ†‘(๐‘˜ + 1))))
5352exp31 419 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘˜) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘(๐‘˜ + 1)) = ((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) ยท (๐ตโ†‘(๐‘˜ + 1))))))
5453com12 32 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘˜) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘(๐‘˜ + 1)) = ((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) ยท (๐ตโ†‘(๐‘˜ + 1))))))
5554a2d 29 . . . 4 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘˜) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))) โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘(๐‘˜ + 1)) = ((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) ยท (๐ตโ†‘(๐‘˜ + 1))))))
566, 12, 18, 24, 33, 55nn0ind 12679 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘) = ((๐ดโ†‘๐‘) ยท (๐ตโ†‘๐‘))))
5756expdcom 414 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘) = ((๐ดโ†‘๐‘) ยท (๐ตโ†‘๐‘)))))
58573imp 1109 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘) = ((๐ดโ†‘๐‘) ยท (๐ตโ†‘๐‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  (class class class)co 7414  โ„‚cc 11128  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133   ยท cmul 11135  โ„•0cn0 12494  โ†‘cexp 14050
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-seq 13991  df-exp 14051
This theorem is referenced by:  mulexpz  14091  expdiv  14102  sqmul  14107  mulexpd  14149  expubnd  14165  efi4p  16105  logtayl2  26583  ipidsq  30507  lcmineqlem1  41437  fprodexp  44905
  Copyright terms: Public domain W3C validator