MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulexp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulexp 14067
Description: Nonnegative integer exponentiation of a product. Proposition 10-4.2(c) of [Gleason] p. 135, restricted to nonnegative integer exponents. (Contributed by NM, 13-Feb-2005.)
Assertion
Ref Expression
mulexp ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘) = ((๐ดโ†‘๐‘) ยท (๐ตโ†‘๐‘)))

Proof of Theorem mulexp
Dummy variables ๐‘— ๐‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7417 . . . . . 6 (๐‘— = 0 โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘—) = ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘0))
2 oveq2 7417 . . . . . . 7 (๐‘— = 0 โ†’ (๐ดโ†‘๐‘—) = (๐ดโ†‘0))
3 oveq2 7417 . . . . . . 7 (๐‘— = 0 โ†’ (๐ตโ†‘๐‘—) = (๐ตโ†‘0))
42, 3oveq12d 7427 . . . . . 6 (๐‘— = 0 โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘—) ยท (๐ตโ†‘๐‘—)) = ((๐ดโ†‘0) ยท (๐ตโ†‘0)))
51, 4eqeq12d 2749 . . . . 5 (๐‘— = 0 โ†’ (((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘—) = ((๐ดโ†‘๐‘—) ยท (๐ตโ†‘๐‘—)) โ†” ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘0) = ((๐ดโ†‘0) ยท (๐ตโ†‘0))))
65imbi2d 341 . . . 4 (๐‘— = 0 โ†’ (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘—) = ((๐ดโ†‘๐‘—) ยท (๐ตโ†‘๐‘—))) โ†” ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘0) = ((๐ดโ†‘0) ยท (๐ตโ†‘0)))))
7 oveq2 7417 . . . . . 6 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘—) = ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘˜))
8 oveq2 7417 . . . . . . 7 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘—) = (๐ดโ†‘๐‘˜))
9 oveq2 7417 . . . . . . 7 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (๐ตโ†‘๐‘—) = (๐ตโ†‘๐‘˜))
108, 9oveq12d 7427 . . . . . 6 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘—) ยท (๐ตโ†‘๐‘—)) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜)))
117, 10eqeq12d 2749 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘—) = ((๐ดโ†‘๐‘—) ยท (๐ตโ†‘๐‘—)) โ†” ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘˜) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))))
1211imbi2d 341 . . . 4 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘—) = ((๐ดโ†‘๐‘—) ยท (๐ตโ†‘๐‘—))) โ†” ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘˜) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜)))))
13 oveq2 7417 . . . . . 6 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘—) = ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘(๐‘˜ + 1)))
14 oveq2 7417 . . . . . . 7 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘—) = (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)))
15 oveq2 7417 . . . . . . 7 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ (๐ตโ†‘๐‘—) = (๐ตโ†‘(๐‘˜ + 1)))
1614, 15oveq12d 7427 . . . . . 6 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘—) ยท (๐ตโ†‘๐‘—)) = ((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) ยท (๐ตโ†‘(๐‘˜ + 1))))
1713, 16eqeq12d 2749 . . . . 5 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ (((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘—) = ((๐ดโ†‘๐‘—) ยท (๐ตโ†‘๐‘—)) โ†” ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘(๐‘˜ + 1)) = ((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) ยท (๐ตโ†‘(๐‘˜ + 1)))))
1817imbi2d 341 . . . 4 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘—) = ((๐ดโ†‘๐‘—) ยท (๐ตโ†‘๐‘—))) โ†” ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘(๐‘˜ + 1)) = ((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) ยท (๐ตโ†‘(๐‘˜ + 1))))))
19 oveq2 7417 . . . . . 6 (๐‘— = ๐‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘—) = ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘))
20 oveq2 7417 . . . . . . 7 (๐‘— = ๐‘ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘—) = (๐ดโ†‘๐‘))
21 oveq2 7417 . . . . . . 7 (๐‘— = ๐‘ โ†’ (๐ตโ†‘๐‘—) = (๐ตโ†‘๐‘))
2220, 21oveq12d 7427 . . . . . 6 (๐‘— = ๐‘ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘—) ยท (๐ตโ†‘๐‘—)) = ((๐ดโ†‘๐‘) ยท (๐ตโ†‘๐‘)))
2319, 22eqeq12d 2749 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘ โ†’ (((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘—) = ((๐ดโ†‘๐‘—) ยท (๐ตโ†‘๐‘—)) โ†” ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘) = ((๐ดโ†‘๐‘) ยท (๐ตโ†‘๐‘))))
2423imbi2d 341 . . . 4 (๐‘— = ๐‘ โ†’ (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘—) = ((๐ดโ†‘๐‘—) ยท (๐ตโ†‘๐‘—))) โ†” ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘) = ((๐ดโ†‘๐‘) ยท (๐ตโ†‘๐‘)))))
25 mulcl 11194 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
26 exp0 14031 . . . . . 6 ((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘0) = 1)
2725, 26syl 17 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘0) = 1)
28 exp0 14031 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ดโ†‘0) = 1)
29 exp0 14031 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ตโ†‘0) = 1)
3028, 29oveqan12d 7428 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘0) ยท (๐ตโ†‘0)) = (1 ยท 1))
31 1t1e1 12374 . . . . . 6 (1 ยท 1) = 1
3230, 31eqtrdi 2789 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘0) ยท (๐ตโ†‘0)) = 1)
3327, 32eqtr4d 2776 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘0) = ((๐ดโ†‘0) ยท (๐ตโ†‘0)))
34 expp1 14034 . . . . . . . . . 10 (((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘(๐‘˜ + 1)) = (((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘˜) ยท (๐ด ยท ๐ต)))
3525, 34sylan 581 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘(๐‘˜ + 1)) = (((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘˜) ยท (๐ด ยท ๐ต)))
3635adantr 482 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘˜) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘(๐‘˜ + 1)) = (((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘˜) ยท (๐ด ยท ๐ต)))
37 oveq1 7416 . . . . . . . . 9 (((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘˜) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜)) โ†’ (((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘˜) ยท (๐ด ยท ๐ต)) = (((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜)) ยท (๐ด ยท ๐ต)))
38 expcl 14045 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
39 expcl 14045 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ตโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
4038, 39anim12i 614 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ตโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚))
4140anandirs 678 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ตโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚))
42 simpl 484 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚))
43 mul4 11382 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ตโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚)) โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜)) ยท (๐ด ยท ๐ต)) = (((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท ๐ด) ยท ((๐ตโ†‘๐‘˜) ยท ๐ต)))
4441, 42, 43syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜)) ยท (๐ด ยท ๐ต)) = (((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท ๐ด) ยท ((๐ตโ†‘๐‘˜) ยท ๐ต)))
45 expp1 14034 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท ๐ด))
4645adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท ๐ด))
47 expp1 14034 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ตโ†‘(๐‘˜ + 1)) = ((๐ตโ†‘๐‘˜) ยท ๐ต))
4847adantll 713 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ตโ†‘(๐‘˜ + 1)) = ((๐ตโ†‘๐‘˜) ยท ๐ต))
4946, 48oveq12d 7427 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) ยท (๐ตโ†‘(๐‘˜ + 1))) = (((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท ๐ด) ยท ((๐ตโ†‘๐‘˜) ยท ๐ต)))
5044, 49eqtr4d 2776 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜)) ยท (๐ด ยท ๐ต)) = ((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) ยท (๐ตโ†‘(๐‘˜ + 1))))
5137, 50sylan9eqr 2795 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘˜) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))) โ†’ (((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘˜) ยท (๐ด ยท ๐ต)) = ((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) ยท (๐ตโ†‘(๐‘˜ + 1))))
5236, 51eqtrd 2773 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘˜) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘(๐‘˜ + 1)) = ((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) ยท (๐ตโ†‘(๐‘˜ + 1))))
5352exp31 421 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘˜) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘(๐‘˜ + 1)) = ((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) ยท (๐ตโ†‘(๐‘˜ + 1))))))
5453com12 32 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘˜) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘(๐‘˜ + 1)) = ((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) ยท (๐ตโ†‘(๐‘˜ + 1))))))
5554a2d 29 . . . 4 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘˜) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))) โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘(๐‘˜ + 1)) = ((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) ยท (๐ตโ†‘(๐‘˜ + 1))))))
566, 12, 18, 24, 33, 55nn0ind 12657 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘) = ((๐ดโ†‘๐‘) ยท (๐ตโ†‘๐‘))))
5756expdcom 416 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘) = ((๐ดโ†‘๐‘) ยท (๐ตโ†‘๐‘)))))
58573imp 1112 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘) = ((๐ดโ†‘๐‘) ยท (๐ตโ†‘๐‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115  โ„•0cn0 12472  โ†‘cexp 14027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-seq 13967  df-exp 14028
This theorem is referenced by:  mulexpz  14068  expdiv  14079  sqmul  14084  mulexpd  14126  expubnd  14142  efi4p  16080  logtayl2  26170  ipidsq  29963  lcmineqlem1  40894  fprodexp  44310
  Copyright terms: Public domain W3C validator